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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date相似三角形-模型题如何证明比例式和等积式相似基本模型“三点定型”法在相似证明中的应用一类：直接利用“左看、右看、上看、下看” 加“三点定型”例1， 已知：在ABC中，ACB=900，CDAB。求证：AC2=ADAB 分析：要证AC2=ADAB，只需证，这时看等号的左边A、C、D三点可确定一个三角形，而等号右边A、C、B三点也可确定一个三角形，即证ACDABC。或者都看
2、上面的分子为A、B、C及都看下面的分母为A、C、D也可确定去证ACDABC。例2， 已知：等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。求证：BPPC=BMCN 分析：要证BPPC=BMCN，只需证 看等号的左边B、P、M和等号右边C、N、P可确定证 PBMNCP。二类：当不能直接用“左看、右看、上看、下看” 加“三点定形”时，如果有相等的线段时，可用相等的线段去替换。例1， 已知；AD平分BAC，EF垂直平分AD与BC的延长线交于F。求证：DF2=BFCF分析：由已知可得DF=AF，直接证DF2=BFCF找不出相似三角形，可改证AF2=BFCF，即证，这时用
3、“左看、右看”或“上看、下看”定出ABFCAF例2， 已知；在RtABC中，A=900，四边形DEFG为正方形。求证：EF2=BEFC 分析：要证EF2=BEFC，可证，这时我们不论是“左看、右看” 还是“上看、下看”B、E、F、C都在同一直线上，不能确定两个三角形。 但在图形中有相等的线段DE=EF=FG，这时用相等的线段去替换即证 即可。再用“左看、右看”的方法确定证BDEGCF从而完成证明。例3、如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BEAC且交AC于F，过F作FGAB，交AE于G.求证：AG2=AFFC.证明：E是CD中点，DE=CE；又AD=BC，D=BCE=90，DEACEB，即
4、AE=BE；GFAB， EG/EAEF/EB，即AG/AE=BF/BE ，AE=BE，则AG=BF；在RtABC中，BFAC，则ABFBCF， BF 2 =AFFC，即AG 2 =AFFC三类：既不能直接用“三点定形”，又没有相等的线段可以替换时，可以找中间比或中间量来转化搭桥，充分体现了转化的思想在数学中的应用。例1，已知：梯形ABCD中，AD/BC，AC与BD相交于O点，作BE/CD,交CA的延长线于点E.求证：OC2=OA.OE分析：要证OC2=OA.OE,这时我们不论是“左看、右看”还是“上看、下看”都发现O,C,A,E在同一直线上，并且没有相等的线段可以替换；这时，我们可以利用转化的
5、数学思想，先证，用“上看、下看”定出OBCODC,然后再证,用同样的方法确定证OBEODC相似即可。例2、已知：BD、CE是ABC的两个高，DGBC，与CE交于F，GD的延长线与BA的延长线交于H。求证：GD2=GFGH 分析：要证GD2=GFGH,这时我们发现G、D、E、F在同一直线上，并且没有相等 的线段可以替换，这时，我们可以利用直角三角形斜边上的高分的两个三 角形和原三角形相似得出GD2=BGCG，从而把原题转化为证BGCG=GFGH， 再用“左看、右看、上看、下看”的方法确定证BGHFGC相似即可。相似基本模型射影定理的推广及应用直角三角形ABC中A=90，ADBC，则有： 变式推广
6、如图（2）：中，D为上一点，若，或，则有，可得2AB； 例 1 已知：在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，E是AC上一点，CFBE于F。 求证：BFDBAE。证明： ACB=90 RtECB，CFBE 由射影定理得 又ACB=90，CDAB 又 FBD=ABE BFDBAE例2如图（），已知：等腰三角形中，高、交于点，求证：分析：易证=900-CHBD，联想到射影定理变式，可得2，又，故有结论成立。（证明略）相似基本模型 一线三等角问题问题引入如图，中，过D作交BC延长线与E。求证：其他常见的一线三等角图形（等腰三角形中底边上一线三等角） （等腰梯形中底边上一线三等角） （直角坐标系中
7、一线三等角） （矩形中一线三等角）（1）等腰三角形中一线三等角例1、 如图，已知在ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，并作，射线EF交线段AC于F（1）求证：DBEECF；（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；（3）联结DF，如果DEF与DBE相似，求FC的长例2、 如图，等边ABC中，边长为6，D是BC上动点，EDF=60（1）求证：BDECFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE ABCPQ例3、在中，点、分别在射线、上（点不与点、点重合），且保持.若点在线段上（如图），且，求线段的长；若，求与之间的函数关系式，并写出x的取
8、值范围；(3) 当点P是的中点时，试说明APQ是什么三角形，并说明理由变式练习1 （浦东新区22题）如图，已知等边的边长为8，点、分别在边、上，为中点，当与相似时，求的值.（2）等腰梯形中一线三等角例1、（长宁区18题）如图，等腰梯形中，直角三角板含45度角的顶点在边上移动，一直角边始终经过点，斜边与交于点.若为等腰三角形，则的长等于 .例2、（徐汇区25）如图，在梯形中，点为边的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，联结（1）求证：；（2）若是以为腰的等腰三角形，求的长；（3）若，求的长（3）坐标系中一线三等角例、（金山区24）如图，住平面直角系中，直线：分别交轴、轴于、两点，直线分
9、别交轴、轴于、两点，是轴上的一点，过作轴交于，连接，当动点在线段上运动（不与点点重合）且时(1)求证：；(2)求线段的长（用的代数式表示）； 变式练习、在平面直角坐标系XOY中，的位置如图所示，已知,点A的坐标为，求点B的坐标；（4）矩形、正方形中一线三等角例1、（长宁区24题）如图，在矩形中，点是射线上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点，三角板两直角中的一边始终经过点，另一直角边交射线于点（1）判断与一定相似吗？请证明你的结论；（2）设，求与的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）是否存在这样的点，是周长等于周长的2倍？若存在，请求出的长度；若不存在，请简要说明理由例2、如图正方形ABC
10、D的边长为4，点p是BC边上一动点（点p不与点B、C重合），连接AP,过点P作PQAP交DC于点Q，设BP的长为x，CQ的长为y,求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。（东城一模）24. 等边ABC边长为6，P为BC边上一点，MPN=60，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PEAB时，判断EPF的形状；（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PEAB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）如图3，若点P在BC边上运动，且MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.图1 图2
11、图3（1）EPF为等边三角形. -1分（2）设BP=x，则CP6x. 由题意可 BEP的面积为.CFP的面积为.ABC的面积为.设四边形AEPF的面积为y. =.自变量x的取值范围为3x6. -4分（3）可证EBPPCF. .设BP=x，则 . 解得 . PE的长为4或. -7分（延庆一模ABDCE第25题图1）25. 在中，点在所在的直线上运动，作（按逆时针方向）（1）如图1，若点在线段上运动，交于求证：；当是等腰三角形时，求的长（2）如图2，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由；CDBAECAB
12、DE第25题图2第25题图3如图3，若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由25. 证明：在中，B=C=45又 ADE=451分ADB+EBC=EBC+DEC=1352分ADB=DEC 当是等腰三角形时,分以下三种情况讨论 第一种情况：DE=AEDE=AEADE=DAE=453分 AED=90, 此时，E为AC的中点，AE=AC=1.第二种情况：AD=AE（D与B重合）AE=2 第三种情况 ：AD=DE如果AD=DE，由于， ABDDCE,BD=CE,AB=DC,设BD=CE= 在中， BC=, DC=2 ,解得，=2 ， AE= 4 24分 综上所述：AE的值是1，2，4 2(2)存在。5分当D在BC的延长线上，且CD=CA时，是等腰三角形.证明：ADE=45=ACB=DCE, ADC+EDC=EDC+DEC=135, ADC=DEC,又CD=CA ， CAD=CDA , CAD=CED ,DA=DE,6分 是等腰三角形.不存在.因为 ACD=45E , ADE=457分ADEE不可能是等腰三角形。-