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1、第 1 讲寻找规律一、知识要点按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1，2，3，4，双数列：2，4，6，8，我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数的关键。二、精讲精练【例题 1】在括号内填上合适的数。（1）3，6，9，12，（15 ），（18 ）（2）1，2，4，7，11，（16），（22）（3）2，6，18，54，（162 ），（486）练习 1：在括号内填上
2、合适的数。（1）2，4，6，8，10，（），（）（2）1，2，5，10，17，（），（）（3）2，8，32，128，（），（）（4）1，5，25，125，（），（）（5）12，1，10，1，8，1，（），（）【答案】（1）12,14（2）26,37（3）512,2048（4）625,3125（5）6,1【例题 2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。（1）15，2，12，2，9，2，（6 ），（2 ）（2）21，4，18，5，15，6，（12 ），（7 ）练习 2：按规律填数。（1）2，1，4，1，6，1，（），（）（2）3，2，9，2，27，2，（），（）（3）18，3，15，4，12，5，
3、（），（）（4）1，15，3，13，5，11，（），（）（5）1，2，5，14，（），（）【答案】（1）8,1（2）81,2（3）9,6（4）7,9（5）41,122【例题 3】先找出规律，再在括号里填上合适的数。（1）2，5，14，41，（128）41+3333（2）252，124，60，28，（6）减 4 除 2（3）1，2，5，13，34，（89）343-13（4）1，4，9，16，25，36，（49）77练习 3：按规律填数。（1）2，3，5，9，17，（），（）（2）2，4，10，28，82，（），（）（3）94，46，22，10，（），（）（4）2，3，7，18，47，（），（）【
4、答案】（1）33,65（2）244,730（3）6,3（4）123,322【例题 4】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。（1）（3）（1）13+14-9=18 （2）493=12 （3）4x=1236 x=108练习 4：找出排列规律，在空缺处填上适当的数。（1）（3）【答案】（1）18（2）16（3）24【例题 5】按规律填数。（1）187，286，385，（），（）答案：484 583（2）答案：3594（5=3+2,9=5+4）510914712111691413(2)9437148428164932712436361237598121014121614841616832321
5、6645151272118927(2)4892768287233125414123464335243594练习 5：根据规律，在空格内填数。（1）198，297，396，（），（）（2）（3）【答案】（1）495,594（2）3897（2）38653254386421452665325737253895234527753425第 2 讲有余除法一、知识要点把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后会出现什么情况呢？一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除数小，这就是有余数除法计算中特别要注意
6、的。解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数商 除数余数。二、精讲精练【例题 1】68 ，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？【思路导航】除数是 _6，根据 _余数小于除数 _，余数可填 _1,2,3,4,5.根据_，又已知商、除数、余数，可求出最大的被除数为68 553，最小的被除数为 _。列式如下：_答：被除数最大是53，最小是 49,68+1=49。练习 1：(1)下面题中被除数最大可填 _，最小可填 _。8 3 (2)下面题中被除数最大可填 _，最小可填
7、 _。4 7 (3)下题中要使除数最小，被除数应为_。124【答案】（1）31,25（2）31,29（3）64【例题 2】算式 8中，被除数最小是几？【思路导航】题中只告诉我们商是8，要使被除数最小，那么只要除数和余数小就行。余数最小为 _，那么除数则为 _。根据这些，我们就可求出被除数最小为：8_。练习 2：(1)下面算式中，被除数最小是几？4 7 9(2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？3 6(3)算式 8 中，商和余数都相等，那么被除数最大是几？【答案】（1）91519（2）15 48（3）63【例题 3】算式 28 4 中，除数和商分别是 _和_。【思路导航】根据“被除数商 除
8、数余数”，可以得知“商除数被除数余数”，所以本题中商 除数 28424。这两个数可能是1 和 24，_和_，_和_，_和_，又因为余数为 4，因此除数可以是24,12,8,6,商分别为_，_，_，_。答：除数和商分别是24，1；12，2；8，3；6，4。练习 3：(1)下面算式中，除数和商各是几？22 4 65 237 7 48 6(2)149 除以一个两位数，余数是5,请写出所有这样的两位数。_(3)算式 4 中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？_【答案】（1）18,1；9,2；6,363,1；21,3；9,7；7,9；3,2130,1；15,2；10,342,1；21,2；14,3；7,
9、6（2）72；48；36；24；18；16；12（3）5、10、15【例题 4】算式 7 中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？【思路导航】题目中告诉我们除数是7，商和余数相等，因为余数必须比除数小，所以余数和商可为 1,2,3,4,5,6,这样被除数就可以求出来了。7118 72 216 73 32474432 75 540 76 648答：被除数可以是8,16,24,32,40,48。练习 4：(1)下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？6 5 4 3 (2)一个三位数除以15，商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式。(3)算式 9 中，商和余数相等，被除数最大是_。【答案】（1
10、）35,28,21,14,7 24,18,12,6 15,10,58,4（2）11215=7 7 160 15=10 10 128 15=8 817615=11 11 144 15=9 9（3）89+8=80【例题 5】算式 4 中，除数和商相等，被除数最小是几？【思路导航】题目中告诉我们余数是4,除数和商相等，因为余数必须比除数小，所以除数必须比 4 大，但其中要求最小的被除数，因而除数应填_，商也是 _。由算式 _，所以被除数最小是 _。答：5,5,5 5+4=29,29练习 5：下面算式中，除数和商相等，被除数最小是几？(1)6 (2)8(3)3 (4)9(5)7【答案】（1）55（2）
11、89 （3）19 （4）109 （5）71 第 3 讲配对求和一、知识要点被人称为“数学王子”的高斯在年仅 8 岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了 1+2+3+4+99+100 的结果。小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和（首项末项）项数2末项首项公差（项数 1）项数（末项首项）公差 1二、精讲精练【例题 1】你有好办法算一
12、算吗？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10（）（1+10）102=55练习 1：速算。(1)1+2+3+4+5+20 (2)1+2+3+4+99+100(3)21+22+23+24+100【答案】（1）【例题 2】计算。(1)21+23+25+27+29+31 (2)312+315+318+321+324=（21+31）62=156练习 2：计算。(1)48+50+52+54+56+58+60+62 (2)108+128+148+168+188【例题 3】有一堆木材叠堆在一起，一共是10 层，第 1 层有 16 根，第 2 层有 17 根，下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？【思路导
13、航】第 10 层有 16+9=25 根，共（16+25）102练习 3：(1)体育馆的东区共有30 排座位，呈梯形，第1 排有 10 个座位，第 2 排有 11 个座位，这个体育馆东区共有多少个座位？(2)有一串数，第 1 个数是 10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是 90，这串数连加的和是多少？(3)有一个钟，一点钟敲1 下，两点钟敲 2 下，十二点钟敲 12下，分钟指向 6敲 1 下，这个钟一昼夜敲多少下？【例题 4】计算 992+993+994+995+996+997+998+999。【思路导航】（992+999）82练习 4：计算。(1)95+96+97+98+99 (2)20
14、06+2007+2008+2009(3)9997+9998+9999 (4)100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19【例题 5】计算 1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81【思路导航】1000-（11+12+13+14+15+16+17+18+19）-（81+82+83+84+85+86+87+89）练习 5：计算。(1)1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1(2)1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-8
15、8-18-89-19(3)2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16第 4 讲加减巧算一、知识要点在进行加减运算时，为了又快又好，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算的方法。加减法的巧算主要是运用“凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的数看做所接近的数进行简算。进行加减巧算时，凑整之后，对于原数与整十、整百、整千相差的数，要根据“多加要减去，少加要再加，多减要加上，少减要再减”的原则进行处理。另外，可以结合加法交换律、结合律以及减法的性质进行凑整，从而达到简算的目的。二、精讲精练【例题 1】你有好办法迅速算出结果吗？(1)502+799-2
16、98-98 (2)9999+999+99+9【思路导航】=500+800-300-100+2-1+2+2练习 1：计算。(1)308+203-399-97 (2)99999+9999+999+99+9(3)1999+199+19 (4)375+483+525+617【例题 2】计算。(1)487+321+113+279 (2)736-567+264(3)877+345-677 (4)528-248-152练习 2：计算。(1)321+127+73+279 (2)235-125+365(3)987-733-167 (4)487+(413-89)【例题 3】计算下面各题。(1)962-(284+2
17、62)(2)432-(154-168)练习 3：计算。(1)421+(279-125)(2)812+(168-112)(3)823-(175+323)(4)538-(283-162)【例题 4】2000-111-89-112-88-113-87-114-86-115-85-116-84练习 4：计算。(1)800-99-1-98-2-97-3-96-4-95-5 (2)1000-10-20-30-40-50-60-70-80-90【例题 5】计算:98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87-4-3+2+1练习 5：计算。(1)2009+1+2-3-4+5+6-7-8
18、+9+10-11-12+13+14+2006(2)1+2-3+4+5-6+7+8-9+97+98-99第 5 讲图形个数一、知识要点同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形 那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。二、精讲精练【例题 1】数出下图中有多少条线段？【思路导航】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD 3 条；以 B点为左端点的线
19、段有：BC、BD 2 条；以 C点为左端点的线段有：CD 1条。所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。方法二：把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1 条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD 3 条；由 2 条基本线段构成的线段有:AC、BD 2 条；由 3 条基本线段构成的线段有：AD 1条。所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。练习 1：（1）数出下图中有多少条线段？（2）数出下图中有几个长方形？【答案】（1）10 条（2）15个【例题 2】数出图中有几个角？【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。方法一：以 OA为一边的角有：AOB、AOC、AOD 3
20、 个；以 OB为一边的角还有：BOC、BOD2 个；以 OC为一边的角还有：COD1 个。所以，图中共有角3+2+1=6（个）。方法二：把图中AOB、BOC、COD 看做基本角来数，那么，由1 个基本角构成的角有：AOB、BOC、COD3 个；由 2 个基本角构成的角有:AOC、BOD 2 个；由3 个基本角构成的角有：AOD 1 个。所以，图中一共有3+2+1=6（个）角。练习 2：数出图中有几个角？（1）（2）【答案】（1）3 个（2）10 个EABCDDABCODCBAOCBAEDOCBAPDCBA【例题 3】数出右图中共有多少个三角形？【思路导航】方法一：我们可以采用按边分类数的方法。
21、以PA为边的三角形有：PAB、PAC、PAD、3 个；以 PB为边的三角形还有：PBC、PBD2 个；以 PC为边的三角形还有：PCD1 个。所以，图中共有三角形3+2+1=6（个）。方法二：把图中三角形PAB、PBC、PCD 看做基本三角形来数，那么，由1 个基本三角形构成的三角形有：PAB、PBC、PCD3 个；由 2 个基本三角形构成的三角形有:PAC、PBD 2个；由 3 个基本三角形构成的三角形有：PAD1 个。所以，图中一共有3+2+1=6（个）三角形。方法三：我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出线段AD中包含几条线段就可以了，即 3+2+1=6（个）。所以图中共有 6 个三
22、角形。练习 3：数出图中共有多少个三角形？（1）（2）【答案】（1）10个（2）20 个【例题 4】数出下图中有多少个长方形？【思路导航】数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对线段围成，线段CD上有 3+2+1=6（条）线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有61=6（个）长方形，而AC上共有 2+1=3（条）线段也就有 63=18（个）长方形。它的计算公式为：长方形的总数=长边线段的总数 宽边线段的总数（3+2+1）（2+1）=18（个）答：图中共有 18 个长方形。练习 4：（1）数出下图中有多少个长方形？（2）数出下图中有多少个正方形
23、？【答案】（1）60（2）36【例题 5】有 5 个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？【思路导航】这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个端点代表一个同学。从图上可以看出，第1 个同学要与其余 4 个同学握手共握手4 次；第 2 个同学还要与其余 3 个同学握手共握手3 次，第 3 个同学要与其余 2 个同学握手共握手 2 次；第 4 个FEDCBAKGIHGFEDCBADCBADCBA54321同学还要与最后 1 个同学握手共握手 1 次。所以，一共要握手4+3+2+1=10（次）练习 5：（1）银海学校三年级有9 个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次
24、？（2）有 1，2，3，4，5，6，7，8 等 8 个数字，能组成多少个不同的两位数？【答案】（1）8+7+6+5+4+3+2+1=36（次）（9-1）92=36（次）（2）87=56（个）第 6 讲植树问题一、知识要点爸爸给晶晶出了一道题：“小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3 米植一棵，已经植了 9 棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？”晶晶一看，随口答题：“27米。”同学们，晶晶答对了吗？这一类应用题我们通常称为“植树问题”。解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔长和棵数三者之间的关系。解答植树问题先要考虑植树的方式，一般在不封闭的线路上植树，棵数总距离 间隔长 1；在封闭的线路
25、上植树，棵数总距离间隔长。另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。比如锯木头、爬楼梯问题等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离”、“间隔长”、“棵数”对应起来。二、精讲精练【例题 1】小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3 米植一棵，已经植了9 棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？【思路导航】要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图：根据“已经植了 9 棵”，从图中可以看出，第一棵树和第九棵树之间的间隔是9-1=8（个），每个间隔是 3 米，所以第一棵和第九棵相距38=24（米），具体列式如下：3 （9-1）=38=24（米）答：第一棵和第九棵
26、树相距24 米。练习 1：（1）在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了20 面，这条道路有多长？【答案】59=45（米）（2）在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了20 盆，这条走廊长多少米？【答案】48=32（米）【例题 2】在一条长 42 米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14 棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？【思路导航】根据“在路的两侧共栽了14 棵树”这个条件，我们可以先求出每一侧栽了 142=7（棵）树，那么从第1 棵树到第 7 棵树之间的间隔是7-1=6（个）。42 米长的大路平均分成 6 段，每段是 426
27、=7（米）。列式如下：42（142-1）=42（7-1）=426=7（米）答：相邻两棵树之间的距离是7 米。练习 2：在公园一条长 30 米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了12 把椅子，相邻两把椅子的距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米？【答案】305=6（米）03思6思9思12思15思18思21思24思9思8思7思6思5思4思3思2思1思【例题 3】把一根钢管锯成小段，一共花了28 分钟，已知每锯开一段需要4 分钟，这根钢管被锯成了多少段？【思路导航】我们先求出钢管被锯开了284=7（处），因而被锯开的段数有7+1=8（段）。列式如下：284+1=7+1=8（段）答：这根钢管被锯成了8
28、段。练习 3：一根圆木锯成 2 米长的小段，一共花了12 分钟。已知每锯下一段要3 分钟，这根圆木长多少米？【答案】123+1=5（段）52=10（米）【例题 4】甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4 楼时，乙恰好跑到3楼，照这样计算，甲跑到 16 楼时，乙跑到了多少楼？【思路导航】解答爬楼梯问题时，不能以楼层进行计算，而要用楼梯段数进行计算，因为第一层楼是不用爬的，“楼层数-1”才是要走的“楼梯段数”，根据题意“甲跑到 4楼时，乙恰好跑到3 楼”，实际上是说“甲跑 3 段楼梯与乙跑 2 段楼梯所用的时间相同。”照这样计算，甲跑到16 楼，也就是跑了 15 段楼梯，应是甲跑3 段楼梯所用的时间的5
29、倍，在同一时间里，乙跑的楼梯段数也是他跑2 段楼梯的 5 倍，也就是这时乙跑了10段楼梯，即他跑到了第10+1=11（楼）。列式如下：（3-1）（16-1）（4-1）+1=25+1=11（楼）答：甲跑到 16 楼时，乙跑到了 11 楼。练习 4：小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第4 层时，小红跑到第5 层，照这样计算，当小明跑到第16 层时，小红跑到了第几层？【答案】（5-1）（16-1）（4-1）+1=21（层）【例题 5】一个圆形跑道长 300 米，沿跑道周围每隔6 米插一面红旗，每两面红旗中间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？【思路导航】在圆周上插旗，插的面数正好等于分成的段
30、数，所以插了红旗3006=50（面），由于每两面红旗中间插一面黄旗，所以黄旗的面数就等于红旗的面数，也是 50 面。3006=50（面）答：跑道周围插了50面红旗和 50面黄旗。练习 5：（1）有一个正方形水池，周长是200米。如果沿着水池周围每隔10 米装一盏红灯，再在相邻的两盏红灯中间等距离地装4 盏黄灯。问水池周围一共装了几盏红灯？几盏黄灯？【答案】红灯：20010=20（盏）黄灯：204=80（盏）（2）一条公路长 480米，在两旁植树，两端都植。每隔12 米植一棵樟树，两棵樟树中间又等距离地栽了3 棵柳树。问樟树和柳树各栽了多少棵？【答案】一端 48012+1=41（棵）412=82
31、（棵）第 7 讲简单推理一、知识要点数学课上，老师布置了一道题：=28=（）=（）要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪明，头脑更灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。解答这类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。二、精讲精练【例题 1】下式中，和各代表几？=28=（）=（）【思路导航】根据=28，我们可以得出=28；由=得到28=，4 个等于 28，一个等于 284=7；由=可求出=777=21。练习 1：1=18=（）=（）2=25=（）=（）3=36=（）=
32、（）【答案】1.12、6 2.20、5 3.30、6【例题 2】下式中，和各代表几？=36=4=（）=（）【思路导航】根据=4 可知为一份，是这样的4 份，即=4；又根据=36，可以得到4=36，即=9，进一步得到=3，=4=43=12。练习 2：1和各表示几？=16=4=（）=（）2想想，填填。=20=（）=（）3和各代表几？=16=（）=（）【答案】1.2、8 2.10、2 3.8、2 【例题 3】下式中，和各代表几？=16=14=（）=（）【思路导航】16 里面有 2 个，1 个；14 里面有 1 个，2 个，16 减去 14 等于2，即=2，那么如果把换成了，则16 需要加上 2，即=
33、16 2，那么=（162）3=6，=16 62=4。练习 3：1=38=22=（）=（）2=52=48=（）=（）3=10=12=12=（）=（）=（）【答案】1.3、16 2.12、8 3.3、1、5【例题 4】下式中，和各代表几？=34=48=（）=（）【思路导航】34里面有 2 个、3 个，48 里面有 3 个、4 个，用 48 减去 34得到=14，34 中有 2 个（）及 1 个。所以，=34 142=6，=（3463）2=8。练习 4：1=24=36=（）=（）2=54=76=（）=（）3=96=123=（）=（）【答案】1.12、0 2.10、12 3.12、15【例题 5】下式
34、中，、和各代表几？=80=（）=（）=（）【思路导航】因为 2 个等于 3 个，3 个又等于 4 个，所以 2 个等于 4 个，那么 1 个等于 2 个。在=80中，2 个可以用 1 个替代，就变为=80，而 2 个又可以用 3 个替代，也就是=80，所以=20，=2032=30，=2034=15。练习 5：1=100=（）=（）=（）2=40=（）=（）=（）3=320=（）=（）=（）【答案】1.20、20、30 2.15、10、15 3.80、120、30第 8 讲算式谜一、知识要点一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完整
35、的算式。解算式谜的思考方法是推理加上尝试，首先要仔细观察算式特征，由推理能确定的数先填上；不能确定的，要分几种情况，逐一尝试。分析时要认真分析已知数字与所缺数字的关系，抓准解题的突破口。二、精讲精练【例题 1】在下面算式的内，填上适当的数字，使算式成立。答案：【思路导航】已知被乘数个位是8，积的个位是 2，可推出乘数可能是4 或 9，但积的百位上是 7，因而乘数只能是4，被乘数百位是 1，那么十位上只能是9。（算式见右上）练习 1：在里填上适当的数，使算式成立。【答案】（1）1277（2）2298（3）1344【例题 2】里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算式？【思路导航】已知除数和
36、商的某些位上的数，求被除数，可以从商的末位上的数与除数相乘的积想起，可知被除数个位为0，再想商十位上的数与6 的乘积为一位5 6 30数，这个数只能是1，这样确定商的十位为1，最后被除数十位上的数为。3 6 9练习 2：在里填上适当的数，使算式成立。【答案】（1）724（2）855【例题 3】在下面竖式的里，各填入一个合适的数字，使算式成立。答案：06593 0030560611606503 0033 0030思思思 思思560750思2思思1思0487170071749 82 882071739 12 11214414827170【思路导航】要求里填哪些数，我们可以先想被除数的十位上的数是多
37、少。容易知道，被除数的十位数字比7 大，只可能是 8 或 9。如果十位数字是8，那么商的个位只能是 2；如果十位数字是9，那么商的个位是3 或 4。所以，这道题有三种填法（见上页）。练习 3：里可以填哪些数字？【答案】（1）968（2）844、884、924、964【例题 4】在下面竖式的里，各填入一个合适的数字，使算式成立。答案：【思路导航】通过观察，我们发现，由于余数是7，则除数必须比7 大，且被除数个位上应填 7；由于商是 4 时是除尽的，所以被除数十位上应为2，同时，3 4 12,8 4=32因而除数可能是 3 或 8，可是除数必须比7 大，因而除数只能是8，因而被除数百位上是3，而商
38、的百位上为0，商的千位是 8或 3，所以一共有两种填法（见上）。练习 4：在下面竖式的里，各填入一个合适的数字，使算式成立。【答案】（1）15104 5、25104 5、35104 5、45104 5（2）49425 7【例题 5】在下面中填入适当的数，使算式成立。答案：【思路导航】通过观察，我们发现，商的个位8 与除数的乘积是48，由此可求出除数为 6。再根据商的千位与6 的乘积是二十几，于是可求出商的千位是4，因而被除数的万位是 2，千位是 4，然后可求出商的百位是0，十位是 2，被除数的百位是1，十位是6，个位是 8。（填法见上）思 2思0428180思 1思4427744300686
39、42 7823233 23 23724282003447思2思52962504思1思4 8802212044 81 646861424 880221练习 5：在下面中填入适当的数，使算式成立。【答案】（1）14273 7（2）15289 553 54152思2思思1思2 110936第 9 讲乘法速算一、知识要点我们已经学会了整数乘法的计算方法，但计算多位数乘法要一位一位地乘，运算起来比较麻烦。其实，多位数与一些特殊的数相乘，也可以用简便的方法来计算。计算乘法时，如果一个因数是25，另一个因数考虑可拆成4几，这样可“先拆数再扩整”。两位数、三位数及更高位数乘以11，可采用“两头一拉，中间相加”
40、的办法，但要注意相邻两位相加作积的中间数时，哪一位上满十要向前一位进一。比如两位数乘以11，我们有“两位数与 11 相乘，首尾不变中间变，左右相加放中间，满十进一头就变。”二、精讲精练【例题 1】试着计算下列各题，你发现了什么规律？（1）2611 （2）5711 （3）25311 （4）46711 【思路导航】通过计算、观察可以发现，一个数与11相乘，所得的结果就是将这个数的首位和末位拉开分别作为积的最高位和最低位，再依次将这个数相邻两位由个位加起，和写在十位、百位，哪一位上满十就向前一位进一。（1）2611=286 （2）5711=627 （3）25311=2783 （4）24711=271
41、7练习 1：很快算出下面各题的结果。（1）1211 （2）3411 （3）2511 （4）1144 （5）4811 （6）6511 （7）1175 （8）8711（9）12411 （10）30511 （11）43911 （12）87211【答案】(1)132(2)374(3)275(4)484(5)528(6)715(7)825(8)957(9)1364(10)3355(11)4829(12)9592【例题 2】下面的乘法计算有规律吗？（1）2524 （2）2125 （3）25427 （4）1998 25【思路导航】因为 254=100，因此，一个数与25 相乘，我们就看这个数里有几个4，有几
42、个 4 就有几个 100，余 1 就加 25，余 2 就加 50，余 3 就加 75。（1）2524=100 6=600 （2）2125=100 5+25=525 （3）25427=100 106+75=10600+75=10675（4）1998 25=100 499+50=49900+50=49950练习 2：速算。（1）1225 （2）3425 （3）25121 （4）2546 （5）14825 （6）64325 （7）257252 （8）5678 25【答案】(1)300(2)850(3)3025(4)1150(5)3700(6)16075(7)181300(8)141950【例题 3】
43、很快算出下面各题的结果。（1）2415 （2）24815 （3）5678 15 【思路导航】因为 15=10+5，那么 2415 就可以写成 24（10+5），也就是用 24 加上它的一半再乘以10，24+12=36，再用 3610=360。一个因数乘以 15，也就是用这个数加上它的一半再乘以10。具体过程如下：（1）2415 （2）24815 （3）5678 15 =（24+12）10 =（248+124）10 =（5678+2839）10 =3610=360 =37210=3720 =851710=85170练习 3：很快算出下面各题的结果。（1）3415 （2）43615 （3）8472
44、 15【答案】(1)510(2)6540(3)127080【例题 4】很快算出下面各题的结果。（1）459 （2）3299 （3）78999【思路导航】（1）我们可以先用 4510=450，这样就多加了一个45，因此我们还要从 450 中减去 1 个 45，即 450-45=405。（2）我们可以先用 32100=3200，这样就多加了一个32，因此我们还要从 3200 中减去 1 个 32，即 3200-32=3168。（3）我们可以先用 781000=78000，这样就多加了一个78，因此我们还要从78000中减去 1 个 78，即 78000-78=77922。从上面几题可以看出，一个数
45、与9 相乘，就用这个数乘以10，再减去这个数；一个数与 99 相乘，就用这个数乘以100，再减去这个数；一个数与999 相乘，就用这个数乘以 1000，再减去这个数。（1）459 （2）3299 （3）78999 =45 10-45 =32100-32 =781000-78 =450-45=405 =3200-32=3168 =78000-78=77922练习 4：计算。（1）329 （2）4619 （3）1234 9（4）4599 （5）8599 （6）72899（7）24999 （8）3999 （9）56999【答案】(1)288(2)4149(3)11106(4)4455(5)8415(
46、6)72072(7)23976(8)2997(9)55944【例题 5】下面的乘法计算有规律吗？（1）1515 （2）2525 （3）3535（4）4545 （5）6565 （6）9595【思路导航】通过计算我们发现，个位是5 的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位都是 25，25 前面的数是这个两位数首位数与首位数加1 的积，例如：1(1+1)(1)15 15=2252(2+1)(2)25 25=625(3)35 35=12253(3+1)4(4+1)(4)45 45=20256(6+1)(5)65 65=4225(6)95 95=90259(9+1)我们还可以发现，这种方法还适用于个位是5
47、的两个相同的多位数相乘的计算。练习 5：速算。（1）5555 （2）7575 （3）8585（4）105105 （5）125125 （6）995995【答案】(1)3025(2)5625(3)7225(4)11025(5)15625(6)990025第 10 讲添运算符号一、知识要点根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，使等式成立，这是一种很有趣的游戏。这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。添运算符号问题，通常采用尝试探索法。主要尝试方法有两种：1如果题目中的数字比较简单，可以从等式的结果入手，推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子；2如果题目中
48、的数字多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数，然后再进行调整，使等式成立。通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。二、精讲精练【例题 1】在下面各题中添上、（），使等式成立。1 2 3 4 5=10 1 2 3 4 5=10 1 2 3 4 5=10 1 2 3 4 5=10【思路导航】对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。从结果10想起，最后一个数是 5，可以从下面几种情况中想：5=10，5=10，5=10，5=10。（1）从 5=10考虑，=5，前 4 个数必须组成得数是5 的算式有：（12）345=10 （12
49、）345=10（2）从 5=10考虑，=15，前 4 个数必须组成得数是15 的算式有：1234 5=10（3）从5=10 考虑，=2，前 4 个数必须组成得数是2 的算式有：（1234）5=10 （1234）5=10（4）从5=10 考虑，=50，前面4 个数必须组成得数是50 的算式，而前面 4 个数无法组成得数是50 的算式。练习 1：1你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？（1）4 1 2 5=10 （2）4 1 2 5=102在下面各数中添上适当的运算符号，使等式成立。（1）3 4 5 6 8=8 （2）3 4 5 6 8=83巧添运算符号，使等式成立。（1）3 3 3 3=
50、1 （2）3 3 3 3=2 （3）3 3 3 3=3【答案】1.(1)4-1+2+5=10(2)4125=102.（1）（34-5-6）8=8（2）3（4+5-6）8=83.（1）（3+3-3）3=1（2）33+33=2（3）33-3-3=3【例题 2】拿出都是 8 的四张牌，添上、或（），使等式成立。你能试一试吗？8 8 8 8=0 8 8 8 8=1 8 8 8 8=2 8 8 8 8=3【思路导航】这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想：（1）等于 0 的思考方法：假设最后一步运算是减法，那么这四个数可以分成两组，这两组的和、差、积、商应该相等，有：88（88）=0 8 888=0