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1、三角函数的图像与性质知识点及习题三角函数的图像与性质知识点及习题 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（三角函数的图像与性质知识点及习题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为三角函数的图像与性质知识点及习题的全部内容。 三角函数的图象与性质基础梳理1“五点法描图(1）ysin x的图象在0,2上的五个关
2、键点的坐标为 (0,0)（，0)（2,0） （2）ycos x的图象在0,2上的五个关键点的坐标为 （0，1),，（，1），,（2，1） 2.三角函数的图象和性质函数性质ysin xycos xytan x定义域RRx|xk，kZ图象 值域1，11，1R对称性对称轴：_ xk（kZ)_ _；对称中心:_ （k，0)（kZ)_ _对称轴： xk（kZ）_；对称中心：_（k，0） (kZ）_ 对称中心：_ (kZ） _周期2_2单调性单调增区间_2k,2k（kZ)_；单调减区间2k,2k (kZ) _单调增区间2k，2k （kZ) _;单调减区间2k,2k（kZ）_单调增区间_(k，k)(kZ)_
3、 奇偶性奇函数偶函数奇函数3。一般地对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（xT)f（x）,那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数,叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期)对函数周期性概念的理解周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(xT）f(x）,其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f（xT)f(x），或找到哪怕只有一个x值不满足f(xT）f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期.函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为 ，ytan（x)的最小
4、正周期为 .4。求三角函数值域（最值)的方法: （1)利用sin x、cos x的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是1，1,因此对于xR，恒有1sin x1，1cos x1，所以1叫做ysin x,ycos x的上确界，1叫做ysin x,ycos x的下确界。（2）形式复杂的函数应化为yAsin（x）k的形式逐步分析x的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响。(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域（最值)问题利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如:ysin2x4sin x5，令t
5、sin x（|t|1),则y(t2）211，解法错误。5。求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如yAsin（x） (0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间。应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同；利用换元法求复合函数的单调区间（要注意x系数的正负号） (1)ysin；（2）ysin。热身练习:1函数ycos，xR()A是奇函数 B既不是奇函数也不是偶函数C是偶函数 D既是奇函数又是偶函数 2函数ytan的定义域为（)A。B。C。 D。3函数ysin(2x）的图象的对称轴方程可能是（ ）Ax Bx Cx Dx【解析】令2xk，则x(kZ）当
6、k0时,x，选D。4ysin的图象的一个对称中心是(）A（，0) B. C. D。解析ysin x的对称中心为（k,0）（kZ）,令xk（kZ)，xk(kZ),由k1，x得ysin的一个对称中心是。答案B5下列区间是函数y2cos x|的单调递减区间的是()A。（0，)B。 C。 D。6已知函数f(x)sin（2x），其中为实数,若f(x）f()|对任意xR恒成立,且f（）f（)，则f（x)的单调递增区间是( )Ak，k（kZ） Bk，k(kZ）Ck，k(kZ) Dk，k（kZ） 【解析】当xR时，f（x)|f（)|恒成立,f()sin（)1可得2k或2k，kZf(）sin（）sinf(）si
7、n(2)sinsin0 2k由2k2x2k 得xk，k（kZ)，选C.7。函数f(x）cosxR的最小正周期为_4_8。y23cos的最大值为_5_，此时x_2k，kZ _.9函数y(sinxa)21，当sinx1时,y取最大值；当sinxa时,y取最小值，则实数 1a0.10函数f(x）sin2xsinxcosx在区间,上的最大值是 。【解析】f(x）sin2xsin2xcos2xsin（2x），又x，2x。 当2x即x时,f(x）取最大值。题型一与三角函数有关的函数定义域问题例1求下列函数的定义域：(1)ylgsin(cos x）； (2)y。解（1)要使函数有意义,必须使sin(cos
8、x）0.1cos x1，0cos x1.利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0OM1，OM只能在x轴的正半轴上，其定义域为 x2kx2k，kZ。(2）要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象。在同一坐标系中画出0，2上ysin x和ycos x的图象,如图所示。在0，2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2,所以定义域为。变式训练1 （1）求函数的定义域;解(1)要使函数有意义,则 图如图利用单位圆得：函数的定义域为x|2kx2k，kZ. （2)求函数的定义域。要使函数有意义则利用数轴可得图图函数的定义域是x|0x或x4。题型二、三角函数的五点法作图及图
9、象变换例2已知函数f（x）4cosxsin（x）1.(1）用五点法作出f(x）在一个周期内的简图；（2)该函数图象可由ysinx(xR)的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？【解析】（1)yf(x）4cosxsin（x）14cosx（sinxcosx)1sin2x2cos2x1sin2xcos2x2sin（2x）2x02xy02020函数yf(x)在，上的图象如图所示【点评】“五点法作图应抓住四条：化为yAsin（x)（A0,0)或yAcos(x)（A0,0）的形式;求出周期T；求出振幅A；列出一个周期内的五个特殊点当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间的特殊点题型三 三角函数图象与解析式
10、的相互转化例3函数f（x)Asin(x）（xR，A0，0,0)的部分图象如图所示（1)求f（x）的解析式;(2)设g（x)f（x)2，求函数g(x)在x，上的最大值，并确定此时x的值【解析】(1）由图可知A2，则4 .又f()2sin()2sin（)0sin（)000)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原则是：把“x (0)”视为一个“整体”；A0 (A0)时，所列不等式的方向与ysin x(xR)，ycos x（xR）的单调区间对应的不等式方向相同（反）.（2)对于yAtan(x) （A、为常数），其周期T，单调区间利用x，解出x的取值范围,即为其单调区间.(3）求含
11、有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出图象,结合图象判定。变式训练2 （1）求函数ysincos的周期、单调区间及最大、最小值;(2)已知函数f（x）4cos xsin1。求f（x）的最小正周期； 求f（x)在区间上的最大值和最小值。解： ysincos （1）周期为T= 函数的递增区间为 (kZ);函数的递减区间为(kZ)ymax2; ymin2 (2) f(x）4cos xsin1, 最大值为2；最小值为1题型六、三角函数的对称性与单调性及应用例2已知向量（sin2x1，cosx）， （1，2cosx)，设函数f(x)，xR。(1）求函数f(x）图象的对称轴方程； (2）求函数f(
12、x)的单调递增区间【解析】(1)f（x）mnsin2x12cos2xsin2xcos2x2sin（2x)对称轴方程为：2xk,即x（kZ)(2）由2k2x2k得kxkf（x)的单调递增区间为k，k（kZ）【点评】对于f（x)Asin（x)（A0，0)：若求yf（x)的对称轴，只需令xk（kZ），求出x；若求yf(x）的对称中心的横坐标，只零令xk（kZ)，求出x;若求yf(x）的单调增区间，只需令2kx2k,求出x；若求yf(x)的单调减区间，只需令2kx2k，求出x。题型七三角函数的对称性与奇偶性例3(1）已知f(x)sin xcos x(xR)，函数yf(x） 的图象关于直线x0对称,则的
13、值为_。（2)如果函数y3cos(2x）的图象关于点中心对称，那么|的最小值为(） A 。 B。 C. D.(1) （x）2sin， yf（x）2sin图象关于x0对称，即f(x）为偶函数k,kZ,即k，kZ,所以当k0时，。 (2）A3cos3cos3cosk,kZ,k，kZ,取k0,得|的最小值为.故选 探究提高若f(x）Asin（x)为偶函数，则当x0时，f（x）取得最大或最小值.若f（x）Asin(x）为奇函数，则当x0时，f(x)0.如果求f（x）的对称轴，只需令xk （kZ）,求x。如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk (kZ)即可。变式训练3 (1）已知函数f（x)sin
14、xacos x的图象的一条对称轴是x，则函数g(x）asin xcos x的最大值是 ()A. B. C. D.由题意得f（0）f ,a。a, g(x）sin xcos xsin,g（x）max.(2）若函数f（x）asin xbcos x (05，ab0）的图象的一条对称轴方程是x，函数f(x)的图象的一个对称中心是，则f（x)的最小正周期是_。（1）B(2）由题设，有，即（ab）,由此得到ab.又，所以a0，从而tan 1,k，kZ，即8k2，kZ，而05，所以2，于是f(x）a(sin 2xcos 2x）asin故f（x)的最小正周期是。题型八 三角函数的值域与最值的求法及应用例3(1)
15、求函数y的值域；（2）求函数ysinxcosxsinxcosx的最值;（3)若函数f(x）asincos()的最大值为2，试确定常数a的值【解析】2sinx（1sinx）2sinx2sin2x2(sinx）2.1sinx0,1sinx1.4y。故函数y的值域为(4，(2)令tsinxcosx，则sinxcosx，且|t。y（t21）t（t1)21，当t1时，ymin1；当t时，ymax。（3）f（x）asincoscosxsinxsin（x),(其中tan）由已知得2，解得a。【点评】求三角函数的最值问题，主要有以下几种题型及对应解法(1)yasinxbcosx型,可引用辅角化为ysin（x)
16、(其中tan）（2）yasin2xbsinxcosxccos2x型，可通过降次整理化为yAsin2xBcos2xC。（3)yasin2xbcosxc型，可换元转化为二次函数(4)sinxcosx与sinxcosx同时存在型，可换元转化(5)y（或y)型，可用分离常数法或由|sinx|1(或|cosx|1）来解决，也可化为真分式去求解（6）y型，可用斜率公式来解决例4已知函数f(x)sin2xacos2x（aR，a为常数），且是函数yf(x）的一个零点（1）求a的值,并求函数f(x)的最小正周期；(2)当x0，时,求函数f(x）的最大值和最小值及相应的x的值【解析】(1)由是yf(x）的零点得
17、f()sinacos20,求解a2，则f（x）sin2x2cos2xsin2xcos2x1sin（2x）1,故f(x）的最小正周期为T.(2)由x0,得2x，则sin(2x）1，因此2sin(2x)11，故当x0时，f(x)取最小值2，当x时，f（x）取最大值1.设aR，f（x)cosx（asinxcosx)cos2(x)满足f（）f（0），求函数f(x）在，上的最大值和最小值【解析】f(x)asinxcosxcos2xsin2xsin2xcos2x由f(）f（0）得1，解得a2。f(x）sin2xcos2x2sin(2x）当x,时，2x，f(x)为增函数当x，时，2x，f(x）为减函数f(x
18、)在，上的最大值为f()2 又f(),f（）f（x）在，上的最小值为f（）。题型九 分类讨论及方程思想在三角函数中的应用例题:已知函数f（x）2asin2ab的定义域为，函数的最大值为1,最小值为5，(1)求a和b的值。（2)若 a0，设g（x）f 且lg g(x)0，求g（x）的单调区间点评求出2x的范围，求出sin（2x）的值域。系数a的正、负影响着f（x）的值，因而要分a0，a0或a0，)的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位后,得到的图象对应的函数为奇函数，则f（x）的图象( ）A关于点(，0)对称 B关于直线x对称C关于点(,0）对称 D关于直线x对称【解析】由已知得2，则f（
19、x)sin(2x）设平移后的函数为g(x），则g（x)sin（2x）(）且为奇函数,f（x)sin(2x)图象关于直线x对称，选B。4已知f(x）sinx，xR，g（x）的图象与f(x)的图象关于点（，0)对称,则在区间0,2上满足f(x)g（x）的x的取值范围是（ )A， B， C， D，【解析】设（x,y）为g（x）的图象上任意一点，则其关于点（，0)对称的点为(x，y），由题意知该点必在f（x）的图象上ysin(x)，即g(x）sin（x)cosx,由已知得sinxcosxsinxcosxsin（x）0又x0，2 x.5已知函数f（x)3sin(x)，g(x）3cos（x)，若对任意xR
20、，都有f(x)f（x)，则g（）_.【解析】由f(x）f(x），知yf(x)关于直线x对称，sin()1。g()3cos（)30.6设函数f（x）2sin(），若对任意xR，都有f（x1）f（x）f（x2）恒成立，则|x2x1的最小值为_.【解析】由“f(x1）f（x）f(x2）恒成立”，可得f(x1）、f(x2)分别是f(x)的最小值、最大值x2x1|的最小值为函数f（x)的半周期,又T4。|x2x1min2。7已知函数f(x）sinxcosx,f(x)是f(x）的导函数(1)求f(x)及函数yf(x)的最小正周期；（2)当x0,时，求函数F(x)f（x)f(x）f2（x）的值域【解析】(1
21、)f（x）cosxsinxsin(x）yf(x)的最小正周期为T2.(2）F(x)cos2xsin2x12sinxcosx1sin2xcos2x1sin（2x)x0,2x， sin（2x)，1，函数F（x）的值域为0,18设函数f（x)2cosx(sinxcosx)1，将函数f(x)的图象向左平移个单位，得到函数yg(x）的图象（1）求函数f（x)的最小正周期；（2）若0，且g(x）是偶函数，求的值 【解析】（1）f(x）2sinxcosx2cos2x1sin2xcos2xsin(2x)，f(x)的最小正周期T.(2)g(x）f（x）sin2（x）sin(2x2），g(x）是偶函数，则g(0）
22、sin（2）,2k，kZ.（kZ）, 0，.三角函数的图象与性质练习二1。函数f(x)sin图象的对称轴方程可以为(）A。x B。x C。x D.x解析令2xk（kZ)，得x（kZ），令k0得该函数的一条对称轴为x.本题也可用代入验证法来解答案D2.ysin的图象的一个对称中心是(）A.(,0） B。 C. D.3。函数y3cos（x）2的图象关于直线x对称，则的可能取值是（)A. B。 C. D.二、填空题4。函数ylg(sin x)的定义域为_（kZ)_.5.已知函数f（x)3sin(x）（0)和g（x)2cos(2x）1的图象的对称轴完全相同。若x0，则f(x）的取值范围是_.4函数f(
23、x)2sin x（0）在上单调递增，且在这个区间上的最大值是,那么等于_解析因为f（x)2sin x（0）在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin,且0，因此.答案6。关于函数f（x)4sin （xR），有下列命题:由f（x1）f(x2）0可得x1x2必是的整数倍；yf(x)的表达式可改写为y4cos;yf(x)的图象关于点对称；yf（x)的图象关于直线x对称.其中正确命题的序号是_。解析函数f(x）4sin的最小正周期T，由相邻两个零点的横坐标间的距离是知错利用诱导公式得f（x)4cos4cos4cos，知正确由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x代入得f(x)4
24、sin4sin 00,因此点是f(x）图象的一个对称中心，故命题正确曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点,且与y轴平行,而x时y0，点不是最高点也不是最低点,故直线x不是图象的对称轴，因此命题不正确答案三、解答题7.设函数f（x)sin （0)，yf(x）图象的一条对称轴是直线x.(1)求;(2）求函数yf（x)的单调增区间。解(1）(2）由(1）得：f(x)sin，令2k2x2k，kZ，可解得kxk,kZ，因此yf（x）的单调增区间为，kZ。8。（1）求函数y2sin (x）的值域；（2)求函数y2cos2x5sin x4的值域.解（1)x，00)在区间上的最小值是2，则的最小值等
25、于（）A。 B。 C。2 D.33。函数f（x)cos 2xsin是()A.非奇非偶函数 B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数 D。有最大值又有最小值的偶函数二、填空题4.设定义在区间（0，）上的函数y6cos x的图象与y5tan x的图象交于点P，过点P作x轴的垂线,垂足为P1,直线PP1与函数ysin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为_。5.函数f(x）2sin x(0）在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么_.解析因为f(x）2sin x（0）在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin，且0，因此.答案6。给出下列命题:函数ycos是奇函数； 存在实数,
26、使得sin cos ；若、是第一象限角且,则tan tan ；x是函数ysin的一条对称轴； 函数ysin的图象关于点成中心对称图形。其中正确的序号为_.三、解答题7。若函数f（x）sin2axsin axcos ax （a0)的图象与直线ym相切,并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列. （1)求m的值;（2）若点A（x0,y0)是yf(x)图象的对称中心，且x0，求点A的坐标.7。解（1）f（x)(1cos 2ax）sin 2ax(sin 2axcos 2ax）sin.yf（x）的图象与ym相切,m为f(x）的最大值或最小值，即m或m.(2）切点的横坐标依次成公差为的等差数列，f(x）的最
27、小正周期为。T，a0，a2，即f(x）sin。由题意知sin0,则4x0k （kZ)，x0 (kZ).由0 (kZ）得k1或2，因此点A的坐标为,。三角函数的图象与性质练习四一、选择题1函数f(x）2sin xcos x是（）A最小正周期为2 的奇函数 B最小正周期为2 的偶函数C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数解析f（x)2sin xcos xsin 2x.f（x）是最小正周期为的奇函数答案C2函数ysin2xsin x1的值域为（）A1，1 B。 C. D.解析(数形结合法）ysin2xsin x1，令sin xt，则有yt2t1，t1，1,画出函数图象如图所示，从图象可以看出
28、，当t及t1时，函数取最值,代入yt2t1可得y。答案C3若函数f(x）sin x(0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（)A。 B。 C2 D3解析由题意知f（x）的一条对称轴为x，和它相邻的一个对称中心为原点，则f（x）的周期T，从而.答案B4函数f(x）（1tan x）cos x的最小正周期为（)A2 B。 C D.解析依题意，得f（x)cos xsin x2sin.故最小正周期为2.答案A5下列函数中，周期为，且在上为减函数的是(）Aysin BycosCysin Dycos解析(筛选法）函数的周期为.排除C、D，函数在上是减函数，排除B。 答案A【点评】 本题采用了筛选法，体现
29、了筛选法的方便、快捷、准确性,在解选择题时应注意应用。6已知函数f(x）sin(xR）,下面结论错误的是（）A函数f(x）的最小正周期为2 B函数f(x）在区间上是增函数C函数f(x)的图象关于直线x0对称 D函数f(x)是奇函数解析ysincos x，T2,在上是增函数，图象关于y轴对称，为偶函数答案D二、 填空题7.y=|sin（x+)的单调增区间为_k+，k+（kZ）_.8.要得到的图象，可以将函数y = 3 sin2 x的图象向左平移_单位.9.若动直线与函数和的图像分别交于两点,则的最大值为_.10函数f（x)=（) 的值域是_1,0_ _。11.已知，且在区间有最小值，无最大值，则_12、给出下面的3个命题：（1)函数的最小正周期是;（2）函数在区间上单调递增；(3)是函数的图象的一条对称轴。其中正确命题的序号是 13若函数f（