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1、.1/14 第 9 讲空间几何体的表面积和体积备注：高三数学一轮复习必备精品共 42 讲 全部免费欢迎下载 一 课标要求 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。二 命题走向 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以与它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。由于本讲公式多反
2、映在考题上，预测2010 年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三 要点精讲 1多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体 积(V)棱柱棱柱直截面周长l S侧+2S底S底h=S直截面h 直棱柱ch S底h 棱锥棱锥各侧面积之和S侧+S底31S底h 正棱锥21ch棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底31h(S上底+S下底+下底下底SS)正棱台21(c+c)h 表中 S 表示面积，c、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h表示斜高，l 表示侧
3、棱长。2旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2rl rl(r1+r2)l S全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2V r2h(即 r2l)31r2h 31h(r21+r1r2+r22)34R3表中 l、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径.2/14 四 典例解析 题型 1：柱体的体积和表面积例 1一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得：24)(420)(2zyxzxyzxy
4、)2()1(由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）（1）得 x2+y2+z2=16 即l2=16 所以l=4(cm)。点评：涉与棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、切）与面积、体积之间的关系。例 2如图 1 所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB AD，A1AB=A1AD=3。（1）求证：顶点A1在底面 ABCD 上的射影 O在 BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积图 1 图 2 解析：（1）如图 2，连
5、结 A1O，则 A1O底面 ABCD。作 OM AB交 AB于 M，作 ON AD交AD于 N，连结 A1M，A1N。由三垂线定得得A1M AB，A1NAD。A1AM=A1AN，RtA1NARtA1MA,A1M=A1N，从而 OM=ON。点 O在 BAD的平分线上。（2）AM=AA1cos3=321=23AO=4cosAM=223。又在 RtAOA1中，A1O2=AA12 AO2=929=29，A1O=223，平行六面体的体积为22345V230。题型 2：柱体的表面积、体积综合问题.3/14 P A B C D O E 例 3一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线
6、的长是（）A23 B 32 C 6 D 6解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b2，c3，则对角线l的长为l=6222cba；答案 D。点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素棱长。例 4如图，三棱柱ABC A1B1C1中，若 E、F 分别为 AB、AC 的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1V2=_。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则 V=V1+V2Sh。E、F 分别为 AB、AC的中点，SAEF=41S,V1=31h(S+41S+41S)=127Sh V2=Sh-V1=125Sh，V1V2=75。点评：解题的关键
7、是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可题型 3：锥体的体积和表面积例 5 7.(2009卷理)一空间几何体的三视图如下图,则该几何体的体积为().A.22 3B.42 3C.2 323 D.2 343 解析:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为212 32333所以该几何体的体积为2 323.答案:C 命题立意:此题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地2 2 侧(左)视图2 2 2 正(主)视图.4/14 计算出.
8、几何体的体积.（2009 卷文）如图，已知六棱锥ABCDEFP的底面是正六边形，ABPAABCPA2,平面则以下结论正确的是 A.ADPB B.PAB平面PBC平面 C.直线BCPAE平面 D.直线ABCPD与平面所成的角为45 答案 D 解析 AD与 PB在平面的射影AB不垂直，所以A 不成立，又，平面PAB 平面 PAE，所以PAB平面PBC平面也不成立；BC AD 平面 PAD,直线BCPAE平面也不成立。在PADRt中，PA AD2AB，PDA 45.D正确（2009 全国卷文）设OA是球 O的半径，M是 OA的中点，过M且与 OA成 45角的平面截球O的表面得到圆C。若圆 C的面积等
9、于47，则球 O的表面积等于 答案：8解 析：此 题 考 查 立 体 几 何 球 面 知 识，注 意 结 合 平 面 几 何 知 识 进 行 运 算，由.8)14474(4422RS例 61.(2009年卷文)（本小题满分13 分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4 所示,墩的上半部分是正四棱锥PEFGH,下半部分是长方体ABCD EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线 BD平面 PEG.5/14 解析(1)侧视图同正视图,如以下图所示.（）该安全标识墩的体积为：PEFGHABCD
10、EFGHVVV2214060402032000320006400032cm（）如图,连结 EG,HF与 BD，EG与 HF相交于 O,连结 PO.由正四棱锥的性质可知,PO平面 EFGH,POHF又EGHFHF平面 PEG 又BDHFBD平面 PEG；例 7ABCD 是边长为4 的正方形，E、F分别是 AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD 所在的平面，且GC 2，求点 B到平面 EFC的距离？解：如图，取EF的中点 O，连接 GB、GO、CD、FB构造三棱锥BEFG。.6/14 设点 B到平面 EFG的距离为h，BD 42，EF2 2，CO 344 23 2。GOCOGC22223 22
11、18422()。而 GC 平面 ABCD，且 GC 2。由VVBEFGGEFB，得16EFGOh13SEFB点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点，EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。例 82009 年卷理）已知三个球的半径1R，2R，3R满足32132RRR，则它们的表面积1S，2S，3S，满足的等量关系是_.答案 12323SSS 解 析 2114 RS，112RS，同 理：222RS332RS，即 R121S，R222S，R323S，由32132RRR得12323SSS例 9
12、（2009 卷文）（本小题满分13 分）如图，ABCD的边长为2 的正方形，直线l 与平面 ABCD 平行，g 和 F 式 l 上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC，和是平面 ABCD 的两点，和都与平面ABCD垂直，（）证明：直线垂直且平分线段AD：（）若 EAD=EAB=60，EF=2，求多面体 ABCDEF 的体积。思路 根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，表达的是一种部分与整体的基本思想 解析(1)由于 EA=ED 且EDABCDE DE C面DBAOCEF.7/14 点 E在线段 AD的垂直平分线上,同理点 F在线段 BC的垂直平分线上.又 ABCD 是四方形
13、线段 BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线即点 EF都居线段AD的垂直平分线上.所以,直线 EF垂直平分线段AD.(2)连接 EB、EC由题意知多面体ABCD 可分割成正四棱锥EABCD 和正四面体EBCF两部分.设 AD中点为 M,在 RtMEE中,由于 ME=1,32MEEE.EV ABCD2114 222333SABCDEE四方形又EVBCF=VCBEF=VCBEA=VE ABC211122223323ABCSEE多面体 ABCDEF 的体积为VEABCD VEBCF=2 2例 10（1）（2009 卷理）如图，在长方形ABCD中，2AB，1BC，E为DC的中点，F为线段EC（端点
14、除外）上一动点 现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC 在平面ABD过点D作DKAB，K为垂足设AKt，则t的取值围是答案：1,12 解析 此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F 位于 DC的中点时，1t，随着 F 点到 C点时，因,CBAB CBDKCB平面ADB，即 有CBBD，对 于2,1,3CDBCBD，又1,2ADAB，因此有ADBD，则有12t，因此t的取值围是1,12例 113.（2009 卷文）若某几何体的三视图（单位：cm）如下图，则此几何体的体积是3cm.8/14 命题意图 此题主要是考查了几何体的三视图，通过三视图的考查充分表达了几何体直观的考查要求，与表面积和体
15、积结合的考查方法 解析 该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1 3 39，上面的长方体体积为3 3 19，因此其几何体的体积为18 例12 2009 全 国 卷 理）直 三 棱 柱111ABCA B C的 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上，若12ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于。解:在ABC中2ABAC,120BAC,可 得2 3BC,由 正 弦 定 理,可 得ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O，球心为O，在RT OBO中，易得球半径5R，故此球的表面积为2420R.例13 已 知 过 球 面 上,A B C三 点 的 截 面 和 球 心 的 距 离 为 球 半 径
16、的 一 半，且2ABBCCA，求球的表面积解：设截面圆心为O，连结O A，设球半径为R，则232 32323O A，在Rt O OA中，222OAO AO O，2222 31()34RR，43R，26449SR。点评：正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。例 14 如下图，球面上有四个点P、A、B、C，如果 PA，PB，PC两两互相垂直，且 PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。.9/14 解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O，球心到该圆面的距离为 d。在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,AB=BC=CA=2a,
17、且 P在 ABC的射影即是ABC的中心 O。由正弦定理，得60sin2a=2r,r=36a。又根据球的截面的性质，有OO 平面ABC，而 PO 平面 ABC，P、O、O 共线，球的半径R=22dr。又 PO=22rPA=2232aa=33a，OO=R 33a=d=22rR,(R 33a)2=R2 (36a)2，解得 R=23a,S球=4R2=3a2。点评：此题也可用补形法求解。将PABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=23a,下略题型 9：球的面积、体积综合问题例 15（1）表面积为324的球，其接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面
18、积。（2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积。解：（1）设球半径为R，正四棱柱底面边长为a，则作轴截面如图，14AA，2ACa，又24324R，9R，228 2ACACCC，8a，6423214576S表.10/14（2）如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H由题设aGEAEAG3622AOFAEGaRaaR233663，得aR126AO1HAOFRrRarRa36236，得ar2463331728624634341aarVO球点评：正四面体的切
19、球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等题型 10：球的经纬度、球面距离问题例 19（1）我国首都靠近北纬40纬线，求北纬40纬线的长度等于多少km？（地球半径大约为6370km）（2）在半径为13cm的球面上有,A B C三点，12ABBCACcm，求球心到经过这三点的截面的距离。解：（1）如图，A是北纬40上一点，AK是它的半径，.11/14 OKAK，设C是北纬40的纬线长，40AOBOAK，22cos2cos40CAKOAOAKOA423.1463700.76603.066 10()km答：北纬40纬线长约等于43.066 10 km（2）解：设经过,A B C三点的截面为O，设
20、球心为O，连结OO，则OO平面ABC，32124 323AO，2211OOOAOA，所以，球心到截面距离为11cm例 16 在北纬45圈上有,A B两点，设该纬度圈上,A B两点的劣弧长为24R（R为地球半径），求,A B两点间的球面距离解：设北纬45圈的半径为r，则24rR，设O为北纬45圈的圆心，BAO，24rR，2224RR，2，2ABrR，ABC中，3AOB，所以，,A B两点的球面距离等于3R点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离2009 卷）（本小题满分14 分）如图，在直三棱柱111ABCA B C中，E、F分别是1A
21、B、1AC的中点，点D在11B C上，11A DB C。.12/14 求证：（1）EF平面 ABC；（2）平面1A FD平面11BB C C.解析 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14 分五 思维总结 1正四面体的性质设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的(1)全面积：S全=3a2；(2)体积：V=122a3；(3)对棱中点连线段的长：d=22a；(4)切球半径：r=126a；(5)外接球半径 R=46a；(6)正四面体任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。2直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体
22、.直角四面体有以下性质：如图，在直角四面体AOCB 中，AOB=BOC=COA=90，OA=a,OB=b,OC=c。则：不含直角的底面ABC是锐角三角形；直角顶点O在底面上的射影H是 ABC的垂心；体积 V=61abc；底面ABC=21222222accbba；S2ABC=SBHCSABC；S2BOC=S2AOB+S2AOC=S2ABC.13/14 21OH=21a+21b+21c;外切球半径 R=21222cba；切球半径 r=cbaABCBOCAOBS-SS3圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.如图，圆锥的顶角为，母线与下底面所成角为，母线为l，高为 h，底面半径为r，则sin=cos2=l
23、h，+2=90cos=sin2=lr.圆台如图，圆台母线与下底面所成角为，母线为l，高为 h，上、下底面半径分别为 r、r，则 h=lsin，r-r=lcos。球的截面用一个平面去截一个球，截面是圆面.(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；(3)球心和截面距离d,球半径 R，截面半径r 有关系：r=22d-R.4经度、纬度：经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；.14/14 经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线与轴确定的半平面所成的二面角的度数纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。5.两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离两点的球面距离公式：（其中R为球半径，为 A,B 所对应的球心角的弧度数）