新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分.pdf

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1、新人教版八年级下册勾股定理典型例习题一、经典例题精讲题型一:直接考查勾股定理例.在ABC中,90C已知6AC,8BC求AB的长已知17AB,15AC,求 BC 的长分析:直接应用勾股定理222abc解:2210ABACBC228BCABAC题型二:利用勾股定理测量长度例题 1 如果梯子的底端离建筑物9 米,那么15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,.已知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理!根据勾股定理AC2+BC2=AB2,即 AC2+92=152,所以 AC2=144,所以 A

2、C=12.例题 2如图(8),水池中离岸边D点 1.5 米的 C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC 的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B 恰好落到D 点,并求水池的深度AC.解析:同例题1 一样,先将实物模型转化为数学模型,如图 2.由题意可知 ACD中,ACD=90,在 RtACD中,只知道CD=1.5,这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下(仅供参考):解:如图 2,根据勾股定理,AC2+CD2=AD2设水深 AC=x 米,那么AD=AB=AC+CB=x+0.5 x2+1.52=(x+0.5)2 解之得 x=2.故水深为2 米.题型三:勾股定理和逆定理并用例题 3

3、 如图 3,正方形 ABCD 中,E是 BC边上的中点,F 是 AB上一点,且ABFB41那么 DEF是直角三角形吗?为什么?CBDA解析:这道题把很多条件都隐藏了,乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律,没有任何条件,我们也可以开创条件,由ABFB41可以设 AB=4 a,那么 BE=CE=2a,AF=3 a,BF=a,那么在 Rt AFD、RtBEF和 Rt CDE中,分别利用勾股定理求出DF,EF和 DE的长,反过来再利用勾股定理逆定理去判断DEF是否是直角三角形。详细解题步骤如下:解:设正方形ABCD 的边长为4a,则 BE=CE=2a,AF=3 a,BF=a 在 RtCDE中

4、,DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2 同理 EF2=5a2,DF2=25a2 在 DEF中,EF2+DE2=5a2+20a2=25a2=DF2 DEF是直角三角形,且DEF=90 .注:本题利用了四次勾股定理,是掌握勾股定理的必练习题。题型四:利用勾股定理求线段长度例题 4 如图 4,已知长方形ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD上取一点E,将 ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求 CE的长.解析:解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。注:本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。题型五:利用勾股定理逆定理判断垂直例题 5 如图

5、5,王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和 CD边,他测得AD=80cm,AB=60cm,BD=100cm,AD边与 AB边垂直吗?怎样去验证AD边与 CD边是否垂直?解析:由于实物一般比较大,长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4,矩形 ABCD 表示桌面形状,在AB上截取 AM=12cm,在 AD上截取 AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度?),连结 MN,测量 MN的长度。如果 MN=15,则 AM2+AN2=MN2,所以 AD边与 AB边垂直;如果 MN=a15,则 92+122=81+144=225,a2225,即 92+122 a2,所以 A不

6、是直角。利用勾股定理解决实际问题例题 6 有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高 4.5 米的墙上,任何东西只要移至5 米以内,灯就自动打开,一个身高1.5 米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?解析:首先要弄清楚人走过去,是头先距离灯5米还是脚先距离灯5 米,可想而知应该是头先距离灯5 米。转化为数学模型,如图6 所示,A点表示控制灯,BM表示人的高度,BCMN,BC AN当头(B点)距离A有 5 米时,求BC的长度。已知AN=4.5 米,所以 AC=3米,由勾股定理,可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。题型六:旋转问题:例 1、如图,ABC 是直角三角形,BC 是

7、斜边,将 ABP 绕点 A 逆时针旋转后,能与 AC P重合,若 AP=3,求 PP 的长。变式 1:如图,P是等边三角形ABC内一点,PA=2,PB=2 3,PC=4,求 ABC的边长.分析:利用旋转变换,将BPA 绕点 B逆时针选择 60,将三条线段集中到同一个三角形中,根据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形.变式 2、如图,ABC 为等腰直角三角形,BAC=90,E、F是BC 上的点,且EAF=45,试探究222BECFEF、间的关系,并说明理由.题型七:关于翻折问题例 1、如图,矩形纸片ABCD的边 AB=10cm,BC=6cm,E为 BC上一点,将矩形纸片沿AE折叠,点

8、 B恰好落在CD边上的点G 处,求 BE的长.变式:如图,AD 是 ABC的中线,ADC=45,把 ADC沿直线 AD 翻折,点C 落在点 C的 位 置,BC=4,求 BC的长.题型八:关于勾股定理在实际中的应用:例 1、如图,公路 MN 和公路 PQ 在 P点处交汇,点 A 处有一所中学,AP=160 米,点 A 到公路 MN 的距离为80 米,假使拖拉机行驶时,周围 100 米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18 千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少?题型九:关于最短性问题例 5、如右图

9、119,壁虎在一座底面半径为2 米,高为 4 米的油罐的下底边沿A处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击结果,壁虎的偷袭得到成功,获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?(取 3.14,结果保留1 位小数,可以用计算器计算)变式:如图为一棱长为3cm 的正方体,把所有面都分为9 个小正方形,其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点,最少要花几秒钟?三、课后训练:一、填空题1如图(1),在高 2 米,坡角为

10、30的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需_米图(1)2种盛饮料的圆柱形杯(如图),测得内部底面半径为2.5,高为 12,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出 4.6,问吸管要做。3已知:如图,ABC 中,C=90,点 O 为 ABC 的三条角平分线的交点,ODBC,OEAC,OFAB,点D、E、F 分别是垂足,且BC=8cm,CA=6cm,则点O 到三边AB,AC和BC 的距离分别等于cm 4在一棵树的10 米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20 米处的池塘的A 处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高_米。5.如图是一个三级台阶,它的每一

11、级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm,A和 B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B 点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_.二、选择题1已知一个Rt的两边长分别为3和 4,则第三边长的平方是()A、25 B、14 C、7 D、7 或 25 2Rt一直角边的长为11,另两边为自然数,则Rt的周长为()A、121 B、120 C、132 D、不能确定3如果 Rt两直角边的比为512,则斜边上的高与斜边的比为()A、60 13 B、512 C、12 13 D、60169 4已知 RtABC中,C=90,若 a+b=14cm,c=10cm,则 RtABC的面积是()A

12、、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm25等腰三角形底边上的高为8,周长为 32,则三角形的面积为()A、56 B、48 C、40 D、32 6某市在旧城改造中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价 a 元,则购买这种草皮至少需要()A、450a 元B、225a 元C、150a 元D、300a 元7已知,如图长方形ABCD 中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点 D重合,折痕为EF,则 ABE的面积为()A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm28在 ABC 中,AB=15,AC=13,高 AD=12,则 ABC 的周长为A42B32C 42 或 32 D37 或 33 9.如图,正方形网格中的ABC,若小方格边长为1,则 ABC是()(A)直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对C O A B D E F 第 3 题图D B C A 第 4 题图2032AB15020m 30m 第 6 题图A B E F D C 第 7 题图ABC

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