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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版学习必备欢迎下载勾股定理典型例题归类总结题型一：直接考查勾股定理例 .在ABC 中，CBC90已知6 ，8 求 AB 的长已知17， AC15 ，求 BC 的长ACAB跟踪练习：ABC 中，C901.在.（ 1）若 a=5,b=12, 则 c=（ 2）若 a:b=3:4,c=15,则 a=（ 3）若 A=30 ， BC=2, 则;,b=AB=.，AC=.分别对的边为2. 在 Rt ABC 中， C=90， A ， B ， Ca， b，c，则下列结论正确的是()A 、B、C、D、3.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为()A 、
2、2、4、 6B、 4、6、 8C、 6、 8、 10D 、 3、 4、 54.等腰直角三角形的直角边为2，则斜边的长为（）A 、B 、C、1D、 25.已知等边三角形的边长为2cm，则等边三角形的面积为（）A 、B、C、 1D 、6.已知直角三角形的两边为2 和 3，则第三边的长为 .7.如图，ACB= ABD=90， AC=2 ， BC=1 ，则 BD= .8.已知ABC 中， AB=AC=10，BD 是 AC 边上的高线， CD=2 ，那么 BD 等于（）A 、 4B、 6C、 8D 、9.已知 Rt ABC 的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正
3、方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.S1 、S2 、 S3 之间有(1) 如图，以Rt ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积何关系？并说明理由。（ 2）如图，以Rt ABC 的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1 、 S2 、 S3 之间有何关系？（ 3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）名师资料精品学习资料第 1 页，共 22 页学习必备欢迎下载题型二：利用勾股定理测量长度例 1. 如果梯子的底端离建筑物9 米，那么1
4、5 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？跟踪练习：1.如图（ 8），水池中离岸边D 点1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.2.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端米，消防车的云梯最大升长为 13 米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A 、 12 米B、 13 米C、14 米D 、15 米3.如图，有两颗树，一颗高树梢，问小鸟至少飞行（10 米，另一颗高）4 米，两树相距8 米一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的A 、 8 米B、 10 米C、 12 米D、 1
5、4 米题型三：勾股定理和逆定理并用1 AB4FB例 3. 如图 3，正方形ABCD 中， E 是BC 边上的中点， F 是AB 上一点，且那么 DEF 是直角三角形吗？为什么？注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。跟踪练习：名师资料精品学习资料第 2 页，共 22 页学习必备欢迎下载1.如图，正方形ABCD 中， E 为BC 边的中点，F 点CD 边上一点，且DF=3CF ，求证： AEF=90题型四：利用勾股定理求线段长度例在1. 如图 4，已知长方形ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD 上取一点E，将 ADE折叠使点D 恰好落BC 边上的点F，求 CE 的
6、长 .跟踪练习：1.如图，将一个有45 度角的三角板顶点C 放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一个顶点B 在纸带的另一的长 .边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30角，求三角板的最大边AB2.如图，在 ABC 中， AB=BC ， ABC=90，D 为求证： BE=CF; （ 2）若 AE=3 ， CF=1 ，求 EF 的长 .的中点，DE DF，交 AB于 E，交于 F，（ 1）ACBC3.如图，CA=CB,CD=CE, ACB= ECD=90,D 为 AB 边上的一点.若AD=1 ， BD=3 ，求的长 .CD名师资料精品学习资料第 3 页，共 22 页学习必备欢迎下载题型
7、五：利用勾股定理逆定理判断垂直例 1. 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5 米的墙上，任何东西只要移至5 米以内，灯就自动打开，一个身高1.5 米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？跟踪练习：1.如图，每个小正方形的边长都是1， ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断ABC 的形状，并说明理由.（ 1）求证： ABD=90 ;（ 2）求的值2.下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（）A 、 9，12， 15B 、7,24,25C、D 、，3.在 ABC 中，下列说法B= C-A ； A: B: C=3：4：5； a:b:c=5:4:3 ；：=1:2:3
8、 ，其中能判断ABC 为直角三角形的条件有（）A 、 2 个B、 3 个C、 4 个D、 5 个4.在 ABC 中， A 、 B 、 C 的对边分别是是直角？a、b、c.判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个（ 1） a=26，b=10， c=24;（ 2） a=5， b=7， c=9;（ 3）a=2，A 、 2 个5.已知B、 3 个ABC 的三边长为C、 4 个D 、 5 个a、b、 c，且满足，则此时三角形一定是（D 、锐角三角形）A 、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形226.在 ABC 中，若 a= n1 ， b=2n，c= n1 ，则 ABC 是（）名师资料精品学习资
9、料第 4 页，共 22 页学习必备欢迎下载A 、锐角三角形B、钝角三角形C、等腰三角形）D、直角三角形7.如图，正方形网格中的ABC 是（A 、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、锐角三角形或钝角三角形8.已知在A 、如果C、如果（ABC 中， A 、 B、 C 的对边分别是a、b、 c，下列说法中，错误的是（）C- B= A, 那么 C=90B 、如果 C=90，那么a+b）（a-b） =，那么 A=90D 、如果 A=30，那么AC=2BC9.已知 ABC 的三边分别为a， b，c，且a+b=3， ab=1，求的值，试判断ABC 的形状，并说明理由10.观察下列各式： 写出下一个式子
10、为， ，根据其中规律，11.已知， m n， m、n 为正整数，以， 2mn，为边的三角形是 三角形 .12.一个直角三角形的三边分别为题型六：旋转问题：n+1 ，n-1，8，其中 n+1是最大边， 当 n 为多少时， 三角形为直角三角形？23 ,PC=4,求 ABC 的边长例题 6. 如图， P 是等边三角形ABC 内一点， PA=2,PB=.跟踪练习1. 如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=90 ，E 、 F 是BC上的点，且EAF=45 ，试探究BE 2、CF2、 EF 2 间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题例题 7.如图，矩形纸片ABCD的边 AB=10cm ， BC=6cm
11、 ， E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B名师资料精品学习资料第 5 页，共 22 页学习必备欢迎下载恰好落在CD 边上的点G 处，求 BE 的长 .跟踪练习1.如图， AD 是 ABC求 BC 的长 .的中线， ADC=45 ，把沿直线 AD 翻折，点C 落在点C的位置，ADCBC=4,(一 )折 叠直角三角形A 处，1.如图， 在 ABC 中， A = 90，点 D 为 AB 上一点， 沿CD 折叠 ABC，点 A 恰好落在BC 边上的AB=4 ， AC=3 ，求 BD 的长。2. 如图， Rt ABC 中， B=90，AB=3 ，AC=5 将 ABC折叠使 C 与A 重合，折
12、痕为DE，求 BE 的长（二）折叠长方形1.如图，长方形ABCD 中， AB=4 ，BC=5 ，F 为 CD 上一点，将长方形沿折痕AF 折叠，点 D 恰好落在BC名师资料精品学习资料第 6 页，共 22 页学习必备欢迎下载上的点 E 处，求CF 的长。2. 如图，长方形ABCD中， AD=8cm， AB=4cm ，沿EF 折叠，使点与点重合，点 C与 C重合 .（ 1）DB求 DE 的长 ;（ 2）求折痕EF 的长 .3. （ 2013?常德）如图，将长方形纸片在对角线 D处若 AB=3 ， AD=4 ，则ABCD折叠，使边CD 落在对角线上，折痕为CE，且 D点落ACED 的长为（）4.
13、如图， 长方形 ABCD（ 2）求证： CA BD（ 3）求 DBF 的面积中， AB=6 ，AD=8 ，沿 BD 折叠使到 A处 DA交 BC于 F 点 . （1）求证： FB=FEA7. 如图，正方形中，点 E 在边CD 上，将 ADE沿AE 对折至 AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G,GABCD名师资料精品学习资料第 7 页，共 22 页学习必备欢迎下载为 BC 的中点，连结AG 、 CF. （ 1）求证： AG CF;（ 2）求的值 .题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例 1、如图，公路MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160 米，点A 到公路MN
14、 的距离为 80 米，假使拖拉机行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行千米 /小时，那么学校驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是受到影响的时间为多少？18例 2.一辆装满货物高为通过吗？1.8 米，宽 1.5 米的卡车要通过一个直径为5 米的半圆形双向行驶隧道，它能顺利跟踪练习：1.某市气象台测得一热带风暴中心从A 城正西方向300km 处，以每小时26km 的速度向北偏东60方向移动，距风暴中心200km 的范围内为受影响区域。试问A 城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，
15、请说明理由。2.一辆装满货物的卡车,其外形高 2.5 米 ,宽 1.6 米 ,要开进厂门形状如下图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工名师资料精品学习资料第 8 页，共 22 页学习必备欢迎下载厂的厂门 ?3.有一个边长为数）50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整4.如图，铁路上现在要在铁路多少 km 处？A ，B 两点相距 25km ，C，D 为两村庄，DA AB 于 A ，CB AB 于 B ，已知 DA=15km,CB=10km，AB 上建一个土特产品收购站E，使得 C，D 两村到 E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站题型九：关于最短性问题例
16、1、如右图119，壁虎在一座底面半径为2 米，高为4 米的油罐的下底边沿A 处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（ 取 3.14，结果保留1 位小数，可以用计算器计算）例 2.跟踪练习：1.如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9 个小正方形，其边长都是B 点，最少要花几秒钟？1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的名师资料精品学习资料第 9
17、页，共 22 页学习必备欢迎下载2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm， 3cm 和 1cm， A 和.请你想一想， 这只蚂蚁从B 是这个台阶的两A 点出发，沿着台个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，阶面爬到 B 点，最短线路是多少？想到 B 点去吃可口的食物A531B3.一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm， 6cm， 12cm,一只蚂蚁想从盒底的A 点爬到盒顶的B 点,你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？BAA4.如图将一根13.5 厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4 厘米、 3 厘米和12 厘米的长方体无盖盒子中，能全部放进去吗？3？A题
18、型十：勾股定理与特殊角（一）直接运用30或 45的直角三角形AC= 23 ，求 AD的长。1.如图，在ABC 中，C = 90 ， B = 30， AD 是 ABC 的角平分线，若名师资料精品学习资料第 10 页，共 22 页学习必备欢迎下载2.如图，在的长。中， ACB = 90 ， AD 是 ABC 的角平分线，CD AB于 D，CD=2 ，求ABCA= 30AB3.如图，在中， A D BC于 D， B= 60 ， ,C= 45，AC=2 ，求BD 的长。ABC（二）（ 1）作垂线构造30或 45的直角三角形将 105转化为45和 601.如图，在 ABC 中，B= 45 ， A=105
19、 ， AC=2 ，求BC 的长。2. 如图，在四边形ABCD中， A= C=45， ADB= ABC=105 ,若AD=2, 求AB的长；若AB+CD= 23 +2，求 AB 的长。CDAB（ 2）将 75转化为30和 4563. 如图，在ABC 中，B= 45 ， BAC=75 ， AB=，求BC 的长。名师资料精品学习资料第 11 页，共 22 页学习必备欢迎下载题型十一：运用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程1. 如图，在中， C= 90 ， AD 平分CAB 交 CB 于D ，CD=3,BD=5，求AD 的长。ABC2. 如图，在中， A D BC于 D，且 CAD=2 BAD,
20、 若BD=3 ， CD=8 ，求的长。ABCAB(二 )巧用“连环勾”列方程1. 如图，在ABC 中， AB=5 ，BC=7 ， AC=42,求S.ABC2. 如图，在ABC 中， ACB= 90 ， CD AB于 D， AC=3， BC=4，求 AD 的长。3. 如图，ABC 中， ACB=90， CDAB 于 D， AD=1 ， BD=4 ，求AC 的长名师资料精品学习资料第 12 页，共 22 页学习必备欢迎下载4.如图， ABC 中， ACB=90， CD AB于D ，CD=3 ， BD=4 ，求的长AD题型十二：勾股定理与分类讨论（一）锐角与钝角不明时需分类讨论1. 在 ABC 中，
21、 AB=AC=5 ，求 BC 的长2. 在 ABC 中， AB=15 ， AC=13 ， AD为 ABC 的高，且AD=12 ，求的面积。ABC（二）腰和底不明时需分类讨论3.如图 1， ABC 中， ACB=90，AC=6 ，BC=8 ，点 D 为射线 ABD的周长 .AC 上一点，且是等腰三角形，求ABD名师资料精品学习资料第 13 页，共 22 页学习必备欢迎下载（三）直角边和斜边不明时需分类讨论1.已知直角三角形两边分别为2 和 3，则第三边的长为 2.在 ABC 中， ACB=90，AC=4 ， BC=2 ，以 AB 为边向外作等腰直角三角形ABD ，求 CD 的长3.如图， D(2
22、,1), 以OD 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?写出落在 x 轴上的顶点坐标.题型十三：或问题的证明1.如图 1， ABC中， CA=CB ， ACB=90， D 为 AB 的中点， M 、 N 分别为 AC 、 BC 上一点，且DM DN.（ 1）求证：CM+CN=BD（ 2）如图 2，若M 、N 分别在 AC 、 CB 的延长线上，探究CM 、 CN 、BD 之间的数量关系式。名师资料精品学习资料第 14 页，共 22 页学习必备欢迎下载2.已知 BCD= ， BAD= ，CB=CD.（ 1）如图 1，若 = =9，0 求证： AB+AD=AC
23、；（ 2）如图 2，若 =90，求证： AB-AD=AC ；（ 3）如图3，若=120， =60，求证：AC ；（4）如图AB=AD=3，若 = =12，0 求证：AC ；AB-AD=题型十四：问题的证明1.如图， OA=OB ，OC=OD ，AOB=COD=90，M 、N分别为 AC 、BD 的中点， 连 MN 、ON. 求证：MN=ON.名师资料精品学习资料第 15 页，共 22 页学习必备欢迎下载2.已知 ABC 中， AB=AC ， BAC=90， D 为BC 的中点， AE=CF ，连 DE 、 EF. （ 1）如图 1，若 E、 F分别在 AB 、 AC 上，求证：DE；（ 2）如
24、图2，若E、 F 分别在BA 、 AC的延长线上，则(1)中的结EF=论是否仍成立？请说明理由3.如图， ABD 中， O 为AC 之间相等的数量关系的中点， C 为 DO 延长线上一点，ACO=135， ODB=45探究OD 、OC、AB名师资料精品学习资料第 16 页，共 22 页学习必备欢迎下载4.如图， ABD是等腰直角，于 H 求证：BAD=90， BC AD ，BC=2AB， CE平分BCD ，交于E，交ABBD（ 1） DC=DA ；（ 2） BE=DH题型十五： 勾股定理（逆定理）与网格画图1.如图，每个小正方形的边长为1， A 、 B、 C是小正方形的顶点，则ABC 的度数为
25、2.如图，每个小正方形的边长都是1，在图中画一个三角形，使它的三边长分别是，且三角形3,2的三个顶点都在格点上名师资料精品学习资料第 17 页，共 22 页学习必备欢迎下载3.如图，每个小正方形的边长都是1，在图中画一个边长为的正方形，且正方形的四个顶点在格点上4.在图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3 个5.如图，在4 个均匀由16 个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4 个三角形中，与众不同的是 中的三角形，图4 中最长边上的高为 6.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为列要求画图：1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下（ 1）画
26、一条线段MN ，使 MN=；（ 2）画 ABC ，三边长分别为3， 2。7.如图，在55 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 的端点在格点上（ 1）图 1 中以 AB 为腰的等腰三角形有 个，画出其中的一个，并直接写出其底边长（ 2）图 2 中， 以 AB 为底边的等腰三角形有 个，画出其中的一个，并直接写出其底边上的高题型十六： 利用勾股定理逆定理证垂直1.如图，在ABC 中，点D 为BC 边上一点，且AB=10 ，BD=6 ， AD=8 ， AC=7 ，其求CD 的长 .名师资料精品学习资料第 18 页，共 22 页学习必备欢迎下载2.如图，在四边形ABCD 中， B=90
27、， AB=2 ，CD=5 ， AD=4 ，求.3.如图，在中， AD为 BC 边上的中线，AB=5,AC=13,AD=6，求 BC的长 .ABC4.已知AD ABC 中， CA=CB, ACB=，点P 为 ABC内一点，将CP 绕点C 顺时针旋转得到CD ，连名师资料精品学习资料第 19 页，共 22 页学习必备欢迎下载（ 1）如图（ 2）如图1，当 =60，PA= 10 ， PB=6， PC=8 时，求BPC 的度数2，当 =90，PA=3 ， PB=1 ，PC=2 时，求 BPC 的度数题型十七：1.已知，在 于 F勾股定理综合纯几何问题Rt ABC 中， C=90， D是AB 的中点，
28、EDF=90， DE交射线 AC 于 E，DF 交射线CB（ 1）如图（ 2）如图（ 3）如图1，当2，当3，当AC=BC 时，、之间的数量关系为 （直接写出结果）；ACBC 时，试确定、之间的数量关系，并加以证明；ACBC 时， (2)中结论是否仍成立？2.已知 OMN 为等腰直角，MON=90 ，点 B 为NM 延长线上一点，OC OB ，且OC=OB.（ 1）如图（ 2）如图（ 3）如图1，连 CN ，求证： CN=BM;2，作 BOC 的平分线交MN 于 A ，求证：作 AE ON 于 E，过 B 作 BF OM3，在 (2)的条件下，过于 F， EA 、 BF 的延长线交于P，A名师
29、资料精品学习资料第 20 页，共 22 页学习必备欢迎下载请探究、之间的数量关系式题型十八：1.已知点 A勾股定理综合（二）与代数结合的坐标为（ 1，-3）， OAB=90， OA=OB.（ 1）如图 1，求点 B 的坐标；（ 2）如图 2， AD y 轴于 D， M 为 OB 的中点，求的长；DM2.已知点 A 、 B 分别在 x 轴、 y 轴上， OA=OB ，点 C 为 AB 的中点，AB=12.（ 1）如图（ 2）如图（ 3）在图1，求点 C 的坐标2， E、 F 分别为 OA 上的动点，且ECF=45 ，求证：2 中，若点E 的坐标为 (3， 0)，求CF 的长名师资料精品学习资料第 21 页，共 22 页学习必备欢迎下载名师资料精品学习资料第 22 页，共 22 页