常微分方程试题库试卷库.pdf

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1、常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dxN x y dy有只含x的积分因子的充要条件是（）。有只含y的积分因子的充要条件是_。、_称为黎卡提方程，它有积分因子_。、_称为伯努利方程，它有积分因子_。、若12(),(),()nX tXtXt为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是_。、形如_的方程称为欧拉方程。、若()t和()t都是()xA t x的基解矩阵，则()t和()t具有的关系是_。、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（）1、3()0ydxxy dy 、sincos2xxt

2、t 、若2114A试求方程组xAx 的解12(),(0)t并求 expAt 、32()480dydyxyydxdx、求方程2dyxydx经过（0，0）的第三次近似解 6.求1,5dxdyxyxydtdt 的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（）、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。试卷答案 一填空题、()MNyxxN ()MNyxyM、2()()()dyp x yQ x yR xdx yyz 、()()ndyp x yQ x ydx (1)()(,)np x dxnu x yye、12(),(),()0nw x tx tx t、11110nnnnnnnd yddyxaaa ydxdx

3、dx、()()tt C 、零 稳定中心 二计算题、解：因为1,1MNyx，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子22ln21()dyyyyeey，两边同乘21y得320dxxydyyy 所以解为 321xxyydxdycyyy 22xycy即22()xy yc另外 y=0 也是解、线性方程0 xx的特征方程210 故特征根i 1()sinf tt i是特征单根，原方程有特解(cossin)xt AtBt代入原方程A=-12B=0 2()cos2ftt 2i不 是 特 征 根，原 方 程 有 特 解cos2sin2xAtBt代入原方程13AB=0 所以原方程的解为1211cossincoscos

4、223xctctttt、解：221()69014p解得1,23此时 k=112n 12v 111123322120()()(3)()!ititittteAEeti 由公式 expAt=10()!intiiteAEi得 333101 11exp(3)011 11tttttAteEt AEetett、解：方程可化为3284dyydxxdyydx令dypdx则有3284pyxyp（*）（*）两边对 y 求导：322322(4)(8)4dpy pypypy pdy 即32(4)(2)0dppyypdy由20dpypdy得12pcy即2()pyc将 y 代入（*）2224cpxc即方程的 含参数形式的通

5、解为：22224()cpxcpycp 为参数 又由3240py得123(4)py代入（*）得：3427yx也是方程的解 、解：00210022520041072511830002()4220()4400202204400160 xxxyxyxdxxxxyxdxxxxxxxxyxdx、解：由1050 xyxy 解得奇点（3，-2）令 X=x-3,Y=y+2 则dxxydtdyxydt 因为1111=1+1 0 故有唯一零解（0，0）由221121 122011 得1i 故（3，-2）为稳定焦点。三、证明题 由解的存在唯一性定理知：n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的 n 解：102001020

6、011110200()1,()0,()0()0,()1,()0()0,()0,()1nnnnnnx tx tx tx tx tx txtxtxt 考虑10200100010(),(),()10001nw x tx tx t 从而()(1,2,)ix t in是线性无关的。常微分方程期终试卷(2)一、填空题 30%1、形如_的方程，称为变量分离方程，这里.)().(yxf分别为的连续函数。2、形如_的方程，称为伯努利方程，这里xxQxP为)().(的连续函数.n，可化为线性方程。是常数。引入变量变换1.0 3、如果存在常数使得不等式,0L_对于所有称为利普希兹常数。都成立，（LRyxyx),()

7、,21函数),(yxf称为在 R上关于y满足利普希兹条件。4、形如_-的方程，称为欧拉方程，这里是常数。,21aa 5、设是的基解矩阵，是)()(tAxxt)()(tfxtAx的某一解，则它的任一解可表为)(t_-。二、计算题 40%1、求方程的通解。26xyxydxdy 2、求方程xyexydxdy的通解。3、求方程texxx256 的隐式解。4、求方程）的第三次近似解。、通过点（002yxdxdy 三、证明题 30%1.试验证t=122ttt是方程组 x=tt22102x,x=21xx，在任何不包含原点的区间abt 上的基解矩阵。2.设t为方程 x=Ax（A 为 nn 常数矩阵）的标准基解

8、矩阵（即（0）=E），证明:t1(t0)=(t-t0)其中 t0为某一值.常微分方程期终试卷答卷 一、填空题（每空 5 分）1)()(yxfdxdy 2、nyxQyxPdxdy)()(z=ny1 3),(),(21yxfyxf21yyL 4、011111yadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn 5、)()()(ttt 二、计算题（每题 10 分）1、这是 n=2 时的伯努利不等式，令 z=1y,算得dxdyydxdz2 代入原方程得到xzxdxdz6，这是线性方程，求得它的通解为 z=826xxc 带回原来的变量 y，得到y1=826xxc或者cxyx886，这就是原方程的解。此

9、外方程还有解 y=0.2、解：xyxexyedxdyxyxy dxyxexdyxy)(dxxeydxxdyxy dxxedxyxy xdxedxyxy 积分：cxexy221 故通解为：0212cexxy 3、解：齐线性方程056 xxx的特征方程为0562，5,121，故通解为ttecectx521)(2不是特征根，所以方程有形如tAetx2)(把)(tx代回原方程 tttteAeAeAe22225124 211A 于是原方程通解为ttteecectx2521211)(4、解 0)(0 x xxdxxxx022012)()(202)()(502212xxdxxxxx 4400160202)(

10、)(118502223xxxxdxxxxx 三、证明题（每题 15 分）1、证明：令t的第一列为1(t)=tt22,这时1(t)=22t=tt221021(t)故1(t)是一个解。同样如果以2(t)表示t第二列，我们有2(t)=01=tt221022(t)这样2(t)也是一个解。因此t是解矩阵。又因为 dett=-t2故t是基解矩阵。2、证明：（1）t,(t-t0)是基解矩阵。（2）由于t为方程 x=Ax 的解矩阵，所以t1(t0)也是 x=Ax 的解矩阵，而当 t=t0时，(t0)1(t0)=E,(t-t0)=（0）=E.故由解的存在唯一性定理，得t1(t0)=(t-t0)常微分方程期终试卷

11、(3)一.解下列方程(10%*8=80%)1.1.2xylnydx+2x+2y21ydy=0 2.dxdy=6xy-x2y 3.y=22)12(yxy 4.xy=22yx+y 5.5.tgydx-ctydy=0 6.6.y-x(2x+2y)dx-xdy=0 7 一质量为 m 质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为1k）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为2k）。试求此质点的速度与时间的关系。8.已知 f(x)xdttf0)(=1,x0,试求函数 f(x)的一般表达式。二 证明题(10%*2=20%)9.试证：在微分方程 Mdx+

12、Ndy=0 中，如果 M、N 试同齐次函数，且 xM+yN0,则)(1yNxM 是该方程的一个积分因子。10.证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。试题答案：1.解：My=2xlny+2x,Ny=2x,则 MNyxM=2 ln2lnxyxyy=1y,故方 程 有 积 分 因 子 y=1dyye=1y，原 方 程 两 边 同 乘 以1y得2lnxyyydx+2221yyyxdy=0 是恰当方程.d(2xlny)+y21ydy=0,两边积分得方程的解为2xlny+321231 y=C。2.解：1）y=0 是方程的特解。2）当 y0 时，令 z=1y得 dzdx=6xz+x

13、.这是线性方程，解得它的通解为 z=268cxx 代回原来的变量 y 得方程解为1y=268cxx；y=0.3.解：令 x=u+3,y=v2,可将原方程变为dvdu=22vu v，再令 z=vu，得到 z+dzuu=221zz，即dzuu=2211zzz，分离变量并两端积分得2121dzzz=duu+lnC 即 lnz+2arctgz=ln u+lnC，lnzu=2arctgz+lnC 代回原变量得 v=C2varctgue 所以，原方程的解为 y+2=C223yarctgxe.4.解：将方程改写为 y=21xy+xy（*）令 u=xy,得到 xy=xu+u,则(*)变为 x dxdu=u1,

14、变 量 分 离 并 两 边 积 分 得 arcsinu=lnu+lnC,故 方 程 的 解 为arcsinxy=lnCx。5.解：变量分离 ctgxdy=tgydx,两边积分得 ln(siny)=lnxcos+C 或 sinycosx=C (*)另外，由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=k(k=0、1)，x=t+2(t=0、1)也是方程的解。tgy=0 或 ctgx=0 的解是(*)当 C=0 时的特殊情况，故原方程的解为 sinycosx=C。6.解：ydx-xdy-x(2x+2y)dx=0,两边同除以2x+2y得 22ydxxdyyxxdx=0,即 d(arctgxy)12d2x=0

15、,故原方程的解为 arctgxy122x=C。7 解：因为 F=ma=mdvdt，又 F=1F2F=12tvkk，即 mdvdt=12tvkk(v(0)=0)，即dvdt=12tvkk(v(0)=0)，解得 v=122mkk2tmke+12kk(t2mk).8 解：令 f(x)=y，1()f x=0()xf t dt，两边求导得 1y=y，即1yy=y，即31dyy=dx，两边求积得21y=2x+C，从而 y=12xC，故 f(x)=12xC.9.证明：如 M、N 都是 n 次齐次函数，则因为 xxM+yyM=nM，xxN+yyN=nN，故有 MNy xMyNx xMyN=2()()()yyy

16、xMyNM xNyxMyNNMM2()()()xxxxMyNN xMyxMyNNNM=2()()()xxyM xyNN xyxMyNNNM=2()()()M nNN nMxMyN=0.故命题成立。10.解：1）先找到一个特解 y=y。2）令 y=y+z，化为 n=2 的伯努利方程。证明：因为 y=y为方程的解，所以d ydx=P(x)2y+Q(x)y+R(x)(1)令 y=y+z，则有 d ydx+dzdx=P(x)2()y z+Q(x)()y z+R(x)(2)(2)(1)得dzdx=P(x)2(2)yz z+Q(x)z 即dzdx=2P(x)y+Q(x)z+P(x)2z 此为 n=2 的伯

17、努利方程。常微分方程期终试卷（4）一、填空题 1、（）称为变量分离方程,它有积分因子()。、当（）时，方程0),(),(dyyxNdxyxM称为恰当方程，或称全微分方程。、函数),(yxf称为在矩形域上关于y满足利普希兹条件，如果（）。、对毕卡逼近序列，()()(1xxkk。、解线性方程的常用方法有（）。、若),2,1)(nitXi为齐线性方程的n个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（）。、方程组xtAx)(（）。、若)(t和)(t都是xtAx)(的基解矩阵，则)(t和)(t具有关系：（）。、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（）。、当方程

18、组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（）。当（）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（）。、若)(t是xtAx)(的基解矩阵，则xtAx)()(tf满足)(0tx的解（）。二、计算题 求下列方程的通解。、1sin4xedxdyy。、1)(122dxdyy。、求方程2yxdxdy通过)0,0(的第三次近似解。求解下列常系数线性方程。、0 xxx。、texx 。试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：、5,!yxdtdyyxdtdx。三、证明题。、设)(t为方程Axx（为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即)0(E，证明

19、)(t)()(001ttt其中0t为某一值。答案：一、填空题、形如)()(xgxfdxdy的方程 )(1ygu 、xNyM 、存 在 常 数 0，对 于 所 有Ryxyx)(),(2,211都 有 使 得 不 等 式212,211)(),(yyLyxfyxf成立、kkhkML!1、常数变异法、待定系数法、幂级数解法、拉普拉斯变换法、)()(1txctxinii，其中nccc,2,1是任意常数、n个线性无关的解)(),(),(21txtxtxn称之为xtAx)(的一个基本解组、)(t)(tc)(btac为非奇异常数矩阵、等于零 稳定中心、两根同号且均为负实数 稳定结点 两根异号或两根同号且均为正

20、实数 不稳定鞍点或不稳定结点、dssfsttttt)()()()()(0101 二、计算题、解：方程可化为1sin4xedxdeyy 令yez，得xzdxdzsin4 由一阶线性方程的求解公式，得 xxxdxdxcexxcexxecdxxeez)cos(sin2)cos(sin2)sin4()1()1(所以原方程为：yexcexx)cos(sin2、解：设tpdxdysin，则有tysec，从而ctgtttdtctdttgttx2secsecsin1，故 方 程 的 解 为221)(ycx，另外1y也是方程的解、解：0)(0 x 20121)(xxdxxx 5204220121)41()(xx

21、dxxxxx dxxxxxdxxxxxxx0710402523201400141)20121()(8115216014400120121xxxx、解：对应的特征方程为：012，解得ii23,23212211 所以方程的通解为：)23sin23cos(2121tctcext 、解：齐线性方程0 xx的特征方程为013，解得231,13,21i，故齐线性方程的基本解组为：ieieet23sin,23cos,2121，因为1是特征根，所以原方程有形如ttAetx)(，代入原方程得，tttteAteAteAe3，所以31A，所以原方程的通解为2121ececxttteieci3123sin23cos2

22、13、解：050!yxyx解得23yx 所以奇点为（)2,3 经变换，33yYxX 方程组化为YXdtdyYXdtdx 因为,01111又01)1(11112 所以ii1,121，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。三、证明题、证明：)(t为方程Axx 的基解矩阵)(01t为一非奇异常数矩阵，所以 )(t)(01t也是方程Axx 的基解矩阵，且)(0tt 也是方程Axx 的基解矩阵，且都满足初始条件)(t)(01tE，Ett)0()(00 所以)(t)()(001ttt 常微分方程期终考试试卷（5）一 填空题 （30 分）1)()(xQyxPdxdy称为一阶线性方程，它有积分因子 dx

23、xPe)(，其通解为 _。2函数),(yxf称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果 _。3 若)(x为毕卡逼近序列)(xn的极限，则有)()(xxn_。4方程22yxdxdy定义在矩形域22,22:yxR上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _。5函数组ttteee2,的伏朗斯基行列式为 _。6若),2,1)(nitxi为齐线性方程的一个基本解组，)(tx为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 _。7若)(t是xtAx)(的基解矩阵，则向量函数)(t=_是)()(tfxtAx的满足初始条件0)(0t的解；向量函数)(t=_ 是)()(tfxtAx的满足初始条件)(0t的

24、解。8若矩阵A具有n个线性无关的特征向量nvvv,21，它们对应的特征值分别为n,21，那么矩阵)(t=_ 是常系数线性方程组Axx 的一个基解矩阵。9满足 _ 的点),(*yx，称为驻定方程组。二 计算题 （60 分）10求方程0)1(24322dyyxdxyx的通解。11求方程0 xedxdydxdy的通解。12 求初值问题0)1(22yyxdxdy 1,11:yxR的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。13求方程ttxx3sin9 的通解。14试求方程组)(tfAxx的解).(t 1)(,3421,11)0(tetfA 15试求线性方程组52,1972yxdtd

25、yyxdtdx的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。三证明题 （10 分）16如果)(t是Axx 满足初始条件)(0t的解，那么)(exp)(0ttAt 常微分方程期终考试试卷答案 一填空题 （30 分）1)()()(cdxexQeydxxPdxxP 2),(yxf在R上连续，存在0L，使2121),(),(yyLyxfyxf，对于任意Ryxyx),(),(21 3 1)!1(nnhnML 44141x 5ttttttttteeeeeeeee22242 6)()()(1txtxctxinii 7dssfsttt)()()(10 dssfsttttt)()()()()(0101 8ntttvevev

26、en,2121 90),(,0),(yxYyxX 二计算题 （60 分）10解：yxxNyxyM226,8 yMxNyM21 积分因子2121)(yeydyy 两边同乘以)(y后方程变为恰当方程：0)1(24321322dyyxydxyx 3224yxMxu 两边积分得：)(34233yyxu 2121321322)(2yyxNyyxyu 得：214)(yy 因此方程的通解为：cyxy)3(321 11解：令pydxdy 则0 xepp 得：pepx 那么dpeppdxyp)1(cepeppp22 因此方程的通解为：ceppyepxpp)1(22 12解：4),(max),(yxfMRyx b

27、yyaxx1,100，41),min(Mbah 解的存在区间为4110hxxx 即4345x 令0)(00 yx 3130)(3121xdxxxx 4211918633)313(0)(47312322xxxxdxxxxx 又Lyyf22 误差估计为：241)!1()()(12nnhnMLxx 13解：ii3,309212 i 3是方程的特征值，设iteBAtttx3)()(得：iteAtBiAitBtAx32)961292(则tBiAitA6122 得：361,121BiA 因此方程的通解为：tttttctctx3sin3613cos1213sin3cos)(221 14解：0)5)(1(34

28、21)det(AE 5,121 0)(11vAE 得 1v 取111v 0)(22vAE 得 22v 取212v 则基解矩阵tttteeeet552)(tttttteeeeeet112121012)0()(551 51211035241203)()()(5510tttttteeeedssfst 因此方程的通解为：ttdssfsttt0)()()()0()()(11 5121103524120355tttttteeeeee 15解：3105201972yxyxyx （1，3）是奇点 令25,219yYxX YxdtdYyXdtdX2,72 0230722172，那么由02307221722 可得

29、：ii3,321 因此（1，3）是稳定中心 三证明题 （10 分）16证明：由定理 8 可知dssfstttttt)()()()()()(0101 又因为)exp()(exp)(,exp)(01001AtAttAtt 0)(sf 所以)exp(exp)(0AtAtt 又因为矩阵)()()()(00AtAtAtAt 所以)(exp)(0ttAt 常微分方程期终考试试卷(6)三 填空题 （共 30 分，9 小题，10 个空格，每格 3 分）。1、当_时，方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 称为恰当方程，或称全 微分方程。2、_称为齐次方程。3、求dxdy=f(x,y)满足00)(yx的解

30、等价于求积分方程_的连续解。4、若函数 f(x,y)在区域 G 内连续，且关于 y 满足利普希兹条件，则方程),(yxfdxdy的解 y=),(00yxx作为00,yxx的函数在它的存在范围内是_。5、若)(),.(),(321txtxtx为 n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们线性无关的充要条件是_。6、方程组xtAx)(/的_称之为xtAx)(/的一个基本解组。7、若)(t是常系数线性方程组Axx/的基解矩阵，则 expAt=_。8、满足_的点（*,yx），称为方程组的奇点。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部_时，零解是稳定 的，对应的奇点称为_。二、计算题（共 6 小题，每

31、题 10 分）。1、求解方程：dxdy=312yxyx 2、2、解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0 3、讨论方程23dxdy31y在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解 4、求解常系数线性方程：texxxtcos32/5、试求方程组Axx/的一个基解矩阵，并计算3421,为其中AeAt 6、试讨论方程组cydtdybyaxdtdx,（1）的奇点类型，其中 a,b,c 为常数，且ac0。三、证明题（共一题，满分 10 分）。试证：如果Axxt/）是（满足初始条件)(0t的解，那么 )(t)(0ttAe 常微分方程期末考试答案卷 一、一、填空题

32、。（30 分）1、xyxNyyxM),(),(2、)(xyfdxdy 3、y=0y+dxyxfxx0),(4、连续的 5、w0)(),.,(),(21txtxtxn 6、n 个线性无关解 7、)0()(1 t 8、X(x,y)=0,Y(x,y)=0 9、为零 稳定中心 二、计算题。（60 分）1、解：(x-y+1)dx-(x+2y+3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx-2ydy-3dy=0 即21d2x-d(xy)+dx-331dy-3dy=0 所以Cyyxxyx3312132 2、解：2)(1)(2yxyxdxdy，令 z=x+y 则dxdydxdz1,212121zzzzdxdz

33、dxdzzz12 所以 z+3ln|z+1|=x+1C，ln3|1|z=x+z+1C 即yxCeyx23)1(3、解：设 f(x,y)=2331y,则)0(2132yyyf 故在0y的任何区域上yf存在且连续，因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，显然，0y是通过点（0，0）的一个解；又由23dxdy31y解得，|y|=23)(cx 所以，通过点（0，0）的一切解为0y及|y|=是常数0),()()(023ccxcxcx 4、解：(1)i 21,0322,12 齐次方程的通解为 x=)2sin2cos(21tctcet (2)i 1不是特征根，故取tetBtAx)sincos(代

34、入方程比较系数得 A=415，B=-414 于是tettx)sin414cos415(通解为 x=)2sin2cos(21tctcet+tett)sin4cos5(411 5、解：det(AE)=05434212 所以，5,121 设11对应的特征向量为1v 由0110442211vv可得 取211121vv同理取 所以，)(t=251vevetttttteeee552 ttttttttttttttttAteeeeeeeeeeeeeeeete5555551551222231111223121112)0()(6、解：因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件 00 accba，故奇点为原点

35、（0，0）又由 det(A-E)=0)(02accacba得 ca21 所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：a，c 为实数不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00cacabbcaaccacaacca 三、证明题。（10 分）证明：设)(t的形式为)(t=CeAt （1）（C 为待定的常向量）则由初始条件得)(0t=CeAt0 又1)(0Ate=0Ate 所以，C=1)(0Ate=0Ate 代入（1）得)(t=)(00ttAAtAteee 即命题得证。常微分方程期终试卷(7)一、选择题 1n阶

36、线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个（A）n （B）n-1 （C）n+1 （D）n+2 2李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件（A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）必要非充分 3.方程21ddyxy过点)1,2(共有（）个解 （A）一 （B）无数 （C）两 （D）三 4方程xxyxydd（）奇解（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个 5方程yxydd的奇解是（）（A）xy （B）1y （C）1y （D）0y 二、计算题 y=22yx+y=0 3.0dd)2(yxxyx 4.1ddxyxy 5.0d)ln(d3yxyxxy 三、求下列方程的通解或

37、通积分 1.)1(dd2yxxyy 2.2)(ddxyxyxy 3.xyxy2e3dd 四证明 1.设)(1xy，)(2xy是方程 0)()(yxqyxpy 的解，且满足)(01xy=)(02xy=0，0)(1xy，这里)(),(xqxp在),(上连续，),(0 x试证明：存在常数 C 使得)(2xy=C)(1xy 2在方程0)()(yxqyxpy中，已知)(xp，)(xq在),(上连续求证：该方程的任一非零解在xoy平面上不能与 x 轴相切 试卷答案 一、选择题 二、计算题 1 解：将方程改写为y=21xy+xy（*）令 u=xy,得到 y=xu+u,则(*)变为xdxdu=u1,变量分离并

38、两边积分得 arcsinu=lnu+lnC,故方程的解为arcsinxy=lnCx。2 解：变 量 分 离 ctgxdy=tgydx,两 边 积 分 得 ln(siny)=-lnxcos+C 或sinycosx=C (*)另外，由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=k(k=0、1)，x=t+2(t=0、1)也是方程的解。tgy=0 或 ctgx=0 的解是(*)当 C=0 时的特殊情况，故原方程的解为 sinycosx=C。3.方程化为 xyxy21dd 令xuy，则xuxuxydddd，代入上式，得 uxux1dd 分量变量，积分，通解为 1 Cxu 原方程通解为 xCxy2 4解 齐次

39、方程的通解为 Cxy 令非齐次方程的特解为 xxCy)(代入原方程，确定出 CxxC ln)(原方程的通解为 Cxy+xxln 5解 因为xNxyM1，所以原方程是全微分方程 取)0,1(),(00yx，原方程的通积分为 Cyyxxyyx031dd即Cyxy441ln 三、求下列方程的通解或通积分 1解 当1y时，分离变量得 xxyyydd12 等式两端积分得 12dd1Cxxyyy 122211ln21Cxy 1222e,e1CxCCy 方程的通积分为 2e12xCy 2解 令xuy，则xuxuydd，代入原方程，得 2dduuxuxu，2dduxux 当0u时，分离变量，再积分，得 Cxx

40、uudd2 Cxu ln1，Cxuln1 即通积分为：Cxxyln 3解 齐次方程的通解为 xCy3e 令非齐次方程的特解为 xxCy3e)(代入原方程，确定出 CxCx5e51)(原方程的通解为 xCy3e+x2e51 四证明 1.证明 设)(1xy，)(2xy是方程的两个解，则它们在),(上有定义，其朗斯基行列式为 )()()()()(2121xyxyxyxyxW 由已知条件，得 0)()(00)()()()()(0201020102010 xyxyxyxyxyxyxW 故这两个解是线性相关的 由线性相关定义，存在不全为零的常数21，使得 0)()(2211xyxy，),(x 由于0)(1

41、xy，可知02 否则，若02，则有0)(11xy，而0)(1xy，则01，这与)(1xy，)(2xy线性相关矛盾故 )()()(11212xCyxyxy 2证明 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是),(显然，该方程有零解0)(xy 假设该方程的任一非零解)(1xy在 x 轴上某点0 x处与 x 轴相切，即有)()(0101xyxy=0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(xy可知),(,0)(1xxy，这是因为零解也满足初值条件)()(0101xyxy=0，于是由解的惟一性，有xxyxy,0)()(1,()这与)(1xy是非零解矛盾 常微分方程期终

42、试卷(8)一、填空（每空 3 分）1、称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。2、函数),(yxf称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件，如果 。3、若)(,),(),(21txtxtxn为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是 。4、形如 的方程称为欧拉方程。5、若)(t和)(t都是xtAx)(的基解矩阵，则)(t和)(t具有的关系：。6、若向量函数);(ytg在域R上 ，则方程组0000),;(),;(yyttytgdtdy的解存在且惟一。7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部 ，零解是稳定的，对应的奇点称为 。二、求下列方程的解 1、0)4()3(2dyxyd

43、xxy （6 分）2、dxyxxdyydx)(22 （8 分）3、22)2()1(yyy （8 分）4、xyexydxdy （8 分）5、texxx256 （6 分）6、txx3sin1 （8 分）7、21 xx （8 分）三、求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8 分）52,1972yxdtdyyxdtdx 答案 一、填空（每空 4 分）1、形如)()(xQyxPdxdy的方程，dxxPe)(，)()()(cdxexQeydxxPdxxP 2、存在常数0L，使得Ryxyx),(),(2211，有2121),(),(yyLyxfyxf 3、0)(),(),(21txtxtxwn 4、nn

44、ndxydx1111nnndxydxa01yadxdyxann 5、Ctt)()(（C 为非奇异方程）6、连续且关于 y 满足利普希兹条件 7、等于零，稳定中心 二、求下列方程的解 1、（6 分）解：04)(32ydyxdyydxdxx 0)2()(23yddxyxd 故方程的通解为cyxyx232 2、（8 分）解：两边除以2y：dxyxyxdyydx122 yxddxyx12 变量分离：dxyxyxd12 两边积分：cxyxarctg 即：)(cxtgyx 3、（8 分）解：令,2yty 则yty 2 于是 22)()12(ytyty 得 tty21 221)1(22ttyty 即 21t

45、dxdy dttdtttttttdtdydx2222222111111 两边积分 ctx1 于是，通解为ttyctx211 4、（8 分）解：xyxexyedxdyxyxy dxyxexdyxy)(dxxeydxxdyxy dxxedxyxy xdxedxyxy 积分：cxexy221 故通解为：0212cexxy 5、（6 分）解：齐线性方程056 xxx的特征方程为0562，5,121，故通解为ttecectx521)(2不是特征根，所以方程有形如tAetx2)(把)(tx代回原方程 tttteAeAeAe22225124 211A 于是原方程通解为ttteecectx2521211)(6

46、、（8 分）解：齐线性方程的特征方程为012，解得i 于是齐线性方程通解为tctctxsincos)(21 令ttcttctxsin)(cos)()(21为原方程的解，则 tttcttcttcttc32121sin1cos)(sin)(0sin)(cos)(得ttc21sin1)(，tttc32sincos)(积分得；11)(rctgttc222sin121)(rttc 故通解为trtttxcossincos)(12trtsinsin1212 7、（8 分）解：yx 则 dxdyyx 从而方程可化为 ydxdyy21，3123cxy，3123cxx 积分得 3123cxy 三、求方程组的奇点，

47、并判断奇点的类型和稳定性（8 分）解：解方程组05201972yxyx，解得31yx 所以（1，3）为奇点。令3,1yYxX 则YXdtdX72 YXdtdY2 而02172A，令032172)(2AEp，得i 3 21,为虚根，且0，故奇点为稳定中心，零解是稳定的。常微分期中测试卷(2)一.解下列方程(10%*8=80%)2.1.xy=22yx+y 3.2.tgydx-ctydy=0 4.3.y-x(2x+2y)dx-xdy=0 5.4.2xylnydx+2x+2y21ydy=0 5.dxdy=6xy-x2y 6.y=22)12(yxy 7.已知 f(x)xdttf0)(=1,x0,试求函数

48、 f(x)的一般表达式。8 一质量为 m 质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为1k）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为2k）。试求此质点的速度与时间的关系。二 证明题(10%*2=20%)1.证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。2 试证：在微分方程 Mdx+Ndy=0 中，如果 M、N 试同齐次函数，且 xM+yN0,则)(1yNxM 是该方程的一个积分因子。试题答案：1 解：将方程改写为 y=21xy+xy（*）令 u=xy,得到 xy=xu+u,则(*)变为 x dxdu=u1,变量分离并两边

49、积分得 arcsinu=lnu+lnC,故方程的解为arcsinxy=lnCx。2 解：变 量 分 离 ctgxdy=tgydx,两 边 积 分 得 ln(siny)=lnxcos+C 或sinycosx=C (*)另外，由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=k(k=0、1)，x=t+2(t=0、1)也是方程的解。tgy=0 或 ctgx=0 的解是(*)当 C=0 时的特殊情况，故原方程的解为 sinycosx=C。3 ydx-xdy-x(2x+2y)dx=0,两边同除以2x+2y得 22ydxxdyyxxdx=0,即 d(arctgxy)12d2x=0,故原方程的解为 arctgxy1

50、22x=C。4 解：My=2xlny+2x,Ny=2x,则 MNyxM=2 ln2lnxyxyy=1y,故方 程 有 积 分 因 子 y=1dyye=1y，原 方 程 两 边 同 乘 以1y得2lnxyyydx+2221yyyxdy=0 是恰当方程.d(2xlny)+y21ydy=0,两边积分得方程的解为2xlny+321231 y=C。5 解：1）y=0 是方程的特解。2）当 y0 时，令 z=1y得 dzdx=6xz+x.这是线性方程，解得它的通解为 z=268cxx 代回原来的变量 y 得方程解为1y=268cxx；y=0.6 解：令 x=u+3,y=v2,可将原方程变为dvdu=22v