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1、第 1 页（共 29 页）2014 年江西省高考数学试卷（理科）年江西省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，每小题给出的四个选分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） 是 z 的共轭复数，若 z+ =2， （z ）i=2（i 为虚数单位） ，则 z=（ ）A1+i B1iC1+i D1i2 （5 分）函数 f（x）=ln（x2x）的定义域为（ ）A （0，1）B0，1 C （，0）（1，+） D （，01，+）3 （5 分）已知函数 f（x）=5|x|，
2、g（x）=ax2x（aR） ，若 fg（1）=1，则a=（ ）A1B2C3D14 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c2=（ab）2+6，C=，则ABC 的面积为（ ）A3BCD35 （5 分）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）ABCD6 （5 分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系，随机抽查了 52 名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）第 2 页（共 29 页）表 1成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表 2视力性别好差总
3、计男4 1620女122032总计163652表 3智商性别偏高正常总计男81220第 3 页（共 29 页）女82432总计163652表 4阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652A成绩B视力C智商D阅读量7 （5 分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A7B9C10D118 （5 分）若 f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（ ）A1BCD19 （5 分）在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB为直径的圆 C 与直线 2x+y4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为（ ）A B C （62）D
4、10 （5 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12一质点从顶点 A 射向点 E（4，3，12） ，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理）第 4 页（共 29 页），将第 i1 次到第 i 次反射点之间的线段记为 li（i=2，3，4） ，l1=AE，将线段l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）ABCD二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共一题记分，本题共 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
5、分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的不等式选做题求的不等式选做题11 （5 分）对任意 x，yR，|x1|+|x|+|y1|+|y+1|的最小值为（ ）A1B2C3D4第 5 页（共 29 页）坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题12若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y=1x（0x1）的极坐标方程为（ ）A=，0B=，0C=cos+sin，0D=cos+sin，0三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13 （5 分）10 件产品中有 7 件正品，3 件次品，从中任取 4
6、 件，则恰好取到 1件次品的概率是 14 （5 分）若曲线 y=ex上点 P 的切线平行于直线 2x+y+1=0，则点 P 的坐标是 15 （5 分）已知单位向量与的夹角为 ，且 cos=，向量 =32与=3的夹角为 ，则 cos= 16 （5 分）过点 M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：+=1（ab0）相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 五、解答题：本大题共五、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤17 （12 分）已知函数 f（x）=sin（x+）+acos
7、（x+2） ，其中 aR，（，）（1）当 a=，=时，求 f（x）在区间0，上的最大值与最小值；（2）若 f（）=0，f（）=1，求 a， 的值18 （12 分）已知首项是 1 的两个数列an，bn（bn0，nN*）满足anbn+1an+1bn+2bn+1bn=0第 6 页（共 29 页）（1）令 cn=，求数列cn的通项公式；（2）若 bn=3n1，求数列an的前 n 项和 Sn19 （12 分）已知函数 f（x）=（x2+bx+b）（bR）（1）当 b=4 时，求 f（x）的极值；（2）若 f（x）在区间（0，）上单调递增，求 b 的取值范围20 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，
8、ABCD 为矩形，平面 PAD平面 ABCD（1）求证：ABPD；（2）若BPC=90，PB=，PC=2，问 AB 为何值时，四棱锥 PABCD 的体积最大？并求此时平面 BPC 与平面 DPC 夹角的余弦值21 （13 分）如图，已知双曲线 C：y2=1（a0）的右焦点为 F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线 AFx 轴，ABOB，BFOA（O 为坐标原点） （1）求双曲线 C 的方程；（2）过 C 上一点 P（x0，y0） （y00）的直线 l：y0y=1 与直线 AF 相交于点M，与直线 x=相交于点 N证明：当点 P 在 C 上移动时，恒为定值，并求此定值第 7 页（共 29 页）
9、22 （14 分）随机将 1，2，2n（nN*，n2）这 2n 个连续正整数分成A、B 两组，每组 n 个数，A 组最小数为 a1，最大数为 a2；B 组最小数为 b1，最大数为 b2；记 =a2a1，=b2b1（1）当 n=3 时，求 的分布列和数学期望；（2）C 表示事件“ 与 的取值恰好相等”，求事件 C 发生的概率 P（C） ；（3）对（2）中的事件 C， 表示 C 的对立事件，判断 P（C）和 P（ ）的大小关系，并说明理由第 8 页（共 29 页）2014 年江西省高考数学试卷（理科）年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本
10、大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，每小题给出的四个选分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） 是 z 的共轭复数，若 z+ =2， （z ）i=2（i 为虚数单位） ，则 z=（ ）A1+i B1iC1+i D1i【分析】由题，先求出 z =2i，再与 z+ =2 联立即可解出 z 得出正确选项【解答】解：由于， （z ）i=2，可得 z =2i 又 z+ =2 由解得 z=1i故选：D【点评】本题考查复数的乘除运算，属于基本计算题2 （5 分）函数 f（x）=ln（x2x）的定义域为（ ）A （0，1）
11、B0，1 C （，0）（1，+） D （，01，+）【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域【解答】解：要使函数有意义，则 x2x0，即 x1 或 x0，故函数的定义域为（，0）（1，+） ，故选：C【点评】本题主要考查函数定义域的求法，比较基础3 （5 分）已知函数 f（x）=5|x|，g（x）=ax2x（aR） ，若 fg（1）=1，则a=（ ）A1B2C3D1第 9 页（共 29 页）【分析】根据函数的表达式，直接代入即可得到结论【解答】解：g（x）=ax2x（aR） ，g（1）=a1，若 fg（1）=1，则 f（a1）=1，即 5|a1|=1，则|a1|=0，解得 a=1，故选
12、：A【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件直接代入解方程即可，比较基础4 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c2=（ab）2+6，C=，则ABC 的面积为（ ）A3BCD3【分析】根据条件进行化简，结合三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：c2=（ab）2+6，c2=a22ab+b2+6，即 a2+b2c2=2ab6，C=，cos=，解得 ab=6，则三角形的面积 S=absinC=，故选：C【点评】本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出 ab=6 是解决本题的关键第 10 页（共 29 页）5 （5 分）一几何体的直观图如图所示，下列给出
13、的四个俯视图中正确的是（ ）ABCD【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可【解答】解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以 C、D 不正确；几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以 A 不正确，故选：B【点评】本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键6 （5 分）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系，随机抽查了 52 名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）表 1成绩性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表 2第 11 页（共 29 页）视力性别好差总计
14、男4 1620女122032总计163652表 3智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652表 4阅读量性别丰富不丰富总计男14620第 12 页（共 29 页）女23032总计163652A成绩B视力C智商D阅读量【分析】根据表中数据，利用公式，求出 X2，即可得出结论【解答】解：表 1：X2=0.009；表 2：X2=1.769；表 3：X2=1.3；表 4：X2=23.48，阅读量与性别有关联的可能性最大，故选：D【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题7 （5 分）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A7B9C10D
15、11【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及 S1 时，终止循环；再根据 S 的值求出终止循环时的 i 值即可【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=0S=lg3，不满足条件 1S，执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，不满足条件 1S，执行循环体，i=5，S=lg5+lg=lg7，不满足条件 1S，执行循环体，i=7，S=lg5+lg=lg9，第 13 页（共 29 页）不满足条件 1S，执行循环体，i=9，S=lg9+lg=lg11，满足条件 1S，跳出循环，输出 i 的值为 9故选：B【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，
16、属于基础题8 （5 分）若 f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（ ）A1BCD1【分析】把定积分项看成常数对两侧积分，化简求解即可【解答】解：令f（x）dx=t，对 f（x）=x2+2f（x）dx，两边积分可得：t=+2tdx=+2t，解得 t=f（x）dx=，故选：B【点评】本题考查定积分以及微积分基本定理的应用，是基础题9 （5 分）在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB为直径的圆 C 与直线 2x+y4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为（ ）A B C （62）D【分析】如图，设 AB 的中点为 C，坐标原点为 O，圆半径为 r，由已知得
17、|OC|=|CE|=r，过点 O 作直线 2x+y4=0 的垂直线段 OF，交 AB 于 D，交直线2x+y4=0 于 F，则当 D 恰为 AB 中点时，圆 C 的半径最小，即面积最小【解答】解：如图，设 AB 的中点为 C，坐标原点为 O，圆半径为 r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点 O 作直线 2x+y4=0 的垂直线段 OF，交 AB 于 D，交直线 2x+y4=0 于 F，第 14 页（共 29 页）则当 D 恰为 OF 中点时，圆 C 的半径最小，即面积最小此时圆的直径为 O（0，0）到直线 2x+y4=0 的距离为：d=，此时 r=圆 C 的面积的最小值为：Smin=（）2=
18、故选：A【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用10 （5 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12一质点从顶点 A 射向点 E（4，3，12） ，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第 i1 次到第 i 次反射点之间的线段记为 li（i=2，3，4） ，l1=AE，将线段l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）第 15 页（共 29 页）ABCD【分析】根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点，再利用两点
19、间的距离公式，求出距离，即可求解【解答】解：根据题意有：A 的坐标为：（0，0，0） ，B 的坐标为（11，0，0） ，C 的坐标为（11，7，0） ，D 的坐标为（0，7，0） ；A1的坐标为：（0，0，12） ，B1的坐标为（11，0，12） ，C1的坐标为（11，7，12） ，D1的坐标为（0，7，12） ；E 的坐标为（4，3，12）（1）l1长度计算所以：l1=|AE|=13第 16 页（共 29 页）（2）l2长度计算将平面 A1B1C1D1沿 Z 轴正向平移 AA1个单位，得到平面 A2B2C2D2；显然有：A2的坐标为：（0，0，24） ，B2的坐标为（11，0，24） ，C2
20、的坐标为（11，7，24） ，D2的坐标为（0，7，24） ；显然平面 A2B2C2D2和平面 ABCD 关于平面 A1B1C1D1对称设 AE 与的延长线与平面 A2B2C2D2相交于：E2（xE2，yE2，24）根据相似三角形易知：xE2=2xE=24=8，yE2=2yE=23=6，即：E2（8，6，24）根据坐标可知，E2在长方形 A2B2C2D2内根据反射原理，E2在平面 ABCD 上的投影即为 AE 反射光与平面 ABCD 的交点所以 F 的坐标为（8，6，0） 因此：l2=|EF|=13（3）l3长度计算设 G 的坐标为：（xG，yG，zG）如果 G 落在平面 BCC1B1；这个时
21、候有：xG=11，yG7，zG12根据反射原理有：AEFG于是：向量与向量共线；即有：=因为：=（4，3，12） ；=（xG8，yG6，zG0）=（3，yG6，zG）即有：（4，3，12）=（3，yG6，zG）解得：yG=，zG=9；故 G 的坐标为：（11，9）因为：7，故 G 点不在平面 BCC1B1上，所以：G 点只能在平面 DCC1D1上；第 17 页（共 29 页）因此有：yG=7；xG11，zG12此时：=（xG8，yG6，zG0）=（xG8，1，zG）即有：（4，3，12）=（xG8，1，zG）解得：xG=，zG=4；满足：xG11，zG12故 G 的坐标为：（，7，4）所以：l
22、3=|FG|=（4）l4长度计算设 G 点在平面 A1B1C1D1的投影为 G，坐标为（，7，12）因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；即：AEFGH 共面故 EG 的反射线 GH 只能与平面 A1B1C1D1相交，且交点 H 只能在 A1G；易知：l4|GG|=124=8l3根据以上解析，可知 l1，l2，l3，l4要满足以下关系：l1=l2；且 l4l3对比 ABCD 选项，可知，只有 C 选项满足以上条件故选：C【点评】本题主要考察的空间中点坐标的概念，两点间的距离公式，解法灵活，属于难题二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第二、选做题：请考生在下列两题
23、中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第第 18 页（共 29 页）一题记分，本题共一题记分，本题共 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的不等式选做题求的不等式选做题11 （5 分）对任意 x，yR，|x1|+|x|+|y1|+|y+1|的最小值为（ ）A1B2C3D4【分析】把表达式分成 2 组，利用绝对值三角不等式求解即可得到最小值【解答】解：对任意 x，yR，|x1|+|x|+|y1|+|y+1|=|x1|+|x|+|1y|+|y+1|x1x|+|1y+y+1|=3，当且仅当 x0，1，y1，1成立故选：C【点评】本
24、题考查绝对值三角不等式的应用，考查利用分段函数或特殊值求解不等式的最值的方法坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题12若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y=1x（0x1）的极坐标方程为（ ）A=，0B=，0C=cos+sin，0D=cos+sin，0【分析】根据直角坐标和极坐标的互化公式 x=cos，y=sin，把方程y=1x（0x1）化为极坐标方程【解答】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=cos，y=sin，y=1x（0x1） ，可得 cos+sin=1，即 =由 0x1，可得线段 y=1x（0x1）在第一象限，故极角 0，故选：A第 19 页
25、（共 29 页）【点评】本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角 的范围，属于基础题三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13 （5 分）10 件产品中有 7 件正品，3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到 1件次品的概率是 【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从 10 件中取 4件有 C104种结果，满足条件的事件是恰好有 1 件次品有 C73种结果，得到概率【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从 10 件中取 4 件有 C104种结果，满足条件的事件是恰好有
26、1 件次品有 C种结果，恰好有一件次品的概率是 P=故答案为：【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是利用组合数写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题14 （5 分）若曲线 y=ex上点 P 的切线平行于直线 2x+y+1=0，则点 P 的坐标是 （ln2，2） 【分析】先设 P（x，y） ，对函数求导，由在在点 P 处的切线与直线 2x+y+1=0 平行，求出 x，最后求出 y【解答】解：设 P（x，y） ，则 y=ex，y=ex，在点 P 处的切线与直线 2x+y+1=0 平行，ex=2，解得 x=ln2，y=ex=2，故 P（ln2，2） 第 20 页（共
27、 29 页）故答案为：（ln2，2） 【点评】本题考查了导数的几何意义，即点 P 处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用15 （5 分）已知单位向量与的夹角为 ，且 cos=，向量 =32与=3的夹角为 ，则 cos= 【分析】转化向量为平面直角坐标系中的向量，通过向量的数量积求出所求向量的夹角【解答】解：单位向量与的夹角为 ，且 cos=，不妨=（1，0） ，=，=32=（） ， =3=（） ，cos=故答案为：【点评】本题考查向量的数量积，两个向量的夹角的求法，考查计算能力16 （5 分）过点 M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：+=1（ab0）相交于 A，B 两点
28、，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 【分析】利用点差法，结合 M 是线段 AB 的中点，斜率为，即可求出椭圆 C的离心率【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则，M 是线段 AB 的中点，第 21 页（共 29 页）=1，=1，直线 AB 的方程是 y=（x1）+1，y1y2=（x1x2） ，过点 M（1，1）作斜率为的直线与椭圆 C：+=1（ab0）相交于A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，两式相减可得，即，a=b，=b，e=故答案为：【点评】本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，正确运用点差法是关键五、解答题：本大题共五、解答题：本大题共 6
29、小题，共小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤17 （12 分）已知函数 f（x）=sin（x+）+acos（x+2） ，其中 aR，（，）（1）当 a=，=时，求 f（x）在区间0，上的最大值与最小值；（2）若 f（）=0，f（）=1，求 a， 的值【分析】 （1）由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（x） ，再根据 x0，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值第 22 页（共 29 页）（2）由条件可得 （，） ，cosasin2=0 ，sinacos2=1 ，由这两个式子求出 a 和 的值
30、【解答】解：（1）当 a=，=时，f（x）=sin（x+）+acos（x+2）=sin（x+）+cos（x+）=sinx+cosxsinx=sinx+cosx=sin（x）=sin（x） x0，x，sin（x），1，sin（x）1，故 f（x）在区间0，上的最小值为1，最大值为（2）f（x）=sin（x+）+acos（x+2） ，aR，（，） ，f（）=0，f（）=1，cosasin2=0 ，sinacos2=1 ，由求得 sin=，由可得 cos2=再根据 cos2=12sin2，可得=12，求得 a=1，sin=，=综上可得，所求的 a=1，=【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公
31、式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题18 （12 分）已知首项是 1 的两个数列an，bn（bn0，nN*）满足anbn+1an+1bn+2bn+1bn=0（1）令 cn=，求数列cn的通项公式；（2）若 bn=3n1，求数列an的前 n 项和 Sn第 23 页（共 29 页）【分析】 （1）由 anbn+1an+1bn+2bn+1bn=0，cn=，可得数列cn是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，即可求数列cn的通项公式；（2）用错位相减法来求和【解答】解：（1）anbn+1an+1bn+2bn+1bn=0，cn=，cncn+1+2=0，cn+1cn=2，首项是 1 的两个数列an，bn
32、，数列cn是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，cn=2n1；（2）bn=3n1，cn=，an=（2n1）3n1，Sn=130+331+（2n1）3n1，3Sn=13+332+（2n1）3n，2Sn=1+2（31+3n1）（2n1）3n，Sn=（n1）3n+1【点评】本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题19 （12 分）已知函数 f（x）=（x2+bx+b）（bR）（1）当 b=4 时，求 f（x）的极值；（2）若 f（x）在区间（0，）上单调递增，求 b 的取值范围【分析】 （1）把 b=4 代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点对定义域分段，由
33、导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性，从而求得极第 24 页（共 29 页）值；（2）求出原函数的导函数，由导函数在区间（0，）上大于等于 0 恒成立，得到对任意 x（0，）恒成立由单调性求出的范围得答案【解答】解：（1）当 b=4 时，f（x）=（x2+4x+4）=（x） ，则=由 f（x）=0，得 x=2 或 x=0当 x2 时，f（x）0，f（x）在（，2）上为减函数当2x0 时，f（x）0，f（x）在（2，0）上为增函数当 0x时，f（x）0，f（x）在（0，）上为减函数当 x=2 时，f（x）取极小值为 0当 x=0 时，f（x）取极大值为 4；（2）由 f（x）=（x2+bx
34、+b），得：=由 f（x）在区间（0，）上单调递增，得 f（x）0 对任意 x（0，）恒成立即5x23bx+2x0 对任意 x（0，）恒成立对任意 x（0，）恒成立第 25 页（共 29 页）b 的取值范围是【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了数学转化思想方法，是中档题20 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，ABCD 为矩形，平面 PAD平面 ABCD（1）求证：ABPD；（2）若BPC=90，PB=，PC=2，问 AB 为何值时，四棱锥 PABCD 的体积最大？并求此时平面 BPC 与平面 DPC 夹角的余弦值【分析】 （1）要证 ADPD，
35、可以证明 AB面 PAD，再利用面面垂直以及线面垂直的性质，即可证明 ABPD（2）过 P 做 POAD 得到 PO平面 ABCD，作 OMBC，连接 PM，由边长关系得到 BC=，PM=，设 AB=x，则 VPABCD=，故当时，VPABCD取最大值，建立空间直角坐标系 OAMP，利用向量方法即可得到夹角的余弦值【解答】解：（1）在四棱锥 PABCD 中，ABCD 为矩形，ABAD，又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD，AB面 PAD，ABPD（2）过 P 做 POAD，PO平面 ABCD，作 OMBC，连接 PMPMBC，BPC=90，PB=，PC=2，第 26
36、页（共 29 页）BC=，PM=，BM=，设 AB=x，OM=xPO=，VPABCD=x=，当，即 x=，VPABCD=，建立空间直角坐标系 OAMP，如图所示，则 P（0，0，） ，D（，0，0） ，C（，0） ，M（0，0） ，B（，0）面 PBC 的法向量为 =（0，1，1） ，面 DPC 的法向量为 =（1，0，2）cos=由图可知二面角为锐角，即 cos【点评】本题考查线面位置关系、线线位置关系、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想21 （13 分）如图，已知双曲线 C：y2=1（a0）的右焦点为 F，点 A，B 分别在 C 的两条渐近线 AFx 轴，
37、ABOB，BFOA（O 为坐标原点） （1）求双曲线 C 的方程；（2）过 C 上一点 P（x0，y0） （y00）的直线 l：y0y=1 与直线 AF 相交于点M，与直线 x=相交于点 N证明：当点 P 在 C 上移动时，恒为定值，第 27 页（共 29 页）并求此定值【分析】 （1）依题意知，A（c，） ，设 B（t，） ，利用 ABOB，BFOA，可求得 a=，从而可得双曲线 C 的方程；（2）易求 A（2，） ，l 的方程为：y0y=1，直线 l：y0y=1 与直线AF 相交于点 M，与直线 x=相交于点 N，可求得 M（2，） ，N（，） ，于是化简=可得其值为，于是原结论得证【解答
38、】 （1）解：依题意知，A（c，） ，设 B（t，） ，ABOB，BFOA，=1，=，整理得：t=，a=，双曲线 C 的方程为y2=1；（2）证明：由（1）知 A（2，） ，l 的方程为：y0y=1，又 F（2，0） ，直线 l：y0y=1 与直线 AF 相交于点 M，与直线 x=相交于点N于是可得 M（2，） ，N（，） ，第 28 页（共 29 页）=【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，属于难题22 （14 分）随机将 1，2，2n（nN*，n2）这 2n 个连续正整数分成A、B 两组，每组 n
39、个数，A 组最小数为 a1，最大数为 a2；B 组最小数为 b1，最大数为 b2；记 =a2a1，=b2b1（1）当 n=3 时，求 的分布列和数学期望；（2）C 表示事件“ 与 的取值恰好相等”，求事件 C 发生的概率 P（C） ；（3）对（2）中的事件 C， 表示 C 的对立事件，判断 P（C）和 P（ ）的大小关系，并说明理由【分析】 （1）当 n=3 时， 的取值可能为 2，3，4，5，求出随机变量 的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望 E（2）根据 C 表示事件“ 与 的取值恰好相等”，利用分类加法原理，可得事件C 发生的概率 P（C）的表达式；（3）判断 P（C）和 P（ ）的
40、大小关系，即判断 P（C）和的大小关系，根据（2）的公式，可得答案【解答】解：（1）当 n=3 时， 的取值可能为 2，3，4，5其中 P（=2）=，P（=3）=，第 29 页（共 29 页）P（=4）=，P（=5）=，故随机变量 的分布列为： 2 3 4 5P 的数学期望 E（）=2+3+4+5=；（2）C 表示事件“ 与 的取值恰好相等”，P（C）=2（3）当 n=2 时，P（C）=2=，此时 P（ ）；即 P（ ）P（C） ；当 n3 时，P（C）=2，此时 P（ ）；即 P（ ）P（C） ；【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大