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1、相似三角形经典大题解析1.如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，B和C都为锐角，M为AB一动点（点M与点AB、不重合），过点M作M NBC，交AC于点N，在AM N中，设M N的长为 x，M N上的高为h（1）请你用含x 的代数式表示h（2）将AMN沿M N折叠，使AM N落在四边形BCN M所在平面，设点A落在平面的点为1A，1A M N与四边形BC N M重叠部分的面积为y，当 x 为何值时，y最大，最大值为多少？【答案】解：（1）M NBCAM NABC 68hx34xh（2）1AM NA M N 1A M N的边M N上的高为h，当点1A落在四边形BC N
2、M内或B C边上时，1A MNyS=211332248M Nhxxx（04x）当1A落在四边形BC N M外时，如下图(48)x，设1A EF的边E F上的高为1h，则132662hhx11EFM NA EFA M N 11A M NABCA EFABC 1216A EFShS ABC168242A BCS2236322 41 22 462EFxSxx1 A1122233912241224828A M NA EFySSxxxxx所以291224(48)8yxxx综上所述：当04x 时，238yx，取4x，6y最 大当48x时，2912248yxx，取163x，8y最 大86当163x时，y最大
3、，8y最 大M N C B E F A A1 2如图，抛物线经过(4 0)(1 0)(02)ABC，三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PMx轴，垂足为M，是否存在P 点，使得以A，P，M 为顶点的三角形与O AC相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】解：（1）该抛物线过点(02)C，可设该抛物线的解析式为22yaxbx将(4 0)A，(1 0)B，代入，得1642020abab.，解得1252ab.，此抛物线的解析式为215222yxx（2）存在如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为215222mm，当14m时，4AMm，
4、215222PMmm又90C O APM A，当21AMAOPMO C时，APMAC O，即21542222mmm解得1224mm，（舍去），(2 1)P，当12AMO CPMO A时，APMCAO，即2152(4)222mmm解得14m，25m（均不合题意，舍去）当14m时，(2 1)P，类似地可求出当4m时，(52)P，当1m时，(314)P，综上所述，符合条件的点P为(2 1)，或(52)，或(314)，3如图，已知直线128:33lyx与直线2:216lyx相交于点Cll12，、分别交 x 轴于AB、两点矩形D EF G的顶点DE、分别在直线12ll、上，顶点FG、都在 x 轴上，且点
5、G与点B重合（1）求ABC的面积；（2）求矩形D EFG的边D E与EF的长；（3）若矩形D EF G从原点出发，沿 x 轴的反方向以每秒1 个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)tt秒，矩形D EFG与ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围【答案】（1）解：由28033x，得4xA点坐标为4 0，由2160 x，得8xB点坐标为8 0，8412ABA D B E O C F x y1ly 2l（G）由2833216yxyx，解得56xy，C点的坐标为5 6，111263622A BCCSAB y（2）解：点D在1l上且2888833DBDxxy，D点
6、坐标为8 8，又点E在2l上且821684EDEEyyxx，E点坐标为4 8，8448O EEF，（3）解法一：当03t时，如图1，矩形D EF G与ABC重叠部分为五边形C H F G R（0t时，为 四 边 形C H F G）过C作C MAB于M，则R tR tR G BC MBBGRGBMC M，即36tRG，2RGtRtR tAF HAM C，11236288223ABCBRGAFHSSSStttt即241644333Stt当83t时，如图2，为梯形面积，G（8t,0）GR=32838)8(32tt,3803832838)4(32421ttts当128t时，如图3,为三角形面积，488
7、3)12)(328(212ttttsA D B E O R F x y1l2lM（图 3）G C A D B E O C F x y1l2lG（图 1）R M A D B E O C F x y1l2lG（图 2）R M 4如图，矩形ABC D中，3AD厘米，ABa厘米（3a）动点MN，同时从B点出发，分别沿BA，BC运动，速度是1厘米秒过M作直线垂直于AB，分别交AN，C D于PQ，当点N到达终点C时，点M也随之停止运动设运动时间为t秒（1）若4a厘米，1t秒，则P M_厘米；（2）若5a厘米，求时间t，使PNBPAD，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PM BN与梯
8、形PQDA的面积相等，求a 的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PM BN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）34PM，（2）2t，使PN BPAD，相似比为3:2（3）PMABC BABAM PABC，AM PABC，PMAMBNAB即()PMatt atPMtaa，(1)3t aQ Ma当梯形PM BN与梯形PQDA的面积相等，即()()22Q PAD D QM PBNBM()33(1)()22t attaatttaa化简得66ata，3t，636aa，则636aa，（4）36a 时梯形PM B
9、N与梯形PQDA的面积相等梯形PQCN的面积与梯形P M BN的面积相等即可，则C NPM()3tatta，把66ata代入，解之得23a，所以23a所以，存在 a，当23a时梯形PM BN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等D Q C P N B M A D Q C P N B M A 5如图，已知 ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s，点 Q 运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当 t2 时，判断 BPQ
10、 的形状，并说明理由；（2）设 BPQ 的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式；（3）作 QR/BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时，APRPRQ？【答 案】解：(1)BPQ 是 等 边 三 角 形,当t=2时,AP=2 1=2,BQ=2 2=4,所 以BP=AB-AP=6-2=4,所以 BQ=BP.又因为 B=600,所以 BPQ是等边三角形.(2)过 Q作 QE AB,垂足为 E,由 QB=2y,得 QE=2tsin600=3t,由 AP=t,得 PB=6-t,所以 SBPQ=21BP QE=21(6-t)3t=23t2+33t；(3)因为 QRBA,所以
11、QRC=A=600，RQC=B=600，又因为 C=600,所以 QRC是等边三角形,所以 QR=RC=QC=6-2t.因为 BE=BQ cos600=212t=t,所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以 EPQR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形,所以 PR=EQ=3t,又因为 PEQ=900,所以 APR=PRQ=900.因为 APR PRQ,所以 QPR=A=600,所以 tan600=PRQR,即3326tt,所以 t=56,所以当 t=56时,APR PRQ6在直角梯形OABC 中，CBOA，COA90o，CB 3，OA6，BA3 5分别以 OA、OC
12、边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1 所示的平面直角坐标系（1）求点 B 的坐标；（2）已知 D、E 分别为线段OC、OB 上的点，OD5，OE2EB，直线 DE 交 x 轴于点 F求直线 DE 的解析式；（3）点 M 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N使以 O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由A BD E（第 26 题图 1）FCOMNxy图 7-2 A D O B C 2 1 M N 图 7-1 A D B M N 1 2 图 7-3 A D O B C 2 1 M N O.7在图 15-1 至图 1
13、5-3 中，直线MN 与线段 AB 相交于点 O，1=2=45（1）如图 15-1，若 AO=OB，请写出AO 与 BD的数量关系和位置关系；（2）将图 15-1 中的 MN 绕点 O 顺时针旋转得到图 15-2，其中 AO=OB 求证：AC=BD，AC BD；（3）将图15-2 中的 OB 拉长为AO 的 k 倍得到图 15-3，求ACBD的值【答案】解：（1）AO=BD，AOBD；（2）证明：如图4，过点 B 作 BECA 交 DO 于 E，ACO=BEO又 AO=OB，AOC=BOE，AOC BOEAC=BE又 1=45 ，ACO=BEO=135 DEB=45 2=45，BE=BD，EB
14、D=90 AC=BD 延长 AC 交 DB 的延长线于F，如图4 BEAC，AFD=90 AC BD（3）如图 5，过点 B 作 BECA 交 DO 于 E，BEO=ACO又 BOE=AOC，BOE AOCAOBOACBE又 OB=kAO，由（2）的方法易得BE=BD kACBD10如图，已知过A（2，4）分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M、N，若点 P从 O点出发，沿 OM 作匀速运动，1 分钟可到达M点，点 Q从 M点出发，沿 MA作匀速运动，1 分钟可到达A点。（1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？（2）写出线段PQ长度的平方y 与时间 t 之间的函数关系式和t 的取值范围；（3）在 P、Q运动过程中，是否可能出现PQ MN？若有可能，求出此时间t；若不可能，请说明理由；（4）是否存在时间t，使 P、Q、M构成的三角形与MON 相似？若存在，求出此时间t；若不可能，请说明理由；Y N A Q O P M X（本试题由冯老师数学工作室整理提供http:/ 4 A D O B C 2 1 M N E F A O B C 1 D 2 图 5 M N E