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1、-1-如何巧解初中数学竞赛题我们知道，数学竞赛题，对于初中生来说，是非常困难的。由于数学竞赛题的难度大、题型新，知识面比较广，解法巧妙，所以，广大初中学生在看见试题时，心里一下就慌忙起来，不知如何下手，对竞赛题，视之为猛兽。下面我根据竞赛题的特点，探讨一些做竞赛题的方法，供大家参考。首先，要精心审题，弄清题意，抓住其基本环节。细心审题是能否解题的关键之一。我们在审题时，做到以下几点：一要通读全题，充分理解题意，不要片面。二要抓住题目中的关键字词，仔细、认真地研究，不要粗心大意。三要弄清已知条件和结论之间的关系，不要将已知和结论孤立起来。四是努力联系所学知识，把握准关键。这里所说的“基本”，指的
2、是我们要从基本题做起，研究并掌握其基本方法和技巧，记住一点基本要领。例1证明：任意五个连续自然数的平方和一定不是一个完全平方数。分析：设五个连续自然数分别为n2，n1，n，n1，n2，平方和 S（n2）2（n1）2 n2（n1）2（n2）25（n22），S中有 5 个这个因数。如果S 为完全平方数，则n2 一定是 5 的倍数，即 n2的未位数只能是3 或 8，但自然数的平方的末位数字只能是0、1、4、5、6、9 中的一个，不能是3 和 8，发2生了矛盾，故S不能是完全平方数。证明：略。点评：分析时，必须抓住完全平方数和自然数的平方的末位数字之间的本质特征，此本质物征是完成此题的关键。例 2、设
3、abcd1。求证：11111ddadabdccdcdacbbcbcdbaababca分析：由于四个分式的分母是异分母，因此，必须化它们为同分母，才能相加。结合已知条件，不妨将后三个分式的分子、分母分别乘以 a、a b、a b c 后，可得同分母，即：原式11111111aababcaababcaababcabcdaababcabcaababcabaababcaabcabcdabcdaabcdababcdababcbcdaaabcdabcaababcabcdabaababca证明：略。点评：本题的关键是化异分母为同分母，最后的分式的分子、分母相同约分得1。联系已知条件，抓住同分母这个本质特征，找
4、到变化规律，是本题的“基本”之所在。然后、要仔细观察题目的特点，全面进行分析，找到入手点和突破点。例 3、设13)(21yxyx，求 x 和 y 的值。3分析：本题是一个方程，两个未知数，要求x 与 y 应联想到化此方程为两个非负数的和为零的形式，利用非负数的性质，得到两个方程构成的方程组，从而求出 x、y。首先方程两边乘以2 得：x y 23x21y、要化成平方形式。按照完全平方式的特点，构成：,01121132322yyxx即0111322yx，得011013yx有04yx.解：略。点评：本题应紧紧地抓住一个方程求两个未知数方法：必须化一个方程为两个非负数的和，这是入手点；利用非负数的特点
5、，构造方程组求值，这是突破点知道了这些，此类题目不难求得。例 4、已知、x22 y21、求 2 x5 y2的极大值与极小值。分析：要求出 2 x5 y2的极值，就必须弄清 x 与 y的取值范围：由题目已知x1222y，有 x12122y，得 11x。又由题目 x22y21，有 y22121212x，得2222y。令 W2x5y2，则 W2x22)52(252)1(5xx1029。由函数的性质知W 的抛物线开口向下，在自变量11x的范围内，当x52时，y102，W最大1029。当 x 1 时，代入 x22y21 中,4有 y 0，W最小 2(1)502 2 解：略点评：本题是求式子2x5 y2的
6、极值，于是联想到函数的知识，求出 x、y 的取值范围，结合已知条件，就不难求出2x5 y2的极值了。研究题目已知条件是入手点，结合函数知识是突破点。其次，抓住难点，反复推敲。竞赛题的难度大，这是大家的共识。难在什么地方呢？这又要因人，因题而异，但是抓住难点，反复思考，是可以求出的。例5a表示不大于 a的最大整数。如 2 1,22,那么方程21213xx的所有根的和为多少？分析：令 t3x1 按a的规定，有03 x 1t1,原方程为 t2x21，即：x21t41代入上面的不等式有014723tt，解得2327t，t2,或 3，则 x 434121t或 45，2)45(43。点评：本题难在引入了一
7、种新的运算，我们必须适应这个新概念，充分利用这个概念，是完成此题的关键。例 6：对任意实数 x、y,定义运算 xyaxbycxy，其中a、b、c 为常数。等式右端中的运算是通常的实数的加法，乘法运算。现已知123、234，并且有一个非零实数d，5使任意实数 x 都有 xdx，则 d 为多少？分析：根据题设有a2b2c3,2a3b6c4,axbdcdxx,在中因为 d0 故取 x0，则 b0，取 x1，有acd1，再根据有a5，c1,所以 d4。点评：本题的难点是引入了新运算，它实质告诉了x yaxbycxy 的两个方程，、，并且题设中对任意实数x,在 d0时都有 xdx 的理解，是告诉方程，并
8、取特殊值x0，x1，求出方程 acd 1 这个隐含条件，从而得a、b、c、d 的值。最后，要思维严密，注意推理。由于初中生的推理能力薄弱，综合能力较差，所以学生在做此类题时，难度很大，不少的竞赛题都在考察逻辑思维能力，根本没有什么现成的公式可以引导，所以，要求学生在运用所学知识的同时，必须注意思维的严密，不要漏掉些关键的环节。例 7、有一长、宽、高分别地正整数m、n、r、（m n1）的长方体，表面涂上红色后切成棱长为1 的正方体，已知不带红色的正方体的个数与两面带红色的正方体个数之和，减去一面带红色的正方体个数得2005。求 m、n、r 的值。分析：由于、m、n、r 都是正整数，所以在正整数的
9、范围内讨论 m、n、r 的值。（1）当 m1 时，不带红色的和一面带红色的正方体的个数均为 0，两面带红色的正方体个数为(n2)(r2)，于是，(n2)(r2)20055407，6于是2005212rn401252rn，所以200731rnm40371rnm（2）当 m2 时，不带红色的正方体的个数是0，一面带红色的正方体个数为2（m2）（r2），两面带红色的正方体的个数为4(m2)4(r2)。所以，4(n2)4(r2)2(n2)(r2)2005，此方程没有整数解。（2）当 m2 时，不带红色的正方体个数为(m2)(n2)(r2)，一面带红色的正方体的个数为2(m2)(n2)2（n2）（r2）
10、2（m2）（r2），两面带红色的正方体的个数为：4(m2)4(n2)4(r2)。所以，4(n2)4(r2)（n2）（r2）2005 此方程没有整数解。（3）当 m3 时，不带红色的正方体个数为(m2)（n2）（r2），一面带红色的正方体的个数为2(m2)(n2)2(n2)(r2)2(m2)(r2)，两面带红色的正方体的个数为：4（m2）4（n2）4（r2），所以(m2)(n2)(r2)4(m2)(n2)(r2)2(m2)(n2)(n2)(r2)(r2)(m2)2005.即：(m2)2(n2)2(r2)282005.7(m4)(n4)(r4)199711997.由199741414rnm199741414rnm得200133rnm200155rnm所以，符合题意的m、n、r 共有 4 组。点评：本题应抓住m、n、r 均是正整数这个条件，在此条件下，分类讨论，找出所有符合条件的情况，在做到不重不漏，同时，在推理过程中，必须使思想清晰，理解所切给的正方体的限制条件这个关键之处。综上所述，我们必须要把我们所学的知识综合起来，运用适当的方法，仔细地分析，严密地推导，竞赛试题是不难解决的。当然，这对完成者的知识运用，解决能力，提出了很高的要求，但只要我们经常训练，从基础做起，经常注意知识与生活之间的联系与发散，慢慢的会发现一些内在的奥秘，会找到一些解的技巧，会体会到其中的乐趣的！