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1、二 OO六年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛初赛试题一、填空题(每小题 3 分，满分33 分)1函数 y=x+3x-1-2中，自变量 x 的取值范围是22006 年春节，从除夕到大年初七，八天时问，全国手机短信发送量为126 亿条，用科学记数法表示126 亿条为条。3如图，在 ABC中，DE BC，EFAB，且 ADE的面积与四边形DBCE 的面积比为l：3，则FC：DE的值为4观察图中数字的规律，在“?”处的数字是5等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，若腰长为a，则其底边上的高为6某商店对标价为l 元的铅笔有两种优惠：甲种优惠每买5 支送 1 支(不足 5 支不送)；乙种优惠买
2、4 支或 4 支以上打 8.5折小明义13 支这样的铅笔，夸少要付元7若关于x 的分式方程2x+ax-2=1 的解是正数，则a 的取值范闱是。8如图，半径为2 的 O中，弦 AB与弦 CD垂商相交于点P，连结 OP，若 OP=1，则 AB2+CD2的值为9某班进行一次测试，试卷由 20 道选择题组成 每题答对得3 分，不答得 0 分，答错得-分如果小刚答对19 道题，那么他得了分10.甲去上海进货，乙去广州进货，结果购进同样的衬衫共100 件，都以每件a 元的价格卖出，甲赚 800 元，乙赚 1800 元若甲按乙的价格进原数量衬衫，乙按甲的价格进原数量衬衫，也以每件 a 元的价格卖出，两个人赚
3、钱一样多，则甲进件衬衫11在 RtABC中，ACB=900，AC=3，BC=4，点 P在斜边 AB上，且 CP2=APBP，则 CP的长为二、单项选择题(每小题 3 分，满分 27 分)12已知 a-b=3，a+c=-5，则代数式ac-bc+a2-ab 的值是()(A)-15 (B)-2 (C)-6 (D)6 13.在起始站，(第一站)以后每站都有一半人下车，又有下车人数的一半人上车，如果到第五站(终点站)还有 27 人，那么起始站上车的人数是()(A)128 (B)64 (C)32 (D)16 14下列命题中，假命题有()等腰梯形的底角相等四个角都相等的四边形是矩形对角线互相垂直的四边形是菱
4、形一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个15若直角三角形的三边长分别为2、4、x，则 x 的可能值有()(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个16若函数y=(k+1)x2+x+k2+3k-2 的图象与 y 轴交点的纵坐标为-4，则 k 的值是()(A)-1 (B)-2 (C)-1或 2 (D)-1或-2 17植树节时，某班平均每人植树6 棵，如果只由女同学完成，每人应植树15 棵：如果只由男同学完成，每人应植树()(A)9 棵 (B)10棵 (C)11棵 (D)12棵18从 2，3，4，5 这四个数中，任取两个数p 和 q(pq)
5、，构成函数y=px-2 和 y=x+q，若两个函数图象的交点在直线x=2 的左侧，则这样的有序数组(p，q)共有()(A)12组 (B)10组 (C)6组 (D)15组19如图，EF过矩形的对角线交点O，且分别交AB、CD于 E、F，如果阴影部分的面积为12，那么矩形的面积为()(A)60 (B)48 (C)40 (D)36 20 三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有()(A)3个 (B)4个 CC)5个 (D)6个三、解答题(满分 60 分)21(本题 5 分)某同学在计算“(x-2x+2+4x-x2x2-4)4x2x2-4，其中 x=-2006”时，把“x=-
6、2006”错抄成“x=2006”，但他的计算结果仍是正确的，请你说明这是为什么？22(本题 6 分)某种产品按质量分为10 个档次生产最低档次的产品，每件获利润8 元每提高一个档，每件产品利润增加2 元最低档次的产品每天可生产60 件，提高一个档次将减少3 件如果使一天获利润858 元，应生产哪个档次的产品(最低档次为第一档次，档次依次随质量增加而提高)?23(本题 6 分)如图，张大爷家有一块四边形的菜地，在A处有一口井，张大爷欲想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分请你为张大爷设计一种引水渠的方案，画出图形并说明理由24.某校为了了解学生环保情况，对部分
7、学生进行了一次环保知识测试(分数为整数，满分 100分)，根据测试成绩(最低分 53 分)分别绘制如下统计表和统计图，请你根据统计表和统计图回答下列问题：分数59.5 分以下59.5 分以上69.5 分以上79.5 分以上89.5 分以上人数3 42 32 20 8 这次参加测试的总人数为多少?在 76.5 84.5 这一小组内的人数为多少?这次测试成绩的中位数落在哪个小组内?成绩在 84.5 89.5 之间的人数为多少?25.甲、乙两个登山队分别以不变的行进速度同时攀登一座高为2.6 千米的高山甲、乙两个登山队选择了不同的登山路线如图所示为登山高度不超过2 千米时，两个登山队登山的高度h(千
8、米)与登山时间t(小时)的函数图象，根据图象回答下列问题：(1)求出乙登山队登山高度与登山时间的函数关系式：(2)在两个登山队登山高度不超过2 千米时，求经过多长时间两队的高度相同；(3)若登山的高度超过2 千米时，这两个登山队继续按原行进速度登山，能否确定哪个登山队先到达山顶?若能确定，请求出先到达山顶的那个登山队所用的时间；若不能，请说明理由26.在四边形ABCD中，对角线AC平分 DAB 如图 1，当 DAB=1200，B=D=900时，易证：AB+AD=AC (1)如图 2，当 DAB=1200，B与D 互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明：(2)如图
9、 3，当 DAB=900，B 与 D 互补时，线段AB、AD：AC又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需证明：27.某饮料厂生产A、B两种矿泉水，每天生产B种矿泉水比A 种矿泉水多10 吨，A种矿泉水比 B种矿泉水每天多获利润2 000 元，其中A种矿泉水每吨可获利润200 元，B 种矿泉水每吨可获利润100 元 (1)求该厂每天生产A种、B种两种矿泉水各多少吨；(2)由于江水受到污染，市政府要求该厂每天必须多生产10 吨矿泉水，该厂决定响应政府号召，献一份爱心，每天的利润不超过原来的利润，但不少于8 000 元，问该厂每天产A种矿泉水最多多少吨?28.在 RtAOB中，AOB=900，ABO
10、=300，BO=4，分别以OA、OB边所在的直线建立平面直角坐标系，D点为 x 轴正半轴上的一点，以OD为一边在第一象限内作等边ODE (1)如图 l，当 E 点恰好落在线段AB上，求 E 点坐标；(2)在(1)问的条件下，将 ODE在线段 OB上向右平移(如图 2)，图中是否存在一条与线段OO 始终相等的线段?如果存在，请指出这条线段，并加以证明：如果不存在，请说明理由；(3)若点 D 从原点出发沿x 轴正方向移动，设点 D 到原点的距离为x，ODE与 AOB重叠部分的面积为y，请直接写出y 与 x 的函数关系式；并写出自变量x 的取值范围二 OO六年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛初赛
11、试题参考答案及评分标准一、填空题(每小题 3 分，满分33 分)1 xl且 x5 2 1.2610103 1 4 321 5 32a 或12a 6 1095 7 a2 且 a-4 8 28 956 或 57 10 40 11 2.4 或 2.5 二、单项选择厦(每小题 3 分，满分27 分)12 C 13B 14C 15B 16D 17B 18 D 19B 20A 三、解答题(满分 60 分)2l、(本题 5 分)解：原式=x2-4x+4+4x-x2x2-4x2-44x2=1x2-3 分当 x=-2006时，原式=12006；当 x=2006时，原式=12006-2 分22、(本题 6 分)解
12、：设应生产第x 档次的产品，由题意得 60-3(x 1)8+2(x-1)=858-3 分摧理得 x2-18x+80=0 解得 x1=8，x2=lO-2 分答：生产第8 档次或第10 档次的产品可获利润858 元-1 分23、(本题 6 分)解：连结AC 过 D作 AC的平行线交BC的延长线于E取 BE的中点 F，迩结 A F，AF就是所引的水渠-3 分连结 AE.DEAC，SACD=SACE-2 分 S四地形AFCD=S AFE又 F 是 BE的中点，S AFE=S ABF S ABF=S四边形AFCD-1 分 (如有其它答案只要正确，可参照本标准，酌情给分)24、(本题 7 分)解：(1)因
13、为 3+42=45，所以这次参加测试的总人数为45 人-1 分 (2)在 76.5 84.5 这一小组内的人数为45-3-7-10-8-5=12(人)-2 分 (3)这次测试成绩的中位数落在76.5 84.5 这一小组内 -2 分 (4)89.5分以上为8 人，92.5 分以上为5 人，8-5=3，84.592.5 之间的人数为8 人。8-3=5 所以成绩在84.5 89.5 之间的人数为5 人-2 分25、(本题 8 分)解：(1)当 0t 1 时，h乙=0.5t-1 分当 lt 5 时，h乙=0.5 -1 分当 5tlO 时，设 h乙=kt+b，把(5 0.5)，(10，2)代入得50.5
14、102kbkb，解得0.31kbh乙=0.3t-1-1 分(2)设甲登山队登山高度与登山时间之间的函数关系式为h甲=kt，2=12k，k=16 h甲=16t 当 h甲=O.5 时，t=3 -1 分解方程组160.31htht解得1.257.5ht-1 分 经过 3 小时或经过75 小时，两登山队登山的高度相同-1 分(3)不确定 因为两个登山队在2 千米以上时，两个登山队到达山顶的路程不确定，不能确定登山高度与时间的关系(如有其它答案。符合题意即可)-2 分26、(本题 8 分)解：(1)AB+AD=AC-2 分证明：过C点分别作AD、AB的垂线，垂足分别为E，F -1 分 AC 平分 DAB
15、，CE=CF D+ABC=1800，CBF+ABC=1800，D=CBF。CED=CFB，CED CFB-2 分 ED=BF AD+AB=AE+ED+AB=AE+AF=AC -1 分(2)AB+AD=2AC-2 分27、(本题 lO 分)解：(1)设该厂每天生产A种矿泉水x 吨，则生产B 种矿泉水(x+10)吨由题意得 200 x-100(x+10)=2 000-2 分解得 x=30，x+lO=40-1 分因此，该厂每天生产A种矿泉水30 吨，B 种矿泉水 40 吨-1 分 (2)设该厂每天生产A种矿泉水y 吨 i 由题意得lO 000 200y+100(80-y)8 000 -3 分解得 0y20-2 分因此，该厂每天最多生产A 种矿泉水20 吨-1 分28、(本题 10 分)解：(1)设 OD=a，过 E作 EH OD于 H，EH=OE sin600=32a，E 点坐标为(12a，32a)-2 分 ABO=300，ODE=600，DEB=300 OEB=900-1 分 BC=4，OE=a=2 E(1，3)-1 分(2)存在，EF=OO -1 分 ABO=300，EDO=600,ABO=DFB=300,DF=DB -1 分 00=4-2-DB=2-DB=2-DF=ED-FD=EF-1 分(3)y=223(02)432323(24)423(4)xxxxxx-3 分