数字信号处理习题集(附答案).pdf

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1、.第一章 数字信号处理概述 简答题：1 在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在 A/D 变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率 2 倍的条件。此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。在 D/A 变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。判断说明题：2模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（）答：错。需要增加采样和量化两道工序。3一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，

2、对信号进行等效的数字处理。（）答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。.第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题：1过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T表示采样周期（假设T足够小，足以防止混叠效应），把从)()(tytx到的整个系统等效为一个模拟滤波器。（a）如果kHzTradnh101,8)(截止于，求整个系统的截止频率。（b）对于kH

3、zT201，重复（a）的计算。采样（T）nh nxtx nyD/A理想低通Tcty 解（a）因为当0)(8jeHrad时，在数 模变换中 )(1)(1)(TjXTjXTeYaaj 所以)(nh得截止频率8c对应于模拟信号的角频率c为 8 Tc 因此 HzTfcc6251612 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为T，因此对T8没有影响，故整个系统的截止频率由)(jeH决定，是 625Hz。（b）采用同样的方法求得kHzT201，整个系统的截止频率为.HzTfc1250161 二、离散时间信号与系统频域分析 计算题：1设序列)(nx的傅氏变换为)(jeX，试求下列序列的傅里叶变换。（1）)2(n

4、x （2）)(*nx（共轭）解：（1）)2(nx 由序列傅氏变换公式 DTFTnnjjenxeXnx)()()可以得到 DTFT2)()2()2(njnnjnenxenxnx为偶数 )()(21)(21)(21)(21)(21)()1()(2122)2(2)2(22jjjjnjnnjnnjnneXeXeXeXenxenxenxnx（2）)(*nx（共轭）解：DTFT)(*)()(*)(*jnnjnjneXenxenxnx 2计算下列各信号的傅里叶变换。.（a）2nun （b）2)41(nun（c）24n （d）nn)21(解：（a）022)(nnjnnjnneenuX jnnjee2111)2

5、1(0（b）2)41(241)(nnjnnjnneenuX）（jjmmjmeee41116)41(20)2(2（c）224)(jnnjnjneenenxX（d）12111211121)(jjnjnneeeX）（利用频率微分特性，可得 22)211(121)211(121)()(jjjjeeeedXdjX 3序列)(nx的傅里叶变换为)(jweX，求下列各序列的傅里叶变换。（1）)(*nx （2）)(Renx (3)(nnx 解：（1）)(*)()(*)(*jwnnjwnjwneXenxenx （2）njwjwjwnnjwneXeXenxnxenx)()(21)()(21)(Re.（3）dwed

6、Xjenxdwdjdwendxjennxjwnjwnnjwnnjwn)()()(1)(4序列)(nx的傅里叶变换为)(jweX，求下列各序列的傅里叶变换。（1）)(nx （2）)(Imnxj (3)(2nx 解：（1）)()()()()()(jwnnwjnnwjnjwneXenxenxenx （2）)()(21)()(21)()(21)()(21)(jwjwnnwjjwnnjwnjwnjwnneXeXenxeXenxenxenxnx （3）)()(21)()(21)()(21)()()(2jwjwjjnnnwjjnjwneXeXdeXeXenxdeXenx 5令)(nx和)(jweX表示一个序

7、列及其傅立叶变换，利用)(jweX表示下面各序列的傅立叶变换。（1）)2()(nxng（2）为奇数为偶数nnnxng02)(解：（1）为偶数kkwkjnjnwnjnwjwekxenxengeG2)()2()()(.)()(2121)(21)(21)(21)(21)(21)()1()(2122)2(2)2(2222wjwjwjwjkwjkwjkwjkjkwjkkwkjkeXeXeXeXekxeXeekxekxekxkx（2）)()()2()()(222wjrwjrrrwjnjnwjweXerxergengeG 6设序列)(nx傅立叶变换为)(jweX，求下列序列的傅立叶变换。（1）)(0nnx

8、0n为任意实整数（2）为奇数为偶数nnnxng02)(（3）)2(nx 解：（1）0)(jwnjweeX （2）)2(nx n 为偶数 )(ng )(2wjeX 0 n 为奇数 （3）)()2(2jweXnx 7计算下列各信号的傅立叶变换。（1）)2()3()21(nunun（2）)2sin()718cos(nn.（3）其它041)3cos()(nnnx【解】（1）nknNjnenunukX2)2()3()21()(2232)21()21(nknNjnnknNjnee kNjkNjkNjkNjeeee222223211412118 kNjkNjkNjeee225523211)21(18（2）假

9、定)718cos(n和)2sin(n的变换分别为)(1kX和)(2kX，则 kkkNkkNkX)27182()27182()(1 kkkNkkNjkX)222()222()(2 所以 )()()(21kXkXkX kkkNjkkNjkkNkkN)22()222()27182()27182(（3）4423cos)(nkNjnnekX 44233)(21nkNjnnjnjeee 90)23()32(490)23()32(42121nnNjkNjnnkNjkNjeeee.)23()23()32(4)23()23()32(41121112199kNjkNjkNjkNjkNjkNjeeeeee 8求下列

10、序列的时域离散傅里叶变换 )(nx，)(Renx，)(0nx 解：)()()()(jnjeXenxnx )()()(21)()(21)(RejejjnjeXeXeXenxnxnx )(Im)()(21)(0jnjjeXjenxnxenx 三、离散时间系统系统函数 填空题：1设)(zH是线性相位 FIR 系统，已知)(zH中的 3 个零点分别为 1，0.8，1+j，该系统阶数至少为（）。解：由线性相位系统零点的特性可知，1z的零点可单独出现，8.0z的零点需成对出现，jz1的零点需 4 个 1 组，所以系统至少为 7阶。简答题：2何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数)(minZH有何特点？解

11、：一个稳定的因果线性时不变系统，其系统函数可表示成有理方程式.NkkkMrrrZaZbZQZPZH101)()()(，他的所有极点都应在单位圆内，即1k。但零点可以位于 Z 平面的任何地方。有些应用中，需要约束一个系统，使它的逆系统)(1)(ZHZG也是稳定因果的。这就需要)(ZH的零点也位于单位圆内，即1r。一个稳定因果的滤波器，如果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。等价的，我们有如下定义。【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值)(jweH唯一确定。从jwe求)(ZH的过程如下：给定jwe，先求2jw

12、e，它是)cos(kw的函数。然后，用)(21kkZZ替代)cos(kw，我们得到)()()(1ZHZHZG。最后，最小相位系统由单位圆内的)(ZG的极、零点形成。一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即)()()(minZHZHZHap 完成这个因式分解的过程如下：首先，把)(ZH的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内的共轭倒数点，这样形成的系统函数)(minZH是最小相位的。然后，选择全通滤波器)(ZHap，把与之对应的)(minZH中的零点映射回单位圆外。3何谓全通系统？全通系统的系统函数)(ZHap有何特点？解：一个稳定的因果全通系统，其系统函数)(ZHap

13、对应的傅里叶变换.幅值1)(jweH，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即 NkkkNkkkMrrrapZZZaZbZQZPZH1111011)()()(。因而，如果在kZ处有一个极点，则在其共轭倒数点kZ1处必须有一个零点。4有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式。nh nx ny 解：频率响应：njjenheH)()(系统函数：nZnhZH)()(差分方程：)()(1ZXZYZ 卷积关系：)()()(nxnhny .第三章 离散傅立叶变换 一、离散傅立叶级数 计算题：1如果)(nx是一个周

14、期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的周期序列。把)(nx看作周期为N的周期序列有)()(1kXnx（周期为N）；把)(nx看作周期为2N的周期序列有)()(2kXnx（周期为2N）；试用）（kX1表示）（kX2。解：101021)()()(NnNnknNjknNenxWnxkX nkNjNNnNnNnnkNjknNenxenxWnxkX2212120102222)()()()(对后一项令Nnn，则 1010)(22222)()()(NnNnNnkNjnkNjeNnxenxkX )2()1()()1(1022kXeenxejkNnnkNjjk 所以0)2(2)(12kXkX 为奇数为偶数kk

15、 二、离散傅立叶变换定义 填空题.2某 DFT 的表达式是10)()(NkklMWkxlX，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（）。解：M2 3某序列DFT的表达式是10)()(NkklMWkxlX，由此可看出，该序列的时域长度是（），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（）。解：N M2 4如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（纯实数、偶对称 ）。解：纯实数、偶对称 5采样频率为HzFs的数字系统中，系统函数表达式中1z代表的物理意义是（延时一个采样周期T=1/F），其中时域数字序列)(nx的序号n代表的样值实际位置是（nT=n/F）；)(nx的N点D

16、FT)kX（中，序号k代表的样值实际位置又是（kNk2）。解：延时一个采样周期FT1，FnnT，kNk2 6用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT。则频域抽样点之间的频率间隔f为8000/512,数字角频率间隔w为 2pi/512和模拟角频率间隔 8000*0.0123。解：15.625，0.0123rad，98.4rad/s 判断说明题：7一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做.DFT对它进行分析。（）解：错。如果序列是有限长的，就能做 DFT 对它进行分析。否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。计算题 8令)(kX表示N点的序

17、列)(nx的N点离散傅里叶变换，)(kX本身也是一个N点的序列。如果计算)(kX的离散傅里叶变换DFT得到一序列)(1nx，试用)(nx求)(1nx。解：1010)(1010101)()()()(NnNknnkNnkNNkNnnkNNknkNWnxWWnxWkXnx 因为 10)(0NknnkNNW 其他Nlnn 所以 11)()()()(NnNNnRnNxNlnNxnx 9序列0,0,1,1)(nx，其4点DFT)(kx如下图所示。现将)(nx按下列（1），（2），（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT？（尽量利用DFT的特性）nxn kXk（1）)4()()(1nxnxny 7430n

18、n.（2）0)()(2nxny 7430nn（3）0)2()(3nxny 奇数偶数nn 解：（1）01230,2211kYkkXkY（2）30,70,2,211112kkkkkXkXkY（3）4mod,30,70114113kkkkkXkXkY 10设)(nx是一个 2N 点的序列，具有如下性质：)()(nxNnx 另设)()()(1nRnxnxN，它的N点DFT为)(1kX，求)(nx的2N点DFT)(kX和)(1kX的关系。解：221kXkX推导过程略 11试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式）（1）)()(nRanxNn （2）)()(nnRnxN 解：（1）因为)()(nRa

19、nxNn，所以 kNjNNnnkNjnaeaeakX210211)(（2）由)()(nnRnxN，得 10)()(NnNnkNkRnWkX 10)1()()(NnNknNkNkRnWkXW.10)1(10)()()1)(NnNknNNnnkNkNkRnWnWWkX)()1()()1)2(2()1(3211)1(32)1(32kRWNkRNWNWWWNWWWNNnnkNNkNNkNkNkNNkNkNkN)()(11)1(kNRkRWWNNNkNkN 所以)(1)(kRWNkXNkN 12计算下列序列的N点DFT：116P （1）10,)(Nnanxn （2）)(nxnmN2cos，Nn 0，Nm

20、 0 解：（1）kNNkNNKNNNnnkNnaWaaWWaWakX1111)(10，10Nk （2）1022210212cos)(NnnkNjmnNjmnNjNnnkNeeeWmnNkX)(2)(2)(2)(2111121mkNjmkjmkNjmkjeeee)(1)()()()()(1)()()()(21mkNNjmkNjmkNjmkjmkjmkNNjmkNjmkNjmkjmkjeeeeeeeeee)(1)(1)(sin)(sin)(sin)sin(21mkNNjmkNNjeNmkmkeNmkmk 2N,k=m 或 k=-m=.0,其它 13已知一个有限长序列)5(2)()(nnnx （1）

21、求它的 10 点离散傅里叶变换)(kX（2）已知序列)(ny的 10 点离散傅立叶变换为)()(210kXWkYk，求序列)(ny（3）已知序列)(nm的 10 点离散傅立叶变换为)()()(kYkXkM，求序列)(nm 解；（1）109010)5(2)()()(NnnnknkNWnnWnxkX=1+2kW510=1+2kje5102=1+2k)1(，9,.,1,0k（2）由)()(210kXWkYk可以知道，)(ny是)(nx向右循环移位 2 的结果，即)7(2)2()2()(10nnnxny （3）由)()()(kYkXkM可以知道，点循环卷积。的与是10)()()(nynxnm 一种方法

22、是先计算的线性卷积与)()(nynx llnylxnynxnu)()()()()(=4,0,0,0,0,4,0,0,0,0,1,0,0 然后由下式得到 10 点循环卷积 )7(4)2(50,0,4,0,0,0,0,5,0,0)()10()(10nnnRlnunml 另一种方法是先计算)(ny的 10 点离散傅立叶变换.kknnkNnnkNWWWnnWnykY7102109010102722)()(再计算乘积 kkkWWWkYkXkM710210510221)()()(kkkkWWWW1210710710210422 kkWW71021045 由上式得到 7425)(nnnm 14（1）已知序列

23、：102sin)(NnnNnx，求)(nx的 N 点 DFT。（2）已知序列：2,1,010)(nnx，其它，则)(nx的 9 点 DFT 是8,.,2,1,09sin3sin)(92kkkekXkj，正确否？用演算来证明你的结论。345P 解：（1）)(kXknNjNnenN2102sin 1022221NnknNjnNjnNjeeej 10)1(2)1(221NnnkNjnkNjeej 1,2kNj=1,2kNj 0，其它.（2）kjkjkjkjkjkjkjkjnknjeeeeeeeeekX9993339296209211)(8,.,1,09sin3sin92Kkkekj，可见，题给答案是

24、正确的。15一个 8 点序列)(nx的 8 点离散傅里叶变换)(kX如图 5.29 所示。在)(nx的每两个取样值之间插入一个零值，得到一个 16 点序列)(ny，即 2nx ，n为偶数)(ny 0，n为奇数（1）求)(ny的 16 点离散傅里叶变换)(kY，并画出)(kY的图形。（2）设)(kX的长度 N 为偶数，且有12,.,1,0),1()(NkkNXkX，求2Nx。01234 567-1 kX1234 解：（1）因 n 为奇数时0)(ny，故.14,.2,016150162)()(nnknnkWnxWnykY 708)(mmkWmx，150 k 另一方面 其它,070,)()(708k

25、WmxkXmmk 因此 其它,0158,)()8(70)8(8kWmxkXmkm 其它,0150,)(708kWmxmmk 所以 )(kY其它,0150,)(708kWmxmmk 其它,0158),8(70),(kkXkkX 按照上式可画出)(kY的图形，如图 5.34 所示。16计算下列有限长序列)(nx的DFT，假设长度为N。10123456789k2)(kY.（1）nanx)(10Nn （2）1,3,2,1)(nx 解：（1）1010)(NnnkNNnnkNnaWWakX kNNkNNkNaWaaWaW1111 10Nk(2)304)()(nnkWnxkX kkkkkkWWWWWWW34

26、24342440432132 kkkjj)1(3)(21 )30(k 17长度为 8 的有限长序列)(nx的 8 点 DFT 为)(kX，长度为 16 的一个新序列定义为 )2(nx 14,.2,0n )(ny 0 15,.,3,1n 试用)(kX来表示)()(nyDFTkY。解：15016)()(nnkWnykY 70)12(1670216)12()2(rkrrrkWryWry 708)(rrkWrx )15,.,1,0(k 而 708)()(nnkWnxkX )7,.,1,0(k 因 此，当7,.,1,0k时，)()(kXkY；当15,.,9,8k时，令.)7,.,1,0(8llk，得到：

27、)()()()8(70870)8(8lXWrxWrxlYrrlrlr 即 )8()(kXkY 于是有 )(kX 7,.,1,0k )(kY)8(kX 15,.,9,8k 18304,211,02)(nNnnnx若试计算)(nx的离散傅里叶变换)(kX的值)3,2,1,0(k。【解】140)()(kknNWkxnX 所以 50122)()0(00030NNNkknNWWWWkxX jjjjNNNkknNeeeeWWWWkxX2242422103022220122)()1(242030220122)()2(jjNNNkknNeeWWWWkxX 32363030220122)()3(jjNNNkkn

28、NeeWWWWkxX 证明题：19设)(kX表示长度为 N 的有限长序列)(nx的 DFT。（1）证明如果)(nx满足关系式.)1()(nNxnx 则0)0(X（2）证明当 N 为偶数时，如果 )1()(nNxnx 则0)2(NX 解 （1）121201010010)1()()()()0()()(NNnNnNnNnNNnnkNnNxnxnxWnxXWnxkX 令mnN1 012120)()()0(NnNnmxnxX 显然可得 0)0(X（2）1010)1)()()2(NnnNnjknxenxNX（将 n 分为奇数和偶数两部分表示）120121202)1)(12()1)(2(NrrNrrrxrx

29、 120120)12()2(NrNrrxrx 1221)12()21(120120krNrxrNxNrNr令 .12002)12()12(NrNkrxrx 显然可得 0)2(NX 简答题：21 在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么？怎样才能减小这种效应？解：因为为采样时没有满足采样定理 减小这种效应的方法：采样时满足采样定理，采样前进行滤波，滤去高于折叠频率2sf的频率成分。22试说明离散傅里叶变换与Z变换之间的关系。解：离散傅立叶变换是 Z 变换在单位圆上的等间隔采样。三、离散傅立叶变换性质 填空题：1已知序列3,2,1,0;1,3,2,2kkx，序列长度4N，写出序列)2(4kRkx

30、N的值（）。解：3,2,1,0;1,2,2,33,2,1,0;3,0,1,2)2(4kkxxxxkRkxN 2 已知4,3,2,1,0;0,1,1,0,1,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1knhknx，则nx和nh的 5 点循环卷积为（）。解：32kkkkxkhkx 4,3,2,1,0;2,3,3,1,0)3()2(55kkxkxkx.3已知3,2,1,0;1,1,2,4,3,2,1,0;2,0,2,3knhknx则nhnx和的 4点循环卷积为（）。解：73462023421114211142211432 1 00 1 2330 1 2230 1 1 230 xxxxhhhhhhhhhh

31、hhhhhh 证明题：4试证N点序列 nx的离散傅立叶变换 kX满足Parseval恒等式 2102101NmNkkXNnx 证：10210*11NmNmmXmXNmXN 21010*1010*10*101)(1NkNkNmmkNNkNmNkmkNkxkxkxWmXNkxWkxmXN 5)()(nXkx和是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的对称性：)()(1nxkXN 证明略。6)(nx长为N的有限长序列，)(),(nxnxoe分别为)(nx的圆周共轭偶部及奇部，也即)(*)(21)(*)(nNxnxnNxnxee.)(*)(21)(*)(nNxnxnNxnxoo 证明：)(Im)(

32、)(Re)(KXjnxDFTKXnxDFToe 证 )(*)(21)(*)(21)(*)(NeenxnxnNxnxnNxnx )(Re)(*)(21kXkXkX)(*)(21)(*)(21)(*)(NoonxnxnNxnxnNxnx)(Im)(*)(21kXjkXkX 7若NkNxnXDFTkXnxDFT)()(),()(求证 证：10)(1)(NkknNWkXNnx （1）10)()(NkknNWnxkX （2）由（2）10)()(NkknNWnxkX，将nk与互换，则有 10)()(NnknNWkxnX（这应该是反变换公式）10)(1NkknNWkNxN（用kk 代替，且求和取主值区）10

33、)(1NknkNWkNxN 与（1）比较 所以NkNxnX)()(8若)()(kXIDFTnx，求证)()(1)(nRnXNkxIDFTNN。.证：10)(1)(NkknNWkxNkxIDFS 1010)(21010)(1)(11NrNrnrkNNkknNNrrkNWrXNWWrXNN 而 N lNnr 10)(NknrkNW （l为整数）0 lNnr 所以 )(1)(1)(2nXNNnlNXNkxIDFS 于是 )()(1)()(1)(nRnXNnRnXNkxIDFTNNN 9令)(kX表示 N 点序列)(nx的 N 点 DFT，试证明：（a）如果)(nx满足关系式)1()(nNxnx，则0

34、)0(X。（b）当 N 为偶数时，如果)1()(nNxnx，则0)2(NX。证：10)()(NnnkNWnxkX )1,.,1,0(Nk （a）10)()0(NnnxX N 为偶数：120120)1()()0(NnNnnNxnxX 0)()()1()(120120NnNnnxnxnNxnx N 为奇数：)21()1()()0(12101210NxnNxnxXNnNn.)21(0)21()()()21()1()()21(12101210NxNxnxnxNxnNxnxNxNnNn 而)(nx中间的一项应当满足：)21()211()21(nxNNxNx 因此必然有 0)21(nX 这就是说，当 N

35、为奇数时，也有0)0(X。（b）当 N 为偶数：10102)1)()()2(NnnNnNnNnxWnxNX 12011201201120)1)()1()1)()1)(1()1)(NnnNNnnNnnNNnnnxnxnNxnx 当 N 为偶数时，1N为奇数，故1)1(1N；又由于,)1()1(nn故有 0)1)()1)()2(120120NnnNnnnxnxNX 10设)()(kXnxDFT，求证)()(nNNxkXDFT。【解】因为 nkNnNkNWW)(根据题意 10)(1)(NknkNWkXNnx 10)()()(NknNkNWkXnNNx.因为 nkNnNkNWW)(所以 )()()(1

36、0kXDFTWkXnNNxNkknN 11证明：若)(nx为实偶对称，即)()(nNxnx，则)(kX也为实偶对称。【解】根据题意 10)()(NnnkNWnxkX 的周期性质再利用nkNNnknNWWnNx10)()(10)()(NnkNnNNWnNx 下面我们令mnN进行变量代换，则 1)()()(NmmkNNWmxkX 又因为)(nx为实偶对称,所以0)()0(Nxx，所以 0)()(0)()0()()0(kNNmkNNkNNWxWNxWx 可将上式写为 0)()(1)0()()(kNNmkNNNmWxWmxkX NmmkNNWmx0)()(NkNNNmmkNNWNxWmx)(0)()(

37、)(10)()(NmmkNNWmx 所以 )()()(10)(kNXWmxkXNmmkNN 即证。注意：若)(nx为奇对称，即)()(nNxnx，则)(kX为纯虚数并且奇对.称，证明方法同上。计算题：12已知)30()1()(),30(1)(nnynnnxn，用圆周卷积法求)(nx和)(ny的线性卷积)(nz。解：4,3,2,1)(nx 30 n，1,1,1,1)(ny 30 n 因为)(nx的长度为41N,)(ny的长度为42N 所以)()()(nynxnz的长度为7121NNN,故应求周期7N的圆周卷积)()(nynx的值，即)()()()()()(10nRmnymxnynxnzNNm 所

38、以60,4,1,3,2,2,1,1)()()(nnynxnz 13序列3,2,1)(为na，序列1,2,3)(为nb。（1）求线性卷积 nbna（2）若用基 2 FFT 的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，FFT 至少应取多少点？解：（1）nmnbmanbnanw)()()()()(所以3,8,14,8,3)()()(nbnanw，40 n（2）若用基 2FFT 的循环卷积法（快速卷积）来完成两序列的线性卷积 运 算，因 为)(na的 长 度 为31N；所 以 nbna得 长 度 为5121NNN。故 FFT 至少应取823点。.14有限长为 N=100 的两序列 01)

39、(nx 9911100nn 101)(ny 99908910nnn 做出)(),(nynx示意图，并求圆周卷积)()()(nynxnf及做图。解 )(),(nynx示意图略，圆周卷积)()()(nynxnf 9010090,10191,9292,8393,7494,6595,5696,4797,3898,2999,110011nnnnnnnnnnnnnf 15已知)(nx是长度为 N 的有限长序列，)()(nxDFTkX，现将)(nx的每两点之间补进1r个零值，得到一个长为rN的有限 长序列)(ny 0)()(rnxny 1,1,0,1,1,0,NiirnNiirn 求：DFT)(ny与)(k

40、X的关系。解：因为0)()(10NllkNWlxkX 10Nk knrNNrrlrNnknrNWrnxWnykY12,010)()()(令lrn.1012,0)(0)1()()()(rmNrrllkNmNkXNrkXNkXkXWlx 101)1(121010rNkrNkNrNkNNkrNk其他 16 已知)(nx是 N 点有限长序列，)()(nxDFTkX。现将长度变成rN点的有限长序列)(ny 0)()(nxny 110rNnNNn 试求rN点 DFT)(ny与)(kX的关系。解：由10,)()()(102NkenxnxDFTkXNnnkNj 可得 1010)()()()(NnnkrNrNn

41、nkrNWnxWnynyDFTkY 1,1,0,)(102NllrkrkXenxNnrknNj 所以在一个周期内，)(kY的抽样点数是rkX的)(倍，相当于在)(kX的每两个值之间插入1r个其他的数值（不一定为零），而当rk为的整数l倍时，rkXkY与)(相等。17已知)(nx是 N 点有限长序列，)()(nxDFTkX。现将)(nx的每两点之间补进1r个零值点，得到一个rN点的有限长序列)(ny.0)()(rnxny nNiirn其他1,1,0,试求rN点 DFT)(ny与)(kX的关系。解：由10,)()()(10NkWnxnxDFTkXNnnkN 可得 10)()()(rNnnkrNWn

42、ynyDFTkY 10,)()(1010rNkWixWrirxNnikNNiirkrN 而 )()()(kRkXkYrNN 所以)(kY是将)(kX（周期为 N）延拓r次形成的，即)(kY周期为rN。18 已知序列)3()2(2)1(3)(4)(nnnnnx和它的 6 点离散傅立叶变换)(kX。（1）若有限长序列)(ny的 6 点离散傅立叶变换为)()(46kXWkYk，求)(ny。（2）若有限长序列)(nu的 6 点离散傅立叶变换为)(kX的实部，即)(Re)(kXkU，求)(nu。（3）若有限长序列)(nv的 3 点离散傅立叶变换)2()(kXkV)2,1,0(k，求)(nv。解：（1）由

43、)()(46kXWkYk知，)(ny是)(nx向右循环移位 4 的结果，即 6)4()(nxny )1()(2)5(3)4(4nnnn （2）506)3()2(2)1(3)(4)(nnkWnnnnkX.kkkWWW36266234 kkkWWWkX36266234)()()(21)(RekXkXkX kkkkkkWWWWWW362663626623423421 kkkKkkWWWWWW364656362662323821 kkkkkWWWWW56463626632223821 由上式得到 )5(23)4()3()2()1(23)(4)(nnnnnnnu （3）5332035050326)()(

44、)()()2(nnknnknnnknkWnxWnxWnxWnxkX 2,1,0,)3()()3()()3()(2032033320320)3(3203kWnxnxWnxWWnxWnxWnxnnknnkknnknnknnk 由于 )2()()(203kXWnvkVnnk 2,1,0,)3()(203kWnxnxnnk 所以 2,1,0),3()()(nnxnxnv 即 2)5()2()2(3)4()1()1(5)3()0()0(xxvxxvxxv 或 )2(2)1(3)(5)(nnnnv 19 令)(kX表示 N 点的序列)(nx的 N 点离散傅里叶变换，)(kX本身也是一个 N 点的序列。如果

45、计算)(kX的离散傅里叶变换得到一序列.)(1nx，试用)(nx求)(1nx。解 1010)(1010101)()()()(NnNknnkNnkNNkNnnkNNknkNWnxWWnxWkXnx 因为 10)(0NknnkNNW 其他Nlnn 所以 11)()()()(NnNNnRnNxNlnNxnx 20为了说明循环卷积计算（用 DFT 算法），分别计算两矩形序列)()(nRnxN的卷积，如果)()(6nRnx，求 （1）两个长度为 6 点的 6 点循环卷积。（2）两个长度为 6 点的 12 点循环卷积。【解】这是循环卷积的另一个例子。令 其他010121Lnnxnx 图 3-6 中6L，N

46、 定义为 DFT 长度。若LN，则 N 点 DFT 为 其他00)()(1021kNWkXkXNnknN n1nxN1(a)如果我们将1kX和2kX直接相乘，得.其他00)()(2213kNkXkXkX 由此可得 Nnx3 10Nn 这个结果绘在图 3-6 中。显然，由于序列Nmnx)(2是对于1mx旋转，则乘积Nmnxmx)(21的和始终等于 N。当然也可以把1nx和2nx看作是 2L 点循环卷积，只要给他们增补 L个零即可。若我们计算增长序列的 2L 点循环卷积，就得到图 3-7 所示序列。可以看出它等于有限长序列1nx和2nx的线性卷积。注意如图 3-7 所，LN2时 kNLkNWWkX

47、kX1121 所以图 3-7（e）中矩形序列3nx的 DFT 为（LN2）2311kNLkNWWkX 循环卷积的性质可以表示为 2121kXkXnxnxDFT 考虑到 DFT 关系的对偶性，自然两个 N 点序列乘积的 DFT 等于他们对英的离散傅里叶变换的循环卷积。具体地说，若213nxnxnx，则 10213)(1NlNlkXlXNkX 或 12121kXkXNnxnxDFT 21设)(nx是一个 2N 点序列，具有如下性质 )()(nxNnx 10Nn 另设)()()(1nRnxnxN，它的 N 点 DFT 为)(1kX。.求)(nx得 2N 点 DFT)(kX和)(1kX的关系。【答案】

48、22)(1kXkDFTX 22已知某信号序列2,1,2,3)(kf，2,4,3,2)(kh，试计算（1）)(kf和)(kh的循环卷积和)()(khkf；（2）)(kf和)(kh的线性卷积和)()(khkf；（3）写出利用循环卷积计算线性卷积的步骤。【答案】（1）)3(21)2(20)1(13)(6)(khkhkhkhky （2）)6(4)5(10)4(14)3(21)2(20)1(13)(6)(khkhkhkhkhkhkhky （3）略 23如图表示一个5点序列)(nx。（1）试画出)()(nxnx（2）试画出)()(5nxnx 01234123 nx 解：01234123n nxnx5678

49、1421041369.01234513101110)()(5nxnx 简答题：24试述用DFT计算离散线性卷积的方法。解：计算长度为 M,N 两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为M+N-1,而后求补零后两序列的 DFT，并求其乘积，最后求乘积后序列的 IDFT，可得原两序列的线性卷积。25已知)(),(kYkX是两个N点实序列)(),(nynx的DFT值，今需要从)(),(kYkX求)(),(nynx的值，为了提高运算效率，试用一个N点IFFT运算一次完成。解：依据题意 )()(),()(kYnykXnx 取序列 )()()(kjYkXkZ 对)(kZ作 N 点 IFFT 可得序列)(nz

50、。又根据 DFT 性质 )()()()()()(njynxkYjIDFTkXIDFTkjYkXIDFT由 原 题 可知，)(),(nynx都 是 实 序 列。再 根 据)()()(njynxnz，可 得 )(Im)()(Re)(nznynznx .四、频域取样 填空题：1从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。采用的方法，从时域角度看是（）；从频域角度看是（）。解：采样值对相应的内插函数的加权求和加低通，频域截断 2由频域采样)(kX恢复)(jeX时可利用内插公式，它是用（）值对（）函数加权后求和。解：)(kX 内插 3频域N点采样造成时域的周期延拓，其周期是（）。解：NT（频