2013年四川省高考数学试卷（理科）.doc

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1、第 1 页（共 26 页）2013 年四川省高考数学试卷（理科）年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本答题共有一、选择题：本答题共有 10 小题，每小题小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的只有一个是符合题目要求的1 （5 分）设集合 A=x|x+2=0，集合 B=x|x24=0，则 AB=（ ）A2 B2 C2，2 D2 （5 分）如图，在复平面内，点 A 表示复数 z 的共轭复数，则复数 z 对应的点是（ ）AABBCCDD3 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）ABCD4 （5 分）设 xZ，

2、集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集若命题p：xA，2xB，则（ ）Ap：xA，2xBBp：xA，2xBCp：xA，2xB第 2 页（共 26 页）Dp：xA，2xB5 （5 分）函数 f（x）=2sin（x+） （0，）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是（ ）ABCD6 （5 分）抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2=1 的渐近线的距离是（ ）ABC1D7 （5 分）函数 y=的图象大致是（ ）ABCD8 （5 分）从 1，3，5，7，9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到 lgalgb 的不同值的个数是（ ）A9B10C18D209 （5 分）节日前夕，小李

3、在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差第 3 页（共 26 页）不超过 2 秒的概率是（ ）ABCD10 （5 分）设函数 f（x）=（aR，e 为自然对数的底数） ，若曲线y=sinx 上存在点（x0，y0）使得 f（f（y0） ）=y0，则 a 的取值范围是（ ）A1，e Be11，1C1，e+1De11，e+1二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11 （5 分）二项式（x+y）

4、5的展开式中，含 x2y3的项的系数是 （用数字作答） 12 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，+=，则 = 13 （5 分）设 sin2=sin，（，） ，则 tan2 的值是 14 （5 分）已知 f（x）是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，f（x）=x24x，那么，不等式 f（x+2）5 的解集是 15 （5 分）设 P1，P2，Pn为平面 内的 n 个点，在平面 内的所有点中，若点 P 到点 P1，P2，Pn的距离之和最小，则称点 P 为 P1，P2，Pn的一个“中位点”，例如，线段 AB 上的任意点都是端点 A，B 的中位点，现有下列命题：

5、若三个点 A、B、C 共线，C 在线段 AB 上，则 C 是 A，B，C 的中位点；直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；若四个点 A、B、C、D 共线，则它们的中位点存在且唯一；梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点其中的真命题是 （写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤算步骤 ）16 （12 分）在等差数列an中，a1+a3=8，且 a4为 a2和 a9的等比中项，求数列an的首项，公差及前 n 项和第 4 页（共 26 页）17 （12 分

6、）在ABC 中，2cos2cosBsin（AB）sinB+cos（A+C）=（1）求 cosA 的值；（2）若 a=4，b=5，求在方向上的投影18 （12 分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 x 在1，2，3，24 这 24 个整数中等可能随机产生（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率pi（i=1，2，3） ；（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行 n 次后，统计记录输出 y 的值为 i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据甲的频数统计图（部分）运行次数 n输出 y 的值为 1 的频数输出 y 的值为

7、2 的频数输出 y 的值为 3 的频数301461021001027376697乙的频数统计图（部分）运行次数 n输出 y 的值为 1 的频数输出 y 的值为 2 的频数输出 y 的值为 3 的频数301211721001051696353当 n=2100 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示） ，并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；（III）将按程序摆图正确编写的程序运行 3 次，求输出 y 的值为 2 的次数 的分布列及数学期望第 5 页（共 26 页）19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧

8、棱 AA1底面ABC，AB=AC=2AA1，BAC=120，D，D1分别是线段 BC，B1C1的中点，P 是线段 AD 的中点（）在平面 ABC 内，试做出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l，说明理由，并证明直线 l平面 ADD1A1；（）设（I）中的直线 l 交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，求二面角 AA1MN 的余弦值20 （13 分）已知椭圆 C：（ab0）的两个焦点分别为 F1（1，0） ，F2（1，0） ，且椭圆 C 经过点（）求椭圆 C 的离心率：（）设过点 A（0，2）的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，点 Q 是线段 MN第 6 页（共 26 页）上的点

9、，且，求点 Q 的轨迹方程21 （14 分）已知函数，其中 a 是实数，设A（x1，f（x1） ） ，B（x2，f（x2） ）为该函数图象上的点，且 x1x2（）指出函数 f（x）的单调区间；（）若函数 f（x）的图象在点 A，B 处的切线互相垂直，且 x20，求 x2x1的最小值；（）若函数 f（x）的图象在点 A，B 处的切线重合，求 a 的取值范围第 7 页（共 26 页）2013 年四川省高考数学试卷（理科）年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本答题共有一、选择题：本答题共有 10 小题，每小题小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，分在每

10、小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的只有一个是符合题目要求的1 （5 分）设集合 A=x|x+2=0，集合 B=x|x24=0，则 AB=（ ）A2 B2 C2，2 D【分析】分别求出两集合中方程的解，确定出 A 与 B，找出 A 与 B 的公共元素即可求出交集【解答】解：由 A 中的方程 x+2=0，解得 x=2，即 A=2；由 B 中的方程 x24=0，解得 x=2 或2，即 B=2，2，则 AB=2故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5 分）如图，在复平面内，点 A 表示复数 z 的共轭复数，则复数 z 对应的点是（ ）AABBCCDD

11、【分析】直接利用共轭复数的定义，找出点 A 表示复数 z 的共轭复数的点即可【解答】解：两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，虚部相反，对应的点关于 x 轴对称所以点 A 表示复数 z 的共轭复数的点是 B第 8 页（共 26 页）故选：B【点评】本题考查复数与共轭复数的关系，复数的几何意义，基本知识的考查3 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）ABCD【分析】首先由几何体的俯视图断定原几何体的最上面的平面图形应是圆，再由俯视图内部只有一个虚圆，断定原几何体下部分的图形不可能是棱柱，由此可排除前三个选项【解答】解：由俯视图可知，原几何体的上底面应该是圆面，由此

12、排除选项 A和选项 C而俯视图内部只有一个虚圆，所以排除 B故选：D【点评】本题考查了简单空间几何体的三视图，由三视图还原原几何体，首先是看俯视图，然后结合主视图和侧视图得原几何体，解答的关键是明白三种视图都是图形在与目光视线垂直面上的投影，此题是基础题4 （5 分）设 xZ，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶数集若命题第 9 页（共 26 页）p：xA，2xB，则（ ）Ap：xA，2xBBp：xA，2xBCp：xA，2xBDp：xA，2xB【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以设 xZ，集合 A 是奇数集，集合 B 是偶

13、数集若命题 p：xA，2xB，则p：xA，2xB故选：D【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查5 （5 分）函数 f（x）=2sin（x+） （0，）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是（ ）ABCD【分析】根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的 x 值，求出函数的周期 T=，解得 =2由函数当 x=时取得最大值 2，得到+=+k（kZ） ，取 k=0 得到 =由此即可得到本题的答案【解答】解：在同一周期内，函数在 x=时取得最大值，x=时取得最小值，函数的周期 T 满足=，由此可得 T=，解得 =2，得函数表达式为 f（x）=2sin（2x+）第 10

14、 页（共 26 页）又当 x=时取得最大值 2，2sin（2+）=2，可得+=+2k（kZ），取 k=0，得 =故选：A【点评】本题给出 y=Asin（x+）的部分图象，求函数的表达式着重考查了三角函数的图象与性质、函数 y=Asin（x+）的图象变换等知识，属于基础题6 （5 分）抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2=1 的渐近线的距离是（ ）ABC1D【分析】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点 F（1，0） 由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为 y=x，化成一般式得：，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离【解答】解：抛物线方程为 y2=4x2p=4，可得=1，抛物线的焦点 F（

15、1，0）又双曲线的方程为a2=1 且 b2=3，可得 a=1 且 b=，双曲线的渐近线方程为 y=，即 y=x，化成一般式得：因此，抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线渐近线的距离为 d=故选：B【点评】本题给出抛物线方程与双曲线方程，求抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题第 11 页（共 26 页）7 （5 分）函数 y=的图象大致是（ ）ABCD【分析】根据函数的定义域，取值范围和取值符号，进行排除即可【解答】解：函数的定义域为x|x0，排除 A当 x时，y+，排除 B，当 x+时，x33x1，此时 y0，排除 D，故选：C【

16、点评】本题主要考查函数图象的识别，根据函数的性质结合极限思想是函数图象的基本方法8 （5 分）从 1，3，5，7，9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到 lgalgb 的不同值的个数是（ ）A9B10C18D20【分析】因为 lgalgb=，所以从 1，3，5，7，9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a，b，共可得到 lgalgb 的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数，从 1，3，5，7，9 这五个数中任取 2 个数排列后（两数在分子和分母不同） ，减去相同的数字即可得到答案【解答】解：首先从 1，3，5，7，9 这五个数中任取两个不同的数排列，共有种排法

17、，第 12 页（共 26 页）因为，所以从 1，3，5，7，9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a，b，共可得到 lgalgb 的不同值的个数是：202=18故选：C【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数问题，解答的关键是想到把相等的数字去掉，属基础题9 （5 分）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过 2 秒的概率是（ ）ABCD【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为 x，y，由题意可得0x4，0y4，要满足条

18、件须|xy|2，作出其对应的平面区域，由几何概型可得答案【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为 x，y，由题意可得 0x4，0y4，它们第一次闪亮的时候相差不超过 2 秒，则|xy|2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，第 13 页（共 26 页）由图可知所求的概率为：=故选：C【点评】本题考查几何概型，涉及用一元二次方程组表示平面区域，属基础题10 （5 分）设函数 f（x）=（aR，e 为自然对数的底数） ，若曲线y=sinx 上存在点（x0，y0）使得 f（f（y0） ）=y0，则 a 的取值范围是（ ）A1，e Be11，1C1，e+1De11，e+1【分析】考查

19、题设中的条件，函数 f（f（y0） ）的解析式不易得出，直接求最值有困难，考察四个选项，发现有两个特值区分开了四个选项，0 出现在了 B，D两个选项的范围中，e+1 出现在了 C，D 两个选项所给的范围中，故可通过验证参数为 0 与 e+1 时是否符合题意判断出正确选项【解答】解：曲线 y=sinx 上存在点（x0，y0）使得 f（f（y0） ）=y0，则 y01，1考查四个选项，B，D 两个选项中参数值都可取 0，C，D 两个选项中参数都可取e+1，A，B，C，D 四个选项参数都可取 1，由此可先验证参数为 0 与 e+1 时是否符合题意，即可得出正确选项当 a=0 时，此是一个增函数，且函

20、数值恒非负，故只研究y00，1时 f（f（y0） ）=y0是否成立由于是一个增函数，可得出 f（y0）f（0）=1，而 f（1）=1，故 a=0 不合题意，由此知 B，D 两个选项不正确当 a=e+1 时，此函数是一个增函数，=0，而f（0）没有意义，故 a=e+1 不合题意，故 C，D 两个选项不正确综上讨论知，可确定 B，C，D 三个选项不正确，故 A 选项正确故选：A【点评】本题是一个函数综合题，解题的关键与切入点是观察出四个选项中同与不同点，判断出参数 0 与 e+1 是两个特殊值，结合排除法做题的技巧及函数第 14 页（共 26 页）的性质判断出正确选项，本题考查了转化的思想，观察探

21、究的能力，属于考查能力的综合题，易因为找不到入手处致使无法解答失分，易错二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11 （5 分）二项式（x+y）5的展开式中，含 x2y3的项的系数是 10 （用数字作答） 【分析】利用二项式（x+y）5的展开式的通项公式 Tr+1=x5ryr，结合题意即可求得答案【解答】解：设二项式（x+y）5的展开式的通项公式为 Tr+1，则 Tr+1=x5ryr，令 r=3，则含 x2y3的项的系数是=10故答案为：10【点评】本题考查二项式系数的性质，着重考查二项展开式的通项公式的应用，考查分析与运算能力，属于

22、中档题12 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，+=，则 = 【分析】依题意，+=，而=2，从而可得答案【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形，对角线 AC 与 BD 交于点 O，+=，又 O 为 AC 的中点，=2，+=2，+=，=2故答案为：2第 15 页（共 26 页）【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题13 （5 分）设 sin2=sin，（，） ，则 tan2 的值是 【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据 sin 不为 0 求出cos 的值，由 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 sin 的值，进而求

23、出 tan 的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将 tan 的值代入计算即可求出值【解答】解：sin2=2sincos=sin，（，） ，cos=，sin=，tan=，则 tan2=故答案为：【点评】此题考查了二倍角的正弦、正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键14 （5 分）已知 f（x）是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，f（x）=x24x，那么，不等式 f（x+2）5 的解集是 （7，3） 【分析】由偶函数性质得：f（|x+2|）=f（x+2） ，则 f（x+2）5 可变为f（|x+2|）5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+2|的范

24、围，再求x 范围即可【解答】解：因为 f（x）为偶函数，所以 f（|x+2|）=f（x+2） ，则 f（x+2）5 可化为 f（|x+2|）5，即|x+2|24|x+2|5， （|x+2|+1） （|x+2|5）0，所以|x+2|5，解得7x3，所以不等式 f（x+2）5 的解集是（7，3） 第 16 页（共 26 页）故答案为：（7，3） 【点评】本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键15 （5 分）设 P1，P2，Pn为平面 内的 n 个点，在平面 内的所有点中，若点 P 到点 P1，P2，Pn的距离之和最小，则称点 P 为 P1，P2，P

25、n的一个“中位点”，例如，线段 AB 上的任意点都是端点 A，B 的中位点，现有下列命题：若三个点 A、B、C 共线，C 在线段 AB 上，则 C 是 A，B，C 的中位点；直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；若四个点 A、B、C、D 共线，则它们的中位点存在且唯一；梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点其中的真命题是 （写出所有真命题的序号） 【分析】对于若三个点 A、B、C 共线，C 在线段 AB 上，则线段 AB 上任一点都为“中位点”，C 也不例外，则 C 是 A，B，C 的中位点，正确；对于举一个反例，如边长为 3，4，5 的直角三角形 ABC，此直角三角形的斜

26、边的中点到三个顶点的距离之和为 5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为 7，据此进行判断即可；对于若四个点 A、B、C、D 共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，从而它们的中位点存在但不唯一；如图，在梯形 ABCD 中，对角线的交点 O，P 是任意一点，利用根据三角形两边之和大于第三边得梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点【解答】解：若三个点 A、B、C 共线，若 C 在线段 AB 上，则线段 AB 上任一点都为“中位点”，C 也不例外，则 C 是 A，B，C 的中位点，正确；举一个反例，如边长为 3，4，5 的直角三角形 ABC，此直角三角形的斜边的中点到

27、三个顶点的距离之和为 5+2.5=7.5，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7，所以直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点，故错误；若四个点 A、B、C、D 共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一，故错误；第 17 页（共 26 页）如图，在梯形 ABCD 中，对角线的交点 O，P 是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得PA+PB+PC+PDAC+BD=OA+OB+OC+OD，所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点，故正确故答案为：【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用、新定义的应用、三角形的性质等基础知识，考查数形结合思

28、想、化归与转化思想属于中档题三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤算步骤 ）16 （12 分）在等差数列an中，a1+a3=8，且 a4为 a2和 a9的等比中项，求数列an的首项，公差及前 n 项和【分析】设该数列的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则利用 a1+a3=8，且 a4为 a2和a9的等比中项，建立方程，即可求得数列an的首项，公差；利用等差数列的前 n 项和公式可求和 【解答】解：设该数列的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则a1+a3=8，且 a4为 a2和 a9的等比中

29、项，2a1+2d=8， （a1+3d）2=（a1+d） （a1+8d）解得 a1=4，d=0 或 a1=1，d=3前 n 项和为 Sn=4n 或 Sn=【点评】本题主要考查等差数列、等比中项等基础知识，考查运算能力，考查分类与整合等数学思想，属于中档题第 18 页（共 26 页）17 （12 分）在ABC 中，2cos2cosBsin（AB）sinB+cos（A+C）=（1）求 cosA 的值；（2）若 a=4，b=5，求在方向上的投影【分析】 （）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出 A的余弦值，然后求 sinA 的值；（）利用，b=5，结合正弦定理，求出 B 的正弦函数，

30、求出 B 的值，利用余弦定理求出 c 的大小【解答】解：（）由可得，可得，即，即，（）由正弦定理，所以=，由题意可知 ab，即 AB，所以 B=，由余弦定理可知解得 c=1，c=7（舍去） 向量在方向上的投影：=ccosB=【点评】本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想18 （12 分）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 x 在1，2，3，24 这 24 个整数中等可能随机产生（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率pi（i=1，2，3） ；（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程

31、序重复运行 n 次后，统计记录输出 y 的值为 i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计第 19 页（共 26 页）表的部分数据甲的频数统计图（部分）运行次数 n输出 y 的值为 1 的频数输出 y 的值为 2 的频数输出 y 的值为 3 的频数301461021001027376697乙的频数统计图（部分）运行次数 n输出 y 的值为 1 的频数输出 y 的值为 2 的频数输出 y 的值为 3 的频数301211721001051696353当 n=2100 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示） ，并判断两位同学中哪

32、一位所编程序符合要求的可能系较大；（III）将按程序摆图正确编写的程序运行 3 次，求输出 y 的值为 2 的次数 的分布列及数学期望第 20 页（共 26 页）【分析】 （I）变量 x 是在 1，2，3，24 这 24 个整数中随机产生的一个数，共有 24 种可能，由程序框图可得 y 值为 1，2，3 对应的情况，由古典概型可得；（II）由题意可得当 n=2100 时，甲、乙所编程序各自输出的 y 值为 1，2，3 时的频率，可得答案；（III）随机变量 的可能取值为：0，1，2，3，分别求其概率可得分布列和期望【解答】解：（I）变量 x 是在 1，2，3，24 这 24 个整数中随机产生的

33、一个数，共有 24 种可能，当 x 从 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23 这 12 个数中产生时，输出的 y 值为 1，故 P1=；当 x 从 2，4，8，10，14，16，20，22 这 8 个数中产生时，输出的 y 值为 2，故 P2=；当 x 从 6，12，18，24 这 4 个数中产生时，输出的 y 值为 3，故 P3=；故输出的 y 值为 1 的概率为，输出的 y 值为 2 的概率为，输出的 y 值为 3 的概率为；（II）当 n=2100 时，甲、乙所编程序各自输出的 y 值为 i（i=1，2，3）的频率如下：输出 y 值为 1 的频率输出 y 值为 2

34、 的频率 输出 y 值为 3 的频率 甲乙比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大；（III）随机变量 的可能取值为：0，1，2，3，P（=0）=，P（=1）=P（=2）=，P（=3）=，故 的分布列为： 0 12 3 第 21 页（共 26 页）P所以所求的数学期望 E=1【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及程序框图和数学期望的求解，属中档题19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面ABC，AB=AC=2AA1，BAC=120，D，D1分别是线段 BC，B1C1的中点，P 是线段 AD 的中点（）在平面 ABC 内，试做出过点 P

35、 与平面 A1BC 平行的直线 l，说明理由，并证明直线 l平面 ADD1A1；（）设（I）中的直线 l 交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，求二面角 AA1MN 的余弦值【分析】 （I）在平面 ABC 内过点 P 作直线 lBC，根据线面平行的判定定理得直线 l平面 A1BC由等腰三角形“三线合一”得到 ADBC，从而得到 ADl，结合 AA1l 且 AD、AA1是平面 ADD1A1内的相交直线，证出直线 l平面 ADD1A1；（II）连接 A1P，过点 A 作 AEA1P 于 E，过 E 点作 EFA1M 于 F，连接 AF根据面面垂直判定定理，证出平面 A1MN平面 A1AE，从而得

36、到 AE平面 A1MN，结合 EFA1M，由三垂线定理得 AFA1M，可得AFE 就是二面角 AA1MN 的平面角设 AA1=1，分别在 RtA1AP 中和AEF 中算出 AE、AF 的长，在 RtAEF 中，根据三角函数的定义算出 sinAFE 的值，结合同角三角函数的平方关系算出 cosAFE 的值，从而得出二面角 AA1MN 的余弦值【解答】解：（I）在平面 ABC 内，过点 P 作直线 lBC第 22 页（共 26 页）直线 l平面 A1BC，BC平面 A1BC，直线 l平面 A1BC，ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，ADBC，结合 lBC 得 ADlAA1平面 ABC，

37、l平面 ABC，AA1lAD、AA1是平面 ADD1A1内的相交直线直线 l平面 ADD1A1；（II）连接 A1P，过点 A 作 AEA1P 于 E，过 E 点作 EFA1M 于 F，连接 AF由（I）知 MN平面 A1AE，结合 MN平面 A1MN 得平面 A1MN平面 A1AE，平面 A1MN平面 A1AE=A1P，AEA1P，AE平面 A1MN，EFA1M，EF 是 AF 在平面 A1MN 内的射影，AFA1M，可得AFE 就是二面角 AA1MN 的平面角设 AA1=1，则由 AB=AC=2AA1，BAC=120，可得BAD=60，AB=2 且 AD=1又P 为 AD 的中点，M 是

38、AB 的中点，得 AP=，AM=1RtA1AP 中，A1P=；RtA1AM 中，A1M=AE=，AF=RtAEF 中，sinAFE=，可得 cosAFE=即二面角 AA1MN 的余弦值等于【点评】本题在直三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的余弦值着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了三垂线定理和面面垂直的判定第 23 页（共 26 页）与性质等知识，属于中档题20 （13 分）已知椭圆 C：（ab0）的两个焦点分别为 F1（1，0） ，F2（1，0） ，且椭圆 C 经过点（）求椭圆 C 的离心率：（）设过点 A（0，2）的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，点 Q 是线段 M

39、N上的点，且，求点 Q 的轨迹方程【分析】 （I）由题设条件结合椭圆的性质直接求出 a，c 的值，即可得到椭圆的离心率；（II）由题设过点 A（0，2）的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，可设出直线的方程与椭圆的方程联立，由于两曲线交于两点，故判断式大于 0 且可利用根与系数的关系建立 M，N 两点的坐标与直线的斜率 k 的等量关系，然后再设出点Q 的坐标，用两点 M，N 的坐标表示出，再综合计算即可求得点 Q 的轨迹方程【解答】解：（I）椭圆 C：（ab0）的两个焦点分别为F1（1，0） ，F2（1，0） ，且椭圆 C 经过点c=1，2a=PF1+PF2=2，即 a=椭圆的离心率 e

40、=4 分（II）由（I）知，椭圆 C 的方程为，设点 Q 的坐标为（x，y）（1）当直线 l 与 x 轴垂直时，直线 l 与椭圆 C 交于（0，1） 、 （0，1）两点，此时点 Q 的坐标为（0，2）（2）当直线 l 与 x 轴不垂直时，可设其方程为 y=kx+2，因为 M，N 在直线 l 上，可设点 M，N 的坐标分别为（x1，kx1+2） ， （x2，kx2+2） ，则第 24 页（共 26 页），又|AQ|2=（1+k2）x2，即=将 y=kx+2 代入中，得（2k2+1）x2+8kx+6=0由=（8k）224（2k2+1）0，得 k2由知 x1+x2=，x1x2=，代入中化简得 x2=

41、因为点 Q 在直线 y=kx+2 上，所以 k=，代入中并化简得 10（y2）23x2=18由及 k2可知 0x2，即 x（，0）（0，）由题意，Q（x，y）在椭圆 C 内，所以1y1，又由 10（y2）23x2=18 得（y2）2（，）且1y1，则 y，2综上得，点 Q 的轨迹方程为 10（y2）23x2=18，其中 x（，） ，y，213 分【点评】本题主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合、转化化归、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性本题是圆锥曲线中的常见题型，所考查的解题方式较为典型，本题运算量较大易因为运算失误造成丢分21 （14

42、 分）已知函数，其中 a 是实数，设A（x1，f（x1） ） ，B（x2，f（x2） ）为该函数图象上的点，且 x1x2（）指出函数 f（x）的单调区间；（）若函数 f（x）的图象在点 A，B 处的切线互相垂直，且 x20，求 x2x1的第 25 页（共 26 页）最小值；（）若函数 f（x）的图象在点 A，B 处的切线重合，求 a 的取值范围【分析】 （I）利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出；（II）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得，即（2x1+2） （2x2+2）=1可得，再利用基本不等式的性质即可得出；（III）当 x1x20 或 0x1x2时，故

43、不成立，x10x2分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出 【解答】解：（I）当 x0 时，f（x）=（x+1）2+a，f（x）在（，1）上单调递减，在1，0）上单调递增；当 x0 时，f（x）=lnx，在（0，+）单调递增（II）x1x20，f（x）=x2+2x+a，f（x）=2x+2，函数 f（x）在点 A，B 处的切线的斜率分别为 f（x1） ，f（x2） ，函数 f（x）的图象在点 A，B 处的切线互相垂直，（2x1+2） （2x2+2）=12x1+20，2x2+20，=1，当且仅当（2x1+2）=2x2+2=1，即，时等号成立函数 f（x）的图象在点

44、 A，B 处的切线互相垂直，且 x20，求 x2x1的最小值为 1（III）当 x1x20 或 0x1x2时，故不成立，x10x2当 x10 时，函数 f（x）在点 A（x1，f（x1） ） ，处的切线方程为第 26 页（共 26 页），即当 x20 时，函数 f（x）在点 B（x2，f（x2） ）处的切线方程为，即函数 f（x）的图象在点 A，B 处的切线重合的充要条件是，由及 x10x2可得1x10，由得=函数，y=ln（2x1+2）在区间（1，0）上单调递减，a（x1）=在（1，0）上单调递减，且 x11 时，ln（2x1+2），即ln（2x1+2）+，也即 a（x1）+x10，a（x1）1ln2a 的取值范围是（1ln2，+） 【点评】本题主要考查了基本函数的性质、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、基本不等式的性质、直线的位置关系等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法