2014年江苏省高考数学试卷.doc

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1、第 1 页（共 29 页）2014 年江苏省高考数学试卷年江苏省高考数学试卷一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分）分）1 （5 分）已知集合 A=2，1，3，4，B=1，2，3，则 AB= 2 （5 分）已知复数 z=（5+2i）2（i 为虚数单位） ，则 z 的实部为 3 （5 分）如图是一个算法流程图，则输出的 n 的值是 4 （5 分）从 1，2，3，6 这 4 个数中一次随机抽取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 5 （5 分）已知函数 y=cosx 与 y=sin（2x+） （0） ，它们的图象有一个

2、横坐标为的交点，则 的值是 6 （5 分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的底部周长（单位：cm） ，所得数据均在区间80，130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 60 株树木中，有 株树木的底部周长小于 100cm7 （5 分）在各项均为正数的等比数列an中，若 a2=1，a8=a6+2a4，则 a6的值第 2 页（共 29 页）是 8 （5 分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是 9 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x+2y3=0 被圆（x2）2+（y+1）2=4截得的弦长为

3、 10 （5 分）已知函数 f（x）=x2+mx1，若对于任意 xm，m+1，都有 f（x）0 成立，则实数 m 的取值范围是 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y=ax2+（a，b 为常数）过点P（2，5） ，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行，则 a+b 的值是 12 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB=8，AD=5，=3，=2，则的值是 13 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x0，3）时，f（x）=|x22x+|，若函数 y=f（x）a 在区间3，4上有 10 个零点（互不相同） ，则实数

4、a 的取值范围是 14 （5 分）若ABC 的内角满足 sinA+sinB=2sinC，则 cosC 的最小值是 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分）分）15 （14 分）已知 （，） ，sin=（1）求 sin（+）的值；（2）求 cos（2）的值第 3 页（共 29 页）16 （14 分）如图，在三棱锥 PABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，已知 PAAC，PA=6，BC=8，DF=5求证：（1）直线 PA平面 DEF；（2）平面 BDE平面 ABC17 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2分别为椭圆+

5、=1（ab0）的左、右焦点，顶点 B 的坐标为（0，b） ，连接 BF2并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连接 F1C（1）若点 C 的坐标为（，） ，且 BF2=，求椭圆的方程；（2）若 F1CAB，求椭圆离心率 e 的值18 （16 分）如图，为保护河上古桥 OA，规划建一座新桥 BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心 M 在线段OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处，点 C 位于点 O 正东方向 170

6、m处（OC 为河岸） ，tanBCO=（1）求新桥 BC 的长；第 4 页（共 29 页）（2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？19 （16 分）已知函数 f（x）=ex+ex，其中 e 是自然对数的底数（1）证明：f（x）是 R 上的偶函数；（2）若关于 x 的不等式 mf（x）ex+m1 在（0，+）上恒成立，求实数 m的取值范围；（3）已知正数 a 满足：存在 x01，+） ，使得 f（x0）a（x03+3x0）成立，试比较 ea1与 ae1的大小，并证明你的结论20 （16 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，若对任意的正整数 n，总存在正整数m，使得 Sn=am，则称an是

7、“H 数列”（1）若数列an的前 n 项和为 Sn=2n（nN*） ，证明：an是“H 数列”；（2）设an是等差数列，其首项 a1=1，公差 d0，若an是“H 数列”，求 d 的值；（3）证明：对任意的等差数列an，总存在两个“H 数列”bn和cn，使得an=bn+cn（nN*）成立三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分） （一）选择题（本题包括（一）选择题（本题包括21、22、23、24 四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）个小题评分） 【选修选修 4-1：

8、几何证明选讲：几何证明选讲】21 （10 分）如图，AB 是圆 O 的直径，C，D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点，证明：OCB=D第 5 页（共 29 页）【选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换】22 （10 分）已知矩阵 A=，B=，向量=，x，y 为实数，若 A=B，求 x+y 的值【选修选修 4-3：极坐标及参数方程：极坐标及参数方程】23在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程（t 为参数） ，直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 AB 两点，则线段 AB 的长为 【选修选修 4-4：不等式选讲：不等式选讲】24已知 x0，y0，证明（1+x+y2） （1+x

9、2+y）9xy( (二）必做题（本部分包括二）必做题（本部分包括 25、26 两题，每题两题，每题 10 分，共计分，共计 20 分）分）25 （10 分）盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球，3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同（1）从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率 P；（2）从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量 X 表示 x1，x2，x3中的最大数，求 X 的概率分布和数学期望 E（X） 26 （10 分）已知函数 f0（x）=（x0） ，设 fn（x）为 fn1（x）的导数，nN*（1）求

10、2f1（）+f2（）的值；第 6 页（共 29 页）（2）证明：对任意 nN*，等式|nfn1（）+fn（）|=都成立第 7 页（共 29 页）2014 年江苏省高考数学试卷年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分）分）1 （5 分）已知集合 A=2，1，3，4，B=1，2，3，则 AB= 1，3 【分析】根据集合的基本运算即可得到结论【解答】解：A=2，1，3，4，B=1，2，3，AB=1，3，故答案为：1，3【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2 （5 分）已知复

11、数 z=（5+2i）2（i 为虚数单位） ，则 z 的实部为 21 【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=254+20i=21+20i，故 z 的实部为 21，故答案为：21【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础3 （5 分）如图是一个算法流程图，则输出的 n 的值是 5 第 8 页（共 29 页）【分析】算法的功能是求满足 2n20 的最小的正整数 n 的值，代入正整数 n 验证可得答案【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足 2n20 的最小的正整数 n 的值，24=1620，25=322

12、0，输出 n=5故答案为：5【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键4 （5 分）从 1，2，3，6 这 4 个数中一次随机抽取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 【分析】首先列举并求出“从 1，2，3，6 这 4 个数中一次随机抽取 2 个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取 2 个数的乘积为 6”的事件的个数，利用概率公式计算即可【解答】解：从 1，2，3，6 这 4 个数中一次随机抽取 2 个数的所有基本事件有（1，2） ， （1，3） ， （1，6） ， （2，3） ， （2，6） ， （3，6）共 6 个，所取 2 个数

13、的乘积为 6 的基本事件有（1，6） ， （2，3）共 2 个，故所求概率 P=第 9 页（共 29 页）故答案为：【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件5 （5 分）已知函数 y=cosx 与 y=sin（2x+） （0） ，它们的图象有一个横坐标为的交点，则 的值是 【分析】由于函数 y=cosx 与 y=sin（2x+） ，它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=根据 的范围和正弦函数的单调性即可得出【解答】解：函数 y=cosx 与 y=sin（2x+） ，它们的图象有一个横坐标为的交点，=0，+=，解得 =故答案为：【点评】本题考查了三角函数的图

14、象与性质、三角函数求值，属于基础题6 （5 分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的底部周长（单位：cm） ，所得数据均在区间80，130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 60 株树木中，有 24 株树木的底部周长小于 100cm第 10 页（共 29 页）【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高组距底部求出周长小于 100cm的频率，再根据频数=样本容量频率求出底部周长小于 100cm 的频数【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于 100cm 的频率为（0.015+0.025）10=0.4，底部周长小于 100cm 的频数为 600.4=24（株） 故

15、答案为：24【点评】本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高组距=7 （5 分）在各项均为正数的等比数列an中，若 a2=1，a8=a6+2a4，则 a6的值是 4 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为 q0，a10a8=a6+2a4，化为 q4q22=0，解得 q2=2a6=122=4故答案为：4【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题8 （5 分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2，若第 11 页（共 29 页）它们的侧面积相等，且=，则的值是 【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，

16、通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为 R，r；高分别为 H，h；=，它们的侧面积相等，=故答案为：【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目9 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x+2y3=0 被圆（x2）2+（y+1）2=4截得的弦长为 【分析】求出已知圆的圆心为 C（2，1） ，半径 r=2利用点到直线的距离公式，算出点 C 到直线直线 l 的距离 d，由垂径定理加以计算，可得直线 x+2y3=0 被圆截得的弦长【解答】解：圆（x2）2+（y+1）2=4 的圆心为 C（2，1） ，半径 r=2，点 C 到直线直

17、线 x+2y3=0 的距离 d=，根据垂径定理，得直线 x+2y3=0 被圆（x2）2+（y+1）2=4 截得的弦长为 2=2=故答案为：【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直第 12 页（共 29 页）线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题10 （5 分）已知函数 f（x）=x2+mx1，若对于任意 xm，m+1，都有 f（x）0 成立，则实数 m 的取值范围是 （，0） 【分析】由条件利用二次函数的性质可得 ，由此求得 m 的范围【解答】解：二次函数 f（x）=x2+mx1 的图象开口向上，对于任意 xm，m+1，都有 f（x）0 成立，

18、即 ，解得m0，故答案为：（，0） 【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y=ax2+（a，b 为常数）过点P（2，5） ，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行，则 a+b 的值是 3 【分析】由曲线 y=ax2+（a，b 为常数）过点 P（2，5） ，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行，可得 y|x=2=5，且 y|x=2=，解方程可得答案【解答】解：直线 7x+2y+3=0 的斜率 k=，曲线 y=ax2+（a，b 为常数）过点 P（2，5） ，且该曲线在点

19、 P 处的切线与直线7x+2y+3=0 平行，第 13 页（共 29 页）y=2ax，解得：，故 a+b=3，故答案为：3【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到 y|x=2=5，且 y|x=2=，是解答的关键12 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB=8，AD=5，=3，=2，则的值是 22 【分析】由=3，可得=+，=，进而由AB=8，AD=5，=3，=2，构造方程，进而可得答案【解答】解：=3，=+，=，又AB=8，AD=5，=（+）（）=|2|2=2512=2，故=22，故答案为：22【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面

20、向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=，是解答的关键第 14 页（共 29 页）13 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x0，3）时，f（x）=|x22x+|，若函数 y=f（x）a 在区间3，4上有 10 个零点（互不相同） ，则实数 a 的取值范围是 （0，） 【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线 y=a 的图象，利用数形结合判断 a 的范围即可【解答】解：f（x）是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x0，3）时，f（x）=|x22x+|，若函数 y=f（x）a 在区间3，4上有 10 个零点（互不相同） ，在同一坐标系中画出函数 f（x）与

21、 y=a 的图象如图：由图象可知故答案为：（0，） 【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用14 （5 分）若ABC 的内角满足 sinA+sinB=2sinC，则 cosC 的最小值是 【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论【解答】解：由正弦定理得 a+b=2c，得 c=（a+b） ，由余弦定理得 cosC=第 15 页（共 29 页）=，当且仅当时，取等号，故cosC1，故 cosC 的最小值是故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计

22、 90 分）分）15 （14 分）已知 （，） ，sin=（1）求 sin（+）的值；（2）求 cos（2）的值【分析】 （1）通过已知条件求出 cos，然后利用两角和的正弦函数求sin（+）的值；（2）求出 cos2，然后利用两角差的余弦函数求 cos（2）的值【解答】解：（，） ，sin=cos=（1）sin（+）=sincos+cossin=；sin（+）的值为：（2）（，） ，sin=cos2=12sin2=，sin2=2sincos=cos（2）=coscos2+sinsin2=cos（2）的值为：【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力16 （

23、14 分）如图，在三棱锥 PABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，第 16 页（共 29 页）已知 PAAC，PA=6，BC=8，DF=5求证：（1）直线 PA平面 DEF；（2）平面 BDE平面 ABC【分析】 （1）由 D、E 为 PC、AC 的中点，得出 DEPA，从而得出 PA平面DEF；（2）要证平面 BDE平面 ABC，只需证 DE平面 ABC，即证 DEEF，且DEAC 即可【解答】证明：（1）D、E 为 PC、AC 的中点，DEPA，又PA平面 DEF，DE平面 DEF，PA平面 DEF；（2）D、E 为 PC、AC 的中点，DE=PA=3；又E、F 为

24、AC、AB 的中点，EF=BC=4；DE2+EF2=DF2，DEF=90，DEEF；DEPA，PAAC，DEAC；ACEF=E，DE平面 ABC；DE平面 BDE，平面 BDE平面 ABC【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、第 17 页（共 29 页）线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目17 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2分别为椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，顶点 B 的坐标为（0，b） ，连接 BF2并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连接 F1C（1）若点 C 的坐标为（，） ，且

25、 BF2=，求椭圆的方程；（2）若 F1CAB，求椭圆离心率 e 的值【分析】 （1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出 a，b 的值（2）求出 C 的坐标，利用 F1CAB 建立斜率之间的关系，解方程即可求出 e 的值【解答】解：（1）C 的坐标为（，） ，即，a2=（）2=2，即 b2=1，则椭圆的方程为+y2=1（2）设 F1（c，0） ，F2（c，0） ，B（0，b） ，直线 BF2：y=x+b，代入椭圆方程+=1（ab0）得（）第 18 页（共 29 页）x2=0，解得 x=0，或 x=，A（，） ，且 A，C 关于 x 轴对称，C（，） ，则=，F1CAB，（）=1，由 b2=a

26、2c2得，即 e=【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大18 （16 分）如图，为保护河上古桥 OA，规划建一座新桥 BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心 M 在线段OA 上并与 BC 相切的圆，且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处，点 C 位于点 O 正东方向 170m处（OC 为河岸） ，tanBCO=（1）求新桥 BC 的长；（2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？第 19 页（共 29

27、页）【分析】 （1）在四边形 AOCB 中，过 B 作 BEOC 于 E，过 A 作 AFBE 于 F，设出 AF，然后通过解直角三角形列式求解 BE，进一步得到 CE，然后由勾股定理得答案；（2）设 BC 与M 切于 Q，延长 QM、CO 交于 P，设 OM=xm，把 PC、PQ 用含有 x 的代数式表示，再结合古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m 列式求得 x 的范围，得到 x 取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大【解答】解：（1）如图，过 B 作 BEOC 于 E，过 A 作 AFBE 于 F，ABC=90，BEC=90，ABF=BCE，设 AF=4x（m

28、） ，则 BF=3x（m） AOE=AFE=OEF=90，OE=AF=4x（m） ，EF=AO=60（m） ，BE=（3x+60）m第 20 页（共 29 页），CE=（m） （m） ，解得：x=20BE=120m，CE=90m，则 BC=150m；（2）如图，设 BC 与M 切于 Q，延长 QM、CO 交于 P，POM=PQC=90，PMO=BCO设 OM=xm，则 OP=m，PM=mPC=m，PQ=m设M 半径为 R，R=MQ=m=mA、O 到M 上任一点距离不少于 80m，则 RAM80，ROM80，136（60x）80，136x80解得：10x35当且仅当 x=10 时 R 取到最大值

29、第 21 页（共 29 页）OM=10m 时，保护区面积最大【点评】本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题19 （16 分）已知函数 f（x）=ex+ex，其中 e 是自然对数的底数（1）证明：f（x）是 R 上的偶函数；（2）若关于 x 的不等式 mf（x）ex+m1 在（0，+）上恒成立，求实数 m的取值范围；（3）已知正数 a 满足：存在 x01，+） ，使得 f（x0）a（x03+3x0）成立，试比较 ea1与 ae1的大小，并证明你的结论【分析】 （1）根据函数奇偶性的定义即可证明 f（x）是 R 上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式

30、mf（x）ex+m1 在（0，+）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数 m 的取值范围；（3）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论【解答】解：（1）f（x）=ex+ex，f（x）=ex+ex=f（x） ，即函数：f（x）是 R 上的偶函数；（2）若关于 x 的不等式 mf（x）ex+m1 在（0，+）上恒成立，即 m（ex+ex1）ex1，x0，ex+ex10，即 m在（0，+）上恒成立，设 t=ex， （t1） ，则 m在（1，+）上恒成立，第 22 页（共 29 页）=，当且仅当 t=2 时等号成立，m（3）令 g（x）=ex+exa（x3+3x）

31、 ，则 g（x）=exex+3a（x21） ，当 x1，g（x）0，即函数 g（x）在1，+）上单调递增，故此时 g（x）的最小值 g（1）=e+2a，由于存在 x01，+） ，使得 f（x0）a（x03+3x0）成立，故 e+2a0，即 a（e+） ，令 h（x）=x（e1）lnx1，则 h（x）=1，由 h（x）=1=0，解得 x=e1，当 0xe1 时，h（x）0，此时函数单调递减，当 xe1 时，h（x）0，此时函数单调递增，h（x）在（0，+）上的最小值为 h（e1） ，注意到 h（1）=h（e）=0，当 x（1，e1）（0，e1）时，h（e1）h（x）h（1）=0，当 x（e1，e

32、）（e1，+）时，h（x）h（e）=0，h（x）0，对任意的 x（1，e）成立a（e+） ，e）（1，e）时，h（a）0，即 a1（e1）lna，从而ea1ae1，当 a=e 时，ae1=ea1，第 23 页（共 29 页）当 a（e，+）（e1，+）时，当 ae1 时，h（a）h（e）=0，即a1（e1）lna，从而 ea1ae1【点评】本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大20 （16 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，若对任意的正整数 n，总存在正整数m，使得 Sn=am，则称an是“H 数列”（1）若数列an的前 n

33、项和为 Sn=2n（nN*） ，证明：an是“H 数列”；（2）设an是等差数列，其首项 a1=1，公差 d0，若an是“H 数列”，求 d 的值；（3）证明：对任意的等差数列an，总存在两个“H 数列”bn和cn，使得an=bn+cn（nN*）成立【分析】 （1）利用“当 n2 时，an=SnSn1，当 n=1 时，a1=S1”即可得到 an，再利用“H”数列的意义即可得出（2）利用等差数列的前 n 项和即可得出 Sn，对nN*，mN*使 Sn=am，取n=2 和根据 d0 即可得出；（3）设an的公差为 d，构造数列：bn=a1（n1）a1=（2n）a1，cn=（n1）（a1+d） ，可证

34、明bn和cn是等差数列再利用等差数列的前 n 项和公式及其通项公式、 “H”的意义即可得出【解答】解：（1）当 n2 时，an=SnSn1=2n2n1=2n1，当 n=1 时，a1=S1=2当 n=1 时，S1=a1当 n2 时，Sn=an+1数列an是“H”数列（2）Sn=，对nN*，mN*使 Sn=am，即，第 24 页（共 29 页）取 n=2 时，得 1+d=（m1）d，解得，d0，m2，又 mN*，m=1，d=1（3）设an的公差为 d，令 bn=a1（n1）a1=（2n）a1，对nN*，bn+1bn=a1，cn=（n1） （a1+d） ，对nN*，cn+1cn=a1+d，则 bn+

35、cn=a1+（n1）d=an，且数列bn和cn是等差数列数列bn的前 n 项和 Tn=，令 Tn=（2m）a1，则当 n=1 时，m=1；当 n=2 时，m=1当 n3 时，由于 n 与 n3 的奇偶性不同，即 n（n3）为非负偶数，mN*因此对nN*，都可找到 mN*，使 Tn=bm成立，即bn为 H 数列数列cn的前 n 项和 Rn=，令 cm=（m1） （a1+d）=Rn，则 m=对nN*，n（n3）为非负偶数，mN*因此对nN*，都可找到 mN*，使 Rn=cm成立，即cn为 H 数列因此命题得证【点评】本题考查了利用“当 n2 时，an=SnSn1，当 n=1 时，a1=S1”求 a

36、n、等差数列的前 n 项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分） （一）选择题（本题包括（一）选择题（本题包括21、22、23、24 四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两第 25 页（共 29 页）个小题评分）个小题评分） 【选修选修 4-1：几何证明选讲：几何证明选讲】21 （10 分）如图，AB 是圆 O 的直径，C，D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点，证明：OC

37、B=D【分析】利用 OC=OB，可得OCB=B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论【解答】证明：OC=OB，OCB=B，B=D，OCB=D【点评】本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题【选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换】22 （10 分）已知矩阵 A=，B=，向量=，x，y 为实数，若 A=B，求 x+y 的值【分析】利用矩阵的乘法，结合 A=B，可得方程组，即可求 x，y 的值，从而求得 x+y 的值【解答】解：矩阵 A=，B=，向量=，A=B，x=，y=4，x+y=【点评】本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题第 26 页（共 29 页

38、）【选修选修 4-3：极坐标及参数方程：极坐标及参数方程】23在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程（t 为参数） ，直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 AB 两点，则线段 AB 的长为 【分析】直线 l 的参数方程化为普通方程，与抛物线 y2=4x 联立，求出 A，B 的坐标，即可求线段 AB 的长【解答】解：直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，化为普通方程为x+y=3，与抛物线 y2=4x 联立，可得 x210x+9=0，交点 A（1，2） ，B（9，6） ，|AB|=8故答案为：8【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属

39、于基础题【选修选修 4-4：不等式选讲：不等式选讲】24已知 x0，y0，证明（1+x+y2） （1+x2+y）9xy【分析】由均值不等式可得 1+x+y23，1+x2+y，两式相乘可得结论【解答】证明：由均值不等式可得 1+x+y23，1+x2+y分别当且仅当 x=y2=1，x2=y=1 时等号成立，两式相乘可得（1+x+y2） （1+x2+y）9xy【点评】本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键( (二）必做题（本部分包括二）必做题（本部分包括 25、26 两题，每题两题，每题 10 分，共计分，共计 20 分）分）第 27 页（共 29 页）25 （10 分）盒中共有 9 个球，

40、其中有 4 个红球，3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同（1）从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率 P；（2）从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量 X 表示 x1，x2，x3中的最大数，求 X 的概率分布和数学期望 E（X） 【分析】 （1）先求出取 2 个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断 X 的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可【解答】解（1）一次取 2 个球共有=36 种可能，2 个球颜色相同共有=10 种可能情

41、况取出的 2 个球颜色相同的概率 P=（2）X 的所有可能值为 4，3，2，则 P（X=4）=，P（X=3）=于是 P（X=2）=1P（X=3）P（X=4）=，X 的概率分布列为 X 234P 故 X 数学期望 E（X）=【点评】本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础题第 28 页（共 29 页）26 （10 分）已知函数 f0（x）=（x0） ，设 fn（x）为 fn1（x）的导数，nN*（1）求 2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意 nN*，等式|nfn1（）+fn（）|=都成立【分析】 （1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先

42、将原函数化为：xf0（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=sinx，把 x=代入式子求值；（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx 和 2f1（x）+xf2（x）=sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把 x=代入所给的式子求解验证【解答】解：（1）f0（x）=，xf0（x）=sinx，则两边求导，xf0（x）=（sinx），fn（x）为 fn1（x）的导数，nN*，f0（x）

43、+xf1（x）=cosx，两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=sinx，将 x=代入上式得，2f1（）+f2（）=1，（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+） ，恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=sinx=sin（x+） ，再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=cosx=sin（x+） ，同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2） ，猜想得，nfn1（x）+xfn（x）=sin（x+）对任意 nN*恒成立，下面用数学归纳法进行证明等式成立：第 29 页（共 29 页）当 n=1 时，成

44、立，则上式成立；假设 n=k（k1 且 kN*）时等式成立，即，kfk1（x）+xfk（x）=kfk1（x）+fk（x）+xfk（x）=（k+1）fk（x）+xfk+1（x）又=，那么 n=k+1（k1 且 kN*）时等式也成立，由得，nfn1（x）+xfn（x）=sin（x+）对任意 nN*恒成立，令 x=代入上式得，nfn1（）+fn（）=sin（+）=cos=，所以，对任意 nN*，等式|nfn1（）+fn（）|=都成立【点评】本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力