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1、1 三角函数题解1.（2003 上海春，15）把曲线 ycosx+2y1=0 先沿 x 轴向右平移2个单位，再沿y 轴向下平移 1 个单位，得到的曲线方程是（）A.（1y）sinx+2y3=0 B.（y1）sinx+2y3=0 C.（y+1）sinx+2y+1=0 D.(y+1)sinx+2y+1=0 1.答案：C 解析：将原方程整理为：y=xcos21，因为要将原曲线向右、向下分别移动2个单位和 1 个单位，因此可得y=)2cos(21x1 为所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y+1
2、）cos（x2）+2（y+1）1=0，即得 C 选项.2.（2002 春北京、安徽，5）若角 满足条件sin20，cos sin0，则在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.答案：B 解析：sin22sincos0 sincos0 即 sin 与 cos 异号，在二、四象限，又 cossin0 cossin由图 45，满足题意的角应在第二象限3.（2002 上海春，14）在 ABC中，若 2cosBsinA sinC，则 ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形3.答案：C 解析：2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又 2s
3、inAcosBsinC，sin（AB）0，A B4.（2002 京皖春文，9）函数 y=2sinx的单调增区间是（）A.2k2，2k2（kZ）B.2k2，2k23（kZ）C.2k，2k（kZ）D.2k，2k （kZ）图 45 2 4.答案：A 解析：函数y=2x为增函数，因此求函数y=2sinx的单调增区间即求函数y=sinx 的单调增区间.5.（2002 全国文 5，理 4）在（0，2）内，使 sinxcosx 成立的 x 取值范围为（）A.（4，2）（，45）B.（4，）C.（4，45）D.（4，）（45，23）5.答案：C 解法一：作出在（0，2）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的
4、横坐标4和45，由图 4 6 可得 C 答案.图 46 图 47 解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图 47）6.（2002 北京，11）已知f（x）是定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图41所示，那么不等式f（x）cosx0 的解集是（）A.（0，1）（2，3）B.（1，2）（2，3）C.（0，1）（2，3）D.（0，1）（1，3）6.答案：C 图 41 3 解析：解不等式f（x）cosx0300cos0)(300cos0)(xxxfxxxf或1010231xxxx或0 x 1 或2x3 7.（2002 北京理，3）下列四个函数中，以为最小正周期
5、，且在区间（2，）上为减函数的是（）A.y=cos2xB.y 2|sin x|C.y(31)cosx D.y=cotx7.答案：B 解析：A 项：y=cos2x=22cos1x，x=，但在区间（2，）上为增函数.B 项：作其图象48，由图象可得T=且在区间（2，）上为减函数.C 项：函数 y=cosx 在(2，)区间上为减函数,数 y=（31）x为减函数.因此 y=（31）cosx在（2，）区间上为增函数.D 项：函数 y cotx 在区间（2，）上为增函数.8.（2002 上海，15）函数 y=x+sin|x|，x，的大致图象是（）8.答案：C 解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|
6、，x，为非奇非偶函数.图 48 4 选项 A、D 为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数.9.（2001 春季北京、安徽，8）若 A、B是锐角 ABC的两个内角，则点P（cosBsinA，sinBcosA）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.答案：B 解析：A、B 是锐角三角形的两个内角，A B90，B90 A，cosBsinA，sinBcosA，故选 B.10.（2001 全国文，1）tan300+cot405的值是（）A.13B.13C.13D.1310.答案：B 解析：tan300 cot405 tan(360 60)cot(360 45)tan60 cot45 1
7、3.11.（2000 全国，4）已知 sinsin，那么下列命题成立的是（）A.若、是第一象限角，则coscosB.若、是第二象限角，则tantanC.若、是第三象限角，则coscosD.若、是第四象限角，则tantan11.答案：D 解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反，所以可排除A、C，在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反，所以排除B.只有在第四象限内，正弦函数与正切函数的增减性相同.12.（2000 全国，5）函数 y xcosx 的部分图象是（）12.答案：D 解析：因为函数y xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x（0，2）时，y
8、xcosx0.13.（1999 全国，4）函数 f（x）=Msin（x）（0），在区间 a，b上是增函数，且 f（a）=M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（x）在 a，b上（）A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值D.可以取得最小值m5 13.答案：C 解法一：由已知得M0，22kx22k（kZ），故有g（x）在a，b上不是增函数，也不是减函数，且当x2k时 g（x）可取到最大值M，答案为 C.解法二：由题意知，可令 1，0，区间 a，b为2，2，M1，则g（x）为 cosx，由基本余弦函数的性质得答案为C.评述：本题主要考查函数y=Asin（x）的性质，兼考分析思维能力.要求对基
9、本函数的性质能熟练运用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题.14.（1999 全国，11）若 sin tancot（22)，则（）A.（2，4）B.（4，0）C.（0，4）D.（4，2）14.答案：B 解法一：取 3，6代入求出sin、tan、cot之值，易知 6适合，又只有6（4，0），故答案为B.解法二：先由 sintan得：（2，0），再由 tan cot得:（4，0）评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系，1995 年、1997 年曾出现此类题型，运用特殊值法求解较好.15.（1999 全国文、理，5）若 f（x）sinx 是周期为 的奇函数，则f（x）可以是（）
10、A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x15.答案：B 解析：取 f（x）=cosx，则 f（x）2 sinx=21sin2x 为奇函数，且T=.评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式.16.（1998 全国，6）已知点P（sincos，tan）在第一象限，则在0，2内的取值范围是（）6 A.（2，43）（，45）B.（4，2）（，45）C.（2，43）（45，23）D.（4，2）（43，）16.答案：B 解法一：P（sin cos，tan）在第一象限，有tan0，A、C、D 中都存在使tan 0 的，故答案为B.解法二：取3（2,4），验证知 P在第一象限，排除 A、C，取
11、65（43，），则 P点不在第一象限，排除D,选 B.解法三：画出单位圆如图410 使 sin cos0 是图中阴影部分，又 tan0 可得24或45，故选 B.评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用，突出考查了转化思想和转化方法的选择，采用排除法不失为一个好办法.17.（1997 全国，3）函数 y=tan（3121x）在一个周期内的图象是（）17.答案：A 解析：y tan（3121x）tan21（x32），显然函数周期为T2，且 x32时，y=0，故选 A.评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键.18.（1996 全国）若sin2xcos2x，则
12、 x 的取值范围是（）A.x|2 k43x2k+4，k Z 7 B.x|2 k+4x2k+45，kZ C.x|k4xk+4，kZ D.x|k+4xk+43，kZ 18.答案：D 解析一：由已知可得cos2x=cos2xsin2x0，所以 2k+22x2k+23，kZ.解得 k+4xk+43，kZ（注：此题也可用降幂公式转化为cos2xcos2x 得 sin2x1sin2x，sin2x21.因此有 sinx22或 sinx22.由正弦函数的图象（或单位圆）得2k+4x2k+43或 2k+45x2k+47（kZ），2k+45 x2k+47可写作（2k+1）+4x（2k+1）+43，2k 为偶数，2
13、k+1 为奇数，不等式的解可以写作n+4xcot2B.tan2cos2D.sin2cos223.答案：A 解法一：因为为第二象限角，则2k2 2k（kZ），即2为第一象限角或第三象限角，从单位圆看是靠近轴的部分如图413，所以 tan2cot2.解法二：由已知得：2k22k，k 42k2，k 为奇数时，2n4522n23（n Z）；k 为偶数时，2n422n2（nZ），都有tan2cot2，选 A.评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念，高于课本.24.（2002 上海春，9）若 f（x）=2sinx（01)在区间0，3上的最大值是2，则.24.答案：43解析：01 T22f（x）在 0
14、，3区间上为单调递增函数f（x）maxf（3）即 2sin23又 01 解得 4325.（2002 北京文，13）sin52，cos56，tan57从小到大的顺序是.25.答案：cos56 sin52tan57解析：cos560，tan57 tan520 x2时，tanxxsinx0 图 413 11 tan52sin520 tan57sin52cos5626.（1997 全国，18）8sin15sin7cos8sin15cos7sin的值为 _.26.答案：23解析：8cos15cos8cos15sin8sin15sin)815cos(8sin15cos)815sin(8sin15sin7c
15、os8sin15cos7sin3230sin30cos115tan.评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点.27.（1996 全国，18）tan20+tan40+3tan202 tan40的值是 _.27.答案：3解析：tan60=40tan20tan140tan20tan，tan20+tan40=33tan20tan40，tan20+tan40+3tan20tan40=3.28.（1995 全国理，18）函数 ysin（x6）cosx 的最小值是.28.答案：43解析：y sin（x6）cosx21sin（2x6）sin621sin（2x6）21当 sin（2
16、x6）1 时，函数有最小值，y最小21（121）43.评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）.29.（1995 上海，17）函数 ysin2x cos2x在（2，2）内的递增区间是.12 29.答案：2,23解析：ysin2x cos2x2sin（42x），当2k22x42k2（kZ）时，函数递增，此时 4k23x4k2（kZ），只有 k 0 时，23，2（2，2）.30.（1994 全国，18）已知 sin cos51，（0，），则 cot的值是.30.答案：43解法一：设法求出sin 和 cos，cot便可求了，为此先求出sin cos的值.将已知等式两边平方得12sinc
17、os251变形得 12sincos2251，即（sincos）22549又 sin cos51，（0，）则243，如图 414 所以 sincos57，于是sin54，cos53，cot43.解法二：将已知等式平方变形得sin2 cos2512，又（0，），有 cos0sin，且 cos、sin是二次方程x251x25120 的两个根，故有cos53，图 414 13 sin54，得 cot43.评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力，方法较灵活.31.（2000 全国理，17）已知函数y21cos2x23sinxcosx1，xR.（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集
18、合；（2）该函数的图象可由ysinx（xR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?31.解：（1）y21cos2x23sinxcosx1 41（2cos2x1）4143（2sinxcosx）1 41cos2x43sin2x4521（cos2x2 sin6sin2x2 cos6）4521sin（2x6）45y 取得最大值必须且只需2x622k，kZ，即 x6k，kZ.所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为 x|x6k，k Z.（2）将函数ysinx 依次进行如下变换：把函数 ysinx 的图象向左平移6，得到函数y sin（x6）的图象；把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不
19、变），得到函数ysin（2x6）的图象；14 把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数y21sin（2x6）的图象；把得到的图象向上平移45个单位长度，得到函数y21sin（2x6）45的图象；综上得到函数y21cos2x23sinxcosx 1 的图象.评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.32.（2000 全国文，17）已知函数y3sinxcosx，xR.（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y sinx（xR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?32.解：（1）y3sinxcos
20、x 2（sinxcos6cosxsin6）2sin（x6），xRy 取得最大值必须且只需x622k，kZ，即 x32k，kZ.所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为 x|x32k，kZ（2）变换的步骤是：把函数 ysinx 的图象向左平移6，得到函数y sin（x6）的图象；令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2 倍，得到函数y2sin（x6）的图象；经过这样的变换就得到函数y3sinxcosx 的图象.评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.15 33.（1995 全国理，22）求 sin220 cos250 sin20co
21、s50的值.33.解：原式21（1cos40）21（1cos100）21（sin70 sin30）121（cos100 cos40）21sin704143sin70sin3021sin704321sin7021sin7043.评述：本题考查三角恒等式和运算能力.34.（1994 上海，21）已知 sin 53，（2，），tan（）21，求 tan（2）的值.34.解：由题设sin 53，（2，），可知 cos54，tan43又因 tan（）21，tan21，所以 tan234tan1tan22tan（2）2471134432tantan12tantan35.（1994 全国理，22）已知函数f
22、（x）=tanx，x（0，2），若 x1、x2（0，2），且 x1x2，证明21f（x1）f（x2）f（221xx）.35.证明：tanx1tanx22121212211coscossincoscossincossincossinxxxxxxxxxx2121coscos)sin(xxxx)cos()cos()sin(2212121xxxxxx16 因为 x1，x2（0，2），x1x2，所以 2sin（x1x2）0，cosx1cosx20，且 0cos（x1x2）1，从而有 0cos（x1x2）cos（x1 x2）1cos（x1x2），由此得 tanx1tanx2)cos(1)sin(22121
23、xxxx，所以21（tanx1tanx2）tan221xx即21f（x1）f（x2）f（221xx）.36.已知函数12()log(sincos)f xxx求它的定义域和值域；求它的单调区间；判断它的奇偶性；判断它的周期性.解（1）x 必须满足sinx-cosx0，利用单位圆中的三角函数线及52244kxk，kZ函 数 定 义 域 为)45k2,4k2(，k Z sincos2sin()4xxx 当x 5(2,2)44kk时，0sin()14x0 sincos2xx121log22y 函数值域为,21）（3）()f x定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,()f x不具备奇偶性（4）f(x+2
24、)=f(x)函数 f(x)最小正周期为2注；利用单位圆中的三角函数线可知，以、象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx 的符号；以、象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx 的符号37.求函数 f(x)=121log cos()34x的单调递增区间解：f(x)=121log cos()34x令431xt,y=tcoslog21,t 是 x 的增函数,又 0210,2k t2k+2(kZ),2k 431x2k+2(kZ),6k-43x6k+43(k Z),f(x)=)431cos(log21x的单调递减区间是17 6k-43,6k+43)(k Z)38.已知 f(x)=5sinxcosx-35cos2x+325（xR）求 f(x)的最小正周期；求 f(x)单调区间；求 f(x)图象的对称轴，对称中心。解：（1）T=（2）增区间 k-12，k+125，减区间 k+1211k,125（3）对称中心（62k，0），对称轴1252kx，k Z 39 若关于 x 的方程 2cos2(+x)sinx+a=0 有实根，求实数a 的取值范围。解：原 方 程 变 形 为：2cos2xsinx+a=0 即2 2sin2xsinx+a=0,817)41(sin22sinsin222xxxa,1sinx1,81741sinminax时，当；11sinmaxax时，当,a 的取值范围是 1,817