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1、三角函数的图象与性质基础梳理1“五点法”描图(1)ysin x 的图象在 0,2 上的五个关键点的坐标为(0,0)2，1(，0)32，1(2 ，0)(2)ycos x 的图象在 0,2 上的五个关键点的坐标为(0,1)，2，0，(，1)，32，0，(2，1)2.三角函数的图象和性质函数性质ysin x y cos x y tan x定义域RR x|x k 2，kZ图象值域1,11,1R对称性对称轴：_ xk 2(kZ)_ _；对称中心：_(k，0)(k Z)_ _对称轴：xk(kZ)_；对称中心：_(k 2，0)(kZ)_ 对称中心：_k2，0(k Z)_ 周期2 _ 2单调性单 调 增 区
2、间 _2k 2，2k 2(kZ)_；单调减区间 2k 2，2k 32(kZ)_ 单调增区间 2k ，2k (kZ)_；单调减区间 2k，2k(kZ)_ 单调增区间 _(k 2，k 2)(kZ)_ 奇偶性奇函数偶函数奇函数3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)对函数周期性概念的理解周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x 值都满足 f(xT)f(x)，其中 T 是不为
3、零的常数.如果只有个别的x 值满足 f(xT)f(x)，或找到哪怕只有一个x 值不满足 f(x T)f(x)，都不能说T 是函数 f(x)的周期.函数 yAsin(x )和 yAcos(x )的最小正周期为2|，ytan(x )的最小正周期为|.4.求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用 sin x、cos x 的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是1,1，因此对于?xR，恒有 1 sin x 1，1 cos x 1，所以 1叫做 ysin x，ycos x 的上确界，1 叫做 y sin x，y cos x 的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y Asin(x )k 的
4、形式逐步分析x 的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：ysin2x4sin x5，令 tsin x(|t|1)，则 y(t2)21 1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如yAsin(x )(0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号)(1)
5、ysin 2x4；(2)ysin42x.热身练习:1函数 ycos x3，xR()A是奇函数B既不是奇函数也不是偶函数C是偶函数D既是奇函数又是偶函数2函数 ytan4x 的定义域为()A.x x k 4，kZ B.x x2 k 4，kZC.x x k 4，kZD.x x2 k 4，kZ3函数 ysin(2x3)的图象的对称轴方程可能是()A x6B x12Cx6Dx12【解析】令 2x3k 2，则 xk212(kZ)当 k0 时，x12，选 D.4ysin x4的图象的一个对称中心是()A(，0)B.34，0C.32，0D.2，0解析ysin x 的对称中心为(k，0)(kZ)，令 x4k(
6、kZ)，xk 4(kZ)，由 k 1，x34得 ysin x4的一个对称中心是34，0.答案B 5下列区间是函数y2|cos x|的单调递减区间的是()A.(0，)B.2，0C.32，2D.，26已知函数f(x)sin(2x)，其中 为实数，若f(x)|f(6)|对任意 xR 恒成立，且f(2)f()，则 f(x)的单调递增区间是()A k 3，k 6(kZ)Bk，k 2(kZ)C k 6，k 23(kZ)Dk 2，k(kZ)【解析】当 xR 时，f(x)|f(6)|恒成立，f(6)sin(3 )1 可得 2k 6或 2k 56，kZf(2)sin()sin f()sin(2 )sinsin
7、0.1cos x1，0cos x1.利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0OM1，OM 只能在 x 轴的正半轴上，其定义域为x|2 2kx0tan x10cosx280?sin x12，tan x1，x28k 2.图如图 利用单位圆得：2k 6x2k 56，k 2x k 34，x2k 34kZ.函数的定义域为 x|2k 2x0，tan x0，xk 2，kZ?0 x4，k xk 2kZ.利用数轴可得图图函数的定义域是 x|0 x0，0,0 2)的部分图象如图所示(1)求 f(x)的解析式；(2)设 g(x)f(x12)2，求函数g(x)在x 6，3上的最大值，并确定此时x 的值【解析】(1)由图可
8、知 A2，T43，则243 32.又 f(6)2sin32(6)2sin(4)0 sin(4)0 0 2，4 40)来确定；的确定：由函数 yAsin(x )K 最开始与 x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为(即令 x 0，x)确定 .例 4 若方程3sinxcosxa 在0,2 上有两个不同的实数根x1，x2，求 a 的取值范围，并求此时 x1 x2的值【解析】3sinxcosx2sin(x6)，x0,2，作出 y2sin(x6)在0,2 内的图象如图由图象可知，当1a2 或 2a1 时，直线 ya 与 y2sin(x6)有两个交点，故 a 的取值范围为a(2,1)(1,2)当 1a2 时，
9、x16x26.x1x223.当 2a1 时，x16x263，x1x283.【点评】利用三角函数图象形象直观，可使有些问题得到顺利、简捷的解决，因此我们必须准确把握三角函数“形”的特征例 4 已知函数 f(x)Asin(x )，xR(其中 A0，0，0 2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2，且图象上一个最低点为M(23，2)(1)求 f(x)的解析式；(2)将函数 f(x)的图象向右平移12个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，得到yg(x)的图象，求函数yg(x)的解析式，并求满足g(x)2且 x0，的实数 x 的取值范围【解析】(1)由函数图象的
10、最低点为M(23，2)，得 A2，由 x 轴上相邻两个交点间的距离为2，得T22，即 T，22.又点 M(23，2)在图象上，得2sin(2 23)2，即 sin(43 )1，故43 2k 2，kZ，2k 116，又 (0，2)，6.综上可得 f(x)2sin(2x6)(2)将 f(x)2sin(2x6)的图象向右平移12个单位，得到 f1(x)2sin2(x12)6，即 f1(x)2sin2x 的图象，然后将f1(x)2sin2x 的图象上各点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，得到g(x)2sin(2 2x)，即 g(x)2sin4x.由0 xgx2sin4x 2得0 xsin4x22.
11、则0 x2k 4 4x 2k 34kZ即0 xk216 xk2316kZ.故16 x316或916 x1116.题型 四、三角函数的奇偶性与周期性及应用例 1 已知函数 f(x)sin(x )，其中 0，|2.(1)若 cos4cos sin34sin 0，求 的值；(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数【解析】(1)由 cos4cos sin34sin 0 得 cos(4)0.|0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原则是：把
12、“x (0)”视为一个“整体”；A0(A0，0)：若求 yf(x)的对称轴，只需令x k 2(kZ)，求出 x；若求 yf(x)的对称中心的横坐标，只零令x k(kZ)，求出 x；若求 yf(x)的单调增区间，只需令2k 2 x 2k 2，求出 x；若求 yf(x)的单调减区间，只需令2k 2 x 2k 32，求出 x.题型七三角函数的对称性与奇偶性例 3(1)已知 f(x)sin x3cos x(xR)，函数 yf(x)|2的图象关于直线x0 对称，则 的值为 _.(2)如果函数y3cos(2x)的图象关于点43，0 中心对称，那么|的最小值为()A.6B.4C.3D.2(1)6f(x)2s
13、in()3x，y f(x)2sin()3x图象关于x 0 对称，即 f(x )为偶函数 3 2 k，k Z，即 k 6，k Z，所以当k0 时，6.(2)A3cos4(2)3 3cos2(2)3 3cos2()0,323 k 2，k Z，k 6，k Z，取 k 0，得|的最小值为6.故选探究提高若 f(x)Asin(x )为偶函数，则当x0 时，f(x)取得最大或最小值.若 f(x)Asin(x )为奇函数，则当x0 时，f(x)0.如果求 f(x)的对称轴，只需令x 2k(kZ)，求 x.如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令x k(kZ)即可.变式训练3(1)已知函数 f(x)sinx
14、acos x 的图象的一条对称轴是x53，则函数 g(x)asin xcos x 的最大值是()A.223B.233C.43D.2 63由题意得f(0)f 10()3，a32a2.a33,g(x)33sin x cos x233sin2()3x，g(x)max2 33.(2)若函数 f(x)asin x bcos x (0 5，ab0)的图象的一条对称轴方程是x4，函数 f(x)的图象的一个对称中心是8，0，则 f(x)的最小正周期是_.(1)B(2)由题设，有()4f a2b2，即22(a b)a2 b2，由此得到a b.又()08f，所以a(cossin)88 0，从而 tan 8 1，8
15、 k 4，k Z，即 8k 2，k Z，而 0 0，a0 或 a0，|2)的最小正周期为，将该函数的图象向左平移6个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则f(x)的图象()A关于点(12，0)对称B关于直线x512对称C关于点(512，0)对称D关于直线x12对称【解析】由已知得 2，则 f(x)sin(2x)设平移后的函数为g(x)，则 g(x)sin(2x3)(|0)和 g(x)2cos(2x)1 的图象的对称轴完全相同.若 x 0，2，则 f(x)的取值范围是 _32，3_.4函数 f(x)2sin x(0)在 0，4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么 等于_解析因为 f(x
16、)2sin x(0)在 0，4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所以 2sin4 3，且 04 2，因此 43.答案436.关于函数f(x)4sin 2x3(xR)，有下列命题：由 f(x1)f(x2)0 可得 x1x2必是 的整数倍；yf(x)的表达式可改写为y4cos 2x6；y f(x)的图象关于点6，0 对称；yf(x)的图象关于直线x6对称.其中正确命题的序号是_.解析函数 f(x)4sin 2x3的最小正周期T，由相邻两个零点的横坐标间的距离是T22知错利用诱导公式得 f(x)4cos2 2x34cos62x 4cos 2x6，知正确由于曲线f(x)与 x 轴的每个交点都是它
17、的对 称中心，将x6代入得f(x)4sin 2 634sin 00，因此点 6，0 是 f(x)图象的一个对称中心，故命题正确曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y 轴平行，而 x6时 y0，点 6，0 不是最高点也不是最低点，故直线x6不是图象的对称轴，因此命题不正确答案三、解答题7.设函数 f(x)sin()2x(0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线x8.(1)求 ；(2)求函数 yf(x)的单调增区间.解(1)34(2)由(1)得：f(x)sin 2x34，令22k 2x3422k，k Z，可解得8k x58k，kZ，因此 yf(x)的单调增区间为8k，58k，kZ.8
18、.(1)求函数 y2sin 2x3(6x6)的值域；(2)求函数 y2cos2x5sin x4 的值域.解(1)6x6，02x323，00)在区间3，4上的最小值是2，则 的最小值等于()A.23B.32C.2 D.3 3.函数 f(x)cos 2xsin52x 是()A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.有最大值又有最小值的偶函数二、填空题4.设定义在区间(0，2)上的函数y6cos x 的图象与 y5tan x 的图象交于点P，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 P1，直线 PP1与函数 ysin x 的图象交于点P2，则线段 P1P2的长为 _23_.5.函数
19、f(x)2sin x(0)在 0，4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么 _43_.解析因为 f(x)2sin x(0)在 0，4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所以 2sin4 3，且 042，因此 43.答案436.给出下列命题：函数 ycos23x2是奇函数；存在实数 ，使得 sin cos 32；若 、是第一象限角且 ，则 tan 0)的图象与直线ym 相切，并且切点的横坐标依次成公差为2的等差数列.(1)求 m 的值；(2)若点 A(x0，y0)是 yf(x)图象的对称中心，且x0 0，2，求点 A 的坐标.7.解(1)f(x)12(1cos 2ax)12sin 2a
20、x12(sin 2axcos 2ax)1222sin 2ax412.yf(x)的图象与 ym 相切，m 为 f(x)的最大值或最小值，即 m122或 m122.(2)切点的横坐标依次成公差为2的等差数列，f(x)的最小正周期为2.T2|2a|2，a0，a2，即 f(x)22sin 4x412.由题意知sin 4x040，则 4x04k(kZ)，x0k416(kZ).由 0k4162(kZ)得 k1 或 2，因此点 A 的坐标为316，12，716，12.三角函数的图象与性质练习四一、选择题1函数 f(x)2sin xcos x 是()A最小正周期为2 的奇函数B最小正周期为2 的偶函数C最小正
21、周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数解析f(x)2sin xcos xsin 2x.f(x)是最小正周期为的奇函数答案C 2函数 ysin2xsin x 1 的值域为()A1,1 B.54，1C.54，1D.1，54解析(数形结合法)ysin2xsin x1，令 sin xt，则有 yt2t1，t 1,1，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t12及 t1 时，函数取最值，代入yt2t 1 可得 y 54，1.答案C 3 若函数 f(x)sin x(0)在区间0，3上单调递增，在区间3，2上单调递减，则 ()A.23B.32C2 D3 解析由题意知 f(x)的一条对称轴为 x3，和它相邻的
22、一个对称中心为原点，则 f(x)的周期 T43，从而 32.答案B 4函数 f(x)(13tan x)cos x 的最小正周期为()A2 B.32C D.2解析依题意，得f(x)cos x3sin x2sin x6.故最小正周期为2.答案A 5下列函数中，周期为，且在4，2上为减函数的是()Ay sin 2x2B ycos 2x2Cy sin x2Dycos x2解析(筛选法)函数的周期为.排除 C、D，函数在4，2上是减函数，排除 B.答案A【点评】本题采用了筛选法，体现了筛选法的方便、快捷、准确性，在解选择题时应注意应用.6已知函数f(x)sin x2(xR)，下面结论错误的是()A函数
23、f(x)的最小正周期为2 B函数 f(x)在区间 0，2上是增函数C函数 f(x)的图象关于直线x0 对称D函数 f(x)是奇函数解析ysin x2cos x，T2，在 0，2上是增函数，图象关于y 轴对称，为偶函数答案D 二、填空题7.y=|sin（x+4）|的单调增区间为_k+4，k+34（k Z）_.8.要得到42cos3xy的图象，可以将函数y=3 sin2 x 的图象向左平移_8_单位.9.若动直线xa 与函数()sinfxx和()cosg xx的图像分别交于MN，两点，则M N 的最大值为 _2 _.10 函数 f(x)=sin132 cos2 sinxxx(02x)的值域是 _-
24、1,0_ _.11.已知()sin(0)363fxxff，且()fx在区间63，有最小值，无最大值，则_14312、给出下面的3个命题：（1）函数|)32sin(|xy的最小正周期是2；（2）函数)23sin(xy在区间)23,上单调递增；（3）45x是函数)252sin(xy的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是13若函数f(x)cos xcos2x(0)的最小正周期为，则 的值为 _解析f(x)cos x cos2x cos x sin x 12sin 2x，T22.1.答案1 14函数 y tan 2x4的图象与x 轴交点的坐标是_解析由 2x4k，kZ，得：xk28，k Z，故交点坐
25、标为k28，0(kZ)答案k28，0(kZ)15已知函数f(x)sin(x)3cos(x)2，2是偶函数，则的值为 _解析(回顾检验法)据已知可得 f(x)2sin x 3，若函数为偶函数，则必有 3k 2(kZ)，又由于 2，2，故有 32，解得 6，经代入检验符合题意 答案6三、解答题16已知 f(x)sin xsin2x.(1)若 0，且 sin 2 13，求 f()的值；(2)若 x0，求 f(x)的单调递增区间解(1)由题设知f()sin cos .sin 2 13 2sin cos 0，0，0，2，sin cos 0.由(sin cos )212sin cos 43，得 sin c
26、os 233，f()233.(2)由(1)知 f(x)2sin x4，又 0 x，f(x)的单调递增区间为0，4.17设函数f(x)sin(2x)(0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线x8.(1)求 ；(2)求函数 yf(x)的单调增区间解(1)令 28 k 2，kZ，k 4，kZ，又 0，则54k14，kZ，k 1，则 34.(2)由(1)得：f(x)sin 2x34，令22k2x3422k，kZ，可解得8kx58 k，kZ，因此 yf(x)的单调增区间为8k，58k，kZ.18、设函数2()sin()2 cos1468xxfx（1）求()fx的最小正周期（2）若函数()ygx与()yfx
27、的图像关于直线1x对称，求当40,3x时()ygx的最大值解：（）()fx=sincoscossincos46464xxx=33sincos2424xx=3 sin()43x故()fx的最小正周期为T=24=8()解法一：在()yg x的图象上任取一点(,()x gx，它关于1x的对称点(2,()x g x.由题设条件，点(2,()x g x在()yfx的图象上，从而()(2)3 s i n(2)43gxfxx=3 sin243x=3 cos()43x当304x时，23433x，因此()ygx在区间40,3上的最大值为max33c o s32g解法二：因区间40,3关于 x=1 的对称区间为2
28、,23，且()yg x与()yfx的图象关于x=1 对称，故()yg x在40,3上的最大值为()yfx在2,23上的最大值由（）知()fx3 sin()43x当223x时，6436因此()ygx在40,3上的最大值为max33 sin62g.19、设函数()fxa b，其中向量(cos 2)mx，a，(1sin 21)x，b，xR，且()yfx的图象经过点24，（1）求实数m的值；（2）求函数()fx的最小值及此时x 值的集合(3)求函数的单调区间；(4)函数图象沿向量c平移得到xy2sin2的图象,求向量c。19、（1）1m（2）21,83minyZkkx）时（(3)(,85,8,8,83(Zkkkkk减区间：增区间：(4)1,8(c20、设函数sin0,22fxx，给出下列三个论断：fx 的图象关于直线6x对称；fx 的周期为；fx 的图象关于点,012对称以其中的两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并对该命题加以证明或，证明略