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1、第六章图像变换的不变性与偏微分方程第1页，共97页，编辑于2022年，星期三6.1 形态学算子形态学算子单调和对比不变的图像变换单调和对比不变的图像变换6.1.1 定义定义前面学过连续模型下图像空间的定义，是一族由前面学过连续模型下图像空间的定义，是一族由R2R的特的特殊函数组成的函数空间，并记为殊函数组成的函数空间，并记为F F 。图像变换。图像变换T是作用在是作用在F F 上的一个算子，即上的一个算子，即T将一副图像将一副图像u变换为另一幅图像变换为另一幅图像Tu。图像水平集之间的变换，是对于图像水平集之间的变换，是对于F F 中所有函数，中所有函数，Y Y表示在表示在F F 所拥有的所有
2、水平集，即所拥有的所有水平集，即 Y Y=c clu;uF F ,l l00,11 这是一个由这是一个由R2的子集组成的集合族。的子集组成的集合族。第2页，共97页，编辑于2022年，星期三对于图像变换对于图像变换T，引进算子，引进算子T作用在作用在Y Y上，它将一个水平上，它将一个水平集集X转换为另一个水平集转换为另一个水平集TX，即，即 T:X Y Y TX Y Y定义定义1：称图像变换：称图像变换T是单调递增的，如果对于任意两两幅是单调递增的，如果对于任意两两幅图像图像u,vF F u v Tu Tv集合算子集合算子T是单调递增的，如果对于任意是单调递增的，如果对于任意X,YY Y X
3、Y T(X)T(Y)第3页，共97页，编辑于2022年，星期三定义定义2：图像变换：图像变换T是对比不变的，如果对每一个连续是对比不变的，如果对每一个连续对比变换对比变换g，对任意的，对任意的uF F，都满足，都满足g(u)F F 和和 g(Tu)=T(g(u)同时满足同时满足单调性和对比不变单调性和对比不变的图像变换被称为的图像变换被称为形态学算形态学算子子。可以证明：线性算子是单调的，但不是对比不变的。可以证明：线性算子是单调的，但不是对比不变的。第4页，共97页，编辑于2022年，星期三例例1：最大值滤波是对比不变的。最大值滤波定义：最大值滤波是对比不变的。最大值滤波定义：其中其中B是包
4、含原点的闭集，是包含原点的闭集，x+B=x+z;zB。假设。假设 ，由于，由于x+B为闭集，为闭集，zx+B，满足，满足u(z)=a，而，而 u(y)u(z),yx+B又因为对比变换又因为对比变换g是单调递增的，所以是单调递增的，所以 g(u(y)g(u(z)=g(a)yx+B第5页，共97页，编辑于2022年，星期三即，对图像即，对图像g(u)满足对比不变定义满足对比不变定义 D(gu(x)=g(a)=g(Du(x)对比不变的图像变换有一特殊性质，即变换的结果使图对比不变的图像变换有一特殊性质，即变换的结果使图像保留了原图像的部分灰度。一副二值图像在经过对比像保留了原图像的部分灰度。一副二值
5、图像在经过对比不变图像变换后还是一副二值图像。但线性滤波器都不不变图像变换后还是一副二值图像。但线性滤波器都不具备这一特性。具备这一特性。下面定理说明了这一性质，记下面定理说明了这一性质，记R(u)为图像为图像u的值域，即的值域，即 R(u)=s0,1,x,u(x)=s 其中其中 Ru是包含是包含R(u)的最小闭集。的最小闭集。第6页，共97页，编辑于2022年，星期三定理定理1：T是一对比不变的图像变换。那么对每一副图像是一对比不变的图像变换。那么对每一副图像u，R(Tu)Ru，特别的，如果图像，特别的，如果图像u只有有限个灰度值，则只有有限个灰度值，则Tu只取其中的部分灰度值。只取其中的部
6、分灰度值。证明证明：考虑一连续单调递增函数：考虑一连续单调递增函数g，满足，满足g(s)=s，当，当 s Ru时。否则，时。否则，g(s)s。定义：。定义：g(s)=s+d(s,Ru)2其中其中d(s,X)表示表示s到到X距离距离 。当且仅当。当且仅当 s Ru时，有时，有 d(s,Ru)=0第7页，共97页，编辑于2022年，星期三因此，因此，当且仅当当且仅当s Ru时，时，g(s)=s，所以，所以 g(u)=u。因为因为T是对比不变的，所以是对比不变的，所以 Tu=T(g(u)=g(Tu)因此因此 (Tu)(x)Ru 。定义定义3：一个图像变换：一个图像变换T是是灰度平移不变灰度平移不变的
7、，如果对任意的的，如果对任意的常数常数C，有，有 T(u+C)=Tu+C如果图像变换如果图像变换T同时具有灰度平移不变性和对比不变性，就同时具有灰度平移不变性和对比不变性，就得到下面的结论。得到下面的结论。第8页，共97页，编辑于2022年，星期三定理定理2：T是一个单调灰度平移不变算子，如果是一个单调灰度平移不变算子，如果u(x)是是R2上上的的Lipschitz函数，那么函数，那么Tu(x)也是也是Lipschitz函数，并且函数，并且Tu(x)的的Lipschitz常数比常数比u(x)的的Lipschitz常数小。常数小。Lipschitz常数常数定义定义：如果函数：如果函数u满足满足|
8、u(x)u(y)|k|x-y|,x,y则则u为为Lipschitz函数，函数，k为为u的的Lipschitz常数。常数。第9页，共97页，编辑于2022年，星期三证明证明：假设假设u的的Lipschitz常数为常数为K。对任意的。对任意的x,y,z有有|u(x+z)-u(y+z)|K|x-y|u(y+z)-K|x-y|u(x+z)u(y+z)+K|x-y|因为因为T单调，考虑上面关于单调，考虑上面关于z的函数，有的函数，有 T(u(y+z)-K|x-y|)Tu(x+z)T(u(y+z)+K|x-y|)注意到取注意到取 z=0,有有 T(u(y+z)=(Tu)(y)，用用T的灰度平移不变性（将的
9、灰度平移不变性（将K|x-y|看做看做C）得）得 Tu(y)-K|x-y|Tu(x)Tu(y)+K|x-y|。|Tu(x)-Tu(y)|K|x-y|第10页，共97页，编辑于2022年，星期三6.1.2 从形态学算子到集合算子从形态学算子到集合算子记集合记集合XW W上的特征函数为上的特征函数为1x，即，即1x也被认为是一个图像函数，即也被认为是一个图像函数，即1xF F 。借助特征函数，可从单调、对比不变的图像变换（形态学算借助特征函数，可从单调、对比不变的图像变换（形态学算子）子）T衍生出一个集合变换衍生出一个集合变换T。第11页，共97页，编辑于2022年，星期三定义定义4：令：令T是一
10、个单调、对比不变的图像变换，定义是一个单调、对比不变的图像变换，定义T的伴的伴随集合算子随集合算子T为为 X W W,1X F F T(X)=c c1 1(T(1X)另外另外 T T(F)(F)=F,F,T(W)(W)=W W如果如果T作为函数是单调的，那么作为函数是单调的，那么T作为集合变换也是单调的。作为集合变换也是单调的。因为因为 X Y 1X 1YT作为单调的图像变换，使单调性得以保持作为单调的图像变换，使单调性得以保持 T(1X)T(1Y)第12页，共97页，编辑于2022年，星期三定理定理3：T是一个对比不变的单调算子。阈值函数是一个对比不变的单调算子。阈值函数g gl(s)定义定
11、义为为,如果如果sl l，则，则 g gl(s)=1；否则；否则g gl(s)=0。那么。那么T几乎处处几乎处处和每一个阈值函数相交换，即和每一个阈值函数相交换，即 g gl(Tu)=T(g gl(u)对对l l,x几乎处处成立。几乎处处成立。证明证明：定义：定义第13页，共97页，编辑于2022年，星期三则则 g gel(s)是对比变换（连续、单调递增的），且是对比变换（连续、单调递增的），且g gel(s)g gl，于是于是同样的方法，用不减函数同样的方法，用不减函数 g g el g gl，可证明，可证明 T(g gl(u)g g-l(Tu)其中，其中，g g-l(s)=1，当，当s l
12、 l 时；时；g g-l(s)=0，当，当 sl l时。时。因此，有因此，有 g gl(Tu)T(g gl(u)g g-l(Tu)第14页，共97页，编辑于2022年，星期三第15页，共97页，编辑于2022年，星期三我们考虑可数因而可忽略的子集我们考虑可数因而可忽略的子集R，所有的，所有的l l 满足满足 meas(x,Tu(x)=l l )0 对于对于l l R，有，有 g g-l(T Tu)=g gl(Tu)几乎处处成立。这样对几几乎处处成立。这样对几乎每一个乎每一个l l，会得到，会得到 T(g gl(u)=g gl(Tu)几乎处处成立。几乎处处成立。第16页，共97页，编辑于2022
13、年，星期三定理定理4：T是定义在图像函数集合是定义在图像函数集合F F 上的单调对比不变算上的单调对比不变算子，子，1xF F。T的伴随集合算子为的伴随集合算子为T，则，则T是单调的，并且是单调的，并且 uF F 有有 T(c clu)=c cl(T(u)*对对l,cl,c几乎处处成立。并且几乎处处成立。并且 Tu(x)=sup l l,xT(c clu)*对对x几乎处处成立。另外，几乎处处成立。另外，T(F)(F)=F F,T(W W)=W W几乎处处成立。几乎处处成立。第17页，共97页，编辑于2022年，星期三*式说明图像变换后的水平集是原图像水平集（并且是同一式说明图像变换后的水平集是
14、原图像水平集（并且是同一个个 l l）在伴随集合算子作用下的结果。）在伴随集合算子作用下的结果。T(F F)=F F 说明当说明当l l=1时，时，*式成立；式成立；T(W W)=W W 说明当说明当l l=0时，时，*式成立。式成立。这里涉及到水平集和最大值表示公式：这里涉及到水平集和最大值表示公式：c cl(u)=xW W;u(x)l l u(x)=sup l;l;x c cl(u)第18页，共97页，编辑于2022年，星期三证明证明：根据：根据T的定义，显然有的定义，显然有 1clu =g gl(u)c c1(g gl(v)=c clv并且并且T和和g gl几乎处处可交换。由定理几乎处处
15、可交换。由定理3，得到：，得到：T(c clu)=c c1(T(1clu )=c c1(T(g gl(u)=c c1(g gl(Tu)=c cl(Tu)对于对于x,l l 0 几乎处处成立。几乎处处成立。由由 T(c clu)=c cl(Tu)知知 T(c clu)是是Tu的水平集。的水平集。那么显然那么显然*式式成立。成立。第19页，共97页，编辑于2022年，星期三令令u是一个常函数是一个常函数0，对于，对于l l 0，有，有c clu=F F。利用利用*式，有式，有 c cl(Tu)=T(c clu)=T(F F)对对 l l 0几乎处处成立。几乎处处成立。而且，由于对比不变算子而且，由
16、于对比不变算子T和常函数和常函数0相交换，因此相交换，因此Tu=0，并且对，并且对 l l 0，c cl(Tu)=F F，则有，则有T(F F)=F F几乎处处成立。几乎处处成立。同理可证同理可证 T(W W)=W W。第20页，共97页，编辑于2022年，星期三定理说明定理说明：如果图像变换：如果图像变换T是单调且对比不变的，那么计是单调且对比不变的，那么计算算Tu可以通过一下算法实现：可以通过一下算法实现：（1）计算）计算u的所有水平集的所有水平集 c cl(u)(l l0,1)；（2）对每一个水平集）对每一个水平集 c cl(u)，用，用T的伴随集合算子的伴随集合算子T作用，作用，得到得
17、到 T(c cl(u)；（3）用最大值表示公式得到）用最大值表示公式得到Tu,整个过程如下。整个过程如下。这种算法适用于这种算法适用于T难以实现，而难以实现，而T容易计算的情况。容易计算的情况。第21页，共97页，编辑于2022年，星期三6.1.3 从集合算子到形态学算子从集合算子到形态学算子考虑，给定一个单调的集合算子考虑，给定一个单调的集合算子T 是否可以得到一个对比是否可以得到一个对比不变的单调图像变换呢？不变的单调图像变换呢？自然的思路就是令自然的思路就是令 Tu(x)=sup l l,xT(c clu)定理定理5：令：令T是一个是一个Y Y Y Y单调算子，满足单调算子，满足 T(F
18、 F)=F F,T(W W)=W W那么，可以定义图像变换那么，可以定义图像变换 Tu(x)=sup l l,xT(c clu)第22页，共97页，编辑于2022年，星期三对于所有的对于所有的l l，满足，满足 c cl(Tu)=T(c cl(u)则对几乎所有的则对几乎所有的 l l R g(Tu)=T(g(u)证明证明：对每一个：对每一个l l，我们有，我们有 c cl(Tu)=T(c cl(u)即对即对R中的所有中的所有l l满足满足meas(R)=0。注意到注意到uv当且仅当当且仅当 c clu c clv，对，对R的一个稠密可数子集合的一个稠密可数子集合上的所有上的所有l l，可得，可
19、得T是单调的是单调的 c cl(Tu)=T(c cl(u)T(c cl(v)=c cl(Tv)Tu Tv 第23页，共97页，编辑于2022年，星期三下面证明，下面证明，T和对比变换相交换。和对比变换相交换。假设假设g是是严格增加严格增加的，设的，设 和和 ，对于，对于 l l g(+)有有c clg(u)=F F，因此，因此，T(c clg(u)=F F；对于；对于 l lg(-)有有 c clg(u)=RN，因此，因此 T(c clg(u)=RN。T(g(u(x)=sup l l,g(-)l lg(-),x T(c clg(u)=sup g(m m),x T(c cgg(u)=sup g(
20、m m),x T(c cmu)=g(Tu(x)第24页，共97页，编辑于2022年，星期三下面验证下面验证T和一般的不减对比变换和一般的不减对比变换g相交换。相交换。严格增加连续函数严格增加连续函数gn和和hn满足满足 gn(s)g(s)，hn(s)g(s)对所有的对所有的s和和gnghn。因此由上面结论有。因此由上面结论有 T(g(u)T(gn(u)=gn(Tu)g(Tu)T(g(u)T(hn(u)=hn(Tu)g(Tu)可以推出可以推出 T(g(u)=g(Tu)。第25页，共97页，编辑于2022年，星期三6.1.4 应用实例：应用实例：“Extrema Killer”算子算子“Extre
21、ma Killer”算子是一个图像光滑算法，作用是去除图算子是一个图像光滑算法，作用是去除图像中的像中的“峰（峰（peak）”孤立的水平集，尤其对椒盐噪声效孤立的水平集，尤其对椒盐噪声效果显著。算法如下：果显著。算法如下：（1）假设一个集合）假设一个集合X有若干连通区域组成有若干连通区域组成定义一个集合变换定义一个集合变换 T b(X)=Xb，而，而（2）Extrema Killer图像变换定义为图像变换定义为 Tbu(x)=sup l l,xTb(c clu)第26页，共97页，编辑于2022年，星期三*式定义了集合算子是式定义了集合算子是Extrema Killer变换的伴随集合算子，变换
22、的伴随集合算子，即即 c cl(Tbu)=T b(c clu)噪声图像噪声图像 killerkiller算子作用后图像算子作用后图像 （改进的（改进的Extrema KillerExtrema Killer）第27页，共97页，编辑于2022年，星期三6.2 平移不变的形态学算子平移不变的形态学算子主要描述平移不变的形态学算子以及它的伴随集合算子，主要描述平移不变的形态学算子以及它的伴随集合算子，也就是平移不变的单调集合算子。也就是平移不变的单调集合算子。记记平移平移为为t tx，且满足，且满足（1）对于集合）对于集合X：t txX=x+X=x+y|yX（2）对于图像）对于图像u：(t tx)
23、u(y)=u(y-x)其中其中x不是一个二维的点，而是表示一个二维向量。不是一个二维的点，而是表示一个二维向量。第28页，共97页，编辑于2022年，星期三定义定义5：集合算子：集合算子T是是平移不变平移不变的，如果的，如果 t tx(T(X)=T(t txX)定义图像变换是平移不变的，如果定义图像变换是平移不变的，如果 t tx(T(u)=T(t txu)定理定理6：（：（Matheron）令）令T是平移不变的单调集合算子，那么是平移不变的单调集合算子，那么存在一个集合族存在一个集合族BB B B =X,0 T(X)其中其中0是是R2中的原点，中的原点，T满足满足其中其中X-y=X+(-y)
24、。相反。相反*式也定义了一个单调、平移不变的式也定义了一个单调、平移不变的集合算子。集合算子。第29页，共97页，编辑于2022年，星期三证明证明：先看：先看*式等价于式等价于利用单调性和平移不变性，得下面的等价关系利用单调性和平移不变性，得下面的等价关系第30页，共97页，编辑于2022年，星期三第五个等价性质成立理由是：第五个等价性质成立理由是：如果如果 BX，并且，并且BBB那么那么XBB ，因为，因为BBB ，即，即 B,0T(B)又因为又因为BX，则有，则有 X,0T(X)XBB就有就有 。相反的，如果算子通过相反的，如果算子通过*式定义，显然是单调和对比不变式定义，显然是单调和对比
25、不变的。的。第31页，共97页，编辑于2022年，星期三定理定理7 7：F F 是图像函数空间，是图像函数空间，Y Y是是 F F 中所有水平集的集中所有水平集的集合。假设对比不变下是稳定的，并且包含了合。假设对比不变下是稳定的，并且包含了T中所有元素中所有元素的特征函数。令的特征函数。令T是是T的伴随集合算子。如果的伴随集合算子。如果xR2，集合族集合族B B x=X,xT(X)那么那么uF F 有：有：对对x几乎处处成立。其中几乎处处成立。其中B B =B B 0 X,0T(X)另外，如果另外，如果T是位移不变算子，则是位移不变算子，则相反的，如果一个算子通过以上的公式定义，则该算子是相反
26、的，如果一个算子通过以上的公式定义，则该算子是单调和对比不变的。单调和对比不变的。第32页，共97页，编辑于2022年，星期三证明证明：令：令 其中其中B B x=X,xT(X)x以下证明以下证明 Tu(x)=Tu(x)几乎处处相等。几乎处处相等。选择一个可数的稠密选择一个可数的稠密y y0,1，满足，满足l ly y,c clTu(x)=T(c clu)(x)对对xRNNl成立。（对比下稳定成立。（对比下稳定定理定理4）这里这里Nl的的Lebesge测度为测度为0。设。设N=Nl，则，则N的的Lebesge测测度也为度也为0。第33页，共97页，编辑于2022年，星期三为证明定理，先证明对所
27、有的为证明定理，先证明对所有的l ly y和所有的和所有的 xRNNl，有，有：（即处处相等了）：（即处处相等了）Tu(x)l l Tu(x)l l 对任意对任意 l,ml,my y，我们有：，我们有：第34页，共97页，编辑于2022年，星期三第五个等价关系：因为如果第五个等价关系：因为如果BBB 并且并且BB B x则则 XB B x。B,0T(B)、B,xT(B)因为因为BX则有则有 X,0T(X)、X,xT(X)=BB x那么，如果某些那么，如果某些BBB x,那么一定有那么一定有Bc cmu ，就也有，就也有 c cmuBB x，于是证明了提出的命题。于是证明了提出的命题。第35页，
28、共97页，编辑于2022年，星期三布尔代数（布尔代数（Boolean Algebra）中有个著名的结论：）中有个著名的结论：如果如果T是一个是一个sup inf形式的算子，那么形式的算子，那么T也具有也具有inf sup的形式，即的形式，即此时的此时的BB 与与sup inf形式中的形式中的BB 是不同的。是不同的。第36页，共97页，编辑于2022年，星期三定理定理8 8：如果：如果T是平移不变的形态学算子，那么它的伴随算是平移不变的形态学算子，那么它的伴随算子集合子集合T可以通过一下公式来定义，可以通过一下公式来定义，证明证明：T满足定理满足定理7，并且可以延拓到，并且可以延拓到F F 中
29、函数的所有水中函数的所有水平集。很容易由定理平集。很容易由定理7推出定理推出定理6的结果。的结果。对于对于X的特征函数的特征函数1x，则，则 ,当当x+B X ,当当x+B X于是，于是，当且仅当当且仅当BBB 满足满足 x+BX和定理和定理6。第37页，共97页，编辑于2022年，星期三6.3 形态学算子：膨胀和腐蚀算子形态学算子：膨胀和腐蚀算子6.3.1 定义定义定义定义6：X是是R2中一子集，中一子集，t0是一尺度参数。称是一尺度参数。称Dt是基于一是基于一个集合个集合B和尺度参数和尺度参数t的的膨胀膨胀，如果，如果其中集合其中集合B称为称为结构元素结构元素。同样，。同样，Et表示结构元
30、素表示结构元素B的尺度的尺度参数参数t的的腐蚀腐蚀公式说明公式说明Dt和和Et是平移不变的单调集合算子，满足定理是平移不变的单调集合算子，满足定理6，此，此时时B B 中只含有一个元素中只含有一个元素tB。第38页，共97页，编辑于2022年，星期三例例2：（1）如果结构元素）如果结构元素B=x0是仅仅包含一个点的集合，是仅仅包含一个点的集合，那么那么DtX=X+tx0是一个平移算子。相应的，是一个平移算子。相应的，EtX=X-tx0也是一个平移算子。也是一个平移算子。（2）如果结构元素）如果结构元素B是一个圆心在原点半径为是一个圆心在原点半径为1的开球的开球D(0,1)，那么，那么DtX就是
31、就是X的的t-领域，即与领域，即与X的距离小于的距离小于t的所有点的集合。的所有点的集合。(3)令令B=D(0,1)，则，则第39页，共97页，编辑于2022年，星期三定理定理9：（1）Dt(Xc)=(EtX)c其中其中Xc=R2/X；（2）如果结构元素为）如果结构元素为D(0,1)，那么，那么Dt，Et是旋转不变的，是旋转不变的，即它们和旋转运算可以交换；即它们和旋转运算可以交换；（3）Ds+t=DsDt（Es+t=EsEt），当且仅当结构元素），当且仅当结构元素B是凸是凸的。的。证明证明：（：（1）第40页，共97页，编辑于2022年，星期三（3）首先证明）首先证明 任取任取B,(t+s)
32、B=tB+sB当且仅当当且仅当B是凸的。是凸的。因为因为tB+sB=sx+ty|x,yB，所以，所以ztB+sB,x,yB，满足，满足而而(s+t)x和和(s+t)y都属于都属于(s+t)B，又因为，又因为B是凸的，所以是凸的，所以(t+s)B=tB+sB。反过来，如果。反过来，如果(t+s)B=tB+sB成立，那么对成立，那么对于任意的于任意的x,yB,存在存在zB，满足，满足(s+t)z=sx+ty，也就是，也就是所以所以B是凸的。是凸的。第41页，共97页，编辑于2022年，星期三注意到注意到 DtDsX=(X+sB)+tB=X+sB+tB Ds+tX=X+(s+t)B根据上面的结论，根
33、据上面的结论，Ds+t=DsDt成立当且仅当它们的结构成立当且仅当它们的结构元素元素B是凸的。是凸的。同样的结论也适用于腐蚀算子。同样的结论也适用于腐蚀算子。第42页，共97页，编辑于2022年，星期三定义定义7：u是一副图像，称是一副图像，称Dt是基于结构元素是基于结构元素B和尺度参数和尺度参数t的膨胀变换，如果的膨胀变换，如果类似，基于结构元素类似，基于结构元素B和尺度参数和尺度参数t的腐蚀算子的腐蚀算子Et被定义为被定义为上面的定义说明上面的定义说明Dtu(x)具有具有inf sup的形式，即的形式，即而而B B 只含有只含有tB一个元素，所以一个元素，所以Dt是一个平移不变的形态是一个
34、平移不变的形态学算子，学算子，Et亦然。亦然。第43页，共97页，编辑于2022年，星期三定理定理10：对于图像的膨胀和腐蚀算子，如果：对于图像的膨胀和腐蚀算子，如果B是关于是关于0对称对称的，那么的，那么 -Et(-u)=Dt(u)证明证明：第三个等号是由于第三个等号是由于B的对称性。的对称性。第44页，共97页，编辑于2022年，星期三原图原图 对黑色的膨胀（对背景色的腐蚀）对黑色的膨胀（对背景色的腐蚀）结构元素是圆盘结构元素是圆盘 第45页，共97页，编辑于2022年，星期三I=imread(star.bmp);subplot(1,2,1),imshow(I);J=I;w,h=size(
35、I);r=10;for i=r+1:w-r for j=r+1:h-r min=256;for x=-r:r for y=-r:r if sqrt(x*x+y*y)r&I(i+x,j+y)min min=I(i+x,j+y);end end end J(i,j)=min;endendsubplot(1,2,2),imshow(J);第46页，共97页，编辑于2022年，星期三I=imread(star.bmp);subplot(1,2,1),imshow(I);J=I;w,h=size(I);r=10;for i=r+1:w-r for j=r+1:h-r max=0;for x=-r:r f
36、or y=-r:r if sqrt(x*x+y*y)max max=I(i+x,j+y);end end end J(i,j)=max;endendsubplot(1,2,2),imshow(J);第47页，共97页，编辑于2022年，星期三 原图原图膨胀膨胀腐蚀腐蚀第48页，共97页，编辑于2022年，星期三I=imread(girl.bmp);subplot(1,3,1),imshow(I);se=strel(disk,4);D=imdilate(I,se);subplot(1,3,2),imshow(D);E=imerode(I,se);subplot(1,3,3),imshow(E);
37、第49页，共97页，编辑于2022年，星期三从前面膨胀和腐蚀的结果图像可以看出，单独的膨胀和从前面膨胀和腐蚀的结果图像可以看出，单独的膨胀和腐蚀都不可能成为一个好的滤波器，因为膨胀是图像变腐蚀都不可能成为一个好的滤波器，因为膨胀是图像变亮，从而增加了许多白色区域（腐蚀增加了黑色区域）。亮，从而增加了许多白色区域（腐蚀增加了黑色区域）。但经过一些组合可以产生很好的滤波效果。但经过一些组合可以产生很好的滤波效果。开运算开运算：先对图像进行：先对图像进行腐蚀腐蚀然后再然后再膨胀膨胀；闭运算闭运算：先对图像进行：先对图像进行膨胀膨胀然后再然后再腐蚀腐蚀。例如：例如：T =Dt。Et。Et。Dt T=E
38、t。Dt。Dt。Et第50页，共97页，编辑于2022年，星期三原图原图 腐蚀腐蚀 膨胀、腐蚀膨胀、腐蚀膨胀、膨胀、腐蚀膨胀、膨胀、腐蚀 腐蚀、膨胀、膨胀、腐蚀腐蚀、膨胀、膨胀、腐蚀第51页，共97页，编辑于2022年，星期三原图原图膨胀膨胀 腐蚀、膨胀腐蚀、膨胀腐蚀、腐蚀、膨胀腐蚀、腐蚀、膨胀 膨胀、腐蚀、腐蚀、膨胀膨胀、腐蚀、腐蚀、膨胀第52页，共97页，编辑于2022年，星期三集合的膨胀和腐蚀算子与图像的膨胀和腐蚀变换存在以下关集合的膨胀和腐蚀算子与图像的膨胀和腐蚀变换存在以下关系：系：（1）令图像膨胀变换的结构元素为）令图像膨胀变换的结构元素为-tb，bB，（2）令集合膨胀算子的结构元
39、素为）令集合膨胀算子的结构元素为B，由于此时由于此时 Dt(c clu)=c cl(Dtu)所以，上述的集合膨胀算子是图像膨胀变换的伴随集合算所以，上述的集合膨胀算子是图像膨胀变换的伴随集合算子。子。第53页，共97页，编辑于2022年，星期三所以有：所以有：Dt(c clu)=c cl(Dtu)第54页，共97页，编辑于2022年，星期三6.3.2 偏微分方程和膨胀（腐蚀）算子偏微分方程和膨胀（腐蚀）算子 记记 其中其中 表示内积，当表示内积，当B=D(0,1)时，时，|B就是就是Euchlid范数。范数。定定理理11：（Lax formula）如如果果u(t,x)=Dtu0(x)，并并且且
40、结结构构元元素素B是凸的，那么是凸的，那么u(t,x)满足满足 ut=|Du|-B其其中中u对对x两两次次可可微微。对对应应的的，如如果果u(t,x)=Etu0(x)，那那么么u(t,x)满足满足 ut=-|Du|-B其中其中u对对x两次可微。两次可微。第55页，共97页，编辑于2022年，星期三证明证明：先看在：先看在t=0时的性质。假设时的性质。假设u0在在x处是处是C2的，已知的，已知 u(t,x)=Dtu0(x)，u(0,x)=u0(x)所以所以既然既然u0在在x处是可微的，那么处是可微的，那么两边同除以两边同除以h，并令，并令h0，得到，得到（t=0时成立）时成立）第56页，共97页
41、，编辑于2022年，星期三下证对于任意尺度下证对于任意尺度t时具有同样的关系：时具有同样的关系：由于由于B是凸的，因此是凸的，因此Dt+h=DtDh=DhDt，所以，所以 u(t+h,x)-u(t,x)=Dh(u(t)(x)-u(t)(x)两边同除以两边同除以h，并令，并令h0，由上面的结果且用，由上面的结果且用u(t)代替代替u0，就得到一般的结果。就得到一般的结果。6.3.3 膨胀和腐蚀算子的离散算法膨胀和腐蚀算子的离散算法膨胀与腐蚀算子具有类似的性质，下面只给出膨胀算子的伪膨胀与腐蚀算子具有类似的性质，下面只给出膨胀算子的伪代码。代码。已知图像已知图像u的分辨率为的分辨率为mn，ui,j
42、（i=1,m,j=1n）表示）表示在在i,j处的灰度值，取结构元素为处的灰度值，取结构元素为B，t为参数，为参数，Vi,j表示运表示运算的结果：算的结果：第57页，共97页，编辑于2022年，星期三Dilation(u,B,t)Dilation(u,B,t)FOR x0=1 to mFOR x0=1 to m FOR y0=1 to n FOR y0=1 to n FOREACH(tB FOREACH(tB中的像素点中的像素点p)p)得到得到p p的坐标的坐标(px,py)(px,py)将将ux0+px,y0+pyux0+px,y0+py的灰度值存入数组的灰度值存入数组arrayarray中中
43、 求求arrayarray中的最大值中的最大值max_arraymax_array 令令Vx0,y0=max_arrayVx0,y0=max_array END FOREACH END FOREACH END ENDENDEND第58页，共97页，编辑于2022年，星期三6.4 形态学算子：中值算子形态学算子：中值算子6.4.1 定义定义首先假设图像首先假设图像u的所有水平集都是的所有水平集都是Lebesgue可测的。权函数可测的。权函数k(y)满足满足集合集合B的的k-测度为测度为定义定义8：令：令X是是R2的一个可测子集，的一个可测子集，k是权函数。称是权函数。称X的的中值中值集集（k加权
44、）并用加权）并用medkX来表为来表为 medkX=x,|X-x|k1/2 第59页，共97页，编辑于2022年，星期三定理定理12：算子：算子 medk:Y YY Y是单调的算子并且满足集合连续性是单调的算子并且满足集合连续性质，即，如果质，即，如果(Xl)lR是一个递减的可测集合，并且满足是一个递减的可测集合，并且满足 Xl=mlXm,l lR那么那么 medk(Xl)=mlmedk(Xm)证明证明：由：由medk的定义知其是单调的，的定义知其是单调的，XY X-xY-x 所以所以 medk(Xl)mlmedk(Xm)反过来，令反过来，令 x mlmedk(Xm)第60页，共97页，编辑于
45、2022年，星期三由由medk的定义可得的定义可得 m m,|Xm -x|k 1212因为因为Xm是一个单调减的集合序列，同时具有有限的测度，根是一个单调减的集合序列，同时具有有限的测度，根据实变函数中的据实变函数中的Lebesgue极限收敛定理极限收敛定理|Xm -x|k|Xl -x|k并且并且|Xl -x|k1/2，再由，再由medk的定义，有的定义，有xmedkXl即即 medk(Xl)ml medk(Xm)第61页，共97页，编辑于2022年，星期三其中其中 可测，且可测，且其中其中 可测，且可测，且则有则有若若第62页，共97页，编辑于2022年，星期三定义定义9：图像的加权中值滤波
46、器基于一个结构元素：图像的加权中值滤波器基于一个结构元素B，其定，其定义为义为显然，显然，medk(u)是个是个sup inf型的，是一个平移不变的形态学型的，是一个平移不变的形态学算子。算子。如果在记号上不区分图像中值滤波器和集合中值算子，都如果在记号上不区分图像中值滤波器和集合中值算子，都记为记为medk。medk作为一个单调的集合算子，可以用最大值表作为一个单调的集合算子，可以用最大值表现公式扩展到一个图像的变换现公式扩展到一个图像的变换T（定理（定理4）Tu(x)=sup u(x)|xmedk(X)同时满足同时满足 c cl(Tu)=medk(c clu)第63页，共97页，编辑于20
47、22年，星期三由于由于medk作为一个单调、平移不变的集合算子，所以作为一个单调、平移不变的集合算子，所以T是一个是一个单调的、对比不变的变换，根据定理单调的、对比不变的变换，根据定理7其中其中B B =B,0medk(B)。所以有：。所以有：定理定理13：medk是图像加权中值滤波器的伴随集合算子。是图像加权中值滤波器的伴随集合算子。6.4.2 中值算子的离散算法中值算子的离散算法已知图像已知图像u的分辨率为的分辨率为mn，ui,j（i=1,m,j=1n）表示在）表示在i,j处的灰度值，取结构元素为处的灰度值，取结构元素为B，t为参数，为参数，Vi,j表示运算的表示运算的结果：结果：第64页
48、，共97页，编辑于2022年，星期三Median(u,B,t)Median(u,B,t)NB=NB=结构元素结构元素B B的像素数目的像素数目FOR x0=1 to mFOR x0=1 to m FOR y0=1 to n FOR y0=1 to n FOREACH(B FOREACH(B中的像素点中的像素点p)p)得到得到p p的坐标的坐标(px,py)(px,py)将将ux0+px,y0+pyux0+px,y0+py的灰度值存入数组的灰度值存入数组arrayarray中中 对对arrayarray进行排序，排在第（进行排序，排在第（NB/2+1NB/2+1）的值）的值med_arrayme
49、d_array 令令vx0,y0=med_arrayvx0,y0=med_array END FOREACH END FOREACH END ENDENDEND第65页，共97页，编辑于2022年，星期三噪声图像及噪声图像及3232：3232：224224水平线水平线中值滤波后图像及中值滤波后图像及3232：3232：224224水平线水平线第66页，共97页，编辑于2022年，星期三MatlabMatlab源码源码：Image=imread(lena.bmp);subplot(2,3,1),imshow(Image);I=imnoise(Image,salt&pepper,0.05);sub
50、plot(2,3,2),imshow(I);L_s_I=Level_Set_Line(I,32,32,256);subplot(2,3,3),imshow(uint8(L_s_I);M=medfilt2(I,3,3);subplot(2,3,5),imshow(M);L_s=Level_Set_Line(M,32,32,256);subplot(2,3,6),imshow(uint8(L_s);第67页，共97页，编辑于2022年，星期三6.5 欧氏不变的形态学算子欧氏不变的形态学算子6.5.1 定义和微分性质定义和微分性质 记记 Ha=Tx1+ax22(0)其中其中Tx1+ax22表示表示T