常微分方程试题库试卷.pdf

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1、常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dxN x y dy有只含x的积分因子的充要条件是（）。有只含y的积分因子的充要条件是_。、_称为黎卡提方程，它有积分因子_。、_称为伯努利方程，它有积分因子_。、若12(),(),()nXtXtXt为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是_。、形如 _的方程称为欧拉方程。、若()t和()t都 是()xA t x的 基 解 矩 阵，则()t和()t具 有 的 关 系 是_。、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_时，零解是稳定的，对应的奇点称为 _。二、计算题（）1、3()0ydxxydy、s

2、incos2xxtt、若2114A试求方程组xAx的解12(),(0)t并求 expAt、32()480dydyxyydxdx、求方程2dyxydx经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dxdyxyxydtdt的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（）、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。试卷答案一填空题、()MNyxxN()MNyxyM、2()()()dyp x yQ x yR xdxyyz、()()ndyp x yQ x ydx(1)()(,)np x dxnu x yye、12(),(),()0nw x txtx t、11110nnnnnnnd yddyxaaa ydxdxdx

3、、()()tt C、零稳定中心二计算题、解：因 为1,1MNyx，所 以 此 方 程 不 是 恰 当 方 程，方 程 有 积 分 因 子22ln21()dyyyyeey，两边同乘21y得320dxxydyyy所以解为321xxyydxdycyyy22xycy即22()xy yc另外 y=0 也是解、线性方程0 xx的特征方程210故特征根i1()sinf tti是特征单根，原方程有特解(cossin)xt AtBt代入原方程A=-12B=0 2()cos2ftt2i不 是 特 征 根，原 方 程 有 特 解cos2sin2xAtBt代入原方程13AB=0 所以原方程的解为1211cossinc

4、oscos223xctctttt、解：221()69014p解得1,23此时 k=112n12v111123322120()()(3)()!ititittteAEeti由公式 expAt=10()!intiiteAEi得33310111exp(3)011 11tttttAteEt AEetett、解：方程可化为3284dyydxxdyydx令dypdx则有3284pyxyp（*）（*）两边对y 求导：322322(4)(8)4dpy pypypy pdy即32(4)(2)0dppyypdy由20dpypdy得12pcy即2()pyc将 y 代入（*）2224cpxc即方程的含参数形式的通解为：

5、22224()cpxcpycp 为参数又由3240py得123(4)py代入（*）得：3427yx也是方程的解、解：00210022520041072511830002()4220()4400202204400160 xxxyxyxdxxxxyxdxxxxxxxxyxdx、解：由1050 xyxy解得奇点（3，-2）令 X=x-3,Y=y+2 则dxxydtdyxydt因为1111=1+1 0 故有唯一零解（0，0）由221121 122011得1i故（3，-2）为稳定焦点。三、证明题由解的存在唯一性定理知：n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n 解：102001020011110200()

6、1,()0,()0()0,()1,()0()0,()0,()1nnnnnnx txtxtx txtxtxtxtxt考虑10200100010(),(),()10001nw x tx tx t从而()(1,2,)ix tin是线性无关的。常微分方程期终试卷(2)一、填空题 30%1、形如 _的方程，称为变量分离方程，这里.)().(yxf分别为x.y的连续函数。2、形 如 _ 的 方 程，称 为 伯 努 利 方 程，这 里xxQxP为)().(的 连 续 函数.n，可化为线性方程。是常数。引入变量变换1.03、如果存在常数使得不等,0L_对于所有称为利普希兹常数。都成立，（LRyxyx),(),

7、21函数),(yxf称为在 R上关于y满足利普希兹条件。4、形如 _-的方程，称为欧拉方程，这里是常数。,21aa5、设是的基解矩阵，是)()(tAxxt)()(tfxtAx的某一解，则它的任一解可表为)(t_-。二、计算题40%1、求方程的通解。26xyxydxdy2、求方程xyexydxdy的通解。3、求方程texxx256 的隐式解。4、求方程）的第三次近似解。、通过点（002yxdxdy三、证明题30%1.试验证t=122ttt是方程组x=tt22102x,x=21xx，在任何不包含原点的区间abt上的基解矩阵。2.设t为方程x=Ax（A 为 nn 常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=

8、E），证明:t1(t0)=(t-t0)其中 t0为某一值.常微分方程期终试卷答卷一、填空题（每空5 分）1)()(yxfdxdy 2、nyxQyxPdxdy)()(z=ny13),(),(21yxfyxf21yyL4、011111yadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn5、)()()(ttt二、计算题（每题10 分）1、这是 n=2 时的伯努利不等式，令z=1y,算得dxdyydxdz2代入原方程得到xzxdxdz6，这是线性方程，求得它的通解为z=826xxc带回原来的变量y，得到y1=826xxc或者cxyx886，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.2、解：xyxexy

9、edxdyxyxydxyxexdyxy)(dxxeydxxdyxydxxedxyxyxdxedxyxy积分：cxexy221故通解为：0212cexxy3、解：齐线性方程056 xxx的特征方程为0562，5,121，故通解为ttecectx521)(2不是特征根，所以方程有形如tAetx2)(把)(tx代回原方程tttteAeAeAe22225124211A于是原方程通解为ttteecectx2521211)(4、解0)(0 xxxdxxxx022012)()(202)()(502212xxdxxxxx4400160202)()(118502223xxxxdxxxxx三、证明题（每题15 分

10、）1、证明：令t的第一列为1(t)=tt22,这时1(t)=22t=tt221021(t)故1(t)是一个解。同样如果以2(t)表示t第二列，我们有2(t)=01=tt221022(t)这样2(t)也是一个解。因此t是解矩阵。又因为dett=-t2故t是基解矩阵。2、证明：（1）t,(t-t0)是基解矩阵。（2）由于t为方程 x=Ax的解矩阵，所以t1(t0)也是 x=Ax的解矩阵，而当 t=t0时，(t0)1(t0)=E,(t-t0)=（0）=E.故由解的存在唯一性定理，得t1(t0)=(t-t0)常微分方程期终试卷(3)一 .解下列方程(10%*8=80%)1.1.2xylnydx+2x+

11、2y21ydy=0 2.dxdy=6xy-x2y3.y=22)12(yxy4.xy=22yx+y 5.5.tgydx-ctydy=0 6.6.y-x(2x+2y)dx-xdy=0 7 一质量为 m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为1k）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为2k）。试求此质点的速度与时间的关系。8.已知 f(x)xdttf0)(=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。二 证明题(10%*2=20%)9.试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果 M、N试同齐次函数，且 xM+yN0,则)(1yNxM是该方程的

12、一个积分因子。10.证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。试题答案：1.解：My=2xlny+2x,Ny=2x,则MNyxM=2 ln2lnxyxyy=1y,故方程有积分因子y=1dyye=1y，原方程两边同乘以1y得2lnxyyydx+2221yyyxdy=0 是恰当方程.d(2xlny)+y21ydy=0,两边积分得方程的解为2xlny+321231 y=C。2.解：1）y=0 是方程的特解。2）当 y0 时，令 z=1y得dzdx=6xz+x.这是线性方程，解得它的通解为z=268cxx代回原来的变量y 得方程解为1y=268cxx；y=0.3.解：令 x=u+

13、3,y=v2,可将原方程变为dvdu=22vu v，再令 z=vu，得到 z+dzuu=221zz，即dzuu=2211zzz，分离变量并两端积分得2121dzzz=duu+lnC 即 lnz+2arctgz=ln u+lnC，lnzu=2arctgz+lnC 代回原变量得v=C2varctgue所以，原方程的解为y+2=C223yarctgxe.4.解：将方程改写为y=21xy+xy（*）令 u=xy,得到xy=xu+u,则(*)变为x dxdu=u1,变 量 分 离 并 两 边 积 分 得arcsinu=lnu+lnC,故 方 程 的 解 为arcsinxy=lnCx。5.解：变量分离 c

14、tgxdy=tgydx,两边积分得 ln(siny)=lnxcos+C或 sinycosx=C (*)另外，由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=k(k=0、1)，x=t+2(t=0、1)也是方程的解。tgy=0 或 ctgx=0 的解是(*)当 C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。6.解：ydx-xdy-x(2x+2y)dx=0,两边同除以2x+2y得22ydxxdyyxxdx=0,即 d(arctgxy)12d2x=0,故原方程的解为arctgxy122x=C。7解：因为 F=ma=mdvdt，又 F=1F2F=12tvkk，即 mdvdt=12tvkk(v(0)=

15、0)，即dvdt=12tvkk(v(0)=0)，解得 v=122mkk2tmke+12kk(t2mk).8解：令 f(x)=y，1()f x=0()xf t dt，两边求导得1y=y，即1yy=y，即31dyy=dx，两边求积得21y=2x+C，从而 y=12xC，故 f(x)=12xC.9.证明：如 M、N都是 n 次齐次函数，则因为xxM+yyM=nM，xxN+yyN=nN，故有MNy xMyNx xMyN=2()()()yyyxMyNM xNyxMyNNMM2()()()xxxxMyNN xMyxMyNNNM=2()()()xxyM xyNN xyxMyNNNM=2()()()M nNN

16、 nMxMyN=0.故命题成立。10.解：1）先找到一个特解y=y。2）令 y=y+z，化为 n=2 的伯努利方程。证明：因为y=y为方程的解，所以d ydx=P(x)2y+Q(x)y+R(x)(1)令 y=y+z，则有d ydx+dzdx=P(x)2()yz+Q(x)()y z+R(x)(2)(2)(1)得dzdx=P(x)2(2)yz z+Q(x)z 即dzdx=2P(x)y+Q(x)z+P(x)2z此为 n=2 的伯努利方程。常微分方程期终试卷（4）一、填空题1、（）称为变量分离方程,它有积分因子()。、当（）时，方程0),(),(dyyxNdxyxM称为恰当方程，或称全微分方程。、函数

17、),(yxf称为在矩形域上关于y满足利普希兹条件，如果（）。、对毕卡逼近序列，()()(1xxkk。、解线性方程的常用方法有（）。、若),2,1)(nitXi为齐线性方程的n个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（）。、方程组xtAx)(（）。、若)(t和)(t都是xtAx)(的基解矩阵，则)(t和)(t具有关系：（）。、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（）。、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（）。当（）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（）。、若)(t是xtAx)(的 基 解 矩 阵，则

18、xtAx)()(tf满 足)(0tx的 解（）。二、计算题求下列方程的通解。、1sin4xedxdyy。、1)(122dxdyy。、求方程2yxdxdy通过)0,0(的第三次近似解。求解下列常系数线性方程。、0 xxx。、texx。试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：、5,!yxdtdyyxdtdx。三、证明题。、设)(t为方程Axx（为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即)0(E，证明)(t)()(001ttt其中0t为某一值。答案：一、填空题、形如)()(xgxfdxdy的方程)(1ygu、xNyM、存 在 常 数 0，对 于 所 有Ryxyx)(

19、),(2,211都 有 使 得 不 等 式212,211)(),(yyLyxfyxf成立、kkhkML!1、常数变异法、待定系数法、幂级数解法、拉普拉斯变换法、)()(1txctxinii，其中nccc,2,1是任意常数、n个线性无关的解)(),(),(21txtxtxn称之为xtAx)(的一个基本解组、)(t)(tc)(btac为非奇异常数矩阵、等于零稳定中心、两根同号且均为负实数稳定结点两根异号或两根同号且均为正实数不稳定鞍点或不稳定结点、dssfsttttt)()()()()(0101二、计算题、解：方程可化为1sin4xedxdeyy令yez，得xzdxdzsin4由一阶线性方程的求解

20、公式，得xxxdxdxcexxcexxecdxxeez)cos(sin2)cos(sin2)sin4()1()1(所以原方程为：yexcexx)cos(sin2、解：设tpdxdysin，则有tysec，从而ctgtttdctdttgttx2secsesin1，故方程的解为221)(ycx，另外1y也是方程的解、解：0)(0 x20121)(xxdxxx5204220121)41()(xxdxxxxxdxxxxxdxxxxxxx0710402523201400141)20121()(8115216014400120121xxxx、解：对应的特征方程为：012，解得ii23,23212211所以

21、方程的通解为：)23sin23cos(2121tctcext、解：齐线性方程0 xx的特征方程为013，解得231,13,21i，故齐线性方程的基本解组为：ieieet23sin,23cos,2121，因为1是特征根，所以原方程有形如ttAetx)(，代入原方程得，tttteAteAteAe3，所以31A，所以原方程的通解为2121ececxttteieci3123sin23cos213、解：050!yxyx解得23yx所以奇点为（)2,3经变换，33yYxX方程组化为YXdtdyYXdtdx因为,01111又01)1(11112所以ii1,121，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。

22、三、证明题、证明：)(t为方程Axx的基解矩阵)(01t为一非奇异常数矩阵，所以)(t)(01t也是方程Axx的基解矩阵，且)(0tt也是方程Axx的基解矩阵，且都满足初始条件)(t)(01tE，Ett)0()(00所以)(t)()(001ttt常微分方程期终考试试卷（5）一 填空题（30 分）1)()(xQyxPdxdy称 为 一 阶 线 性 方 程，它 有 积 分 因 子dxxPe)(，其 通 解 为_。2函数),(yxf称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果 _。3 若)(x为毕卡逼近序列)(xn的极限，则有)()(xxn_。4方程22yxdxdy定义在矩形域22,22:yxR上，

23、则经过点（0，0）的解的存在区间是 _。5函数组ttteee2,的伏朗斯基行列式为 _。6若),2,1)(nitxi为齐线性方程的一个基本解组，)(tx为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 _。7若)(t是xtAx)(的基解矩阵，则向量函数)(t=_是)()(tfxtAx的满足初始条件0)(0t的解；向量函数)(t=_ 是)()(tfxtAx的满足初始条件)(0t的解。8若矩阵A具有n个线性无关的特征向量nvvv,21，它们对应的特征值分别为n,21，那么矩阵)(t=_ 是常系数线性方程组Axx的一个基解矩阵。9满足 _ 的点),(*yx，称为驻定方程组。二计算题（60 分）

24、10求方程0)1(24322dyyxdxyx的通解。11求方程0 xedxdydxdy的通解。12求初值问题0)1(22yyxdxdy1,11:yxR的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。13求方程ttxx3sin9 的通解。14试求方程组)(tfAxx的解).(t1)(,3421,11)0(tetfA15试求线性方程组52,1972yxdtdyyxdtdx的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。三证明题（10 分）16如果)(t是Axx满足初始条件)(0t的解，那么)(exp)(0ttAt常微分方程期终考试试卷答案一填空题（30 分）1)()()(cdxexQeydxxP

25、dxxP 2),(yxf在R上连续，存在0L，使2121),(),(yyLyxfyxf，对于任意Ryxyx),(),(21 31)!1(nnhnML 44141x 5ttttttttteeeeeeeee22242 6)()()(1txtxctxinii 7dssfsttt)()()(10dssfsttttt)()()()()(0101 8ntttveveven,2121 90),(,0),(yxYyxX二计算题（60 分）10解：yxxNyxyM226,8yMxNyM21积分因子2121)(yeydyy两边同乘以)(y后方程变为恰当方程：0)1(24321322dyyxydxyx3224yxM

26、xu两边积分得：)(34233yyxu2121321322)(2yyxNyyxyu得：214)(yy因此方程的通解为：cyxy)3(321 11解：令pydxdy则0 xepp得：pepx那么dpeppdxyp)1(cepeppp22因此方程的通解为：ceppyepxpp)1(22 12解：4),(max),(yxfMRyxbyyaxx1,100，41),min(Mbah解的存在区间为4110hxxx即4345x令0)(00yx3130)(3121xdxxxx4211918633)313(0)(47312322xxxxdxxxxx又Lyyf22误差估计为：241)!1()()(12nnhnML

27、xx 13解：ii3,309212i 3是方程的特征值，设iteBAtttx3)()(得：iteAtBiAitBtAx32)961292(则tBiAitA6122得：361,121BiA因此方程的通解为：tttttctctx3sin3613cos1213sin3cos)(221 14解：0)5)(1(3421)det(AE5,1210)(11vAE得1v取111v0)(22vAE得22v取212v则基解矩阵tttteeeet552)(tttttteeeeeet112121012)0()(55151211035241203)()()(5510tttttteeeedssfst因此方程的通解为：tt

28、dssfsttt0)()()()0()()(115121103524120355tttttteeeeee 15解：3105201972yxyxyx（1，3）是奇点令25,219yYxXYxdtdYyXdtdX2,720230722172，那么由02307221722可得：ii3,321因此（1，3）是稳定中心三证明题（10 分）16证明：由定理8 可知dssfstttttt)()()()()()(0101又因为)exp()(exp)(,exp)(01001AtAttAtt0)(sf所以)exp(exp)(0AtAtt又因为矩阵)()()()(00AtAtAtAt所以)(exp)(0ttAt常微

29、分方程期终考试试卷(6)三 填空题（共 30 分，9 小题，10 个空格，每格3 分）。1、当_时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。2、_称为齐次方程。3、求dxdy=f(x,y)满足00)(yx的解等价于求积分方程_的连续解。4、若函数 f(x,y)在区域 G内连续，且关于 y 满足利普希兹条件，则方程),(yxfdxdy的解y=),(00yxx作为00,yxx的函数在它的存在范围内是_。5、若)(),.(),(321txtxtx为 n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是_。6、方程组xtAx)(/的 _称之为xtAx)(/的一个基本解

30、组。7、若)(t是常系数线性方程组Axx/的基解矩阵，则expAt=_。8、满足 _的点（*,yx），称为方程组的奇点。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（共6 小题，每题10 分）。1、求解方程：dxdy=312yxyx2、2、解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0 3、讨论方程23dxdy31y在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：texxxtcos32/5、试求方程组Axx/的一个基解矩阵，并计算3421,为其中AeAt6、试讨论方程组cydtdybya

31、xdtdx,（1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。三、证明题（共一题，满分10 分）。试证：如果Axxt/）是（满足初始条件)(0t的解，那么)(t)(0ttAe常微分方程期末考试答案卷一、一、填空题。（30 分）1、xyxNyyxM),(),(2、)(xyfdxdy3、y=0y+dxyxfxx0),(4、连续的5、w0)(),.,(),(21txtxtxn6、n 个线性无关解7、)0()(1t8、X(x,y)=0,Y(x,y)=0 9、为零稳定中心二、计算题。（60 分）1、解：(x-y+1)dx-(x+2y+3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx-2ydy-3dy=0

32、即21d2x-d(xy)+dx-331dy-3dy=0 所以Cyyxxyx33121322、解：2)(1)(2yxyxdxdy，令 z=x+y 则dxdydxdz1,212121zzzzdxdzdxdzzz12所以z+3ln|z+1|=x+1C，ln3|1|z=x+z+1C即yxCeyx23)1(3、解：设 f(x,y)=2331y,则)0(2132yyyf故在0y的任何区域上yf存在且连续，因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，显然，0y是通过点（0，0）的一个解；又由23dxdy31y解得，|y|=23)(cx所以，通过点（0，0）的一切解为0y及|y|=是常数0),()()

33、(023ccxcxcx4、解：(1)i 21,0322,12齐次方程的通解为x=)2sin2cos(21tctcet (2)i1不是特征根，故取tetBtAx)sincos(代入方程比较系数得A=415，B=-414于是tettx)sin414cos415(通解为 x=)2sin2cos(21tctcet+tett)sin4cos5(4115、解：det(AE)=05434212所以，5,121设11对应的特征向量为1v由0110442211vv可得取211121vv同理取所以，)(t=251vevetttttteeee552ttttttttttttttttAteeeeeeeeeeeeeeee

34、te5555551551222231111223121112)0()(6、解：因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件00accba，故奇点为原点（0，0）又由 det(A-E)=0)(02accacba得ca21所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：a，c 为实数不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00cacabbcaaccacaacca三、证明题。（10 分）证明：设)(t的形式为)(t=CeAt（1）（C为待定的常向量）则由初始条件得)(0t=CeAt0又1)(0Ate=0Ate

35、所以，C=1)(0Ate=0Ate代入（1）得)(t=)(00ttAAtAteee即命题得证。常微分方程期终试卷(7)一、选择题1n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个（A）n（B）n-1 （C）n+1 （D）n+2 2李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3.方程21ddyxy过点)1,2(共有（）个解（A）一（B）无数（C）两（D）三4方程xxyxydd（）奇解（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5方程yxydd的奇解是（）（A）xy（B）1y（C）1y（D）0y二、计算题1.xy=22yx+y 2.t

36、gydx-ctydy=0 3.0dd)2(yxxyx4.1ddxyxy5.0d)ln(d3yxyxxy三、求下列方程的通解或通积分1.)1(dd2yxxyy2.2)(ddxyxyxy3.xyxy2e3dd四证明1.设)(1xy，)(2xy是方程0)()(yxqyxpy的解，且满足)(01xy=)(02xy=0，0)(1xy，这里)(),(xqxp在),(上连续，),(0 x试证明：存在常数C使得)(2xy=C)(1xy2在方程0)()(yxqyxpy中，已知)(xp，)(xq在),(上连续求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x 轴相切试卷答案一、选择题1.A 2.B 3.B 4.C 5

37、.D 二、计算题1解：将方程改写为y=21xy+xy（*）令 u=xy,得到y=xu+u,则(*)变为xdxdu=u1,变量分离并两边积分得 arcsinu=lnu+lnC,故方程的解为arcsinxy=lnCx。2解：变 量 分 离ctgxdy=tgydx,两 边 积 分 得ln(siny)=-lnxcos+C 或sinycosx=C(*)另 外，由tgy=0或ctgx=0得y=k(k=0、1 )，x=t+2(t=0、1)也是方程的解。tgy=0或 ctgx=0 的解是(*)当 C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。3.方程化为xyxy21dd令xuy，则xuxuxyddd

38、d，代入上式，得uxux1dd分量变量，积分，通解为1Cxu原方程通解为xCxy24解齐次方程的通解为Cxy令非齐次方程的特解为xxCy)(代入原方程，确定出CxxCln)(原方程的通解为Cxy+xxln5解因为xNxyM1，所以原方程是全微分方程取)0,1(),(00yx，原方程的通积分为Cyyxxyyx031dd即Cyxy441ln三、求下列方程的通解或通积分1解当1y时，分离变量得xxyyydd12等式两端积分得12dd1Cxxyyy122211ln21Cxy1222e,e1CxCCy方程的通积分为2e12xCy2解令xuy，则xuxuydd，代入原方程，得2dduuxuxu，2ddux

39、ux当0u时，分离变量，再积分，得Cxxuudd2Cxuln1，Cxuln1即通积分为：Cxxyln3解齐次方程的通解为xCy3e令非齐次方程的特解为xxCy3e)(代入原方程，确定出CxCx5e51)(原方程的通解为xCy3e+x2e51四证明1.证明设)(1xy，)(2xy是方程的两个解，则它们在),(上有定义，其朗斯基行列式为)()()()()(2121xyxyxyxyxW由已知条件，得0)()(00)()()()()(0201020102010 xyxyxyxyxyxyxW故这两个解是线性相关的由线性相关定义，存在不全为零的常数21，使得0)()(2211xyxy，),(x由于0)(1

40、xy，可知02 否则，若02，则有0)(11xy，而0)(1xy，则01，这与)(1xy，)(2xy线性相关矛盾故)()()(11212xCyxyxy2证明由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是),(显然，该方程有零解0)(xy假设该方程的任一非零解)(1xy在 x 轴上某点0 x处与 x 轴相切，即有)()(0101xyxy=0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(xy可知),(,0)(1xxy，这是因为零解也满足初值条件)()(0101xyxy=0，于是由解的惟一性，有xxyxy,0)()(1,()这与)(1xy是非零解矛盾常微分方程期终试卷(8)

41、一、填空（每空3 分）1、称为一阶线性方程，它有积分因子，其通解为。2、函数),(yxf称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果。3、若)(,),(),(21txtxtxn为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是。4、形如的方程称为欧拉方程。5、若)(t和)(t都是xtAx)(的基解矩阵，则)(t和)(t具有的关系：。6、若 向 量 函 数);(ytg在 域R上，则 方 程 组0000),;(),;(yyttytgdtdy的解存在且惟一。7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部，零解是稳定的，对应的奇点称为。二、求下列方程的解1、0)4()3(2dyxydxxy（6 分

42、）2、dxyxxdyydx)(22（8 分）3、22)2()1(yyy（8 分）4、xyexydxdy（8 分）5、texxx256（6 分）6、txx3sin1（8 分）7、21 xx（8 分）三、求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8 分）52,1972yxdtdyyxdtdx答案一、填空（每空4 分）1、形如)()(xQyxPdxdy的方程，dxxPe)(，)()()(cdxexQeydxxPdxxP2、存在常数0L，使得Ryxyx),(),(2211，有2121),(),(yyLyxfyxf3、0)(),(),(21txtxtxwn4、nnndxydx1111nnndxydxa0

43、1yadxdyxann5、Ctt)()(（C为非奇异方程）6、连续且关于y 满足利普希兹条件7、等于零，稳定中心二、求下列方程的解 1、（6 分）解：04)(32ydyxdyydxdxx0)2()(23yddxyxd故方程的通解为cyxyx2322、（8 分）解：两边除以2y：dxyxyxdyydx122yxddxyx12变量分离：dxyxyxd12两边积分：cxyxarctg即：)(cxtgyx3、（8 分）解：令,2yty则yty2于是22)()12(ytyty得tty21221)1(22ttyty即21tdxdydttdtttttttdtdydx2222222111111两边积分ctx1

44、于是，通解为ttyctx2114、（8 分）解：xyxexyedxdyxyxydxyxexdyxy)(dxxeydxxdyxydxxedxyxyxdxedxyxy积分：cxexy221故通解为：0212cexxy5、（6 分）解：齐线性方程056 xxx的特征方程为0562，5,121，故通解为ttecectx521)(2不是特征根，所以方程有形如tAetx2)(把)(tx代回原方程tttteAeAeAe22225124211A于是原方程通解为ttteecectx2521211)(6、（8 分）解：齐线性方程的特征方程为012，解得i于是齐线性方程通解为tctctxsincos)(21令ttc

45、ttctxsin)(cos)()(21为原方程的解，则tttcttcttcttc32121sin1cos)(sin)(0sin)(cos)(得ttc21sin1)(，tttc32sincos)(积分得；11)(rctgttc222sin121)(rttc故通解为trtttxcossincos)(12trtsinsin12127、（8 分）解：yx则dxdyyx 从而方程可化为ydxdyy21，3123cxy，3123cxx积分得3123cxy三、求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8 分）解：解方程组05201972yxyx，解得31yx所以（1，3）为奇点。令3,1yYxX则YXdtd

46、X72YXdtdY2而02172A，令032172)(2AEp，得i 321,为虚根，且0，故奇点为稳定中心，零解是稳定的。常微分期中测试卷(2)一 .解下列方程(10%*8=80%)2.1.xy=22yx+y 3.2.tgydx-ctydy=0 4.3.y-x(2x+2y)dx-xdy=0 5.4.2xylnydx+2x+2y21ydy=0 5.dxdy=6xy-x2y6.y=22)12(yxy7.已知 f(x)xdttf0)(=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。8 一质量为 m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为1k）的力作用在它上面，此外质点又受到介质

47、的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为2k）。试求此质点的速度与时间的关系。二 证明题(10%*2=20%)1.证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。2 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果 M、N试同齐次函数，且 xM+yN0,则)(1yNxM是该方程的一个积分因子。试题答案：1解：将方程改写为y=21xy+xy（*）令 u=xy,得到 xy=xu+u,则(*)变为 x dxdu=u1,变量分离并两边积分得 arcsinu=lnu+lnC,故方程的解为arcsinxy=lnCx。2解：变 量 分 离ctgxdy=tgydx,两 边 积 分 得ln(siny)=

48、lnxcos+C 或sinycosx=C (*)另外，由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=k(k=0、1)，x=t+2(t=0、1)也是方程的解。tgy=0或 ctgx=0 的解是(*)当 C=0时的特殊情况，故原方程的解为 sinycosx=C。3 ydx-xdy-x(2x+2y)dx=0,两边同除以2x+2y得22ydxxdyyxxdx=0,即 d(arctgxy)12d2x=0,故原方程的解为arctgxy122x=C。4解：My=2xlny+2x,Ny=2x,则MNyxM=2 ln2lnxyxyy=1y,故方程有积分因子y=1dyye=1y，原方程两边同乘以1y得2lnxyyyd

49、x+2221yyyxdy=0 是恰当方程.d(2xlny)+y21ydy=0,两边积分得方程的解为2xlny+321231 y=C。5解：1）y=0 是方程的特解。2）当 y0 时，令 z=1y得dzdx=6xz+x.这是线性方程，解得它的通解为z=268cxx代回原来的变量y 得方程解为1y=268cxx；y=0.6 解：令 x=u+3,y=v2,可将原方程变为dvdu=22vu v，再令 z=vu，得到 z+dzuu=221zz，即dzuu=2211zzz，分离变量并两端积分得2121dzzz=duu+lnC 即 lnz+2arctgz=ln u+lnC，lnzu=2arctgz+lnC

50、代回原变量得v=C2varctgue所以，原方程的解为y+2=C223yarctgxe.9解：令 f(x)=y，1()f x=0()xf t dt，两边求导得1y=y，即1yy=y，即31dyy=dx，两边求积得21y=2x+C，从而 y=12xC，故 f(x)=12xC.10解：因为 F=ma=mdvdt，又 F=1F2F=12tvkk，即 mdvdt=12tvkk(v(0)=0)，即dvdt=12tvkk(v(0)=0)，解得 v=122mkk2tmke+12kk(t2mk).11解：1）先找到一个特解y=y。2）令 y=y+z，化为 n=2 的伯努利方程。证明：因为y=y为方程的解，所以