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1、第 2 讲空间几何体的表面积和体积一、选择题1母线长为1 的圆锥的侧面展开图的圆心角等于43 ，则该圆锥的体积为() A.2281 B.881 C.4581 D.1081解析： 设圆锥的底面半径为r，则2 r143 ， r23，圆锥的高h123253. 圆锥的体积V13 r2h4581.答案： C 2(2009 福建 )如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1 的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是() 解析： 体积为12，而高为 1，所以底面为一个直角三角形答案： C 3.(2010山东青岛调研)已知一个四棱锥的正视图(主视图 )和侧视图(左视图 )为两个完全相同的等腰直角三角
2、形(如图所示 )，腰长为1，则该四棱锥的体积为() A.23B.13C.26D.16解析： 由于正视图 (主视图 )和侧视图 (左视图 )为两个全等的等腰直角三角形，则可知四棱锥底面为正方形，四个侧面为正三角形，底面两条对角线所在方向分别与观测者正视图和侧视图光线平行；其中底面正方形的边长为1，四棱锥的高为22，所以该四棱锥的体积为26. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页答案： C 4.(2010广东中山调研)已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该空间几何体的体积是() A.143B.73C 14 D7
3、解析： 这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台，这个四棱台的高是2，上底面是边长为1 的正方形、下底面是边长为2 的正方形，故其体积 V13(12122222)2143. 答案： A 二、填空题5(2009 天津 )如右图是一个几何体的三视图若它的体积是33，则 a _. 解析： 由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2 的边上的高为 a，V3122a 3 3? a3. 答案：3 6若某几何体的三视图(单位： cm)如右图所示，则此几何体的体积是 _ cm3. 解析： 根据几何体的三视图，可知该几何体是由两个相同的长方体(331)组合而成的几何体，故其体积为18. 精选学
4、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页答案： 18 7(2010 江苏南京调研)如图是一个几何体的三视图(单位： m)，则几何体的体积为_解析：如图所示，此几何体是一个以AA1，A1D1，A1B1为棱的长方体被平面BB1C1C 截去后得到的，易得其体积为长方体的体积的，因为长方体的体积为24216(m3)，故所求的体积为12 m3. 答案： 12 m3三、解答题8.如图是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图和三视图(1)求该多面体的体积；(2)在所给直观图中连结BC，证明： BC面 EFG . 解： (1)所求多面体体积VV
5、长方体 V正三棱锥44 6131222 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页2843(cm3)(2)证明： 在长方体ABCD ABCD中，连结AD，则 AD BC . 因为 E，G 分别为 AA， AD中点，所以 AD EG，从而 EGBC .又 BC?平面 EFG ，所以 BC面 EFG . 9.已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图 ) 是一个底边长为8、高为 4 的等腰三角形，侧视图(或称左视图 )是一个底边长为6、高为 4 的等腰三角形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S
6、. 解：由题设可知，几何体是一个高为4 的四棱锥，其底面是长、宽分别为 8 和 6 的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为 h1 的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为 h2的等腰三角形，如右图所示(1)几何体的体积为：V=S矩形 h=684=64. (2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h1=5. 左、右侧面的底边上的高为：h2=故几何体的侧面面积为：10 (2009 福建 )如右图，平行四边形ABCD 中， DAB=60， AB=2，AD=4.将 CBD沿 BD 折起到EBD 的位置，使平面EBD平面 ABD. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
7、 - - - - - -第 4 页，共 6 页(1)求证： ABDE ；(2)求三棱锥EABD 的侧面积证明： (1)在ABD 中， AB=2，AD=4， DAB=60，BD=AB2BD2AD2， ABBD. 又平面 EBD 平面 ABD平面 EBD 平面 ABDBD，AB? 平面 ABD， AB平面 EBD. 又 DE? 平面 EBD ， AB DE. (2)解： 由(1)知 ABBD，CD AB， CDBD，从而 DE BD，在 RtDBE 中， DB23，DE DCAB 2，SBDE12DB DE 2 3. 又 AB平面 EBD ，BE? 平面 EBD， ABBE. BEBCAD4， S
8、ABE12AB BE4，DE BD，平面 EBD平面 ABD，ED平面 ABD，而 AD? 平面 ABD ， ED AD，SADE12AD DE 4 综上，三棱锥EABD 的侧面积S 82 3. 1(2010 创新题 )一个空间几何体的三视图及其相关数据如右图所示，则这个空间几何体的表面积是() A.112B.1126 C 11 D.11233 解析： 这个空间几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半根据图中数据可知这个圆台的上底面半径是1，下精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页底面半径是2，高为3，母线长是2，其表面积是
9、两个半圆，圆台侧面积的一半，和一个轴截面的面积之和，故 S12 1212 2212 (1 2)212(24)311233. 答案： D 2( )已知一几何体的三视图如右图所示，主视图与左视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为6，俯视图为正方形，一个小正四棱柱内接于这个几何体，棱柱底面在面 ABCD 内，其余顶点在几何体的棱上，当棱柱的底面边长为 _，高为 _时，棱柱的体积最大，这个最大值是_解析： 根据条件可知这是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，设内接于这个几何体的小正四棱柱底面边长为x，则高为 6x，从而由Vx2(6x)知，当 x4 时，即底面边长为 4，高为 2时，棱柱的体积最大，最大体积为32. 答案： 4232精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页