《大学生数学竞赛-级数.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学生数学竞赛-级数.pdf（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、82 级数1、利用0limnna判断级数1nna发散例 1（1）判断级数131sin)13(nnnn的敛散性解：因为n31sinn31，故原级数和级数131)13(nnnn有相同的敛散性0)311(lim31)13(lim31ennnnnnn，故原级数发散（2）1!nnnnen解：因为nknxdxnkn1100lnln1lim所以)1ln1(lim1!limnknnknnnnnenen的极限不存在故原级数发散2、利用比值判别法、根值判别法判断级数的敛散性注意：一些常见的极限（1）1limnnban（2）|,max|limbabannnn例 2（1）判断级数13nnnne的敛散性解：1)3(11
2、3limeeennnnnnn，故原级数收敛（2）判断级数1ln)(lnnnnnn的敛散性83 解：10lnlim)(lnlim2)(lnlnnennnnnnnnn，故原级数收敛（3）判断级数1!nnnnna的敛散性解：eananannnaaannnnnnnnnn)11(lim!)1()!1(limlim111当ea，原级数发散；当ea原级数收敛；当ea时，由于0!limnnnnne故原级数发散（4）1)(nnnab（aannlim，0,0nab）解：abababannnnnnnnnlim)(limlim当ab时，级数收敛；当ab时，级数发散；3、利用等价无穷小替换判断级数的敛散性方法：如果nn
3、ba，则1nna和1nnb有相同的敛散性例 3(1)1)11ln(nnn（0）解：因为nn1)11ln(，所以原级数和111nn有相同的敛散性由于11，故111nn收敛，即原级数收敛(2)11nnnn84 解；11limnnnnn所以原级数和11nn有相同的敛散性，原级数发散(3)111)1(nnpnn解；由于pnpnn111，故原级数和11)1(npnn有相同的敛散性当1p时，级数绝对收敛；当10p时，级数条件收敛（4）12ln1nnn解：因为222ln111ln1nnnnn，而1)ln1(lim2nnn所以nnln1221n，故原级数收敛4、利用比较判别法判断级数的敛散性常用不等式nnln
4、例 4（1）13ln1nn解：因为nnln，所以nnn3ln3ln13由于13nn发散，故原级数发散（2）dxxxnn11041分析：判断被积函数的单调性，求出被积函数在积分区间内的最值解：因为xxx41，所以23101041321ndxxdxxxnn85 而1231nn收敛，故原级数收敛5、利用级数的性质判断级数的敛散性方法：（1）1nna和1nnb收敛，则1)(nnnba收敛（2）1nna和1nnb中有一个收敛，一个发散，则1)(nnnba发散例 5（1）1)1(23)1(2nnnnn（2）121sinnnnna(3)12)1(nnnak(0k)6、利用泰勒公式判断级数的敛散性(1)!3!
5、2!1132nxxxxenx)(x(2)1)1(432)1ln(1432nxxxxxxnn)11(x(3)!12()1(!5!3sin12153nxxxxxnn)(x(4)!2()1(!4!21cos242nxxxxnn)(x(5)nxxxxx32111)11(x(6)32!3)2)(1(!2)1(1)1(xmmmxmmmxxmnxnnmmm!)1()1()11(x(7)32!3)2)(1(!2)1(1)1(xmmmxmmmxxmnxnnmmm!)1()1()11(x86 方法：利用泰勒公式展开找和原级数等价无穷小的级数讨论例 6（1）1)11(npnne分析：关键是利用泰勒公式展开找和原级数
6、等价无穷小的级数，因为)1()11(22312131211)11ln(nnnnnnneeeeeene2232)3121(nenennepppppnnnene)321(2)11(由于ppppnnene2)11(，故原级数和级数11npn有相同的敛散性当1p时，级数收敛；当1p时，级数发散（注意1p的情况）(2)21)1(1)1(npnnn分析：因为pnppnppnnnnnn)1(11)1(1 1)1(112)1()1(1 12nppnpnnp21111)1(2)1()1()1(1)1(pnppnpnnnppnpnn故当1p时，原级数绝对收敛；10p时，原级数条件收敛(3)11sin21npnnn
7、分析：因为2331)2()611(21sin2nppnnnpnn87 故ppnnn21sin211，即原级数和级数121npn有相同的敛散性当1p时，级数收敛；当1p时，级数发散(4)1)ln1(1nppnnn（0p）分析：因为22)(ln2)1(ln1)ln1(nnppnnpnnp故221)(ln2)1(ln1)ln1(1pppppnnppnnpnnnn即pppnnnn1)ln1(1，原级数和11npn有相同的敛散性当1p时，原级数收敛；当10p时，级数发散7、判断级数条件收敛或绝对收敛例 7（1）122)sin(nan解：因为nanananannn2222222sin)1()sin()1(
8、)sin(因为nananana222222sin，故原级数和1222)1(nnnana有相同的敛散性，故原级数条件收敛注意：常用公式aannsin)1()sin(（2）123tan)1(nnn解：因为nnnnn33tan)3tan()3tan(22288 因为nnnn3333tan22，故原级数和1233)1(nnnn有相同的敛散性，故原级数条件收敛注意：常用公式aantan)tan(（4）111)!1()1(nnnnn解：1)11(21lim)!1()!2()1(lim|lim1121ennnnnnnaannnnnnnn故11)!1(nnnn发散，则111)!1()1(nnnnn也发散注意：
9、能用|lim1nnnaa判断1|nna发散，则1)1(nnna一定发散8、求级数的收敛域和收敛半径求级数1),(nnxnfa的收敛域方法（1）求极限)(|),(|),1(|lim1xhxnfaxnfannn（或)(|),(|limxhxnfannn）（2）令1)(xh，求出x的范围（3）再把x的范围的端点值代入原级数判断收敛否，最终确定收敛域和收敛半径R例 8（1）nnnnxn)1()1(31解：因为|1|3)31(1lim|1|3|1|)1(3limxnxxnnnnnnnnnn要使级数收敛，则1|1|3 x，即3432x89 当32x时，级数为131)1(nnnn，因为1)1(nnn和131
10、nnn收敛，故131)1(nnnn收敛当34x时，级数为131)1(1nnnn，因为11nn发散，而级数13)1(nnnn收敛，故131)1(1nnnn发散原级数的收敛域为3432x（2）nnxxn)233(31sin1解：因为131sinlimnnn，所以|233|233|21sinlimxxxxnnnn要使级数收敛，则1|233|xx，即6x或0 x当0 x时，级数为131sinnn，该级数发散；当6x时，131sin)1(nnn，该级数条件收敛。故原级数的收敛域为6x或0 x（3）121sin2)1(nnnnnx解：因为22|sin|2|sin|2limxnxnnnn当1|sin|22x
11、，即nxn2424或nxn245243时级数收敛；当42nx、42nx、432nx、452nx时级数为11)1(nnn，90 该级数条件收敛（4）1)(nxnnnxn解：因为1)(limxxxnnnennxn，所以xxxnnnenxn)(故原级数和1nxxne有相同的敛散性。当1x，级数收敛；当1x，级数收敛注意：也可找和原级数有相同敛散性的级数，并且判断该级数的收敛域，此收敛域为原级数的收敛域。9、求幂级数的和函数方法（1）先求幂级数的收敛域（2）令其和函数为)(xs（3）利用逐项积分或逐项求导求)(/xs或dxxs)(（4）最后确定)(xs注意下列公式的应用（1）xnnnenxnxxxx0
12、32!3!2!11（2）xnxnxxxxnnnnnsin)!12()1()!12()1(!5!311212153（3）xnxnxxxnnnnncos)!2()1()!2()1(!4!2102242例 10（1）02!12nnxnn解：因为0|)12(!)!1(|)32(lim222nnnxnnnxn，原级数的收敛域为R 02202120202!)(2!)()!1()(2!)(!12nnnnnnnnnnnxxnxnxnxxnn91 2)21(2xex（Rx）（2）11nnxnn解：因为|)1(1|lim1xxnnnxnnnn当1|x，即11x时原级数的收敛当1x时，级数发散11111111111
13、1nnnnnnnnnxxxxnxxxxnn令111)(nnnxxf，对x求导得xxxxfnn1)(1/，则cxxxf)1ln()(因为0)0(f，所以0c，即xxxf)1ln()(1)1ln(111xxxxxnnnn（3）12)1()1(nnnnx解：|1|)1(|1|lim22xnnxnnn当1|1|2x，即22x时，级数收敛；当2x时，级数也收敛令12xu，则112)1()1()1(nnnnnnunnx又令1)1()(nnnnuuf，则11211/111)(nunnnuunuuf令111)(nnnuug，则uuuugnn1)(1/，即cuuug)1ln()(92 因为0)0(g，0c，故u
14、uug)1ln()(2/)1ln()(uuuuf则1)1ln()1()(cuuuuf当0u时，0)(uf，而1)1ln()1(lim0uuuu，即1c原级数为11)2ln()2(222xxx（1x）；1x时，级数收敛于0（4）1)12(nnxn解：|)12(limxxnnnn，当11x时级数收敛xxxnxxnxnnnnnnnnn1)1(2)1(2)12(1111令1)1()(nnxnxf，两边积分得cxxxdxxndxxfnnnn1)1()(2111两边求导得22)1(2)(xxxxf，故221)1(3)12(xxxxnnn10、借助幂级数求数项级数的和方法：把级数中含有anA的形式设为anx
15、或nx，利用求幂级数的和函数的方法处理（1）013)1(nnn解：设1131313113)(nnnnnxxnxxf令11313)(nnnxxg，则3313/113/1)13()(xxxnxxgnnnn93 两边积分得cxxxxxdxxxxg312arctan316)1ln(3)1ln(1)(233当0 x时，36c当113x时，19332ln13)1(0nnn（2）222)1(1nnn解：令)111(21)11(211)(21212222nnnnnnnnnnnxxnxxxxnxnxxf令211)(nnnxxg，则xxxgnn11)(22/，所以)1ln()(xxg令211)(nnnxxh，则x
16、xxxhnn1)(22/，所以)1ln(2)(2xxxxh故xxxxxxf2)1ln(2142)1ln()(当21x时，42ln385)21(f（3）022)1()1(nnnnn解：令122212)1()1()(nnnnnnxxnnxxnnxf令22)1()(nnxnnxg，的两边积分2122)1()()(nnnnnxdxxnndxxgxh对)(xh两边积分得cxxxdxnxdxxhnnnn1)(2221求导有22)1(2)(xxxxh94 故3/)1(2)()(xxhxg，所以xxxxxf1)1(2)(32即2713)21(f(4)0)!12(1)1(nnnn解：因为xnxnnnsin)!1
17、2()1(012，令1x得1sin)!12()1(0nnn同理1cos)!2()1(0nnn而0000)1sin1(cos21)!12()1(21)!2()1(21)!12(1)12()1(21)!12(1)1(nnnnnnnnnnnnnn11、利用级数的敛散性讨论数列的敛散性数列nx的敛散性级数11)(nnnxx的敛散性例 11 判断数列nx是否收敛（1）nnxn2131211解：因为12112211nnnnnnxxnn)1)1(22(1)1(1nnnnnnnnn而级数1)1)1(22(1nnnnn收敛，故数列nx收敛（2）2)(lnln21nkkxnkn（练习）95 12、把级数转化为11
18、npn的形式处理常用公式：（1）aealn（2）ananeln例 12 判断下列级数的敛散性（1）1ln21nn（2）1ln)(ln1nnn习题1 判断级数的敛散性（1）nn)53(sin1（2）11)1(nnnnnnn（3）1ln1nnn（4）1)11tan(nn（5）16sinnn(6)1!nnnnen(7)1)211(nnn（8）1ln)1(nnnn（9）1nne（9）设nnnnan22212111，研究1nna的敛散性2 判断级数的敛散性（1）12121)12(nnnnnn（2）12)1(2nnn（3）1223cosnnnn（4）133)1(2nnnn（5）131nn（6）1)1(3n
19、nn（7）1)13(nnnn（8）1)122(nnnn（9）11)!1(nnnn（10）111)1(nnnnn（11）2)ln1(nnna96（12）12)()(nanbnnbnann(13)1222)!(nnn(14)2)(ln1nnn(15)13)1(2nnnnn（16）111nnnaa（0a）（16）如1!nnnnna收敛，222nannn发散，且0a，求a的范围(8)如1!nnnnna收敛，222nannn发散，且0a，求a的范围3 判断级数的敛散性（1）1sin1npnn（2）1)11ln(npn（0p）（3）12tannn（4）11arcsin1nnn（5）12)11arctan(
20、nnn（6）112sin)1(nnn（7）111)1(2nnn（8）1)1(lgnnnna（)0,ba）（9）1ln11nnkn(10)1ln)1(nnnn（11）11lnnnn（12）1)cos1()1(nnna4 判断级数的敛散性（1）1)sin(nnn（2）1)1ln1(nnnn(3)111ln)1(npnnnn（4）1)11ln(1(nnn）97(5)1ln(sin1(ln1naann(6)13)(cosnnna(7)21)1(1)1(nnnn(8)111)11()1(nnnne5 判断级数的敛散性（1）11)23)(23()12ln()1(nnnnn（2）15cos2!nnnnnn（
21、3）1)cos1()1(nnna（4）11)1(nnnxndxxe(5)111)!1()1(nnnnn（6）2)ln1sin(nnn6 求级数的收敛域（1）13)1(23nnn（2）13123)1(nnnnx（3）1)233(31sinnnnxx（4）12nnxn（5）nnnnxnba1)(（0,0 ba）(6)12)1()1(1nnxxnn（7）112)1(nnnnnx（8）111)1ln(nnxnn（9）nnnxnn2)1(1（10）nnnax2)(12（11）1132)32(10nnnx（12）nnnnxn)1()2(31（13）nnxxn)11(1212（14）nnxxn)|(11（1
22、5）nnnx2sin11（16）xnnnnntan)!3()!(3133（17）讨论2lnnpnnnx的收敛区间7 求和函数（1）02!21nnnxnn（2）12)12(21nnxnn(3)02nnx!nn(4)1)3(5nnnnxn(5)1221nnxn(6)1121)12)(12()1(nnnnnx98(7)1)1()1(nnnnnx(8)nnxnn12!(9)121)!12(1)1(nnnxnn(10)221212nnnxn(11)012!12nnxnn（12）1,121aa，11nnnaaa（,3,2n），求1nnnxa的收敛域和收敛半径（13）级数1nnnxa，1n，nnanna)1
23、(2，1,410aa，求和函数并求和函数的极值8 求和（1）1)!12()1(nnnn（2）1)43(12)1(nnnn（3）1413nnn（4）12)!12(nnn（5）12!nnn（6）1252nnn（7）141nnnnx（8）1211443)1(2nnnn（5）0nu，nnulim，求)11()1(11nnnnuu9 判断级数的敛散性(1)123lnnnn(2)112)13(21nnn(3)1ln1nna(4)2!ln1nn(5)111nna(0a)10 判断级数的敛散性（1）1ln31nn（2）1121131nn（3）讨论级数1ln1nna的敛散性（0a）11 计算nkkknkn12)11(311lim99 12 设级数112)1(nnna，1125nna，求级数1nna的和13（1）如幂级数1)1(nnnxa在1x处收敛，讨论级数在2x和4x处的敛散性（2）如幂级数1)2(nnnxa在1x处收敛，求级数的收敛半径14 求112nnxn的收敛域及和函数，并计算11212)1(nnnn