大学生数学建模竞赛.pdf

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1、西南大学第五届大学生数学建模竞赛西南大学第五届大学生数学建模竞赛承承诺诺书书我们仔细阅读了西南大学第五届大学生数学建模竞赛的竞赛规则我们仔细阅读了西南大学第五届大学生数学建模竞赛的竞赛规则 . .我们完全明白，虽然本次竞赛采取分散自行答卷的机制，我们完全明白，虽然本次竞赛采取分散自行答卷的机制， 但在竞赛开始但在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，我们知道， 抄袭别人的成果是违反竞赛

2、规则的抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, , 如果引用别人的成果或如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料）其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们的参赛报名号为：我们的参赛报名号为：题目：题目：A A 题题参赛队员参赛队员 ( (签名签名) )队

3、员队员 1 1：队员队员 2 2：队员队员 3 3：日期：日期：20112011 年年 5 5 月月 1 1日日题目：客机水面迫降时的姿态题目：客机水面迫降时的姿态摘要摘要为了研究客机因为失去动力而进行水面迫降的最好姿态，本文分析了客机从失去动力，到进入水面，水对其冲击力达到最大的这一过程中客机的运动状态及受力情况。重点研究了客机从接触水面到冲击力达到最大的这一过程，运用了动能定理，动量定理，及物体力学原理分析了客机的运动状态，得出水对客机的最大冲击力 f 和时间 t 与客机与水面所成角的函数关系，应用 MATLAB 软件作出图形，判断取14 时 f最小，从而得到客机迫降时与水面所成角为 14

4、 时为客机水面迫降时的最佳姿态。关键词关键词客机，迫降速度，俯仰角，最大冲击力The position of aircraft landing on the seaThe position of aircraft landing on the seaAbstract:In order to research the best position of aircraft landing on the sea because of losing power,this article analyse the aircrafts moving status and the forces when air

5、craft lose power andthen come in the sea. We focus on researching the whole process of aircraftlosing power tocoming in the sea .In the airticle ,we use the Kinetic energy theorem,Momentum Theorem andthe Mechanics to analyse the moving status of the aircraft .Accordingly we get the maximumimpact for

6、ce “f”,the time “t”and the angle of the surface of the sea with the aircraft. We useMATLAB software make the Graphics and judge thewhen “f” is minimum. Finally, weget the best position of aircraft landing on the sea when 14 .Key words:Aircraft,Force landing speed,Pitch angle,Maximum impact force问题的重

7、述问题的重述大型客机因为失去动力而进行的迫降具有相当大的危险性。建立合理的数学模型，对客机在平静水面上的迫降进行分析，指出客机在河面上迫降时，以何种姿态接触水面是相对最好的选择。问题的分析问题的分析飞机都由机翼、机身、尾翼、起落装置和动力装置五个主要部分组成：1. 机翼机翼的主要功用是产生升力；2. 机身机身的主要是用来装载；3. 尾翼尾翼包括水平尾翼和垂直尾翼；4.起落装置作用是起飞、着陆滑跑，地面滑行和停放时支撑飞机。5.动力装置动力装置主要用来产生拉力和推力，使飞机前进。客机在高空突然因为失去动力需进行迫降。客机有良好的水上迫降动态特性就是要求降落柔和，没有俯冲和跳跃，向前减速度不太大，

8、撞击压力和滑行压力不太大。俯冲会对客机结构造成灾难性破坏，跳跃会使客机失去操纵，第二次着水也会对客机结构造成灾难性破坏。着水时向前减速度太大会直接伤害乘员，过大的撞击压力和滑行压力会引起飞机结构的严重损害。【1】客机水上迫降安全需要考虑两方面的因素：客机着水姿态和结构强度。通过水上迫降模型试验，可以给出客机允许的着水姿态，从而验证飞行器着水时不出现剧烈的“跳跃”、翻转等情况。在强度方面的指标是，在允许的着水姿态下，需要保证机身下部蒙皮不破裂，从而使得机舱在一定时间内不进水，以保证机身能够漂浮一段时间，为乘员安全撤离赢得足够时间。【2】此处，我们只对客机的着水姿态进行研究。根据文献【3】，客机以

9、机尾先接触水面较机头先接触水面所受的冲击力要小。且考虑到发动机首先接触水面，会由于面积小不足以托住机身重量，紧接着发动机入水，此时受力就集中在发动机上，这样的强度能折断机翼，如果是一侧的的发动机先入水，因为水面的镜面效应就会发生急转弯，甚至导致机身解体。为保证客机迫降时的安全， 本文选择客机以机尾先接触水面， 且为了避免俯冲现象， 起落架应该收起。客机机尾接触水面时，客机与水面所成角（俯仰角）即为所要求得的客机以最佳姿态接触水面的角度。客机机尾先接触水面，尾部首先受力后，尾部沿飞行方向的速度减小，飞机头部由于惯性前冲。随着客机尾部受到的冲击力瞬间达到最大值，飞机头部沿降落方向的速度也瞬间增大，

10、机身下弯。在这两种作用共同影响下，机身长度变化出现振荡现象。随着客机飞行速度和降落速度的迅速减小，机身的变形也迅速恢复，机身长度变化恢复到最初值，随后机身长度变化没有明显的改变。另外，随着降落速度的增大，客机的最大变形程度增大。【4】为了模型建立的方便，此处不考虑客机机身结构的变化，假设其机身结构变化微小，忽略不计。客机进入水中时机尾先进入水中此时尾翼所受的冲击力最大（不能大于尾翼弹性模1量） ，接下来由于客机自身的惯性，客机会机头进入水中，此时发动机与机身承受最大冲击力（不能大于机身与发动机的弹性模量） ，接下来又由于客机受水的浮力与阻力还有客机的自身重力客机又会尾翼进入水中重复前面的运动，

11、为了简化模型我们排除影响小的因素后，作如下分析。客机机尾先接触水面， 进入水面很短时间后， 水对客机的冲击力迅速增大达到最大，即为客机所能承受的外界最大冲击力。客机刚接触水面的瞬间，冲击力与速度的夹角大于 90，因而客机速度会减小，但由于速度减小，所以水对客机的阻力也会减小。另一方面，客机刚接触水面时，客机与水面的接触面积不大，但随着客机进入水中，接触面积增大，客机所受的浮力也增大，随着速度的减小，客机的加速度也减小，最后，当加速度和速度都为 0 时，客机就静止。以上分析了客机从机尾接触水面到最终速度减至 0 的情况。经过以上分析初步可推测，客机刚接触水面时客机与水面所成的角与最大冲击力有关，

12、以下则需研究客机刚接触水面时客机与水面所成角与最大冲击力的函数关系。让飞机机尾先入水此时飞机所受的冲击力较小，飞机若以合适的角度入水时，此时的最大冲击力比客机所能承受的力较小即为安全迫降。此时，我们希望求得一个的最优值。模型假设模型假设1、 不考虑天气因素的影响， 空气气流稳定， 空中无任何障碍物。 河面无障碍物，且河面足够宽，即天气和海情状况良好。2、 不考虑飞行员反应时间，飞行员具有良好的心理素质与标准操作技术。3、 客机可控，能以合适的姿态和速度接水，没有俯冲或跳跃，机体结构保持完好。飞机各系统已按水上应急迫降程序进行了处理。4、 迫降过程中客机不发生滚转和侧滑。5、 根据参考文献， 可

13、知机尾先进入水中时冲击力较小。 假设客机机尾先接触水面。6、 飞机进入水面后，不考虑水的浮力对飞机的影响。7、 整个运动过程中客机的重力、重心保持不变，重力加速度不变数值取为 10，在对客机进行受力分析时，将客机抽象为一个质点。8、 客机从接触水面到静止只考虑一个过程： 从接触水面到达到最大冲击力的过程。9、 不考虑客机机身长度微型变化对模型的影响。10、客机进入水中后，河水不会灌入客机内。2基本变量、符号和用语的说明基本变量、符号和用语的说明客机质量客机重力客机与水面所成的夹角水对客机的冲击力客机在刚接触水面到水对客机冲击力达到最大时所需的时间客机机尾刚接触水面时竖直方向的速度客机达到最大冲

14、击力时竖直方向上的速度客机从接触水面至水对客机冲击力达到最大的吃水深度表一mGft1v0v1h模型的建立和求解模型的建立和求解飞机迫降到水面的过程示意图：图一3（1）（2）（3）图二图三4根据对问题的分析，忽略浮力对客机的影响，客机进入水面后受力的情况为：Yf空气水面Vv0G图四客机进入水中后又以下关系式：据冲量定理有：t10(G f cos) * t mv1 mv0.( 1)据动能定理有：hf cos)h 12120(G 2mv12mv0.( 2)vdh1 v0dtt (0,t1).( 3)h v0t 1G f cos2(m)t2.( 4)求解：由（1）得： (G f cos)t1 mv1

15、mv0.( 5)由（ 2）得： (G f cos)h 12122mv12mv0.( 6)由（ 3）得： v1 v0ht.( 7)1(6) /(5)得：ht1(v1 v0).( 8)12将（ 7）代入（ 8）得： v1 v012(v1 v0)解得： v1 3v0.( 9)故 (8)得ht 2v0代入（ 4）得：12v1（G f cos0 v0）2mt解得： f Gt 2mv0t * cos5x常见的客机机型重量 m 数据：机型空机重量A320A300A330MD90B737B747B757B767B77741310 千克89445 千克118511 千克36968 千克31479 千克18098

16、5 千克57180 千克87135 千克135580 千克最 大 起 飞 重 量（KG）68000 千克165000 千克212000 千克51710 千克56472 千克362875 千克104325 千克156489 千克229520 千克表二本文中，只选择 A320 机型进行分析。即 m=68000，G=680000.飞机各部分体积机身921.1m3机翼（两个）475.5m3尾翼（垂直尾翼、发动机（两两个水平尾翼）个）18.8m331.6m3表三飞机各部分弹性模量机身机翼尾翼平均截面16.67.532.85积 S/m2弹性模量E/Pa2.3*1075.1*108表四1.3*109发动机3

17、.81.9*109客机进入水中时，机尾先进入水中此时尾翼所受的冲击力最大，要保证安全，则水对客机的最大冲击不能大于尾翼弹性模量。据文献【3】 ，客机降落至水面的速度为 25m/s.考虑到方向，即 f的矢量性，用 MATLAB作出f 势。2mv0- Gtt * cos的图像,分析图像的变化趋6图五据文献【5】 ，图六原点位于机头顶点，x 轴平行于水面指向尾部，y 轴位于客机对称面内铅垂向上，z 轴由右手坐标系确定。7客机水上迫降过程中可取客机加速度随时间变化的表达式为：0, 0 t t1m(t t1), t t1 t2axt t2m212(t t3) ,t2 t t3(t t )230, t3

18、t0, 0 t t1m(t t1), t t1 t2ayt t2m212(t t3) ,t2 t t3(t t )230, t3 t其中，t1为客机着水时刻，t2为加速度线性增加的结束时刻，t3为加速度减小到零的时刻，m和n分别为表征纵向（x方向）和法向（y方向）加速度线性增加幅度的特征值。速度随时间变化的表达式如下：u u0t0taxdtaydtv v00其中，u0和 v0分别为客机接触水面初始时刻的纵向速度和法向速度。t3时刻加速度和速度同时减小到零，即客机静止。本文共研究了 6 个俯仰角对客机水上迫降性能的影响，分别是：6,7,8,9,10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ,16

19、 8故由 MATLAB 绘制出纵向加速度随时间的变化关系如下：纵向加速度图七法向加速度随时间的变化关系如下：法向加速度图八9客机水上迫降过程中，客机表面的冲击压力峰值随时间变化的曲线如图：图九当客机高速着水后，受到水体的强烈冲击，压力峰值迅速增加，在t=0.5s 时刻达到最大值，然后开始缓慢降低。对于给定的俯仰角，水上迫降过程中客机便面的冲击压力峰值存在最大值，将此值定义为该俯仰角下迫降过程中飞机表面的最大冲击压力。迫降过程中客机表面的最大冲击压力随俯仰角变化的图像见下图：图十俯仰角增加，客机表面的最大冲击压力先缓慢小幅度增加，在 6时达到最大值，随着俯仰角继续增加，开始迅速大幅减小，在 14

20、 时达到最小值，表明以 6进行水上迫降时飞机结构发生破坏的可能性最大， 以 14 进行水上迫降时客机结构发生破坏的可能性最小。10模型的评价模型的评价模型的优点：（1） 本文在建立模型之前将客机的运动过程作出了全面的分析，列出函数方程，思路清晰明确。（2） 在模型的建立过程和问题的解决过程中， 结合了物理、 数学、 工程学等多个学科，将动量、冲量、能量等结合起来，运用了微积分、数形结合等方法，综合解决问题。（3） 解决问题过程中忽略了一些众多复杂而影响较小的因素对问题的影响，建立了简单和切实可行的数学模型解决现实问题。（4） 本文参考了与本问题有关的众多文献知识，查阅了众多与航天航空有关的基础

21、知识，在此基础上解决问题，使得论文更可靠，更有实际意义。（5） 在解决问题过程中，运用了专业的 MATLAB 数学软件计算结果，并通过 MATLAB 作出了复杂的函数图象，研究了图象的走势，对问题的解决奠定了基础。模型的缺点：（1）客机在入水后，部分河水会灌入客机内，客机的质量增加，但本文是在客机质量保持不变的基础上对问题进行的分析。且客机庞大，而本文将其看为一质点会存在误差。且客机迫降过程中头部和尾部的速度会不同，本文考虑到模型的简化，忽略了头部和尾部速度的差距。但实际中此差距会对所求结果造成影响。（2）本文为了简便，事先假定了客机的运动轨迹在同一平面内，从而将其在二维平面直角坐标系中研究，

22、但实际情况中，客机运动不一定在同一平面内，因而应建立三维空间坐标系加以研究。（3）客机在入水后，受力比较复杂，运动过程、运动状态也比较复杂。而本文忽略了影响较小的因素，从而简化了模型。但因为关系到安全问题，所以影响较小的因素也可能会造成影响。（4）客机所受到的力在不断变化，且变化很复杂，在问题解决中运用动量、冲量、能量等物理公式时会存在误差。参考文献参考文献【1】 王晓辉， MA60 飞机水上漂浮特性研究， 西安航空技术高等专科学校学报， 26 （5） ，2008。【2】胡大勇，杨嘉陵，王赞平，魏教育，童亚斌，某型客机水上迫降数值化模型J，北京航空航天大学学报， 34（12）, 2008。【3

23、】贺谦，李元生，李磊，岳珠峰，基于ALE 方法的客机水面降落过程J，爆炸与冲击， 30（2） ：127-129，2010。【4】贺谦，李磊，岳珠峰，基于 Lagrange 算法的飞机水面降落过程研究，机械强度，32（4） ：556-560，2010。【5】屈秋林，刘沛清，郭保东，程丽，某型客机水上迫降的着水冲击力学性能数值研究J，民用客机设计与研究，13（1）:65-67，2009。11附录附录取不同的，通过 MATLAB 画出了不同情况下的冲击力变化：t=0:.01:1;f=(-680000.*t+20.*cos(6.*pi.*180.(-1).*68000).*(cos(6.*pi.*18

24、0.(-1).*t).(-1)plot(t,f)f = 1.0e+008 * Columns 1 through 20 Inf1.35320.67320.44650.33320.18740.16320.14430.12920.11680.0903 0.0838 0.0782 0.0732 0.0687 0.0647 Columns 21 through 40 0.06120.05790.05500.05230.04980.04350.04170.04010.03850.03700.0332 0.0320 0.0309 0.0299 0.0290 0.0280 Columns 41 throug

25、h 60 0.02720.02630.02550.02480.02410.02210.02150.02090.02040.01980.0183 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 Columns 61 through 80 0.01580.01550.01510.01470.01440.01350.01320.01290.01260.01230.0115 0.0113 0.0111 0.0108 0.0106 0.0104 Columns 81 through 100 0.01020.01000.00970.00950.00940.00880.00860.00

26、840.00830.0081120.26520.10650.04760.03570.02340.01930.01410.01210.00920.00790.21980.09780.04550.03440.02270.01880.01380.01180.00900.00780.0076 0.0075 0.0073 0.0072 0.0070 0.0069 Column 101 0.006813t=0:.01:1;f=(-680000.*t+20.*cos(7.*pi.*180.(-1).*68000).*(cos(7.*pi.*180.(-1).*t).(-1)plot(t,f)f = 1.0e

27、+008 * Columns 1 through 20 Inf1.35310.67310.44650.33310.18740.16310.14430.12910.11680.0903 0.0838 0.0781 0.0731 0.0687 0.0647 Columns 21 through 40 0.06110.05790.05500.05230.04980.04350.04170.04000.03850.03700.0331 0.0320 0.0309 0.0299 0.0289 0.0280 Columns 41 through 60 0.02710.02630.02550.02480.0

28、2410.02210.02150.02090.02030.01980.0183 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 Columns 61 through 80 0.01580.01540.01510.01470.01440.01340.01310.01290.01260.01230.0115 0.0113 0.0110 0.0108 0.0106 0.0104 Columns 81 through 100 0.01010.00990.00970.00950.00930.00880.00860.00840.00830.00810.0076 0.0075 0.00

29、73 0.0072 0.0070 0.0069 Column 1010.0067140.26510.10650.04750.03560.02340.01930.01410.01200.00910.00790.21980.09780.04550.03440.02270.01880.01380.01180.00900.0078t=0:.01:1;f=(-680000.*t+20.*cos(8.*pi.*180.(-1).*68000).*(cos(8.*pi.*180.(-1).*t).(-1)plot(t,f)f = 1.0e+008 *15 Columns 1 through 20 Inf 1

30、.3531 0.6731 0.4465 0.3331 0.2651 0.21980.18740.16310.14420.12910.11680.10650.09770.0903 0.0838 0.0781 0.0731 0.0687 0.0647 Columns 21 through 40 0.0611 0.0579 0.0550 0.0523 0.0498 0.0475 0.04540.04350.04170.04000.03850.03700.0331 0.0320 0.0309 0.0299 0.0289 0.0280 Columns 41 through 60 0.0271 0.026

31、3 0.0255 0.0248 0.0240 0.0234 0.02270.02210.02150.02090.02030.01980.0183 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 Columns 61 through 80 0.0158 0.0154 0.0151 0.0147 0.0144 0.0141 0.01370.01340.01310.01280.01260.01230.0115 0.0113 0.0110 0.0108 0.0106 0.0103 Columns 81 through 100 0.0101 0.0099 0.0097 0.0095

32、 0.0093 0.0091 0.00890.00880.00860.00840.00820.00810.0076 0.0074 0.0073 0.0072 0.0070 0.0069 Column 101 0.0067160.03560.01930.01200.00790.03430.01880.01180.0078t=0:.01:1;f=(-680000.*t+20.*cos(9.*pi.*180.(-1).*68000).*(cos(9.*pi.*180.(-1).*t).(-1)plot(t,f)f = 1.0e+008 * Columns 1 through 2017 Inf 1.3

33、531 0.6731 0.4464 0.3331 0.2651 0.21980.18740.16310.14420.12910.11680.10640.09770.0903 0.0838 0.0781 0.0731 0.0687 0.0647 Columns 21 through 40 0.0611 0.0579 0.0549 0.0522 0.0498 0.0475 0.04540.04350.04170.04000.03840.03700.03560.03430.0331 0.0320 0.0309 0.0299 0.0289 0.0280 Columns 41 through 60 0.

34、0271 0.0263 0.0255 0.0247 0.0240 0.0233 0.02270.02210.02140.02090.02030.01980.01930.01880.0183 0.0178 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 Columns 61 through 80 0.0158 0.0154 0.0151 0.0147 0.0144 0.0140 0.01370.01340.01310.01280.01250.01230.01200.01170.0115 0.0112 0.0110 0.0108 0.0106 0.0103 Columns 81 throu

35、gh 100 0.0101 0.0099 0.0097 0.0095 0.0093 0.0091 0.00890.00870.00860.00840.00820.00810.00790.00770.0076 0.0074 0.0073 0.0071 0.0070 0.0069 Column 101 0.0067t=0:.01:1;f=(-680000.*t+20.*cos(10.*pi.*180.(-1).*68000).*(cos(10.*pi.*180.(-1).*t).(-1)plot(t,f)f =18 1.0e+008 * Columns 1 through 20 Inf 1.353

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