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1、第二章统计简单随机抽样1.简单随即抽样的含义一般地,设一个总体有 N 个个体,从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（n N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,则这种抽样方法叫做简单随机抽样.每个个体每次被抽到的概率是；每个个体被抽到的概率是；根据你的理解，简单随机抽样有哪些主要特点？总体的个体数有限；样本的抽取是逐个进行的，每次只抽取一个个体；抽取的样本不放回，样本中无重复个体；每个个体被抽到的机会都相等，抽样具有公平性.2简单随机抽样常用的方法：抽签法；随机数表法；计算机模拟法；使用统计软件直接抽取。抽签法的操作步骤？第一步，将总体中的所有个体编号，并把号码写在形状、大小
2、相同的号签上.第二步，将号签放在一个容器中，并搅拌均匀第三步，每次从中抽取一个号签，连续抽取n 次，就得到一个容量为n 的样本.抽签法有哪些优点和缺点？优点：简单易行，当总体个数不多的时候搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽中，从而能保证样本的代表性.缺点：当总体个数较多时很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大；误差相比其它抽样也比较大。利用随机数表法从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本，其抽样步骤如何？第一步，将总体中的所有个体编号.第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数.第三步，从选定的数开始依次向右（向左、向上、向下）读，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取
3、满n 个号码为止，就得到一个容量为n 的样本.系统抽样：1.系统抽样的定义：一般地，要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样.由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特征：当总体容量 N 较大时，采用系统抽样。将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，间隔一般为knN.预先制定的规则指的是：在第1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号系统抽样的一般步骤用系统抽样从总体中抽取样本时，
4、首先要做的工作是什么？将总体中的所有个体编号.如果用系统抽样从605 件产品中抽取 60 件进行质量检查，由于605 件产品不能均衡分成60 部分，应先从总体中随机剔除5 个个体，再均衡分成60 部分.一般地，用系统抽样从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本，其操作步骤如何？第一步，将总体的N 个个体编号.第二步，确定分段间隔k，对编号进行分段.第三步，在第 1 段用简单随机抽样确定起始个体编号l.第四步，按照一定的规则抽取样本.分层抽样1.分层抽样的定义:若总体由差异明显的几部分组成，抽样时，先将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，再将各层取出
5、的个体合在一起作为样本，这样的抽样叫做分层抽样.所以分层抽样又称类型抽样.应用分层抽样应遵循以下要求及具体步骤：分层：将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则。分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。一般地，分层抽样的操作步骤如何？第一步，计算样本容量与总体的个体数之比.第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数.第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体.第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本2.简单随机抽样、
6、系统抽样和分层抽样三种抽样的类比学习练习题：一、选择题：1某单位有老年人 28 人，中年人 54 人，青年人 81 人为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36 的样本，最适合抽取样本的方法是()A简单随机抽样B系统抽样C分层抽样D先从老年人中剔除一人，然后分层抽样共同方法适应范围相互联系抽样特征特点类别简单随机抽样系统抽样分层抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率相等将总体分成均衡几部分，按规则关联抽取将总体分成几层，按比例分层抽取用简单随机抽样抽取起始号码总体中的个体数较少总体中的个体数较多总体由差异明显的几部分组成从总体中逐个不放回抽取用简单随机抽样或系统抽样对各层抽样2某学校为了
7、了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级 2007 名学生中抽取50 名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007 人中剔除 7 人，剩下 2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（）A.不全相等B.均不相等C.都相等D.无法确定3有 20 位同学，编号从 1 至 20，现在从中抽取 4 人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为()A.5，10，15，20 B.2，6，10，14 C.2，4，6，8D.5，8，11，14 4某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120 个、180 个、150 个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这 600
8、个销售点中抽取一个容量为100 的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20 个特大型销售点，要从中抽取7 个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)。则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A.分层抽样法，系统抽样法B.分层抽样法，简单随机抽样C.系统抽样法，分层抽样法D.简单随机抽样法，分层抽样法5.某校 1000 名学生中，O 型血有 400 人，A 型血有 250 人，B 型血有 250 人，AB 型血有100 人，为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个容量为40 的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则 O 型血、A 型血、B 型血、AB 型血的人要分别抽的人
9、数为（）A.16、10、10、4 B.14、10、10、6 C.13、12、12、3 D.15、8、8、9 6.为了了解广州地区初三学生升学考试数学成绩的情况，从中抽取 50 本密封试卷，每本 30份试卷，这个问题中的样本容量是（）A.30 B.50 C.1500 D.150 7.某单位有技工 18 人、技术员 12 人、工程师 6 人，需要从这些人中抽取一个容量为n 的样本.如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1 个个体，则样本容量n 为（）A.4 B.5 C.6 D.无法确定二、填空题8.（2008安庆模拟）某校高中生共
10、有 900 人，其中高一年级 300 人，高二年级 200 人，高三年级400 人，现分层抽取容量为45 的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为.9.某牛奶生产线上每隔30 分钟抽取一袋进行检验，则该抽样方法为；从某中学的30 名数学爱好者中抽取 3 人了解学习负担情况，则该抽样方法为.那么，分别为.10.下列抽样实验中，最适宜用系统抽样的是（填序号）.某市的 4 个区共有 2 000 名学生，且 4 个区的学生人数之比为3 2 8 2，从中抽取 200 人入样；某厂生产的 2 000 个电子元件中随机抽取5 个入样；从某厂生产的 2 000 个电子元件中随机抽取200 个入样；从某
11、厂生产的 20 个电子元件中随机抽取5 个入样；11.（2008重庆文）某校高三年级有男生500 人，女生 400 人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25 人，从女生中任意抽取20 人进行调查，这种抽样方法是.12.某中学有高一学生400 人，高二学生 300 人，高三学生 200 人，学校团委欲用分层抽样的方法抽取 18 名学生进行问卷调查，则下列判断不正确的是（填序号）.高一学生被抽到的概率最大高三学生被抽到的概率最大高三学生被抽到的概率最小每名学生被抽到的概率相等13.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40 种、10 种、30 种、20 种，
12、现从中抽取一个容量为20 的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是.14.（2008天津文，11）一个单位共有职工200 人，其中不超过45 岁的有 120 人，超过45 岁的有 80 人.为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25 的样本，应抽取超过 45 岁的职工人.15.将参加数学竞赛的1 000 名学生编号如下0001，0002，0003，1000，打算从中抽取一个容量为 50 的样本，按系统抽样的方法分成50 个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0020，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则
13、第 40 个号码为.16管理人员从一池塘内捞出30 条鱼，做上标记后放回池塘。10 天后，又从池塘内捞出50条鱼，其中有标记的有2 条。根据以上数据可以估计该池塘内共有条鱼。17.某校高中部有三个年级，其中高三有学生 1000 人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185 的样本，已知在高一年级抽取了75 人，高二年级抽取了60 人，则高中部共有 _ _学生。用样本的频率分布估计总体分布一、我们把样本抽取后，要对样本进行分析来研究总体的分布情况，对样本进行分析常采取两种方式：列频率分布表；做频率分布直方图.列频率分布表的步骤：求极差（即样本中的最大值与最小值的差）；决定组距与组数（组距极差组数）；
14、将数据分组；列频率分布表.根据频率分布表做频率分布直方图应注意两点：纵轴的意义：组距频率横轴的意义：样本内容（每个矩形下面是组距）.二、典例精析例 1：下表给出了某校500 名 12 岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位)区间界限 122,126)126,130)130,134)134,138)138,142)142,146)人数5810223320区间界限 146,150)150,154)154,158)人数1165(1)列出样本频率分布表(2)一画出频率分布直方图;(3)估计身高小于 134的人数占总人数的百分比.。例 2：为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳
15、次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为 12.(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？(2)若次数在 110 以上（含 110 次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由。分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。90 100 110 120 130 140 150 次数o 0.000.000.010.010.020 0.024 0.0
16、28 频率/组距0.030.031根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图如下从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（）A48 米B49 米C50 米D51 米2常用的抽样方法有：。3(2002 年新课程卷文第13 题)据新华社2002 年 3 月 12 日电，1985 年 2000 年我25.0 国农村人均居住面积如图所示，其中，从20.0 年到年的五年间增长最快15.0 1985 1990 1995 20004已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速在60,70的汽车大约有_辆.时速（km）0 01 0
17、 02 0 03 0 04 频率组距40 50 60 70 80 频率组距0.5%1%2%水位（米）30 31 32 33 48 49 50 51 5(12 分)为了解某地初三年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60 的样本(60 名男生的身高)，分组情况如下：分组147.5155.5 155.5163.5 163.5171.5 171.5179.5 频数6 2l m 频率a 0.1(1)求出表中a，m 的值(2)画出频率分布直方图和频率折线图答案：一、选择题：1.D 2.C 3.A 4.B 5.A 6.C 7.C 二、填空题：8.15，10，20 9.系统抽样，简单随机抽样 10.11.分层抽样法 12.13.6 14.10 15.0795 16.750 17.3700 解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为：40.0824171593又因为频率=第二小组频数样本容量所以121500.08第二小组频数样本容量第二小组频率（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为171593100%88%24171593（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为 114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。