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1、难点 7 奇偶性与单调性(一)函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.难点磁场()设 a0,f(x)=xxeaae是 R 上的偶函数，(1)求 a 的值；(2)证明：f(x)在(0，+)上是增函数.案例探究例 1已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f(21)=1,当且仅当0 x1 时 f(x)0,且对任意 x、y(1,1)都有 f(x)+f(y)=f(xyyx1),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减.命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判
2、定以及运算能力和逻辑推理能力.属题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.技巧与方法：对于(1)，获得 f(0)的值进而取x=y 是解题关键；对于(2)，判定21121xxxx的范围是焦点.证明：(1)由 f(x)+f(y)=f(xyyx1),令 x=y=0,得 f(0)=0,令 y=x,得 f(x)+f(x)=f(21xxx)=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)为奇函数.(2)先证 f(x)在(0，1)上单调递减.令 0 x1x21,则 f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=
3、f(21121xxxx)0 x1x20,1x1x20，12121xxxx0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0 x2x11x2x1,012121xxxx1,由题意知f(21121xxxx)0即 f(x2)f(x1).f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.f(x)在(1，1)上为减函数.例2设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(,0)内单调递增，f(2a2+a+1)f(3a22a+1).求 a 的取值范围，并在该范围内求函数y=(21)132aa的单调递减区间.命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法
4、.本题属于级题目.知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.解：设 0 x1x2,则 x2x10，f(x)在区间(,0)内单调递增，f(x2)f(x1),f(x)为偶函数，f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2)f(x1).f(x)在(0，+)内单调递减.032)31(3123,087)41(2122222aaaaaa又由 f(2a2+a+1)3a22a+1.解之，得0a
5、3.又 a23a+1=(a23)245.函数 y=(21)132aa的单调减区间是23，+结合 0a3,得函数 y=(23)132aa的单调递减区间为23，3).锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将
6、展开研究奇偶性、单调性的应用.歼灭难点训练一、选择题1.()下列函数中的奇函数是()A.f(x)=(x1)xx11B.f(x)=2|2|)1lg(22xxC.f(x)=)0()0(22xxxxxxD.f(x)=xxxxsincos1cossin12.()函数 f(x)=111122xxxx的图象()A.关于 x 轴对称B.关于 y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=1 对称二、填空题3.()函数 f(x)在 R 上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_.4.()若函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0 x11).(1)证明：
7、函数f(x)在(1，+)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0 没有负数根.6.()求证函数f(x)=223)1(xx在区间(1，+)上是减函数.7.()设函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1x2)=)()(1)()(1221xfxfxfxf；(ii)存在正常数a 使 f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.8.()已知函数f(x)的定义域为R，且对 m、nR,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f(21)=0,当 x21时，f(x)0.(1)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，
8、并加以验证.参考答案难点磁场(1)解：依题意，对一切xR,有 f(x)=f(x),即xxxaeeaae1+aex.整理，得(aa1)(exxe1)=0.因此，有aa1=0,即 a2=1,又 a0,a=1(2)证法一：设0 x1x2,则 f(x1)f(x2)=)11)(1121122121xxxxxxxxeeeeeee21211211)1(xxxxxxxeeee由 x10,x20,x2x1,112xxe0,1e21xx0,f(x1)f(x2)0,即 f(x1)f(x2)f(x)在(0,+)上是增函数证法二：由 f(x)=ex+ex，得 f(x)=exex=ex(e2x1).当 x(0,+)时，e
9、x0,e2x 10.此时 f(x)0,所以 f(x)在 0，+)上是增函数.歼灭难点训练一、1.解析：f(x)=)0()()0()()0()0(2222xxxxxxxxxxxx=f(x)，故f(x)为奇函数.答案：C 2.解析：f(x)=f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案：C 二、3.解析：令 t=|x+1|,则 t 在(,1上递减，又 y=f(x)在 R 上单调递增，y=f(|x+1|)在(,1上递减.答案：(,14.解析：f(0)=f(x1)=f(x2)=0,f(0)=d=0.f(x)=ax(xx1)(xx2)=ax3a(x1+x2)x2+ax1x2x，b=a(x1+x2)
10、,又 f(x)在 x2,+)单调递增，故a0.又知 0 x1x,得 x1+x20,b=a(x1+x2)0.答案：(,0）三、5.证明：(1）设 1x1x2+,则 x2x10,12xxa1 且1xa0,)1(12112xxxxxaaaa0,又 x1+10,x2+10)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122xxxxxxxxxxxxxx0,于是 f(x2)f(x1)=12xxaa+12121122xxxx0 f(x)在(1，+）上为递增函数.(2）证法一：设存在x00(x0 1)满足 f(x0)=0,则12000 xxax且由 00 xa1得 012
11、00 xx1,即21x02 与 x00 矛盾，故f(x)=0 没有负数根.证法二：设存在x00(x0 1)使 f(x0)=0,若 1x00,则1200 xx 2,0 xa 1,f(x0)1 与 f(x0)=0 矛盾，若 x0 1,则1200 xx0,0 xa0，f(x0)0 与 f(x0)=0 矛盾，故方程 f(x)=0没有负数根.6.证明：x0,f(x)=22422322)11(1)1(1)1(1xxxxxxx,设 1x1x2+,则01111,11121222122xxxx.2211222222112222)11(1)11(1.0)11()11(xxxxxxxxf(x1)f(x2),f(x)
12、在(1，+）上是减函数.(本题也可用求导方法解决）7.证明：(1）不妨令x=x1x2,则 f(x)=f(x2x1)=)()(1)()()()(1)()(12212112xfxfxfxfxfxfxfxf=f(x1x2)=f(x).f(x)是奇函数.(2）要证 f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).f(x+a)=fx(a)=)1)(1)(1)()()(1)()()()(1)()(afxfxfxfafxfafxfafxfaf.).(111)(1)(11)(1)(1)(1)()()2(xfxfxfxfxfaxfaxfaaxfaxff(x+4a)=f(x+2a)+2a=)2(1axf=f(x),故 f(x)是以 4a 为周期的周期函数.8.(1）证明：设x1x2,则 x2x12121,由题意 f(x2x121)0,f(x2)f(x1)=f(x2x1)+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)1=f(x2x1)+f(21)1=f(x2x1)210,f(x)是单调递增函数.(2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.