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1、2019年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1（5分）已知集合A1，0，1，6，Bx|x0，xR，则AB 2（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是 3（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是 4（5分）函数y的定义域是 5（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 6（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 7（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21（b0）经过点（3，4），则该双曲
2、线的渐近线方程是 8（5分）已知数列an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项和若a2a5+a80，S927，则S8的值是 9（5分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥EBCD的体积是 10（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线yx+（x0）上的一个动点，则点P到直线x+y0的距离的最小值是 11（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线ylnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（e，1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是 12（5分）如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE2EA，AD与CE交于点O若6，则的值是 13（5分）已知
3、，则sin（2+）的值是 14（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数当x（0，2时，f（x），g（x）其中k0若在区间（0，9上，关于x的方程f（x）g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若a3c，b，cosB，求c的值；（2）若，求sin（B+）的值16（14分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，ABBC
4、求证：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E17（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+1（ab0）的焦点为F1（1，0），F2（1，0）过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x1）2+y24a2交于点A，与椭圆C交于点D连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1已知DF1（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标18（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆
5、O的半径已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB10，AC6，BD12（单位：百米）（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离19（16分）设函数f（x）（xa）（xb）（xc），a，b，cR，f（x）为f（x）的导函数（1）若abc，f（4）8，求a的值；（2）若ab，bc，且f（x）和f（x）的零点均在集合3，1，3中，求f（x）的极小值；（3）若a0，0b1，c1，且f（x）的极大值为M，求证：M20
6、（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”（1）已知等比数列an（nN*）满足：a2a4a5，a34a2+4a10，求证：数列an为“M数列”；（2）已知数列bn（nN*）满足：b11，其中Sn为数列bn的前n项和求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“M数列”cn（nN*），对任意正整数k，当km时，都有ckbkck+1成立，求m的最大值【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）21（10分）已知矩阵A（1）求A2；（
7、2）求矩阵A的特征值B.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）22（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线l的方程为sin（+）3（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离C.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）23（10分）设xR，解不等式|x|+|2x1|2【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24（10分）设（1+x）na0+a1x+a2x2+anxn，n4，nN*已知a322a2a4（1）求n的值；（2）设（1+）na+b，其中a，bN*，求a23b2的值2
8、5（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集An（0，0），（1，0），（2，0），（n，0），Bn（0，1），（n，1），n（0，2），（1，2），（2，2），（n，2），nN*令MnAnBnn从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离（1）当n1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n3），求概率P（Xn）（用n表示）2019年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1（5分）已知集合A1，0，1，6，Bx|x0，xR，则AB1，6【解答】解：A1，0，1，6，Bx|x0，xR，AB1
9、，0，1，6x|x0，xR1，6故答案为：1，62（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是2【解答】解：（a+2i）（1+i）（a2）+（a+2）i的实部为0，a20，即a2故答案为：23（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是5【解答】解：模拟程序的运行，可得x1，S0S0.5不满足条件x4，执行循环体，x2，S1.5不满足条件x4，执行循环体，x3，S3不满足条件x4，执行循环体，x4，S5此时，满足条件x4，退出循环，输出S的值为5故答案为：54（5分）函数y的定义域是1，7【解答】解：由7+6xx20，得x26x70，解得：1x7函数y的
10、定义域是1，7故答案为：1，75（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：（6+7+8+8+9+10）8，该组数据的方差为：S2（68）2+（78）2+（88）2+（88）2+（98）2+（108）2故答案为：6（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m+7，选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p故答案为：7（5分
11、）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21（b0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是y【解答】解：双曲线x21（b0）经过点（3，4），解得b22，即b又a1，该双曲线的渐近线方程是y故答案为：y8（5分）已知数列an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项和若a2a5+a80，S927，则S8的值是16【解答】解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，则，解得8（5）+5616故答案为：169（5分）如图，长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥EBCD的体积是10【解答】解：长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，ABBCDD11
12、20，三棱锥EBCD的体积：VEBCDABBCDD110故答案为：1010（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线yx+（x0）上的一个动点，则点P到直线x+y0的距离的最小值是4【解答】解：由yx+（x0），得y1，设斜率为1的直线与曲线yx+（x0）切于（x0，），由，解得（x00）曲线yx+（x0）上，点P（）到直线x+y0的距离最小，最小值为故答案为：411（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线ylnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（e，1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是（e，1）【解答】解：设A（x0，lnx0），由ylnx，得y，则该曲线在点A处的切线方程为yln
13、x0，切线经过点（e，1），即，则x0eA点坐标为（e，1）故答案为：（e，1）12（5分）如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE2EA，AD与CE交于点O若6，则的值是【解答】解：设（），+（）（1）+，（），+，66（）（+）（+）+，+，3，故答案为：13（5分）已知，则sin（2+）的值是【解答】解：由，得，解得tan2或tan当tan2时，sin2，cos2，sin（2+）；当tan时，sin2，cos2，sin（2+）综上，sin（2+）的值是故答案为：14（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函
14、数当x（0，2时，f（x），g（x）其中k0若在区间（0，9上，关于x的方程f（x）g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是，）【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）（1x2，3x4，5x6，7x8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）g（x）有8个不同的实数根，则f（x），x（0，2与g（x）k（x+2），x（0，1的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kxy+2k0的距离为1，得，解得k（k0），两点（2，0），（1，1）连线的斜率k，k即k的取值范围为，）故答案为：，）二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，
15、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若a3c，b，cosB，求c的值；（2）若，求sin（B+）的值【解答】解：（1）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，ca3c，b，cosB，由余弦定理得：cosB，解得c（2），由正弦定理得：，2sinBcosB，sin2B+cos2B1，sinB，cosB，sin（B+）cosB16（14分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，ABBC求证：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E【解答】证明：（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分
16、别为BC，AC的中点，DEAB，ABA1B1，DEA1B1，DE平面DEC1，A1B1平面DEC1，A1B1平面DEC1解：（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，E是AC的中点，ABBCBEAA1，BEAC，又AA1ACA，BE平面ACC1A1，C1E平面ACC1A1，BEC1E17（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+1（ab0）的焦点为F1（1，0），F2（1，0）过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x1）2+y24a2交于点A，与椭圆C交于点D连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1已知DF1（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的
17、坐标【解答】解：（1）如图，F2AF2B，F2ABF2BA，F2A2aF2D+DAF2D+F1D，ADF1D，则DAF1DF1A，DF1AF2BA，则F1DBF2，c1，b2a21，则椭圆方程为，取x1，得，则AD2a又DF1，解得a2（a0）椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（1，0），则BF2：y，联立，得21x218x390解得x11或（舍）即点E的坐标为（1，）18（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点
18、O的距离均不小于圆O的半径已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB10，AC6，BD12（单位：百米）（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AMBM，即有DMAC6，BM6，AM8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，6），B（8，12），D（8，0）（1）设点P（x1，0），PBAB，则kBPkAB1，即1，解得x117，
19、所以P（17，0），PB15；（2）当QAAB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则kQAkAB1，即1，解得x2，Q（，0），由178，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），由（1）（2）可得a17，b，由两点的距离公式可得PB2（a+8）2+144225，当且仅当a17时，d|PB|取得最小值15，又QA2b2+36225，则b3，当d最小时，a17，b3，PQ17+319（16分）设函数f（x）（xa）（xb）（xc），a，b，cR，f（x）为f（x）的导函数（1
20、）若abc，f（4）8，求a的值；（2）若ab，bc，且f（x）和f（x）的零点均在集合3，1，3中，求f（x）的极小值；（3）若a0，0b1，c1，且f（x）的极大值为M，求证：M【解答】解：（1）abc，f（x）（xa）3，f（4）8，（4a）38，4a2，解得a2（2）ab，bc，设f（x）（xa）（xb）2令f（x）（xa）（xb）20，解得xa，或xbf（x）（xb）2+2（xa）（xb）（xb）（3xb2a）令f（x）0，解得xb，或xf（x）和f（x）的零点均在集合A3，1，3中，若：a3，b1，则A，舍去a1，b3，则A，舍去a3，b3，则1A，舍去a3，b1，则A，舍去a1，
21、b3，则A，舍去a3，b3，则1A，因此a3，b3，1A，可得：f（x）（x3）（x+3）2f（x）3x（3）（x1）可得x1时，函数f（x）取得极小值，f（1）24232（3）证明：a0，0b1，c1，f（x）x（xb）（x1）f（x）（xb）（x1）+x（x1）+x（xb）3x2（2b+2）x+b4（b+1）212b4b24b+44+33令f（x）3x2（2b+2）x+b0解得：x1，x2x1x2，x1+x2，x1x2，可得xx1时，f（x）取得极大值为M，f（x1）（2b+2）x1+b0，令x1t，可得：bMf（x1）x1（x1b）（x11）t（tb）（t1），M令g（t）6t3+12t
22、28t+2，g（t）18t2+24t82（3t2）20，函数g（t）在t上单调递减，0tg（t）0M0函数M（t）在t上单调递增，M（t）20（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”（1）已知等比数列an（nN*）满足：a2a4a5，a34a2+4a10，求证：数列an为“M数列”；（2）已知数列bn（nN*）满足：b11，其中Sn为数列bn的前n项和求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“M数列”cn（nN*），对任意正整数k，当km时，都有ckbkck+1成立，求m的最大值【解答】解：（1）设等比数列an的公比为q，则由a2a4a5，a34a2+4a10，得，数列an首
23、项为1且公比为正数即数列an为“M数列”；（2）b11，当n1时，b22，当n2时，b33，当n3时，b44，猜想bnn，下面用数学归纳法证明；（i）当n1时，b11，满足bnn，（ii）假设nk时，结论成立，即bkk，则nk+1时，由，得k+1，故nk+1时结论成立，根据（i）（ii）可知，bnn对任意的nN*都成立故数列bn的通项公式为bnn；设cn的公比为q，存在“M数列”cn（nN*），对任意正整数k，当km时，都有ckbkck+1成立，即qk1kqk对km恒成立，当k1时，q1，当k2时，当k3，两边取对数可得，对km有解，即，令f（x），则，当x3时，f（x）0，此时f（x）递减，
24、当k3时，令g（x），则，令，则，当x3时，（x）0，即g（x）0，g（x）在3，+）上单调递减，即k3时，则，下面求解不等式，化简，得3lnm（m1）ln30，令h（m）3lnm（m1）ln3，则h（m）ln3，由k3得m3，h（m）0，h（m）在3，+）上单调递减，又由于h（5）3ln54ln3ln125ln810，h（6）3ln65ln3ln216ln2430，存在m0（5，6）使得h（m0）0，m的最大值为5，此时q，【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-2：
25、矩阵与变换（本小题满分10分）21（10分）已知矩阵A（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值【解答】解：（1）AA2（2）矩阵A的特征多项式为：f（）25+4，令f（）0，则由方程25+40，得1或4，矩阵A的特征值为1或4B.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）22（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线l的方程为sin（+）3（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离【解答】解：（1）设极点为O，则在OAB中，由余弦定理，得AB2OA2+OB22OA，AB；（2）由直线l的方程sin（+）3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），点B到直线l的距
26、离为C.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）23（10分）设xR，解不等式|x|+|2x1|2【解答】解：|x|+|2x1|，|x|+|2x1|2，或或，x1或x或x，不等式的解集为x|x或x1【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24（10分）设（1+x）na0+a1x+a2x2+anxn，n4，nN*已知a322a2a4（1）求n的值；（2）设（1+）na+b，其中a，bN*，求a23b2的值【解答】解：（1）由（1+x）nC+Cx+Cx2+Cxn，n4，可得a2C，a3C，a4C，a322a2a4，
27、可得（）22，解得n5；（2）方法一、（1+）5C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5a+b，由于a，bN*，可得aC+3C+9C1+30+4576，bC+3C+9C44，可得a23b2762344232；方法二、（1+）5C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5a+b，（1）5C+C（）+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5CC+C（）2C（）3+C（）4C（）5，由于a，bN*，可得（1）5ab，可得a23b2（1+）5（1）5（13）53225（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集An（0，0），（1，0），（2，0），（n，0），Bn（0，1），（n，1），n（0，
28、2），（1，2），（2，2），（n，2），nN*令MnAnBnn从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离（1）当n1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n3），求概率P（Xn）（用n表示）【解答】解：（1）当n1时，X的所有可能取值为1，2，X的概率分布为P（X1）；P（X）；P（X2）；P（X）；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从Mn中取出的两个点，因为P（Xn）1P（Xn），所以只需考虑Xn的情况，若bd，则ABn，不存在Xn的取法；若b0，d1，则AB，所以Xn当且仅当AB，此时a0cn或an，c0，有两种情况；若b0，d2，则AB，所以Xn当且仅当AB，此时a0cn或an，c0，有两种情况；若b1，d2，则AB，所以Xn当且仅当AB，此时a0cn或an，c0，有两种情况；综上可得当Xn，X的所有值是或，且P（X），P（X），可得P（Xn）1P（X）P（X）1第23页（共23页）