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1、第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2010(150 分钟)一、（25 分，每小题5 分）（1）设22(1)(1)(1),nnxaaa其中|1,a求lim.nnx（2）求21lim1xxxex。（3）设0s，求0(1,2,)sxnIex dx n。（4）设函数()f t有二阶连续导数，221,(,)rxyg x yfr，求2222ggxy。（5）求直线10:0 xylz与直线2213:421xyzl的距离。解：（1）22(1)(1)(1)nnxaaa=22(1)(1)(1)(1)/(1)nnxaaaaa=222(1)(1)(1)/(1)naaaa=12(1)/(1)naa12limli
2、m(1)/(1)1/(1)nnnnxaaa(2)22211ln(1)ln(1)1lim1limlimxxxexxxxxxxxeeex令 x=1/t,则原式=21(ln(1)1/(1)112(1)22000limlimlimttttttttteeee（3）0000112021011()()|(1)!sxnnsxnsxsxnnsxnnnnnIex dxx dex eedxssnnn nnnexdxIIIsssss（4）略（不难，难得写）（5）用参数方程求解。答案好像是14二、（15 分）设函数()f x在(,)上具有二阶导数，并且()0,lim()0,lim()0,xxfxfxfx且存在一点0 x
3、，使得0()0f x。证明：方程()0f x在(,)恰有两个实根。解：（简要过程）二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0 的值，所以只需在两边找两大于0 的值。将 f(x)二阶泰勒展开2()()(0)(0)2ff xffxx因为二阶倒数大于0，所以lim()xf x，lim()xf x证明完成。三、（15 分）设函数()yf x由参数方程22(1)()xtttyt所确定，其中()t具有二阶导数，曲线()yt与22132tuyedue在1t出相切，求函数()t。解：（这儿少了一个条件22d ydx）由()yt与22132tuyedue在1t出相切得3(1)2e，2(
4、1)e/()22dydydtdxdxdttt22d ydx3()(2(/)(/)/(22)2)2()d dy dxd dy dxdtdxdx dttttt=。上式可以得到一个微分方程，求解即可。四、（15 分）设10,nnnkkaSa证明：（1）当1时，级数1nnnaS收敛；（2）当1且()nsn时，级数1nnnaS发散。解：（1）na0,ns单调递增当1nna收敛时，1nnnaass，而1nas收敛，所以nnas收敛；当1nna发散时，limnns111nnnnssnnnssnnnassdxdxsssx所以，11111211nnnssnssnnnaaadxdxssxsx而1111111111
5、lim11nsnsnssaasdxkxss，收敛于k。所以，1nnnas收敛。（2）limnns所以1nna发散，所以存在1k，使得112knnaa于是，111122212kkknnnnnkaaasss依此类推，可得存在121.kk使得112iiknknas成立所以112NknnaNs当n时，N所以1nnnas发散五、（15 分）设l是过原点、方向为(,)，（其中2221)的直线，均匀椭球2222221xyzabc，其中（0,cba密度为 1）绕l旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,)的最大值和最小值。解：（1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离2222222(1)(1
6、)(1)222dxyzxyyzzx0 xydVyzdVzxdV22222222223214(1)15ccccxyzabczz dVz dzdxdyabz dzabcc由轮换对称性，232344,1515x dVa bcy dVab c2232323444(1)(1)(1)151515Id dVa bcab cabc2222224(1)(1)(1)15abcabc（2）abc当1时，22max4()15Iabc ab当1时，22min4()15Iabc bc六、(15 分)设函数()x具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分422()cxydxx dyxy的值为常数。（1）
7、设L为正向闭曲线22(2)1,xy证明422()0;cxydxx dyxy（2）求函数()x；（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422()cxydxx dyxy。解：（1）L 不绕原点，在 L 上取两点A，B，将 L 分为两段1L，2L，再从 A，B 作一曲线3L，使之包围原点。则有13234242422()2()2()LLLLLxydxx dyxydxx dyxydxx dyxyxyxy（2）令42422(),xyxPQxyxy由（1）知0QPxy，代入可得42352()()()422x xyxxxxy上式将两边看做y 的多项式，整理得24325()()()4(2)2yxx xxxyxx由此可得()2xx435()()42x xxxx解得：2()xx（3）取L为424xy，方向为顺时针0QPxy424242242()2()2()12ccLLLxydxx dyxydxx dyxydxx dyxyxyxyxydxx dy（最后一步曲线积分略去，不知答案对不对）