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1、1 相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）ABCDE（平行）CBADE（不平行）（二）8 字型、反8 字型JOADBCABCD（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型ABCDCAD2（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：CAD3 二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由 A字型旋转得到。8 字型拓展CBEDA共享性GABCEF一线三等角的变形一线三直角的变形4 第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例 1：如图，梯形ABCD 中，ADBC，对角线 AC、
2、BD 交于点 O，BECD 交 CA 延长线于E求证：OEOAOC2例 2：已知：如图，ABC 中，点 E 在中线 AD 上,ABCDEB求证：（1）DADEDB2；（2）DACDCEA C D E B 5 例 3：已知：如图，等腰ABC 中，ABAC，ADBC 于 D，CGAB，BG 分别交 AD、AC 于 E、F求证：EGEFBE2相关练习：1、如图，已知AD 为 ABC 的角平分线，EF 为 AD 的垂直平分线求证：FCFBFD22、已知：AD是 RtABC中 A的平分线，C=90，EF是 AD的垂直平分线交AD于 M，EF、BC的延长线交于一点N。求证：(1)AME NMD;(2)ND
3、2=NC NB 6 3、已知：如图，在ABC中，ACB=90，CD AB于 D，E是 AC上一点，CFBE于 F。求证：EB DF=AE DB 4.在ABC中，AB=AC，高 AD 与BE交于 H，EF BC，垂足为 F，延长 AD 到G，使 DG=EF，M 是AH 的中点。求证：GBM90GMFEHDCBA7 5（本题满分14 分，第（1）小题满分4 分，第（2）、（3）小题满分各5 分）已知：如图，在RtABC中，C=90，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PDAB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且EPD=A设A、P两点的距离为x，BEP的面积为
4、y（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BEP与ABC相似时，求BEP的面积A C B P D E（第 25 题图）8 双垂型1、如图，在ABC中，A=60，BD、CE分别是 AC、AB上的高求证：（1）ABD ACE；（2）ADE ABC；(3)BC=2ED 2、如图，已知锐角ABC，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，ABC 和 BDE 的面积分别是27 和 3，DE=62，求：点B 到直线 AC 的距离。EDABCDEABC9 共享型相似三角形1、ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,DAE=120，已知 BD=1，CE=3，,
5、求等边三角形的边长.ABCDE2、已知：如图，在RtABC 中，AB=AC，DAE=45 求证：（1）ABEACD；（2）CDBEBC22EDCAB10 一线三等角型相似三角形例 1：如图，等边ABC 中，边长为6，D 是 BC 上动点，EDF=60（1）求证：BDE CFD（2）当 BD=1，FC=3 时，求 BE例 2：（1）在ABC中，5ACAB，8BC，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持ABCAPQ.若点P在线段CB上（如图），且6BP，求线段CQ的长；若xBP，yCQ，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD的边长为5（如下图）
6、，点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持90APQ.当1CQ时，求出线段BP的长.A B C 备用图A B C D C A D B E F A B C D A B C P Q A B C 备用图A B C D 11 例 3：已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD 5，ABDC2（1）如图 8，P为AD上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC求AP的长（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当
7、CE1 时，写出AP的长CBADCBADC D A B P 12 例 4：如图，在梯形ABCD中，ADBC，6ABCDBC，3AD点M为边BC的中点，以M为顶点作EMFB，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF（1）求证：MEFBEM；（2）若BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EFCD，求BE的长13 相关练习：1、如图，在ABC 中，8ACAB，10BC，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且CADE(1)求证：ABD DCE；(2)如果xBD，yAE，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域；(3)当点D是BC的中点时，试说明ADE 是什么三角形
8、，并说明理由2、如图，已知在ABC 中，AB=AC=6，BC=5，D 是 AB 上一点，BD=2，E 是 BC 上一动点，联结DE，并作DEFB，射线 EF 交线段 AC 于 F（1）求证：DBE ECF；（2）当 F 是线段 AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结 DF，如果 DEF 与 DBE 相似，求FC 的长FBACDEA B C D E 14 3、已知在梯形ABCD 中，AD BC，ADBC，且 BC=6，AB=DC=4，点 E 是 AB 的中点（1）如图，P 为 BC 上的一点，且BP=2求证：BEP CPD；（2）如果点 P 在 BC 边上移动（点P 与点 B、C 不重合），
9、且满足 EPF=C，PF 交直线 CD 于点 F，同时交直线AD 于点 M，那么当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当BEPDMFSS49时，求 BP 的长4、如图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，1CF，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线,EG FG交直线AC于点,M N，（1）写出图中与BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设,BEx MNy，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若1AE，试求GMN的面积E D C B A P（第 25 题图）E
10、 D C B A（备用图）15 一线三直角型相似三角形例 1、已知矩形 ABCD 中，CD=2，AD=3，点 P是 AD 上的一个动点，且和点 A,D 不重合，过点 P作CPPE，交边 AB 于点 E,设yAExPD,，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围。例 2、在ABC中，OBCACC,3,4,90o是 AB 上的一点，且52ABAO，点 P 是 AC 上的一个动点，OPPQ交线段 BC 于点 Q，（不与点 B,C 重合），设yCQxAP,，试求y关于 x 的函数关系，并写出定义域。备用图QCBAOPEBCADP16【练习 1】在直角ABC中，43tan,5,90BABCo
11、，点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AB 边上的动点，DEDF交射线 AC 于点 F（1）、求 AC 和 BC 的长（2）、当BCEF/时，求 BE 的长。（3）、连结 EF,当DEF和ABC相似时，求BE 的长。FDCBAEFDCBAE17 FABCDEFABCDE【练习 2】在直角三角形ABC 中，DBCABC,90o是 AB 边上的一点，E 是在 AC 边上的一个动点，（与 A,C不重合），DFDEDF,与射线 BC 相交于点F.(1)、当点 D 是边 AB 的中点时，求证：DFDE(2)、当mDBAD，求DFDE的值（3）、当21,6DBADBCAC，设yBFxAE,求 y 关于
12、x 的函数关系式，并写出定义域18【练习 4】如图，在ABC中，90C，6AC，3tan4B，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作90DEF，EF交射线BC于点F设BEx，BED的面积为y（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求BED的面积.19 Q P D C B A Q P D C B A【练习 5】、（2009 年黄浦一模25）如图,在梯形ABCD中，CDAB,34tan,4,2CADAB，PDABADC,900是腰BC上一个动点(不含点B、C),作APPQ交CD于点Q.(图 1)(1)求BC的长与梯形ABCD的面积；(2)当DQPQ时,求BP的长；(图 2)(3)设yCQxBP,试求y关于x的函数解析式,并写出定义域.（图 1）（图 2）