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1、-1-数值分析实 验 报 告 册姓名:学号:专业:年级:计算机科学学院计算机应用教研室2008 年 春季 学期-2-目 录实验一.3 实验二.5 实验三.7 实验四.10 实验五.12 实验六.15 实验七18-3-实验一一、课题名称非线性方程数值解法二、目的和意义学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；熟悉插值方法的程序编制；如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。三、计算公式Lagrange插值公式：knkiiikinknyxxxxxL00牛顿插值公式：1101012100100,nnnxxxxxxxxxfxxxxxfxxxxf
2、xfxp四、结构程序设计程序设计:#includemath.h float f(float x)return(x*x*x-1)/3);/*牛顿迭代函数*/main()float x1,x2,eps,d;int k=0;clrscr();printf(n input x1=);/*输入迭代初值*/-4-scanf(%f,&x1);printf(n input eps=);/*输入求解精度 eps*/scanf(%f,&eps);do k+;x1=x2;x2=f(x1);printf(n%d%fn,k,x2);while(fabs(x2-x1)=eps);printf(the root of f(
3、x)=0 is x=%f,k=%dn,x2,k);/*输出 x 和迭代次数 k*/getch();五、结果讨论和分析计算结果分析：将六种迭代格式分别代入程序试验：（1）第一种格式：无论何值都无法求出，即发散（2）第二种格式：初值为任意的 x（x20），精度为 0.0001 X=1.879372，k=10 其他值为发散。（4）第四种格式：初值为任意值，精度为0.00001 X=-0.347296,k=5（5）第五种格式：初值为任意值,精度为 0.00001 X=-0.347296,k=4（6）第六种格式：初值为任意值，精度为0.00001 X=-0.347296,k=4 由此可知不同的初值对公式
4、的计算有影响，当初值不满足函数的收敛条件时，无法计算结果，函数发散。精度的大小不同也使迭代函数迭代的次数不同，从而影响xn的近似程度。-5-实验二一、课题名称解线性方程组的直接方法二、目的和意义掌握线性方程组直接接法的基本思想；了解不同数值方法解线性方程组的原理、实现条件、使用范围、计算公式；培养编程与上机调试能力。三、计算公式消去法设 a(k)kk=0,对 k=1，2，n-1 计算mik=a(k)ik/a(k)kka(k+1)ij=a(k)ij-mika(k)kj i,j=k+1,k+2,n b(k+1)i=b(k)i-mikb(k)kxn=b(n)n/a(n)nnxi=(b(i)i-a(i
5、)ijxj)/a(i)ii i=n-1,n-2,1 平方根法追赶法lij=(aii-l2ik)1/2Ly=flji=(aji-ljklik)/liij=i+1,i+2,n Ux=y y1=f1/l1 y2=(fi-aiyi-1)/lii=2,3,n四、结构程序设计nj=i+1-6-用追赶法求解线性方程组#includestdio.h main()FILE*f;double a15,b15,c15,d15;double t;int i,n;f=fopen(zgf.dat,r);fscanf(f,%d,&n);fscanf(f,%lf%lf%lf,&b1,&c1,&d1);for(i=2;i=n-
6、1;i+)fscanf(f,%lf%lf%lf%lf,&ai,&bi,&ci,&di);fscanf(f,%lf%lf%lf,&an,&bn,&dn);fclose(f);c1=c1/b1;d1=d1/b1;for(i=2;i=1;i-)di=di-ci*di+1;printf(n*n);for(i=1;i=n;i+)printf(d%2d=%lfn,i,di);五、结果讨论和分析此 方法通过有限步算术运算求出精确解，但实际计算由于舍入误差的影响，只能求出近似解。-7-实验三一、课题名称解线性方程组的迭代法二、目的和意义了解各迭代法的基本原理和特点，判断雅克比迭代、高斯-塞德尔迭代对任意初始向
7、量的收敛性，完成雅克比迭代、高斯-塞德尔迭代算法的程序实现三、计算公式雅可比xi(k+1)=1/aii(bi-aijxj(k)高斯-塞德尔xi(k+1)=1/aii(bi-aijxj(k+1)-aijxj(k)超松弛迭代xi(k+1)=（1-w）xi(k)+w*(bi-aijxj(k+1)-aijxj(k)/aii四、结构程序设计高斯-塞德尔法：#includemath.h#define M 8#define N 9 main()double aMN=4,2,-4,0,2,4,0,0,0,2,2,-1,-2,1,3,2,0,-6,-4,-1,14,1,-8,-3,5,6,20,-8-0,-2,
8、1,6,-1,-4,-3,3,23,2,1,-8,-1,22,4,-10,-3,9,4,3,-3,-4,4,11,1,-4,-22,0,2,5,-3,-10,1,14,2,-15,0,0,6,3,-3,-4,2,19,45;double xM=0,0,0,0,0,0,0,0;double r,t,q,eps=0.0001;int k,i,j,T=100;for(i=0;iM;i+)for(j=0;jN;j+)printf(%1f,aij);printf(n);for(k=0;kT;k+)r=0;for(i=0;iM;i+)t=xi;q=0;for(j=0;jr)r=fabs(xi-t);if(
9、reps)break;printf(nk=%d,k);for(i=0;iM;i+)printf(nx%d=%lf,i,xi);if(k=T)printf(nNo);else for(i=0;iM;i+)printf(x(%d)=%15.7fn,i+1,xi);-9-五、结果讨论和分析与直接法相比，迭代法适用于稀疏矩阵的线性方程组-10-实验四一、课题名称函数插值方法二、目的和意义了解多项式差值公式的存在唯一性条件及其余项表达式的推导，了解拉格朗日插值多项式的构造、计算及其基函数的特点，牛顿插值多项式的构造与应用，差商、差分的计算及基本性质。三、计算公式)(xli=nijjjijxxxx0，i=
10、0,1,2n P(X)=p(x)+iiyxl)(p(x)的初值是 0)。四、结构程序设计#includestdio.h#includemath.h#includestring.h#includeconio.h#includestdlib.h#define n 5 double x1=0.4,0.55,0.65,0.80,0.95,1.05;double y1=0.41075,0.57815,0.69675,0.90,1.00,1.25382;main()double Lag(double x1,double y1,float t);int m,k;float x,y;float X;doubl
11、e z;printf(nthe number of the interpolation points is m:);scanf(%d,&m);for(k=1;k=m;k+)printf(ninputX%d=,k);scanf(%f,&X);-11-z=Lag(x1,y1,X);printf(P(%f)=%fn,X,z);getch();return(0);double Lag(double x,double y,float X)int i,j;double L,P;P=0.0;for(i=0;i=n;i+)L=1.0;for(j=0;j=n;j+)if(j!=i)L=L*(X-xj)/(xi-
12、xj);P=P+yi*L;return(P);五、结果讨论和分析-12-实验五一、课题名称曲线拟合的最小二乘法二、的和意义掌握曲线拟合的最小二乘法；了解最小二乘法亦可以用于解超定线性方程组；探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。三、计算公式e 22=2i=(xi)-f(xi)2四、结构程序设计#include stdio.h#include math.h#define num 10 float neiji(float bnum,float cnum)int p;float nj=0;for(p=1;pnum;p+)nj+=cp*bp;return nj;float snum,xnum,fain
13、umnum,afanum;float beidanum,anum,xfainum,ydnum,max,pcpfh;void main()int i,j,k,n,index,flag;char conti;conti=;printf(请输入已知点的个数n=n);scanf(%d,&n);printf(请输入 x 和 y:);for(i=1;i=n;i+)printf(x%d=,i);scanf(%f,&xi);printf(y%d=,i);scanf(%f,&yi);-13-while(conti=)printf(请输入拟和次数=);scanf(%d,&index);pcpfh=0;afa1=0
14、;a0=0;for(i=1;i=n;i+)afa1+=xi;a0+=ydi;fai0i=1;afa1=afa1/n;a0=a0/n;for(i=1;i=n;i+)fai1i=xi-afa1;a1=neiji(fai1,yd)/neiji(fai1,fai1);for(k=1;kindex;k+)for(i=1;i=n;i+)xfaii=xi*faiki;afak+1=neiji(faik,xfai)/neiji(faik,faik);beidak=neiji(faik,faik)/neiji(faik-1,faik-1);for(j=1;j=n;j+)faik+1j=(xj-afak+1)*f
15、aikj-beidak*faik-1j;ak+1=neiji(faik+1,yd)/neiji(faik+1,faik+1);printf(%d次拟和结果为 n,index);for(i=0;i=index;i+)printf(a%d=%fn,i,ai);for(i=1;i=index;i+)printf(afa%d=%fn,i,afai);for(i=1;iindex;i+)printf(beida%d=%fn,i,beidai);for(i=1;i=n;i+)for(k=0;k=index;k+)si+=ak*faiki;ydi=fabs(ydi-si);pcpfh+=ydi*ydi;si
16、=0;max=0;for(i=1;imax)max=ydi;flag=i;printf(当 x=%f 时,偏差最大=%f,偏差平方和为%fn,xflag,max,pcpfh);printf(继续拟和请按 space,按其他键退出);conti=getchar();conti=getchar();五、结果讨论和分析请输入已知点的个数n=10 请输入 x 和 y：x1=0 y1=0 请输入拟合次数=5 5 次拟合结果为当x=0.000000 时，偏 差 最 大=6706185.000000，偏 差 平 方 和 为449729146126336.000000.-15-实验六一、课题名称数值积分与数值
17、微分二、目的和意义深刻认识数值积分法的意义；明确数值积分精度与步长的关系；根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题。三、计算公式=1/6*f(a)+4 f(xk+1/2)+2f(xk)+f(b)Rn=64/63*c2n-1/63*cn四、结构程序设计Romberg 算法:#includestdio.h#includemath.h#includeconio.h float f(float x)return(exp(x)/(4+x*x);main()float a=0,b=1;float h=b-a,T1,T2,s,x;int i;T1=h/2*(f(a)+f(b);for(i=0;i3;
18、i+)printf(h=%f,T=%fn,h,T1);s=0;x=a+h/2;while(xb)s+=f(x);x+=h;-16-T2=T1/2+h/2*s;h/=2;T1=T2;printf(h=%f,T=%fn,h,T1);return;Simpson 算法：#includestdio.h#includemath.h#includeconio.h#define Max_M 20 float f(float x)return(sin(x)/x);float Simpson(float a,float b,int n)int k;float x,s1,s2,h=(b-a)/n;x=a+h/2;
19、s1=f(x);s2=0;for(k=1;kn;k+)s1=s1+f(a+k*h+h/a);s2=s2+f(a+k*h);s2=h*(f(a)+4*s1+2*s2+f(b)/6;return(s2);main()int i,n;float a1,b1,s=0;printf(n Input the begin:);scanf(%f,&a1);printf(n Input the end:);scanf(%f,&b1);do printf(n input n divde valuedivide(%f,%f):,a1,b1);scanf(%d,&b1);while(nMax_M);s=Simpson
20、(a1,b1,n);printf(solve is:%f,s);getch();return(s);-17-五、结果讨论和分析用 Romberg法得出结果为：用 Simpson法得出结果为：可见复化公式要先估计出步长，步长的大小将影响计算结果和精度-18-实验七一、课题名称常微分方程的数值解法二、目的和意义熟悉各种初值的问题的算法，编出算法程序；明确各种算法的精度寓所选步长有密切关系；通过计算更加了解各种算法的优越性；三、计算公式k1=f(xi,yi)k2=f(xi+1/2+1/2,yi+h/2*k1)k3=f(xi+1/2,yi+h/2*k2)k4=f(xi+1,yi+h*k3)Yi+1=y
21、i+h*(k1,2*k2+2*k3+k4)/6 四、结构程序设计Rung-kutta 法：#includemath.h#includestring.h#includestdio.h#includeconio.h float f(float x,float y)float y1;y1=y-2*x/y;return y1;float Runge_Kutta(float x,float y,float h)float k1,k2,k3,k4;k1=f(x,y);k2=f(x+h/2,y+h*k1/2);k3=f(x+h/2,y+h*k2/2);k4=f(x+h,y+h*k3);return(y+h*
22、(k1+2*k2+2*k3+k4)/6);main()-19-int i=0;float x,y,h,b;clrscr();printf(n Input begin x0:);scanf(%f,&x);printf(n Input begin y0:);scanf(%f,&y);printf(n Input step h:);scanf(%f,&h);printf(n Input end b:);scanf(%f,&b);printf(n x0=%10f y0=%10fn,x,y);do y=Runge_Kutta(x,y,h);x=x+h;i+;printf(x%d=%10f y%d=%10fn,i,x,i,y);while(xb);getch();return(y);五、结果讨论和分析可见步长的选取会影响节点处数值解的误差