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1、第 1 页（共 28 页）2015 年四川省高考数学试卷（理科）年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分。在每小题给出的四个分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。选项中，只有一个是符合题目要求的。1 （5 分）设集合 A=x|（x+1） （x2）0，集合 B=x|1x3，则 AB=（ ）Ax|1x3Bx|1x1Cx|1x2Dx|2x32 （5 分）设 i 是虚数单位，则复数 i3=（ ）AiB3iCiD3i3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出 s 的值为（ ）ABCD4 （5 分）下
2、列函数中，最小正周期为 且图象关于原点对称的函数是（ ）Ay=cos（2x+）By=sin（2x+）Cy=sin2x+cos2xDy=sinx+cosx5 （5 分）过双曲线 x2=1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条第 2 页（共 28 页）渐近线于 A、B 两点，则|AB|=（ ）AB2C6D46 （5 分）用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比40000 大的偶数共有（ ）A144 个B120 个C96 个D72 个7 （5 分）设四边形 ABCD 为平行四边形，|=6，|=4，若点 M、N 满足，则=（ ）A20B15C9D68 （5 分）设
3、a、b 都是不等于 1 的正数，则“3a3b3”是“loga3logb3”的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件9 （5 分）如果函数 f（x）=（m2）x2+（n8）x+1（m0，n0）在区间上单调递减，那么 mn 的最大值为（ ）A16B18C25D10 （5 分）设直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点，与圆（x5）2+y2=r2（r0）相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点，若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是（ ）A （1，3）B （1，4）C （2，3） D （2，4）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5
4、 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。11 （5 分）在（2x1）5的展开式中，含 x2的项的系数是 （用数字填写答案） 12 （5 分）sin15+sin75的值是 13 （5 分）某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储藏温度 x（单位：）满足函数关系 y=ekx+b（e=2.718为自然对数的底数，k、b 为常数） 若该食品在 0的保鲜时间是 192 小时，在 22的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33的保第 3 页（共 28 页）鲜时间是 小时14 （5 分）如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上，E
5、、F 分别为 AB、BC 的中点，设异面直线 EM 与 AF所成的角为 ，则 cos 的最大值为 15 （5 分）已知函数 f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中 aR） 对于不相等的实数x1、x2，设 m=，n=现有如下命题：对于任意不相等的实数 x1、x2，都有 m0；对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1、x2，都有 n0；对于任意的 a，存在不相等的实数 x1、x2，使得 m=n；对于任意的 a，存在不相等的实数 x1、x2，使得 m=n其中的真命题有 （写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程
6、或演分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。算步骤。16 （12 分）设数列an（n=1，2，3，）的前 n 项和 Sn满足 Sn=2ana1，且a1，a2+1，a3成等差数列（）求数列an的通项公式；（）记数列的前 n 项和为 Tn，求使得|Tn1|成立的 n 的最小值17 （12 分）某市 A、B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了 3 名男生、2 名女生，B 中学推荐了 3 名男生、4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人，女生中随机抽取 3 人组成代表队（）求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率；第 4 页
7、（共 28 页）（）某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X 表示参赛的男生人数，求 X 的分布列和数学期望18 （12 分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示在正方体中，设 BC 的中点为 M、GH 的中点为 N（）请将字母 F、G、H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） ；（）证明：直线 MN平面 BDH；（）求二面角 AEGM 的余弦值19 （12 分）如图，A、B、C、D 为平面四边形 ABCD 的四个内角（）证明：tan=；（）若 A+C=180，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求 tan+tan+tan+tan的值20 （
8、13 分）如图，椭圆 E：的离心率是，过点P（0，1）的动直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点，当直线 l 平行于 x 轴时，直线 l被椭圆 E 截得的线段长为 2（）求椭圆 E 的方程；（）在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q，使得恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由第 5 页（共 28 页）21 （14 分）已知函数 f（x）=2（x+a）lnx+x22ax2a2+a，其中 a0（）设 g（x）是 f（x）的导函数，讨论 g（x）的单调性；（）证明：存在 a（0，1） ，使得 f（x）0 在区间（1，+）内恒成立，且 f（x）=0 在区间（1，
9、+）内有唯一解第 6 页（共 28 页）2015 年四川省高考数学试卷（理科）年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分。在每小题给出的四个分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。选项中，只有一个是符合题目要求的。1 （5 分）设集合 A=x|（x+1） （x2）0，集合 B=x|1x3，则 AB=（ ）Ax|1x3Bx|1x1Cx|1x2Dx|2x3【分析】求解不等式得出集合 A=x|1x2，根据集合的并集可求解答案【解答】解：集合 A=x|（x+1） （
10、x2）0，集合 B=x|1x3，集合 A=x|1x2，AB=x|1x3，故选：A【点评】本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题2 （5 分）设 i 是虚数单位，则复数 i3=（ ）AiB3iCiD3i【分析】通分得出，利用 i 的性质运算即可【解答】解：i 是虚数单位，则复数 i3，=i，故选：C【点评】本题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出 s 的值为（ ）第 7 页（共 28 页）ABCD【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 k 的值，当 k=5 时满足条件 k4，计算并输出 S 的值为【解答】解：模拟执行程序
11、框图，可得k=1k=2不满足条件 k4，k=3不满足条件 k4，k=4不满足条件 k4，k=5满足条件 k4，S=sin=，输出 S 的值为故选：D【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题4 （5 分）下列函数中，最小正周期为 且图象关于原点对称的函数是（ ）Ay=cos（2x+）By=sin（2x+）Cy=sin2x+cos2xDy=sinx+cosx第 8 页（共 28 页）【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可【解答】解：y=cos（2x+）=sin2x，是奇函数，函数的周期为：，满足题意，所以 A 正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：，不
12、满足题意，所以 B 不正确；y=sin2x+cos2x=sin（2x+） ，函数是非奇非偶函数，周期为 ，所以 C 不正确；y=sinx+cosx=sin（x+） ，函数是非奇非偶函数，周期为 2，所以 D 不正确；故选：A【点评】本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力5 （5 分）过双曲线 x2=1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A、B 两点，则|AB|=（ ）AB2C6D4【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出 AB 的方程，得到 AB 坐标，即可求解|AB|【解答】解：双曲线 x2=1 的右焦点（2，0） ，渐近线方程为 y
13、=，过双曲线 x2=1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，x=2，可得 yA=2，yB=2，|AB|=4故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用第 9 页（共 28 页）6 （5 分）用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比40000 大的偶数共有（ ）A144 个B120 个C96 个D72 个【分析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是 4、5 其中 1 个，末位数字为 0、2、4 中其中 1 个；进而对首位数字分 2 种情况讨论，首位数字为 5时，首位数字为 4 时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原
14、理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案【解答】解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是 4、5 其中 1 个，末位数字为 0、2、4 中其中 1 个；分两种情况讨论：首位数字为 5 时，末位数字有 3 种情况，在剩余的 4 个数中任取 3 个，放在剩余的 3 个位置上，有 A43=24 种情况，此时有 324=72 个，首位数字为 4 时，末位数字有 2 种情况，在剩余的 4 个数中任取 3 个，放在剩余的 3 个位置上，有 A43=24 种情况，此时有 224=48 个，共有 72+48=120 个故选：B【点评】本题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数
15、的首位、末位数字的特征，进而可得其可选的情况7 （5 分）设四边形 ABCD 为平行四边形，|=6，|=4，若点 M、N 满足，则=（ ）A20B15C9D6【分析】根据图形得出=+=，=，=（）=2，结合向量结合向量的数量积求解即可【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形，点 M、N 满足，第 10 页（共 28 页）根据图形可得：=+=，=，=，=（）=2，2=22，=22，|=6，|=4，=22=123=9故选：C【点评】本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示8 （5 分）设 a、b 都是不等于 1 的正数，则“3a3b3”是“loga3l
16、ogb3”的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【分析】求解 3a3b3，得出 ab1，loga3logb3，或根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可【解答】解：a、b 都是不等于 1 的正数，3a3b3，ab1，第 11 页（共 28 页）loga3logb3，即0，或求解得出：ab1 或 1ab0 或 b1，0a1根据充分必要条件定义得出：“3a3b3”是“loga3logb3”的充分条不必要件，故选：B【点评】本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类讨论9 （5 分）如果函数 f（x）=（
17、m2）x2+（n8）x+1（m0，n0）在区间上单调递减，那么 mn 的最大值为（ ）A16B18C25D【分析】函数 f（x）=（m2）x2+（n8）x+1（m0，n0）在区间上单调递减，则 f（x）0，故（m2）x+n80 在，2上恒成立而（m2）x+n8 是一次函数，在，2上的图象是一条线段故只须在两个端点处f（）0，f（2）0 即可结合基本不等式求出 mn 的最大值【解答】解：函数 f（x）=（m2）x2+（n8）x+1（m0，n0）在区间上单调递减，f（x）0，故（m2）x+n80 在，2上恒成立而（m2）x+n8 是一次函数，在，2上的图象是一条线段故只须在两个端点处 f（）0，f
18、（2）0 即可即第 12 页（共 28 页）由（2）得 m（12n） ，mnn（12n）=18，当且仅当 m=3，n=6 时取得最大值，经检验 m=3，n=6 满足（1）和（2） 故选：B解法二：函数 f（x）=（m2）x2+（n8）x+1（m0，n0）在区间上单调递减，m=2，n8对称轴 x=，即即设或或第 13 页（共 28 页）设 y=，y=，当切点为（x0，y0） ，k 取最大值=2k=2x，y0=2x0+12，y0=2x0，可得 x0=3，y0=6，x=32k 的最大值为 36=18= ，k=，y0=，2y0+x018=0，第 14 页（共 28 页）解得：x0=9，y0=x02不符
19、合题意m=2，n=8，k=mn=16综合得出：m=3，n=6 时 k 最大值 k=mn=18，故选：B【点评】本题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运用几何图形判断，难度较大，属于难题10 （5 分）设直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点，与圆（x5）2+y2=r2（r0）相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点，若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是（ ）A （1，3）B （1，4）C （2，3） D （2，4）【分析】先确定 M 的轨迹是直线 x=3，代入抛物线方程可得 y=2，所以交点与圆心（5，0）的距离为 4，即可得出结论【解答】
20、解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，M（x0，y0） ，斜率存在时，设斜率为 k，则 y12=4x1，y22=4x2，则，相减，得（y1+y2） （y1y2）=4（x1x2） ，当 l 的斜率存在时，利用点差法可得 ky0=2，因为直线与圆相切，所以=，所以 x0=3，即 M 的轨迹是直线 x=3将 x=3 代入 y2=4x，得 y2=12，2，M 在圆上，（x05）2+y02=r2，r2=y02+412+4=16，直线 l 恰有 4 条，y00，4r216，故 2r4 时，直线 l 有 2 条；第 15 页（共 28 页）斜率不存在时，直线 l 有 2 条；所以直线 l 恰有 4
21、 条，2r4，故选：D【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。11 （5 分）在（2x1）5的展开式中，含 x2的项的系数是 40 （用数字填写答案） 【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第 r+1 项，整理成最简形式，令 x 的指数为 2 求得 r，再代入系数求出结果【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，Tr+1=；要求 x2的项的系数，5r=2，r=3，x2的项的系数是 22（1）3C53=40故答案为：40
22、【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具12 （5 分）sin15+sin75的值是 【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可【解答】解：sin15+sin75=sin15+cos15=（sin15cos45+cos15sin45）=sin60=故答案为：第 16 页（共 28 页）【点评】本题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力13 （5 分）某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储藏温度 x（单位：）满足函数关系 y=ekx+b（e=2.718为自然对数的底数，k、b 为常数）
23、 若该食品在 0的保鲜时间是 192 小时，在 22的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33的保鲜时间是 24 小时【分析】由题意可得，x=0 时，y=192；x=22 时，y=48代入函数 y=ekx+b，解方程，可得 k，b，再由 x=33，代入即可得到结论【解答】解：由题意可得，x=0 时，y=192；x=22 时，y=48代入函数 y=ekx+b，可得 eb=192，e22k+b=48，即有 e11k=，eb=192，则当 x=33 时，y=e33k+b=192=24故答案为：24【点评】本题考查函数的解析式的求法和运用，考查运算能力，属于中档题14 （5 分）如图，四边形 ABCD
24、 和 ADPQ 均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上，E、F 分别为 AB、BC 的中点，设异面直线 EM 与 AF所成的角为 ，则 cos 的最大值为 【分析】首先以 AB，AD，AQ 三直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为 2，M（0，y，2） ，从而可求出向量的坐标，由 cos=得到，对函数求导，根据导数第 17 页（共 28 页）符号即可判断该函数为减函数，从而求出 cos 的最大值【解答】解：根据已知条件，AB，AD，AQ 三直线两两垂直，分别以这三直线为 x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设 AB=2，则：A（0，0，0）
25、 ，E（1，0，0） ，F（2，1，0） ；M 在线段 PQ 上，设 M（0，y，2） ，0y2；cos=；设 f（y）=，；函数 g（y）=2y5 是一次函数，且为减函数，g（0）=50；g（y）0 在0，2恒成立，f（y）0；f（y）在0，2上单调递减；y=0 时，f（y）取到最大值故答案为：【点评】考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，异面直线所成角的概念及其范围，向量夹角的概念及其范围，以及向量夹角余弦的坐标公式，函数导数符号和函数单调性的关系15 （5 分）已知函数 f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中 aR） 对于不相等的实数x1、x2，设 m=，n=
26、现有如下命题：对于任意不相等的实数 x1、x2，都有 m0；第 18 页（共 28 页）对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1、x2，都有 n0；对于任意的 a，存在不相等的实数 x1、x2，使得 m=n；对于任意的 a，存在不相等的实数 x1、x2，使得 m=n其中的真命题有 （写出所有真命题的序号） 【分析】运用指数函数的单调性，即可判断；由二次函数的单调性，即可判断；通过函数 h（x）=x2+ax2x，求出导数判断单调性，即可判断；通过函数 h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断【解答】解：对于，由于 21，由指数函数的单调性可得 f（x）在 R 上递增，即有 m0，
27、则正确；对于，由二次函数的单调性可得 g（x）在（，）递减，在（，+）递增，则 n0 不恒成立，则错误；对于，由 m=n，可得 f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2） ，即为 g（x1）f（x1）=g（x2）f（x2） ，考查函数 h（x）=x2+ax2x，h（x）=2x+a2xln2，当 a，h（x）小于 0，h（x）单调递减，则错误；对于，由 m=n，可得 f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2），考查函数 h（x）=x2+ax+2x，h（x）=2x+a+2xln2，对于任意的 a，h（x）不恒大于 0 或小于 0，则正确故答案为：【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数
28、和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。算步骤。第 19 页（共 28 页）16 （12 分）设数列an（n=1，2，3，）的前 n 项和 Sn满足 Sn=2ana1，且a1，a2+1，a3成等差数列（）求数列an的通项公式；（）记数列的前 n 项和为 Tn，求使得|Tn1|成立的 n 的最小值【分析】 （）由已知数列递推式得到 an=2an1（n2） ，再由已知 a1，a2+1，a3成等差数列求出数列首项，可得数列an是首项为 2，公
29、比为 2 的等比数列，则其通项公式可求；（）由（）求出数列的通项公式，再由等比数列的前 n 项和求得 Tn，结合求解指数不等式得 n 的最小值【解答】解：（）由已知 Sn=2ana1，有an=SnSn1=2an2an1 （n2） ，即 an=2an1（n2） ，从而 a2=2a1，a3=2a2=4a1，又a1，a2+1，a3成等差数列，a1+4a1=2（2a1+1） ，解得：a1=2数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列故；（）由（）得：，由，得，即 2n100029=51210001024=210，n10于是，使|Tn1|成立的 n 的最小值为 10【点评】本题考查等差数列与等比数列的
30、概念、等比数列的通项公式与前 n 项第 20 页（共 28 页）和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17 （12 分）某市 A、B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了 3 名男生、2 名女生，B 中学推荐了 3 名男生、4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人，女生中随机抽取 3 人组成代表队（）求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率；（）某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X 表示参赛的男生人数，求 X 的分布列和数学期望【分析】 （）求出 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的对立
31、事件的概率，然后求解概率即可；（）求出 X 表示参赛的男生人数的可能值，求出概率，得到 X 的分布列，然后求解数学期望【解答】解：（）由题意，参加集训的男、女学生共有 6 人，参赛学生全从B 中抽出（等价于 A 中没有学生入选代表队）的概率为：=，因此 A中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为：1=；（）某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，X 表示参赛的男生人数，则 X 的可能取值为：1，2，3，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=X 的分布列：X 1 2 3P第 21 页（共 28 页）和数学期望 EX=1=2【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求
32、法，考查古典概型概率的求法，考查分析问题解决问题的能力18 （12 分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示在正方体中，设 BC 的中点为 M、GH 的中点为 N（）请将字母 F、G、H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） ；（）证明：直线 MN平面 BDH；（）求二面角 AEGM 的余弦值【分析】 （）根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可；（）利用线面平行的判定定理即可证明直线 MN平面 BDH；（）法一：利用定义法求出二面角的平面角进行求解法二：建立坐标系，利用向量法进行求解即可【解答】解：（）F、G、H 的位置如图；证明：（）连接 BD，设 O 是 BD 的
33、中点，BC 的中点为 M、GH 的中点为 N，OMCD，OM=CD，HNCD，HN=CD，OMHN，OM=HN，即四边形 MNHO 是平行四边形，MNOH，MN平面 BDH；OH面 BDH，第 22 页（共 28 页）直线 MN平面 BDH；（）方法一：连接 AC，过 M 作 MHAC 于 P，则正方体 ABCDEFGH 中，ACEG，MPEG，过 P 作 PKEG 于 K，连接 KM，EG平面 PKM则 KMEG，则PKM 是二面角 AEGM 的平面角，设 AD=2，则 CM=1，PK=2，在 RtCMP 中，PM=CMsin45=，在 RtPKM 中，KM=，cosPKM=，即二面角 AE
34、GM 的余弦值为方法二：以 D 为坐标原点，分别为 DA，DC，DH 方向为 x，y，z 轴建立空间坐标系如图：设 AD=2，则 M（1，2，0） ，G（0，2，2） ，E（2，0，2） ，O（1，1，0） ，则=（2，2，0） ，设平面 EGM 的法向量为 =（x，y，z） ，则，即，令 x=2，得 =（2，2，1） ，第 23 页（共 28 页）在正方体中，DO平面 AEGC，则 =（1，1，0）是平面 AEG 的一个法向量，则 cos=二面角 AEGM 的余弦值为【点评】本题主要考查简单空间图形的直观图，空间线面平行的判定和性质，空间面面夹角的计算，考查空间想象能力，推理能力，运算求解能
35、力19 （12 分）如图，A、B、C、D 为平面四边形 ABCD 的四个内角（）证明：tan=；（）若 A+C=180，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求 tan+tan+tan+tan的值【分析】 （）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可（）通过 A+C=180，得 C=180A，D=180B，利用（）化简tan+tan+tan+tan=，连结 BD，在ABD 中，利用余弦定理求出 sinA，连结 AC，求出 sinB，然后求解即可【解答】证明：（）tan=等式成立（）由 A+C=180，得 C=180A，D=180B，由（）可知：第 24 页（共 28 页）tan+tan+ta
36、n+tan=，连结 BD，在ABD 中，有BD2=AB2+AD22ABADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，在BCD 中，有 BD2=BC2+CD22BCCDcosC，所以 AB2+AD22ABADcosA=BC2+CD22BCCDcosC，则：cosA=于是 sinA=，连结 AC，同理可得：cosB=，于是 sinB=所以 tan+tan+tan+tan=【点评】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理简单的三角恒等变换，考查函数与方程的思想，转化与化归思想的应用20 （13 分）如图，椭圆 E：的离心率是，过点P（0，1）的动直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点，当直线 l
37、 平行于 x 轴时，直线 l被椭圆 E 截得的线段长为 2（）求椭圆 E 的方程；（）在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q，使得恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由第 25 页（共 28 页）【分析】 （）通过直线 l 平行于 x 轴时被椭圆 E 截得的线段长为 2及离心率是，计算即得结论；（）通过直线 l 与 x 轴平行、垂直时，可得若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件，则 Q 点坐标只能是（0，2） 然后分直线 l 的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线 l，均有即可【解答】解：（）直线 l 平行于 x
38、轴时，直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2，点（，1）在椭圆 E 上，又离心率是，解得 a=2，b=，椭圆 E 的方程为：+=1；（）结论：存在与点 P 不同的定点 Q（0，2） ，使得恒成立理由如下：当直线 l 与 x 轴平行时，设直线 l 与椭圆相交于 C、D 两点，如果存在定点 Q 满足条件，则有=1，即|QC|=|QD|Q 点在直线 y 轴上，可设 Q（0，y0） 当直线 l 与 x 轴垂直时，设直线 l 与椭圆相交于 M、N 两点，则 M、N 的坐标分别为（0，） 、 （0，） ，又=，=，解得 y0=1 或 y0=2若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件，则 Q 点坐标只能是
39、（0，2） 下面证明：对任意直线 l，均有第 26 页（共 28 页）当直线 l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立当直线 l 的斜率存在时，可设直线 l 的方程为 y=kx+1，A、B 的坐标分别为 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，联立，消去 y 并整理得：（1+2k2）x2+4kx2=0，=（4k）2+8（1+2k2）0，x1+x2=，x1x2=，+=2k，已知点 B 关于 y 轴对称的点 B的坐标为（x2，y2） ，又 kAQ=k，kQB=k+=k，kAQ=kQB，即 Q、A、B三点共线，=故存在与点 P 不同的定点 Q（0，2） ，使得恒成立第 27 页（共 28 页）【点评】
40、本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题21 （14 分）已知函数 f（x）=2（x+a）lnx+x22ax2a2+a，其中 a0（）设 g（x）是 f（x）的导函数，讨论 g（x）的单调性；（）证明：存在 a（0，1） ，使得 f（x）0 在区间（1，+）内恒成立，且 f（x）=0 在区间（1，+）内有唯一解【分析】 （）求出函数 f（x）的定义域，把函数 f（x）求导得到 g（x）再对g（x）求导，得到其导函数的零点，然后根据导函数在各
41、区间段内的符号得到函数 g（x）的单调期间；（）由 f（x）的导函数等于 0 把 a 用含有 x 的代数式表示，然后构造函数（x）=x2，由函数零点存在定理得到 x0（1，e） ，使得 （x0）=0令，u（x）=x1lnx（x1） ，利用导数求得 a0（0，1） ，然后进一步利用导数说明当 a=a0时，若 x（1，+） ，有 f（x）0，即可得到存在 a（0，1） ，使得f（x）0 在区间（1，+）内恒成立，且 f（x）=0 在区间（1，+）内有唯一解【解答】解：（）由已知，函数 f（x）的定义域为（0，+） ，g（x）=，当 0a时，g（x）在上单调递增，在区间上单调递减；当 a时，g（x）
42、在（0，+）上单调递增第 28 页（共 28 页）（）由=0，解得，令 （x）=x2，则 （1）=10，（e）=故存在 x0（1，e） ，使得 （x0）=0令，u（x）=x1lnx（x1） ，由知，函数 u（x）在（1，+）上单调递增即 a0（0，1） ，当 a=a0时，有 f（x0）=0，f（x0）=（x0）=0由（）知，f（x）在（1，+）上单调递增，故当 x（1，x0）时，f（x）0，从而 f（x）f（x0）=0；当 x（x0，+）时，f（x）0，从而 f（x）f（x0）=0当 x（1，+）时，f（x）0综上所述，存在 a（0，1） ，使得 f（x）0 在区间（1，+）内恒成立，且f（x）=0 在区间（1，+）内有唯一解【点评】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，是压轴题