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1、1 奥数春季班讲义姓名：学校：2 目录第 01 讲 按规律填图.3 第 02 讲 巧填竖式.5 第 03 讲 余数.7 第 04 讲 切蛋糕找规律.9 第 05 讲 页码问题.11 第 06 讲 填图与拆数.13 第 07 讲 考虑所有可能情况（一）.16 第 08 讲 考虑所有可能情况（二）.18 第 09 讲 机智题.20 第 10 讲 猜猜凑凑.24 第 11 讲 列表尝试法.27 第 12 讲 灵感题.29 第 13 讲 一笔画问题.33 第 14 讲 七座桥问题.36 第 15 讲 整数的分拆.40 3 第 01 讲 按规律填图【知识梳理】找规律就像苹果香蕉梨水壶里面谁是不同的？【典
2、型例题】【例题 1】下面一组图中，有一个是不同的，你能找到它吗？【例题 2】根据规律接着画。【例题 3】在方框里填上适当的字母。A B C B C A C A【例题 4】请你根据前三个图形的变化规律，画出第四个图形来。【例题 5】接着应该怎样画？请画在空格里。4【课堂练习】【练习 1】下面一组图形，其中有一个是不相同的，你能找出来吗？【练习 2】找出与其他图形不同的那组图。（1）（2）（3）（4）【练习 3】按顺序仔细观察图，第三幅图“？”处该怎么填？【练习 4】按规律在空格里画上图形。【练习 5】接下去该怎样画？【练习 6】仔细观察，第四幅图应画什么图形？5 第 02 讲巧填竖式【知识梳理】
3、算式谜”是一种常见的猜谜游戏。通常是给出一个式子，但式子中却含有一些用汉字、字母等表示的特定的数字。要求我们根据一定的法则和逻辑推理的方法，找到要填的数字。解答这类题目，要分析算式的特点，运用加、减的运算法则来安排每一个数。一个算式中填几个数时，要选好先填什么，再填什么，选准“突破口”，其他就好填了【典型例题】【例 1】根据给出的算式，请推算出每个图形代表一个什么数字。4 2=（）=（）8 9【例 2】猜一猜，每个汉字各表示什么数字？学 学 4 生8 学=（）生=（）【例 3】在里填合适的数，使算式成立。【例 4】在里填上合适的数，使算式成立。6【例 5】在下面里填上数字，使算式成立。【课堂练
4、习】【练习 1】下面题中各图形分别表示多少？1 7 4 =（）=（）9 7 2 7 6 5 =（）=（）8【练习 2】想一想，每个汉字和图形各表示什么数字？17 2【练习 3】在里填上合适的数，使等式成立。12【练习 4】在方框里填上合适的数，使算式成立。12【练习 5】在里填上合适的数字。12第 03 讲余数【知识梳理】8 余数永远小于除数【典型例题】【例 1】（1）=4，除数最小是几？（2）6=，余数可以是几？其中最大的一个是几？【例 2】（）8=3（），根据余数写出被除数最大是几？最小是几？【例 3】老师拿出15 颗小红星，每人奖2 颗，还余1 颗，老师奖给了几位小朋友？【例 4】有 2
5、8 个梨，最少拿走几个，就使得6 个小朋友分得一样多？每个小朋友分几个？【例 5】小明带 5 个小朋友种32 棵树，平均每人种多少棵？小明要多种几棵，才能完成任务？【课堂练习】【练习 1】1（）（）=（）6，除数最小是几？9 2（）（）=6 7，除数取最小时，被除数是几？3（）8=7（），余数取最大时，被除数是几？【练习 2】下面各题中被除数最大填几，最小填几？（）6=8（）（）7=5（）【练习 3】1在括号里填上合适的数。48（）=9 3 67（）=7 4 2阿姨拿来35 块饼干，每个小朋友分得4 块，还余3 块，阿姨发给了几个小朋友？【练习 4】1.有 37 只气球，最少拿走几只，就使得7
6、 个小朋友分得一样多？每个小朋友分几只？2老师做了许多小红花，分给20 个小朋友，每人3 朵，还剩下2 朵，老师共做了多少朵小红花？【练习 5】1.小兰带领8 个小朋友为图书馆包75 本书，平均每人包多少本？小兰要多包几本，才能完成任务？2小华带3 个小朋友送9 个篮球到体育办公室，平均每人拿几个？小华要多拿几个就能一次送到办公室？第 04 讲切蛋糕找规律【知识梳理】10 小朋友们，我们在平时的生活中经常看到刀切西瓜，切蛋糕，切苹果的问题，你想过吗？在这些生活中常常遇到的问题中有很多数学的规律，让我们一起来探索一下吧。【典型例题】【例 1】一个月饼竖直切两刀最多切几刀？切3 刀最多能切几块？【
7、例 2】一个菠萝要分给11 个小朋友吃，每个小朋友吃1 块，问如果竖直切，最少要切几刀？【例 3】一只月饼，切成8 块，最少要切几刀？【例 4】一个梨切3 刀，切成8 块，怎样切？【例 5】3 根甘蔗，现在要你砍成9 节，每一刀只许同时砍断两根甘蔗，应该怎样砍？【课堂练习】【练习 1】1一块圆形塑料板，切3 刀最多能切成几块？切4 刀呢？11 2一只西瓜，竖直切5 刀，最多能切多少块？切9 刀呢？【练习 2】1一只西瓜，分给22 个小朋友吃，每个人吃1 块，竖直切最少要切几刀？2幼儿园阿姨拿来一只大西瓜，分给16 个小朋友吃，每个小朋友吃1 块，问这位阿姨竖直切，最少要切几刀？【练习 3】1一
8、个苹果，切成8 块，最少要切几刀？2小红过生日，同学们为她买了一个大蛋糕，小红要把它分成12 块，想一想，小红最少要切几刀？怎样切？【练习 4】1一个苹果怎样切成9 块？2一只西瓜5 刀切成 20 块，你知道怎样切吗？【练习 5】1 怎样一剪刀把一根绳子剪成5 段？2一块圆形甜糕上有7 个红枣，现在要把这块甜糕分成7 块，（每小块大小不一定相等），要求每一小块上面都有一个枣子，如果只许你切3 刀，应该怎样切？第 05 讲页码问题【知识梳理】本讲的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的思维方法一般是运用枚举法及分类统计方法，望同学们能很好地掌握它12 数清楚个位有多少个十位有多少个百位有
9、多少个【典型例题】【例 1】小明从 1 写到 100，他共写了多少个数字“1”？【例 2】一本小人书共100 页，排版时一个铅字只能排一位数字，请你算一下，排这本书的页码共用了多少个铅字？【例 3】把 1 到 100 的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字的和是多少？【课堂练习】【练习 1】有一本书共200 页，页码依次为1、2、3、199、200，问数字“1”在页码中共出现了多少次？13【练习 2】在 1 至 100 的奇数中，数字“3”共出现了多少次？【练习 3】在 10 至 100 的自然数中，个位数字是2 或是 7 的数共有多少个？【练习 4】一本书共200 页，如果页码的每个数字都
10、得用一个单独的铅字排版（比如，“150”这个页码就需要三个铅字“1”、“5”和“0”），问排这本书的页码一共需要多少个铅字？【练习 5】像“21”这个两位数，它的十位数字“2”大于个位数字“1”，问从1 至 100 的所有自然数中有多少个这样的两位数？【练习 6】像“101”这个三位数，它的个位数字与百位数字调换以后，数的大小并不改变，问从 100 至 200之间有多少个这样的三位数？【练习 7】像 11、12、13 这三个数，它们的数位上的各个数字相加之和是（1+1）+（1+2）+（1+3）=9.问自然数列的前20 个数的数字之和是多少？【练习 8】把 1 到 100 的一百个自然数全部写出
11、来，用到的所有数字的和是多少？【练习 9】从 1 到 1000 的一千个自然数的所有数字的和是多少？第 06 讲填图与拆数【知识梳理】填图是一种运算游戏，它要求把一些数字按照一定的规则填进各类图形.这不仅可以提高运算能力，而且更能促使你积极地去思考问题、分析问题，使你的智力得到更好地发展.【典型例题】14【例 1】请你把 1、2、3 这三个数填在图9.1 中的方格中，使每行、每列和每条对角线上的三个数字之和都相等.【例 2】请把 1 9 九个数字填入图9 5中，要求每行、每列和每条对角线上三个数的和都要等于15.【例 3】如下面图99 所示有八张卡片.卡片上分别写有1、2、3、4、5、6、7、
12、8 八个数.现在请你重新按图 9 10 进行排列，使每边三张卡片上的数的和等于：13，15.【例 4】图 913 是由八个小圆圈组成的，每个小圆圈都有直线与相邻的小圆圈相接连.请你把 1、2、3、4、5、6、7、8 八个数字分别填在八个小圆圈内，但相邻的两个数不能填入有直线相连的两个小圆圈（例如，你在最上头的一个小圆圈中填了5，那么 4 和 6 就不能填在第二层三个小圆圈中了）.15【课堂练习】【练习 1】在图 915，916 中，只能用图中已有的三个数填满其余的空格，并要求每个数字必须使用3次，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都必须相等.【练习 2】把 10、12、14 这三个数填在
13、图917 的方格中，使每行、每列和每条对角线上的三个数之和都相等.【练习 3】在图 918 中，三个圆圈两两相交形成七块小区域，分别填上17 七个自然数，在一些小区域中，自然数3、5、7 三个数已填好，请你把其余的数填到空着的小区域中，要求每个圆圈中四个数的和都是 15.【练习 4】图 920 中有三个大圆，在大圆的交点上有六个小圆圈.请你把 1、2、3、4、5、6 六个数分别填在六个小圆圈里，要求每个大圆上的四个小圆圈中的数之和都是14.16【练习 5】图 921 是由四个三角形组成的，每个三角形上都有三个小圆圈.请你把 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数填在九个小圆圈中，让每个三
14、角形上的三个数之和都是15.【练习 6】图 922 是由四个扁而长的圆圈组成的，在交点处有8 个小圆圈.请你把 1、2、3、4、5、6、7、8 这八个数分别填在8 个小圆圈中.要求每个扁长圆圈上的四个数字的和都等于18.第 07 讲考虑所有可能情况（一）【知识梳理】有些数学题，要求把符合条件的算式或得数全部找出来；若漏掉一个，答案就不对.做这种题，特别强调有秩序的思考.17【典型例题】【例 1】从 2 个 5 分硬币、5 个 2 分硬币、10 个 1 分硬币中，拿出1 角钱来，有多少种不同的拿法？【例 2】5 个茶杯的价钱分别是9 角、8 角、6 角、4 角和 3 角，3 个茶盘的价钱分别是7
15、 角、5 角和 2 角；如果一个茶杯配一个茶盘，一共可以配成多少种不同价钱的茶具？【例 3】将无法区分的7 个苹果放在三个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放.问共有多少种不同的放法？【例 4】把一个整数表示成若干个小于它的自然数之和，通常叫做整数的分拆.问整数 4 有多少种不同的分拆方式？【例 5】邮局门前共有5 级台阶.若规定一步只能登上一级或两级，问上这个台阶共有多少种不同的上法？【课堂练习】【练习 1】现有 5 分币一枚，2 分币三枚，1 分币六枚，若从中取出6 分钱，有多少种不同的取法？【练习 2】从 1 个 5 分，4 个 2 分，8 个 1 分硬币中拿出8 分钱，你能想出多少种不同
16、的拿法？18【练习 3】把 3 个无法区分的苹果放到同样的两个抽屉里，有多少种不同的放法？【练习 4】把 4 个苹果放到同样的2 个抽屉里，有多少种不同的放法？【练习 5】整数 6 有多少种不同的分拆方式？【练习 6】用分别写着1，2，3 的三张纸片，可以组成多少个不同的三位数？【练习 7】一个盒中装有七枚硬币，两枚1 分的，两枚5 分的，两枚1 角的，一枚5 角的，每次取出两枚，记下它们的和，然后放回盒中.如此反复地取出和放回，那么记下的和至多有多少种不同的钱数？【练习 8】一个外国小朋友手中有4 张 3 分邮票和3 张 5 分邮票.请你帮他算一算，他用这些邮票可以组成多少种不同的邮资？第
17、08 讲考虑所有可能情况（二）【知识梳理】按顺序去分很重要，分类是否全决定了是否会漏【典型例题】19【例 1】象右边竖式那样十位数字和个位数字顺序相颠倒的一对二位数相加之和是99，问这样的两位数共有多少对？【例 2】一些十位数字和个位数字相同的二位数可以由十位数字和个位数字不同的两个二位数相加得到，如 12+21=33（人们通常把12 和 21 这样的两个数叫做一对倒序数）.问在 100 之内有多少对这样的倒序数？【例 3】规定：相同的字母代表同一个数字，不同的字母代表不同的数字.请问，符合下面的算式的数字共有多少组？【例 4】把整数 10 分拆成三个不同的自然数之和共有多少种不同的分拆分式？
18、【例 5】将 1、2、3、4、5 填入下图111 的五个空格中，使横行和竖行的三个数之和相等.问共有多少种不同的填法？【课堂练习】【练习 1】想一想，下面算式中的和中，各有多少对不同的填法？【练习 2】见下式，满足下式的两个二位数，共有多少对？20【练习 3】见图 115，将 1、2、3、4、5、6 六个数填在下图中的黑点处，使每条线的三个数之和相等，共有多少种不同的填法？【练习 4】把整数20 分拆成不大于9 的三个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式？【练习 5】把整数19 分拆成不大于9 的三个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式？【练习 6】十位数字大于个位数字的二位数共有多少
19、个？【练习 7】两个整数之积是144，差为 10，求这两个数.【练习 8】三个不完全相同的自然数的乘积是24.问由这样的三个数所组成的数组有多少个？【练习 9】（1，1，8）是一个和为10 的三元自然数组.如果不考虑顺序，那么和为10 的三元自然数组有多少个 注意：“不考虑顺序”的意思是指如（1，1，8）与（1，8，1）是相同的三元自然数组？第 09 讲 机智题【知识梳理】解数学题很关键的一步是审题.如果把题目看错了，或是把题意理解错了，那样解题肯定是得不出正确的答案来的.什么叫审题？扼要地讲，审题就是要弄清楚：未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？【典型例题】21【例 1】树上有 5 只小
20、鸟，飞起了1 只，还剩几只？【例 2】要把一个篮子里的5 个苹果分给5 个孩子，使每人得到1 个苹果，但篮子里还要留下一个苹果，你能分吗？【例 3】两个父亲和两个儿子一起上山捕猎，每人都捉到了一只野兔.拿回去后数一数一共有兔3只.为什么？【例 4】一个小岛上住着说谎的和说真话的两种人.说谎人句句谎话，说真话的人句句是实话.假想某一天你去小岛探险，碰到了岛上的三个人A、B和 C.互相交谈中，有这样一段对话：A说：B和 C两人都说谎；B说：我没有说谎；C说：B确实在说谎.小朋友，你能知道他们三个人中，有几个人说谎，有几个人说真话吗？【例 5】如图 12 5，三根火柴棍可以组成一个等边三角形，再加三
21、根火柴棍，请你组成同样大小的四个等边三角形.22【例 6】一笔画出由四条线段连接而成的折线把九个点串起来，你能做到吗？（见图127）.【课堂练习】【练习 1】一个学生花2 角钱买了2 个练习本，花5 角钱能买几个练习本？在上学的路上2 个学生拾到了2 角钱，问 5 个学生捡到多少钱？【练习 2】桌上放着一堆糖果，两个母亲和两个女儿，还有一个外祖母和一个外孙女，每人拿了一块，这堆糖果就被拿完了，而这堆糖只有3 块.这是为什么？【练习 3】天上飞着几只大雁：两只在后，一只在前；一只在后，两只在前；一只在两只中间，三只排成一条线.请你猜猜看，天上共有几只雁？【练习 4】小强带了5 元钱上街，他到书店
22、买了3 本书，应付一元五角钱，可是售货员找给他五角钱，你说售货员一定错了吗？【练习 5】一栋大楼内有60 盏灯，关掉其中的一半后，还剩下多少盏灯？23【练习 6】大海中有一个小岛，小岛上住着的100 名妇女中有一半人只戴一只耳环.余下的妇女中一半人戴两只耳环，另一半人不戴耳环.问这 100 名妇女共戴有多少只耳环？【练习 7】有一人一天读20 页书，第三天因病没读，其他日子都按计划读了书.问第十二天他读了多少页书？【练习 8】一家文具店卖某种文具，文具的价钱是：五个是2 元，五十个是3 元，而五百个、五千个、五万个都是 3 元.问五十万个是几元？【练习 9】王老师有一个孩子，李老师也有一个孩子
23、，两位老师共有多少个孩子？【练习 10】一个长方形，剪掉一个角时，剩下的部分还有几个角？【练习 11】一家冷饮店规定，喝完汽水后，用4 个空汽水瓶可以换1 瓶汽水.老师带着32 个学生进店后，他只买了24 瓶汽水.问每个学生能喝到一瓶汽水吗？【练习 12】两条直线垂直相交，可以组成4 个直角，如图12 11 所示，那么三根直线相交时最多能组成多少个直角呢？24【练习 13】图 1212 有 12 个点.请你用一笔画出由五条线段连接成的折线，把12 个点串起来.【练习 14】图 1213 有 16 个点，请你用一笔画出由六条线段连接成的折线，把16 个点串起来.第 10 讲 猜猜凑凑【知识梳理】
24、有些数学题可以用猜猜凑凑的方法求出答案猜，很难一次猜中；凑，也不一定凑得准那不要紧，再猜再凑，对于比较简单的问题，最后总能凑出答案来数学家说，猜猜凑凑也是一种数学方法，它的正式的名字叫“尝试法”有时，它还是一种极为有效的方法，数学上的有些重大的发现往往都是大数学家们大胆地猜出来的25 猜，要大胆；凑，要细心要知道猜的对不对，还要根据题目中的条件进行检验【典型例题】【例1】小明心中想到三个数，这三个数的和等于这三个数的积，你知道小明想的三个数都是什么吗？【例 3】一些老人去赶集，买了一堆大鸭梨，一人一梨多一梨，一人两梨少两梨，问几个老人几个梨？【例 4】甲、乙、丙三个小朋友在操场跑步甲2 分钟跑
25、一圈，乙3 分钟跑一圈，丙5 分钟跑一圈如果他们三人同时从同一起点起跑，问多少分钟后他们三人再次相遇？【例 5】有人问孩子年龄，回答说：“比父亲的岁数的一半少9 岁”又问父亲年龄，回答说：“比孩子的岁数的 3 倍多 3 岁”求父亲和孩子的年龄各是多少岁？【课堂练习】【练习 1】林林心里想到三个数，它们的和是12，又知道第二个数比第一个大1，第三个又比第二个大1 请猜出林林心中想的这三个数各是几？【练习 2】一群老头去赶集，买了一堆大鸭梨，一人一梨多一梨，一人2 梨少 3 梨，几个老头几个梨？26【练习 3】图 13 2 中算式里的小动物各代表什么数？需要注意的是有规定：相同的动物代表相同的数字
26、，不同的动物代表不同的数字【练习 4】游泳池中男孩戴蓝帽，女孩戴红帽 一个男孩说：“我看见的蓝帽与红帽一样多”；一个女孩说：“我看见的蓝帽比红帽多一倍”你知道游泳池中有几个男孩，有几个女孩吗？【练习 5】如果在一个小本子里每页贴一片树叶，就多出 4 片树叶如果在每页贴2 片树叶就会空出6 页 问这个小本子共多少页，树叶有多少片？【练习 6】小虎是趣味数学小组的成员有人问小虎今年几岁，他编了一道有趣的数学题回答说：“爷爷、爸爸和我，三个人年龄的和是120 岁，爷爷比爸爸大30 岁，爷爷和爸爸的年龄之和刚好比我大100 岁，你猜我今年几岁？”请猜出小虎、爸爸和爷爷各是多少岁？27【练习 6】图 1
27、34 所示的方格中，已填好了数字5，请你把其余的空格填好使每行每列的三个数之和都是 7（空格中只能填自然数）【练习 7】有 21 个装铅笔的盒子，其中7 盒是满的，7 盒是半满的，7 盒是空的现在要把这些铅笔连同盒子平均奖给三个学生，使每人分得的铅笔和盒子数都一样多，怎样分？第 11 讲 列表尝试法【知识梳理】对于比较复杂的问题，可以采用列表法进行尝试【典型例题】【例 1】老大、老二、老三兄弟三人岁数之和是32 岁，老大的岁数比老二大3 岁，而且老大的岁数是老三的 2 倍，问兄弟三人各几岁？28【例 2】一次数学测验共10 题，小明都做完了，但只得到29 分因为按规定做对一题得5 分，做错一题
28、扣掉 2 分你知道小明做错了几道题吗？【例 3】甲乙二人岁数之和是99 岁，甲比乙大9 岁，而且甲的岁数的两个数字互相交换位置后恰是乙的岁数，问甲乙各多少岁？【例 4】如果小方给小明一个玻璃球，两人的玻璃球数相等；如果小明给小方一个玻璃球，则小方的玻璃球数就是小明的两倍问小明、小方原来各有几个玻璃球？【例 5】某学校的学生去郊游，中午开饭时，两个学生合用1 只饭碗，三个学生合用1 只菜碗，四个学生合用 1 只汤碗，共用了65 只碗，问共有多少学生？【例 6】240 元钱平均分给若干人正在分时，有一个人离开了，因而现在每人多分了1 元问现在有多少人？【课堂练习】【练习 1】在一次数学考试中规定：
29、做对一道题得5 分，做错一道题扣3 分小伟做了10 道题共得了34 分，请问他做对了几道题？【练习 2】小燕今年10 岁，爸爸 40 岁，爸爸的年龄是小燕的4 倍几年以后，爸爸的年龄正好是小燕的2倍？【练习 3】今年弟弟 8 岁，哥哥 14 岁，当两人的年龄之和是48 岁时，两人年龄各几岁？29【练习 4】松鼠采松子，晴天每天采20 个，雨天每天采12 个，共采了112 个，平均每天采14 个问其中雨天是多少？【练习 5】100 个人吃 92 个馒头，大人一人吃2 个，小孩两人吃1 个，恰好吃完问大人、小孩各多少人？【练习 6】兄弟两人去钓鱼，共钓了 52 条，其中弟弟钓的鱼是哥哥的2 倍多
30、1 条，问两人各钓了多少条鱼？【练习 7】10 元币和 5 元币共 45 张，合计350 元 10 元币多少张？5 元币多少张？【练习 8】幼儿园把一批桔子分给小朋友如果分给大班的学生每人5 只余 10 只；如果分给小班的学生每人 8 只缺 2 只已知小班比大班少3 人，问这批桔子有多少只？第 12 讲 灵感题【知识梳理】数学需要踏实与严谨，也含有机智与顿悟【典型例题】【例 1】在美国把5 月 2 日写成 5/2，而在英国把5 月 2 日写成 2/5 问在一年之中，在两国的写法中，符号相同的有多少天？30【例 2】有一个老妈妈，她有三个男孩，每个男孩又都有一个妹妹，问这一家共有几口人？【例 3
31、】小明给了小刚2 支铅笔，他们俩的铅笔数就一样多了，问小明比小刚多几支铅笔？【例 4】小公共汽车正向前跑着，售票员对车内的人数数了一遍，便说道，车里没买票的人数是买票的人数的 2 倍你知道车上买了票的乘客最少有几人吗？【例 5】大家都知道：一般说来，几个数的和要比它们的积小，如2+3+4比 234 小那么请你回答：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这几个数相加的和大还是相乘的积大？【例 6】两个数的和比其中一个数大17，比另一个数大 15，你知道这两个数都是几？你由此想到一般关系式吗？【例 7】小明和小英一同去买本，小明买的是作文本，小英买的是数学本已知小英买的数学本的本数是小明买的作文
32、本的2 倍又知一本作文本的价钱却是一本数学本的价钱的2 倍，请问他俩谁用的钱多？31【例 8】中午放学的时候，还在下雨，大家都盼着晴天小明对小英说：“已经连续三天下雨了，你说再过 36 小时会出太阳吗？”小朋友你说呢？【例 9】一位画家想订做一个像框，用来装进他的立体画他画了一张像框的尺寸图拿给你看（右图），请你帮他算算，需要多长的材料才能做好？（画家说，材料粗细要求一样，形状尺寸一定要按图示加工，拐角部分都要做成直角）【课堂练习】【练习 1】如右图所示，若每个圆圈里都有五只蚂蚁，问右图中一共应有多少只蚂蚁？【练习 2】一个课外小组活动日，老师进教室一看，来参加活动的学生只占教室里全体人数的一
33、半老师很生气你知道这天共来了多少学生吗？32【练习 3】小林和小蓉两人口袋里各有10元钱两人去书店买书买完书后发现，小林花去的钱正好和小蓉剩下的钱数一样多请问，现在他们两人一共还有多少钱？【练习 4】满满一杯牛奶，小明先喝了半杯；然后添水加满，之后再喝去半杯；再一次添水加满，最后把它全部喝完请问小明一共喝了多少杯牛奶多少杯水？【练习 5】小黄和小兰想买同一本书小黄缺一分钱，小兰缺4 角 2 分钱若用他俩的钱合买这本书，钱还是不够请问这本书的价钱是多少？他俩各有多少钱？【练习 6】一个骑自行车的人以每小时10公里的速度从一个城镇出发去一个村庄；与此同时，另一个人步行，以每小时 5公里的速度从那个
34、村庄出发去那个城镇经过一小时后他们相遇 问这时谁离城镇较远，是骑车的人还是步行的人？【练习 7】有人去买葱，他问多少钱一斤卖葱的说：“1角钱 1 斤”买葱的说：“我要都买了不过要切开称从中间切断，葱叶那段每斤2 分，葱白那部分每斤8 分你卖不卖？”卖葱的一想：“8分+2分就是 1 角”他就同意全部卖了 但是卖后一算账，发现赔了不少钱 小朋友，你知道为什么吗？【练习 8】小明家附近有个梯形公园，公园中有4 棵树排成了一行，如图所示小明每天放学回家都要到公园里去玩一会儿有一天，他玩着玩着突然想出了一个问题：“能不能把公园分成大小和形状都相同的4 块，而且每一块上保留一棵树？”回到家以后，他又和爸爸
35、妈妈一块33 儿讨论，终于像小明想的那样分好了，小明非常高兴 小朋友，你也回家与爸爸妈妈讨论讨论，看能不能分好？第 13 讲 一笔画问题【知识梳理】奇点：一个点引出的线有奇数条。偶点：一个点引出的线有偶数条。简单记忆（一笔画）：一副图能够一笔画的条件是：图中所有结点要么全是偶点；要么恰好有两个奇点，其他全是偶点。扩展记忆：1、凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。34 2、凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。3、其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图
36、需几笔画成。)【典型例题】【例 1】下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？（1）（2）（3）【例 2】下图（图1）能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？（1）【例 3】下图（图 1）能否一笔画成，若不能，你能用什么方法把它改成一笔画成？（1）（2）35【例 4】下图是某新村小区主干道平面图，甲乙两人分别从A、B 出发，以相同的速度走遍所有的主干道，最后到达C，问谁能最先到达C？【课堂练习】【练习 1】下列图形能一笔画成吗？为什么？CB（乙）A（甲）36【练习 2】判断下列各图能否一笔画出，并说明理由。能一笔画成的试着画一画。（1）（2）（3）（4）（5）（6）【练习 3】将下图改成一笔画。【练
37、习 4】邮递员叔叔向 11 个地点送信，一次送完，怎样走，才能尽快地把信送到？七座桥问题二百五十年前，有一个问题曾出现在普通人的生活中，向人们的智力挑战，使得很多人冥思苦想.在相当长的一段时间里，很多人都想解决它，但他们都失败了.今天，我们小学生也要大胆地研究研究它.这个问题叫做“七座桥问题”.当时，德国有个城市叫哥尼斯堡.城中有条河，河中有个岛，河上架有七座桥，这些桥把陆地和小岛连接起来，这样就给人们提供了一个游玩的好去处（见下图）.俗话说，“人是万物之灵”，他们就是在游玩时候想出了这样一个问题：如果在陆地上可以随便走，而对每座桥只许通过一次，那么一个人要连续地走完这七座桥怎么个走法？邮递员
38、叔叔37 好动脑筋的小朋友请先不要接着往下读，你也试一试，走一走.你是怎样试的呢？你不可能真到哥尼斯堡城去，像当年的游人那样亲自步行过桥上岛.因为你并没有离开自己的教室，你坐在教室里，在你的面前没有河流，没有小岛，也没有桥，但在你面前却有一张图！可是，这又是一张什么样的图呢？图上并没河流、小岛和小桥的原样，只是用一些线条来代表它们，但却明白无误地显示出了它们之间的位置关系和连接方式.可以说，这是一张为了做数学而舍弃了许多无关的真实内容而抽象出来的“数学图”.这样的抽象过程非常重要，这种抽象思维对于学习数学来讲非常重要.也许你是用铅笔尖在图上画来画去进行试验的吧！好！你做得很好！为什么这样说呢？
39、因为当你这样做的时候，就发挥了自己的想像力：你在无意中把自己想像成了一个小笔尖.你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成了你自身的经历，有位教育家曾说“强烈而活跃的想像是伟大智慧不可缺少的属性”.看来你并不缺少这种想像力！让我们再好好地想一想，刚才你把小笔尖在七桥图上画来画去，想像成你自己过桥的亲身经历，这不就是把过桥问题和一笔画问题联系在一起了吗？用一句数学上常用的话说，这就是把实际生活中的问题转化成了数学问题，下面的图把这种转化过程详细地画了出来.在下页左图中把陆地想像成了几大块.这对过桥问题并不产生影响.在下页右图中进一步把陆地块缩小，同时改用线段代表小桥，这也不改变过桥问题的实质.在下面左
40、图中，进一步把陆地和岛都用小圆圈代表，这已是“几何图形”了，但还是显得复杂.在下面右图中，圆进一步缩成了点.这样它变成了只由点和线构成的最简单的几何图形了.经过上面这样的一番简化，七桥问题的确就变成了上右图（即为第五讲习题1 中的图（9）38 是不是能一笔画成的问题了.很容易看出图中共有4 个奇点，由上一讲得到的判定法则可知，它不能一笔画成，因而人们根本不能一次连续不断地走过七座桥.这样七桥问题就得到了圆满的解决.这种解法是大数学家欧拉找到的.这种简化也就是一种抽象过程.所谓“抽象”就是在解决实际问题的过程中，舍弃与问题无关的方方面面.而只抓住那个能体现问题实质的东西.就像在七桥问题中，陆地和
41、岛的大小、桥的宽窄和长短都是与问题无关的东西.最后，再把解决七桥问题的要点总结一下：把陆地和岛缩小画成点，把桥画成线，这样就把原图变成了简单的几何图形了.如果这种由点和线组成的图形是一笔画，人就能一次通过所有的桥；如果这种图形不能一笔画成，人就不能一次通过所有的桥.由前述判定法则可知，有 0 个奇点或 2 个奇点的图形是一笔画，超过两个奇点时，图形就不能一笔画出来.模仿这种思路，也能解决类似好多问题.【课堂练习】1.学习欧拉，先将过桥问题转化为一笔画问题，再进行判断（见下图）.过桥问题：可否一次通过的桥（每座桥只能走一次）？例：仿此例依次判断出：39 2.下图是乡间的一条小河，上面建有六座桥，
42、你能一次不重复地走遍所有的小桥吗？（每座小桥最多只准走一次，陆地上可以重复地来回走）3.在我国著名数学家陈景润写的数学趣谈一书中，有下面的这样一道题，大意是说：在法国的首都巴黎有一条河，河中有两个小岛，那里的人们建了15 座桥把两个小岛和河岸连接起来，如下图所示，请你说一说，从任一岸出发，一次连续地通过所有的桥到达另一岸，可能吗？（每座桥只能走一次）40 4.下图所示为一座售货厅.问顾客从入口进去时，能够一次不重复地走遍各个门吗？请说明你的理由.如果售厅出口在 4 号房间由你设计再开一个门，使顾客从入口进去后一次不重复地走遍各个门，再从 4 号房间出售厅，你打算在哪里再开一个门？第 15 讲
43、整数的分拆【知识梳理】把一个自然数拆分成两个或几个连续自然数的和（如3 1 2），或拆分成几个不相同的数的和，这类题目统称为整数的拆分。加法拆分目的：拆分不是目的，目的是通过分类枚举进行拆分然后进行统计计数。要求同学不但能够通过拆分解决相关的最大最小问题，同时也能通过拆分解决一些应用问题。【例 1】小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示.他们每人打了两发子弹.小兵共打中 6环，小军共打中 5 环.又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发.你知道他俩打中的都是哪几环吗？41【例 2】某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币1 分、2 分、4 分、8 分各一枚，如果他想买 7 分钱的一
44、件商品，他应如何付款？买9 分、10 分、13 分、14 分和 15 分的商品呢？他又将如何付款？【例 3】有人以为 8 是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用“8”表示才好.现有 200块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案.【例 4】试将 100 以内的完全平方数分拆成从1 开始的一串奇数之和.【例 5】从 19 九个数中选取，将11 写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？【例 6】将 12 分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请把它们一一列出.【课堂练习】【练习 1】把 15 分拆成不大于9 的两个整数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出
45、.【练习 2】将 15 分拆成不大于9 的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一列出.42【练习 3】将 15 分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请一一列出.【练习 4】将 15 分拆成不大于9 的四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.【练习 5】将 15 分拆成四个不同的自然数之和，有多少种不同的分拆方式，请一一列出.【练习 6】把 15 个玻璃球分成数量不同的4 堆，共有多少种不同的分法？（此题是美国小学数学奥林匹克试题）.【练习 7】七只箱子分别放有1 个、2 个、4 个、8 个、16 个、32 个、64 个苹果.现在要从这七只箱子里
46、取出 87 个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎么取法？【练习 8】把 100 个馒头分装在七个盒里，要求每个盒里装的馒头的数目都带有6 字，想想看，应该怎样分？【练习 9】把 1000 个鸡蛋放到五只筐子里，每只筐子里的鸡蛋数都由数字8 组成，请你想一想该怎样分？43【练习 10】美国硬币有1 分、5分、10 分和 25 分四种.现有 10 枚硬币价值是1 元钱，其中有3 枚 25 分的硬币.问余下的硬币有哪几种，每种各有多少枚？（此题是美国小学数学奥林匹克试题）.【练习 11】（1，1，8）是一个和为10 的三元自然数组.如果不考虑数字排列的顺序，即把（1，1，8）与（1，8，1）及（8，1，1）看成是相同的三元自然组.那么和为10 的自然数组共有多少个？