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1、第 1 页 共 10 页导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。132()32f xxx在区间1,1上的最大值是 2 2已知函数2)()(2xcxxxfy在处有极大值，则常数c 6 ；3函数331xxy有极小值 1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程1曲线34yxx在点1,3处的切线方程是2yx2若曲线xxxf4)(在 P点处的切线平行于直线03yx，则 P点的坐标为（1，0）3若曲线4yx的一条切线
2、l与直线480 xy垂直，则l的方程为430 xy4求下列直线的方程：（1）曲线123xxy在 P(-1,1)处的切线；（2）曲线2xy过点 P(3,5)的切线；解：（1）123|yk231)1,1(1x/2/23上，在曲线点xxyxxyP所以切线方程为0211yxxy即，（2）显然点 P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00yxA，则200 xy又函数的导数为xy2/，所 以 过),(00yxA点 的切 线的 斜率为0/2|0 xykxx，又切 线过),(00yxA、P(3,5)点，所以 有352000 xyx，由联立方程组得，255110000yxyx或，即切点为（1，1）时，切线
3、斜率为;2201xk；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202xk；所以所求的切线有两条，方程分别为251012)5(1025)1(21xyxyxyxy或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1已知函数)1(,1()(,)(23fPxfycbxaxxxf上的点过曲线的切线方程为y=3x+1 第 2 页 共 10 页（）若函数2)(xxf在处有极值，求)(xf的表达式；（）在（）的条件下，求函数)(xfy在 3，1 上的最大值；（）若函数)(xfy在区间 2，1 上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）由.23)(,)(223baxxxfcbxaxxxf求导数得过)1(,1()
4、(fPxfy上点的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(xbacbayxffy即而过.13)1(,1)(xyfPxfy的切线方程为上故3023323cabacaba即124,0)2(,2)(bafxxfy故时有极值在由得 a=2，b=4，c=5 .542)(23xxxxf（2）).2)(23(443)(2xxxxxf当;0)(,322;0)(,23xfxxfx时当时13)2()(.0)(,132fxfxfx极大时当又)(,4)1(xff在 3，1 上最大值是13。（3）y=f(x)在 2，1 上单调递增，又,23)(2baxxxf由知 2a+b=0。依题意)(xf在 2，1 上
5、恒有)(xf0，即.032bbxx当6,03)1()(,16minbbbfxfbx时；当bbbfxfbx,0212)2()(,26min时；当.60,01212)(,1622minbbbxfb则时综上所述，参数b 的取值范围是),02已知三次函数32()f xxaxbxc在1x和1x时取极值，且(2)4f第 3 页 共 10 页(1)求函数()yf x的表达式；(2)求函数()yf x的单调区间和极值；(3)若函数()()4(0)g xf xmm m在区间3,mn上的值域为 4,16，试求m、n应满足的条件解：(1)2()32fxxaxb，由题意得，1,1是2320 xaxb的两个根，解得，0
6、,3ab再由(2)4f可得2c3()32f xxx(2)2()333(1)(1)fxxxx，当1x时，()0fx；当1x时，()0fx；当11x时，()0fx；当1x时，()0fx；当1x时，()0fx函数()f x在区间(,1上是增函数；在区间 1,上是减函数；在区间1,)上是增函数函数()f x的极大值是(1)0f，极小值是(1)4f(3)函数()g x的图象是由()f x的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的，所以，函数()f x在区间 3,nm上的值域为 44,164mm（0m）而(3)20f，4420m，即4m于是，函数()f x在区间 3,4n上的值域为 20,0令()0
7、f x得1x或2x由()f x的单调性知，142n，即36n综上所述，m、n应满足的条件是：4m，且36n3设函数()()()f xx xaxb（1）若()f x的图象与直线580 xy相切，切点横坐标为，且()f x在1x处取极值，求实数,a b的值；第 4 页 共 10 页（2）当 b=1 时，试证明：不论a 取何实数，函数()f x总有两个不同的极值点解：（1）2()32().fxxab xab由题意(2)5,(1)0ff，代入上式，解之得：a=1，b=1（2）当 b=1 时，()0fx令得方程232(1)0.xaxa因,0)1(42aa故方程有两个不同实根21,xx不妨设21xx，由)
8、(3)(21xxxxxf可判断)(xf的符号如下：当时，1xx)(xf；当时，21xxx)(xf；当时，2xx)(xf因此1x是极大值点，2x是极小值点，当 b=1 时，不论a 取何实数，函数()f x总有两个不同的极值点。题型四：利用导数研究函数的图象1如右图：是f（x）的导函数，)(/xf的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（D ）（A）（B）（C）（D）2函数的图像为14313xxy(A )3方程内根的个数为在)2,0(076223xx (B )A、0 B、1 C、2 D、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围x y o 4-4 2 4-4 2-2-2 x y o
9、4-4 2 4-4 2-2-2 x y y 4-4 2 4-4 2-2-2 6 6 6 6 y x-4-2 o 4 2 2 4 第 5 页 共 10 页1设函数.10,3231)(223abxaaxxxf（1）求函数)(xf的单调区间、极值.（2）若当2,1aax时，恒有axf|)(|，试确定 a 的取值范围.解：（1）22()43fxxaxa=(3)()xaxa，令()0fx得12,3xa xa列表如下：x（-，a）a（a，3a）3a（3a，+）()fx-0+0-()f x极小极大()f x在（a，3a）上单调递增，在（-，a）和（3a，+）上单调递减xa时，34()3fxba极小，3xa时
10、，()fxb极小（2）22()43fxxaxa01a，对称轴21xaa，()fx在 a+1，a+2 上单调递减22(1)4(1)321Maxfaa aaa，22min(2)4(2)344faa aaa依题|()|fxa|Maxfa，min|fa即|21|,|44|aaaa解得415a，又01aa 的取值范围是4,1)52已知函数f（x）x3 ax2 bxc 在 x23与 x 1 时都取得极值（1）求 a、b 的值与函数 f（x）的单调区间（2）若对 x 1，2，不等式f（x）c2 恒成立，求c 的取值范围。解：（1）f（x）x3ax2 bxc，f（x）3x22axb 由 f（23）124ab0
11、93，f（1）3 2ab0 得 a12，b 2 f（x）3x2x 2（3x2）（x1），函数 f（x）的单调区间如下表：第 6 页 共 10 页x（，23）23（23，1）1（1，）f（x）0 0 f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（，23）与（1，），递减区间是（23，1）（2）f（x）x312x22xc，x 1，2，当 x23时，f（x）2227c 为极大值，而f（2）2 c，则 f（2）2c 为最大值。要使 f（x）c2（x 1，2）恒成立，只需c2 f（2）2c，解得 c 1 或 c 2 题型六：利用导数研究方程的根1已知平面向量a=(3,1).b=(21,23).（1）
12、若存在不同时为零的实数k 和 t，使x=a+(t2 3)b，y=-ka+tb，xy，试求函数关系式k=f(t)；(2)据(1)的结论，讨论关于t 的方程 f(t)k=0 的解的情况.解：(1)xy，x y=0 即a+(t2-3)b(-ka+tb)=0.整理后得-k2a+t-k(t2-3)a b+(t2-3)2b=0 a b=0，2a=4，2b=1，上式化为-4k+t(t2-3)=0，即 k=41t(t2-3)(2)讨论方程41t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=41t(t2-3)与直线 y=k 的交点个数.于是 f(t)=43(t2-1)=43(t+1)(t-1).令 f(
13、t)=0,解得 t1=-1,t2=1.当 t 变化时，f(t)、f(t)的变化情况如下表：t(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)f(t)+0-0+F(t)极大值极小值当 t=1 时，f(t)有极大值，f(t)极大值=21.第 7 页 共 10 页当 t=1 时，f(t)有极小值，f(t)极小值=21函数 f(t)=41t(t2-3)的图象如图1321 所示，可观察出：(1)当 k21或 k21时,方程 f(t)k=0 有且只有一解；(2)当 k=21或 k=21时,方程 f(t)k=0 有两解；(3)当21k21时,方程 f(t)k=0 有三解.题型七：导数与不等式的综合1设axxxfa3
14、)(,0 函数在),1上是单调函数.（1）求实数a的取值范围；（2）设0 x1，)(xf1，且00)(xxff，求证：00)(xxf.解：（1）,3)(2axxfy若)(xf在,1上是单调递减函数，则须,3,02xay即这样的实数a 不存在.故)(xf在,1上不可能是单调递减函数.若)(xf在,1上是单调递增函数，则a23x，由于33,12xx故.从而 0a 3.（2）方 法1、可 知)(xf在,1上 只 能 为 单 调 增 函 数.若1)(00 xfx，则,)()(000矛盾xxffxf若 1)(),()(,)(000000 xfxxfxffxxf即则矛盾，故只有00)(xxf成立.方法2：
15、设00)(,)(xufuxf则，,03030 xauuuaxx两式 相减得00330)()(xuuxaux020200,0)1)(xauuxxux1,u 1，30,32020auuxx又，012020auuxx第 8 页 共 10 页2已知a为实数，函数23()()()2f xxxa（1）若函数()f x的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围（2）若(1)0f，（）求函数()f x的单调区间（）证明对任意的12(1,0)xx、，不等式125|()()|16f xf x恒成立解：3233()22f xxaxxa，23()322fxxax函数()f x的图象有与x轴平行的切线，()0fx有实数
16、解2344302a，292a，所以a的取值范围是332222（，）(1)0f，33202a，94a，2931()33()(1)222fxxxxx由()0,1fxx或12x；由1()0,12fxx()f x的单调递增区间是1(,1),(,)2；单调减区间为1(1,)2易知()f x的最大值为25(1)8f，()f x的极小值为149()216f，又27(0)8f()f x在 1 0，上的最大值278M，最小值4916m对任意12,(1,0)xx，恒有1227495|()()|81616f xf xMm题型八：导数在实际中的应用1请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱
17、长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心1o的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设 OO1为x m，则41x第 9 页 共 10 页由题设可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3xxx，（单位：m）故底面正六边形的面积为：(43622)28xx=)28(2332xx，（单位：2m）帐篷的体积为：)(V228233xxx）（1)1(31x)1216(233xx（单位：3m）求导得)312(23V2xx）（。令0V）（x，解得2x（不合题意，舍去），2x，当21x时，0V）（x，）（xV为增函数；当42x时，0V）（x，）（xV为减函数。当2x时，）（xV最大。答：当 OO
18、1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m。2统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080yxxx已知甲、乙两地相距100 千米。（I）当汽车以40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：（I）当40 x时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.540小时，要耗没313(40408)2.517.512800080（升）。（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100 x小时，设耗油量为
19、()h x升，依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h xxxxxxx332280080()(0120).640640 xxh xxxx第 10 页 共 10 页令()0,h x得80.x当(0,80)x时，()0,()h xh x是减函数；当(80,120)x时，()0,()h xh x是增函数。当80 x时，()h x取到极小值(80)11.25.h因为()h x在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少
20、，最少为11.25 升。题型九：导数与向量的结合1设平面向量3113(),().2222ab，若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使，且yxbtasybktax,)(2（1）求函数关系式()Sf t；（2）若函数()Sf t在，1上是单调函数，求k 的取值范围。解：（1）).23,21(),21,23(ba10aba b?，2222223,0000 xy xyatk bsatbsat tk btstsk a bstktsfttkt?又，得（）（），即（）-（）。（），故（）。（2）上是单调函数，）在（且）（132tfkttf则在,1上有00)(）（或tftf由3)3(3030)(min222ktktkkttf；由223030)(tkkttf。因为在 t,1上23t是增函数，所以不存在k，使23tk在,1上恒成立。故k 的取值范围是3k。