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1、第 1 页（共 25 页）2013 年湖北省高考数学试卷（文科）年湖北省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分.在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知全集 U=1，2，3，4，5，集合 A=1，2，B=2，3，4，则BA=（ ）A2 B3，4 C1，4，5D2，3，4，52 （5 分）已知，则双曲线 C1：与 C2：的（ ）A实轴长相等 B虚轴长相等 C离心率相等 D焦距相等3 （5 分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，
2、设命题 p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）A （p）（q）Bp（q） C （p）（q）Dpq4 （5 分）四名同学根据各自的样本数据研究变量 x，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：y 与 x 负相关且 =2.347x6.423；y 与 x 负相关且 =3.476x+5.648；y 与 x 正相关且 =5.437x+8.493；y 与 x 正相关且 =4.326x4.578其中一定不正确的结论的序号是（ ）ABCD5 （5 分）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为
3、了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是（ ）第 2 页（共 25 页）ABCD6 （5 分）将函数 y=cosx+sinx（xR）的图象向左平移 m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是（ ）ABCD7 （5 分）已知点 A（1，1） ，B（1，2） ，C（2，1） ，D（3，4） ，则向量在方向上的投影为（ ）ABCD8 （5 分）x 为实数，x表示不超过 x 的最大整数，则函数 f（x）=xx在 R 上为（ ）A奇函数 B偶函数 C增函数 D周期函数9 （5 分）某旅行社租用 A、B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A、B 两种车辆的载客量
4、分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆则租金最少为（ ）A31200 元B36000 元C36800 元D38400 元10 （5 分）已知函数 f（x）=x（lnxax）有两个极值点，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，0）B （0，）C （0，1） D （0，+）第 3 页（共 25 页）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 35 分请将答案填在答题卡对分请将答案填在答题卡对应题号的位置上应题号的位置上.答错位置，书写不清，
5、模棱两可均不得分答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11 （5 分）i 为虚数单位，设复数 z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若 z1=23i，则 z2= 12 （5 分）某学员在一次射击测试中射靶 10 次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4 则（）平均命中环数为 ；（）命中环数的标准差为 13 （5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序若输入 m 的值为 2，则输出的结果 i= 14 （5 分）已知圆 O：x2+y2=5，直线 l：xcos+ysin=1（0） 设圆 O上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 k，则 k= 15 （5 分）在区间2，4
6、上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为，则 m= 16 （5 分）我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸）第 4 页（共 25 页）17 （5 分）在平面直角坐标系中，若点 P（x，y）的坐标 x，y 均为整数，则称点 P 为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为 S，其内部的格点数记为 N，边界上的格点数记为 L例如图中ABC 是格点三角形，对应的
7、 S=1，N=0，L=4（）图中格点四边形 DEFG 对应的 S，N，L 分别是 ；（）已知格点多边形的面积可表示为 S=aN+bL+c 其中 a，b，c 为常数若某格点多边形对应的 N=71，L=18，则 S= （用数值作答） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 65 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤.18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）=1（）求角 A 的大小；（）若ABC 的面积 S=5，b=5，求 sinBsinC 的值19 （13 分）已
8、知 Sn是等比数列an的前 n 项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=18（）求数列an的通项公式；（）是否存在正整数 n，使得 Sn2013？若存在，求出符合条件的所有 n 的集合；若不存在，说明理由20 （13 分）如图，某地质队自水平地面 A，B，C 三处垂直向地下钻探，自 A点向下钻到 A1处发现矿藏，再继续下钻到 A2处后下面已无矿，从而得到在 A处正下方的矿层厚度为 A1A2=d1同样可得在 B，C 处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C1C2=d3，且 d1d2d3过 AB，AC 的中点 M，N 且与直线 AA2平行第 5 页（共 25 页）的平面截多面体 A
9、1B1C1A2B2C2所得的截面 DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为 S中（）证明：中截面 DEFG 是梯形；（）在ABC 中，记 BC=a，BC 边上的高为 h，面积为 S在估测三角形 ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体 A1B1C1A2B2C2的体积 V）时，可用近似公式 V估=S中h 来估算已知 V=（d1+d2+d3）S，试判断 V估与 V 的大小关系，并加以证明21 （13 分）设 a0，b0，已知函数 f（x）=（）当 ab 时，讨论函数 f（x）的单调性；（）当 x0 时，称 f（x）为 a、b 关于 x 的加权平均数（i）判断 f（1） ，f（） ，f（）是否成等
10、比数列，并证明 f（）f（） ；（ii）a、b 的几何平均数记为 G称为 a、b 的调和平均数，记为 H若Hf（x）G，求 x 的取值范围22 （14 分）如图，已知椭圆 C1与 C2的中心在坐标原点 O，长轴均为 MN 且在x 轴上，短轴长分别为 2m，2n（mn） ，过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A，B，C，D，记，BDM 和ABN 的面积分别为 S1和 S2（）当直线 l 与 y 轴重合时，若 S1=S2，求 的值；（）当 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S1=S2？并说明理由第 6 页（共 25 页）第 7 页（共 2
11、5 页）2013 年湖北省高考数学试卷（文科）年湖北省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分.在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知全集 U=1，2，3，4，5，集合 A=1，2，B=2，3，4，则BA=（ ）A2 B3，4 C1，4，5D2，3，4，5【分析】根据全集 U 和集合 A 先求出集合 A 的补集，然后求出集合 A 的补集与集合 B 的交集即可【解答】解：全集 U=1，2，3，4，5
12、，集合 A=1，2，B=2，3，4，则 CUA=3，4，5，又因为 B=2，3，4，则（CUA）B=3，4故选：B【点评】此题考查了补集及交集的运算，是一道基础题，学生在求补集时应注意全集的范围2 （5 分）已知，则双曲线 C1：与 C2：的（ ）A实轴长相等 B虚轴长相等 C离心率相等 D焦距相等【分析】通过双曲线的方程求出双曲线的实半轴的长，虚半轴的长，焦距即可得到结论【解答】解：双曲线 C1：可知a=sin，b=cos，2c=2（sin2+cos2）=2；第 8 页（共 25 页）双曲线 C2：可知，a=cos，b=sin，2c=2（sin2+cos2）=2；所以两条双曲线的焦距相等故选
13、：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力3 （5 分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题 p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）A （p）（q）Bp（q） C （p）（q）Dpq【分析】由命题 P 和命题 q 写出对应的p 和q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示【解答】解：命题 p 是“甲降落在指定范围”，则p 是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则q 是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在
14、指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（p）V（q） 故选：A【点评】本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题4 （5 分）四名同学根据各自的样本数据研究变量 x，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：y 与 x 负相关且 =2.347x6.423；y 与 x 负相关且 =3.476x+5.648；y 与 x 正相关且 =5.437x+8.493；第 9 页（共 25 页）y 与 x 正相关且 =4.326x4.578其中一定
15、不正确的结论的序号是（ ）ABCD【分析】由题意，可根据回归方程的一次项系数的正负与正相关或负相关的对应对四个结论作出判断，得出一定不正确的结论来，从而选出正确选项【解答】解：y 与 x 负相关且 =2.347x6.423；此结论误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；y 与 x 负相关且；此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征；y 与 x 正相关且； 此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征；y 与 x 正相关且此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征综上判断知，是一定不正确的故选：D【点评】本题考查线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应是解题的关键，本题是
16、记忆性的基础知识考查题，较易5 （5 分）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是（ ）ABC第 10 页（共 25 页）D【分析】解答本题，可先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项【解答】解：考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除 A；再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与 x 轴平行，由此排除D，之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段
17、内函数图象下降的比较快，由此可确定 C 正确，B 不正确故选：C【点评】本题考查函数的表示方法图象法，正确解答本题关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征6 （5 分）将函数 y=cosx+sinx（xR）的图象向左平移 m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是（ ）ABCD【分析】函数解析式提取 2 变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于 y 轴对称，即可求出 m 的最小值【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+） ，图象向左平移 m（m0）个单位长度得
18、到 y=2sin（x+m）+=2sin（x+m+） ，所得的图象关于 y 轴对称，第 11 页（共 25 页）m+=k+（kZ） ，则 m 的最小值为故选：B【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数 y=Asin（x+）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键7 （5 分）已知点 A（1，1） ，B（1，2） ，C（2，1） ，D（3，4） ，则向量在方向上的投影为（ ）ABCD【分析】先求出向量、，根据投影定义即可求得答案【解答】解：，则向量方向上的投影为：cos=，故选：A【点评】本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键
19、8 （5 分）x 为实数，x表示不超过 x 的最大整数，则函数 f（x）=xx在 R 上为（ ）A奇函数 B偶函数 C增函数 D周期函数【分析】依题意，可求得 f（x+1）=f（x） ，由函数的周期性可得答案【解答】解：f（x）=xx，f（x+1）=（x+1）x+1=x+1x1=xx=f（x） ，f（x）=xx在 R 上为周期是 1 的函数第 12 页（共 25 页）故选：D【点评】本题考查函数的周期性，理解题意，得到 f（x+1）=f（x）是关键，属于基础题9 （5 分）某旅行社租用 A、B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分
20、别为 1600 元/辆和 2400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆则租金最少为（ ）A31200 元B36000 元C36800 元D38400 元【分析】设分别租用 A、B 两种型号的客车 x 辆、y 辆，总租金为 z 元可得目标函数 z=1600x+2400y，结合题意建立关于 x、y 的不等式组，计算 A、B 型号客车的人均租金，可得租用 B 型车的成本比 A 型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用 B 型车，可使总租金最低由此设计方案并代入约束条件与目标函数验证，可得当 x=5、y=12 时，z 达到最小值 36800【解答】
21、解：设分别租用 A、B 两种型号的客车 x 辆、y 辆，所用的总租金为 z元，则z=1600x+2400y，其中 x、y 满足不等式组， （x、yN）A 型车租金为 1600 元，可载客 36 人，A 型车的人均租金是44.4 元，同理可得 B 型车的人均租金是=40 元，由此可得，租用 B 型车的成本比租用 A 型车的成本低因此，在满足不等式组的情况下尽可能多地租用 B 型车，可使总租金最低由此进行验证，可得当 x=5、y=12 时，可载客 365+6012=900 人，符合要求且此时的总租金 z=16005+240012=36800，达到最小值故选：C【点评】题给出实际应用问题，要求我们建
22、立目标函数和线性约束条件，并求第 13 页（共 25 页）目标函数的最小值，着重考查了简单的线性规划的应用的知识，属于基础题10 （5 分）已知函数 f（x）=x（lnxax）有两个极值点，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，0）B （0，）C （0，1） D （0，+）【分析】先求导函数，函数 f（x）=x（lnxax）有两个极值点，等价于 f（x）=lnx2ax+1 有两个零点，等价于函数 y=lnx 与 y=2ax1 的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象由图可求得实数 a 的取值范围【解答】解：函数 f（x）=x（lnxax） ，则 f（x）=lnxax+x（a）=lnx2
23、ax+1，令 f（x）=lnx2ax+1=0 得 lnx=2ax1，函数 f（x）=x（lnxax）有两个极值点，等价于 f（x）=lnx2ax+1 有两个零点，等价于函数 y=lnx 与 y=2ax1 的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当 a=时，直线 y=2ax1 与 y=lnx 的图象相切，由图可知，当 0a时，y=lnx 与 y=2ax1 的图象有两个交点则实数 a 的取值范围是（0，） 故选：B【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中第 14 页（共 25 页）常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，
24、由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 35 分请将答案填在答题卡对分请将答案填在答题卡对应题号的位置上应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11 （5 分）i 为虚数单位，设复数 z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若 z1=23i，则 z2= 2+3i 【分析】直接利用复数对应的点的坐标，求出对称点的坐标，即可得到复数z2【解答】解：设复数 z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，复数 z1，z2的实部相反，虚部相反，z1=2
25、3i，所以 z2=2+3i故答案为：2+3i【点评】本题考查复数的几何意义，对称点的坐标的求法，基本知识的应用12 （5 分）某学员在一次射击测试中射靶 10 次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4 则（）平均命中环数为 7 ；（）命中环数的标准差为 2 【分析】根据题中的数据，结合平均数、方差的计算公式，不难算出学员在一次射击测试中射击命中环数的平均数和方差，从而得到答案【解答】解：（I）根据条件中的数据，得学员在一次射击测试中命中环数的平均数是 =（7+8+7+9+5+4+9+10+7+4）=7，（II）可得学员在一次射击测试中命中环数的方差是 s2=（77）2+（87
26、）2+（47）2=4故答案为：7，2第 15 页（共 25 页）【点评】本题以求两人射击命中环数的平均数和方差为载体，考查了样本平均数、方差的计算公式和对特征数的处理等知识，属于基础题13 （5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序若输入 m 的值为 2，则输出的结果 i= 4 【分析】框图输入 m 的值后，根据对 A，B，i 的赋值执行运算i=i+1，A=Am，B=Bi，然后判断 AB 是否成立不成立继续执行循环，成立则跳出循环，输出 i 的值【解答】解：框图首先给累积变量 A，B 赋值 1，1，给循环变量 i 赋值 0若输入 m 的值为 2，执行 i=1+1，A=12=2，B=11=
27、1；判断 21 不成立，执行 i=1+1=2，A=22=4，B=12=2；判断 42 不成立，执行 i=2+1=3，A=42=8，B=23=6；判断 86 不成立，执行 i=3+1=4，A=82=16，B=64=24；判断 1624 成立，跳出循环，输出 i 的值为 4故答案为 4【点评】本题考查了循环结构中的直到型结构，即先执行后判断，不满足条件执行循环，直到满足条件跳出循环，算法结束，是基础题14 （5 分）已知圆 O：x2+y2=5，直线 l：xcos+ysin=1（0） 设圆 O第 16 页（共 25 页）上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 k，则 k= 4 【分析】找出圆 O
28、 的圆心坐标与半径 r，利用点到直线的距离公式求出圆心 O到直线 l 的距离 d，根据 d 与 r 的大小关系及 rd 的值，即可作出判断【解答】解：由圆的方程得到圆心 O（0，0） ，半径 r=，圆心 O 到直线 l 的距离 d=1，且 rd=11=d，圆 O 上到直线 l 的距离等于 1 的点的个数为 4，即 k=4故答案为：4【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，弄清题意是解本题的关键15 （5 分）在区间2，4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为，则 m= 3 【分析】画出数轴，利用 x 满足|x|m 的概率为，直接求出
29、m 的值即可【解答】解：如图区间长度是 6，区间2，4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为，所以 m=3故答案为：3【点评】本题考查几何概型的求解，画出数轴是解题的关键16 （5 分）我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 3 寸（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸）【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上地面面积即可得到答案【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为 14
30、 寸，第 17 页（共 25 页）下底面半径为 6 寸，高为 18 寸因为积水深 9 寸，所以水面半径为寸则盆中水的体积为（立方寸） 所以则平地降雨量等于（寸） 故答案为 3【点评】本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是基础题17 （5 分）在平面直角坐标系中，若点 P（x，y）的坐标 x，y 均为整数，则称点 P 为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为 S，其内部的格点数记为 N，边界上的格点数记为 L例如图中ABC 是格点三角形，对应的 S=1，N=0，L
31、=4（）图中格点四边形 DEFG 对应的 S，N，L 分别是 3，1，6 ；（）已知格点多边形的面积可表示为 S=aN+bL+c 其中 a，b，c 为常数若某格点多边形对应的 N=71，L=18，则 S= 79 （用数值作答） 【分析】 （）利用新定义，观察图形，即可求得结论；（）根据格点多边形的面积 S=aN+bL+c，结合图中的格点三角形 ABC 及格点四边形 DEFG，建立方程组，求出 a，b，c 即可求得 S第 18 页（共 25 页）【解答】解：（）观察图形，可得 S=3，N=1，L=6；（）不妨设某个格点四边形由两个小正方形组成，此时，S=2，N=0，L=6格点多边形的面积 S=a
32、N+bL+c，结合图中的格点三角形 ABC 及格点四边形 DEFG 可得，S=N+1将 N=71，L=18 代入可得 S=79故答案为：（）3，1，6；（）79【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，注意区分多边形内部格点数和边界格点数是关键三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 65 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤.18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c，已知cos2A3cos（B+C）=1（）求角 A 的大小；（）若ABC 的面积 S=5，b=5，求 sinBsinC
33、的值【分析】 （I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到 bc=20又 b=5，解得 c=4由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA=25+1620=21，即可得出 a又由正弦定理得即可得到即可得出【解答】解：（）由 cos2A3cos（B+C）=1，得 2cos2A+3cosA2=0，即（2cosA1） （cosA+2）=0，解得（舍去） 因为 0A，所以（）由 S=，得到 bc=20又 b=5，解得 c=4第 19 页（共 25 页）由余弦定理得 a2=b2+c22bccosA=25+1620=21，故又由正弦定理得【点评】熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导
34、公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键19 （13 分）已知 Sn是等比数列an的前 n 项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=18（）求数列an的通项公式；（）是否存在正整数 n，使得 Sn2013？若存在，求出符合条件的所有 n 的集合；若不存在，说明理由【分析】 （）设数列an的公比为 q，依题意，列出关于其首项 a1与公办 q 的方程组，解之即可求得数列an的通项公式；（）依题意，可求得 1（2）n2013，对 n 的奇偶性分类讨论，即可求得答案【解答】 （）设数列an的公比为 q，显然 q1，由题意得，由，解得 q=2，a3=12，故数列an的通项公
35、式为 an=a3qn3=12（2）n3=3（2）n1（）由（）有 an=（）（2）n若存在正整数 n，使得 Sn2013，则Sn=1（2）n，即 1（2）n2013，当 n 为偶数时，2n2012，上式不成立；当 n 为奇数时，1+2n2013，即 2n2012，则 n11综上，存在符合条件的正整数 n=2k+1（k5） ，且所有这样的 n 的集合为n|n=2k+1（k5）第 20 页（共 25 页）【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查等比数列的求和，考查分类讨论思想与方程思想，考查综合分析与推理运算能力，属于难题20 （13 分）如图，某地质队自水平地面 A，B，C 三处垂直向地下钻探，
36、自 A点向下钻到 A1处发现矿藏，再继续下钻到 A2处后下面已无矿，从而得到在 A处正下方的矿层厚度为 A1A2=d1同样可得在 B，C 处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C1C2=d3，且 d1d2d3过 AB，AC 的中点 M，N 且与直线 AA2平行的平面截多面体 A1B1C1A2B2C2所得的截面 DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为 S中（）证明：中截面 DEFG 是梯形；（）在ABC 中，记 BC=a，BC 边上的高为 h，面积为 S在估测三角形 ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体 A1B1C1A2B2C2的体积 V）时，可用近似公式 V估=S中h 来估算已知 V
37、=（d1+d2+d3）S，试判断 V估与 V 的大小关系，并加以证明【分析】 （）首先利用线面垂直、线面平行的性质及平行公理证出四边形DEFG 的一组对边相互平行，然后由梯形中位线知识证明一组对边不相等，则可证明中截面 DEFG 是梯形；（）由题意可证得 MN 是中截面梯形 DEFG 的高，根据四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形，利用梯形的中位线公式吧 DE，FG 用 d1，d2，d3表示，这样就能把 V估用含有 a，h，d1，d2，d3的代数式表示，把V=（d1+d2+d3）S 与 V估作差后利用 d1，d2，d3的大小关系可以判断出差的符号，及能判断 V估与 V 的大小关系【
38、解答】 （）依题意 A1A2平面 ABC，B1B2平面 ABC，C1C2平面 ABC，第 21 页（共 25 页）所以 A1A2B1B2C1C2，又 A1A2=d1，B1B2=d2，C1C2=d3，且 d1d2d3因此四边形 A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形由 AA2平面 MEFN，AA2平面 AA2B2B，且平面 AA2B2B平面 MEFN=ME，可得 AA2ME，即 A1A2DE同理可证 A1A2FG，所以 DEFG又 M，N 分别为 AB，AC 的中点，则 D，E，F，G 分别为 A1B1，A2B2，A2C2，A1C1 的中点，即 DE、FG 分别为梯形 A1A2B2B1、A1
39、A2C2C1的中位线因此 DE=，FG=，而 d1d2d3，故 DEFG，所以中截面 DEFG 是梯形；（）V估V证明：由 A1A2平面 ABC，MN平面 ABC，可得 A1A2MN而 EMA1A2，所以 EMMN，同理可得 FNMN由 MN 是ABC 的中位线，可得 MN=BC=a，即为梯形 DEFG 的高，因此，即又S=ah，所以于是=由 d1d20，d3d10，故 V估V【点评】本题考查直三棱柱的性质，体积，线面关系及空间想象能力，解答该题的关键是要有较强的空间想象能力，避免将各线面间的关系弄错，此题是中高档题21 （13 分）设 a0，b0，已知函数 f（x）=（）当 ab 时，讨论函
40、数 f（x）的单调性；（）当 x0 时，称 f（x）为 a、b 关于 x 的加权平均数（i）判断 f（1） ，f（） ，f（）是否成等比数列，并证明 f（）f（） ；第 22 页（共 25 页）（ii）a、b 的几何平均数记为 G称为 a、b 的调和平均数，记为 H若Hf（x）G，求 x 的取值范围【分析】 （）确定函数的定义域，利用导数的正负，结合分类讨论，即可求得数 f（x）的单调性；（） （i）利用函数解析式，求出 f（1） ，f（） ，f（） ，根据等比数列的定义，即可得到结论；（ii）利用定义，结合函数的单调性，即可确定 x 的取值范围【解答】解：（）函数的定义域为x|x1，当 ab
41、0 时，f（x）0，函数 f（x）在（，1） ， （1，+）上单调递增；当 0ab 时，f（x）0，函数 f（x）在（，1） ， （1，+）上单调递减（） （i）计算得 f（1）=，f（）=，f（）=f（1） ，f（） ，f（）成等比数列，a0，b0，f（）f（） ；（ii）由（i）知 f（）=，f（）=，故由 Hf（x）G，得 f（）f（x）f（） 当 a=b 时，f（）=f（x）=f（）=f（1）=a，此时 x 的取值范围是（0，+） ，当 ab 时，函数 f（x）在（0，+）上单调递增，这时有x，即 x 的取值范围为x；当 ab 时，函数 f（x）在（0，+）上单调递减，这时有x，即 x
42、 的第 23 页（共 25 页）取值范围为x【点评】本题考查函数的单调性，考查等比数列，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22 （14 分）如图，已知椭圆 C1与 C2的中心在坐标原点 O，长轴均为 MN 且在x 轴上，短轴长分别为 2m，2n（mn） ，过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A，B，C，D，记，BDM 和ABN 的面积分别为 S1和 S2（）当直线 l 与 y 轴重合时，若 S1=S2，求 的值；（）当 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S1=S2？并说明理由【分析】 （）设出两个椭圆的方程
43、，当直线 l 与 y 轴重合时，求出BDM 和ABN 的面积 S1和 S2，直接由面积比= 列式求 的值；（）假设存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S1=S2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出 M 和 N 到直线 l 的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到，换元后利用非零的 k 值存在讨论 的取值范围【解答】解：以题意可设椭圆 C1和 C2的方程分别为，其中 amn0，1（）如图 1，若直线 l 与 y 轴重合，即直线 l 的方程为 x=0，则第 24 页（共 25 页），所以在 C1和 C2的方程中分别令 x=
44、0，可得 yA=m，yB=n，yD=m，于是若，则，化简得 221=0，由 1，解得故当直线 l 与 y 轴重合时，若 S1=S2，则（）如图 2，若存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S1=S2，根据对称性，不妨设直线 l：y=kx（k0） ，点 M（a，0） ，N（a，0）到直线 l 的距离分别为 d1，d2，则，所以 d1=d2又，所以，即|BD|=|AB|由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|AB|=（1）|AB|，|AD|=|BD|+|AB|=（+1）|AB|，于是将 l 的方程分别与 C1和 C2的方程联立，可求得根据对称性可知 xC=xB，xD=xA，于是从而由和可得第 25 页（共 25 页）令，则由 mn，可得 t1，于是由可得因为 k0，所以 k20于是关于 k 有解，当且仅当，等价于，由 1，解得，即，由 1，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S1=S2；当时，存在与坐标轴不重合的直线 l，使得 S1=S2【点评】本题考查了三角形的面积公式，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，该题重点考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法， （）中判断 的存在性是该题的难题，考查了灵活运用函数和不等式的思想方法