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1、 如果完成一件任务需要分成如果完成一件任务需要分成n n个步骤进行，做第个步骤进行，做第1 1步有步有m1m1种方法，做第种方法，做第2 2步有步有m2m2种方法种方法做第做第n n步有步有mnmn种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务的方种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务的方法有：法有：N Nm1m2mnm1m2mn从乘法原理可以看出：将完成一件任务分成几从乘法原理可以看出：将完成一件任务分成几步做，是解决问题的关键，而这几步是完成这件任步做，是解决问题的关键，而这几步是完成这件任务缺一不可的。务缺一不可的。例例1 1：马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶
2、帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？鞋。问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？由下图可以看出，帽子和鞋共有由下图可以看出，帽子和鞋共有6 6种搭配。种搭配。事实上，小丑戴帽穿鞋是分两步进行的。第一事实上，小丑戴帽穿鞋是分两步进行的。第一步戴帽子，有步戴帽子，有3 3种方法；第二步穿鞋，有种方法；第二步穿鞋，有2 2种方法。种方法。对第一步的每种方法，第二步都有两种方法，所以对第一步的每种方法，第二步都有两种方法，所以不同的搭配共有不同的搭配共有32326 6（种）。（种）。例例2 2：从甲地到
3、乙地有从甲地到乙地有2 2条路，从乙地到丙地有条路，从乙地到丙地有3 3条路，条路，从丙地到丁地也有从丙地到丁地也有2 2条路。问：从甲地经乙、丙两条路。问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？地到丁地，共有多少种不同的走法？用用A1A1，A2A2表示从甲地到乙地的表示从甲地到乙地的2 2条路，用条路，用B1B1，B2B2，B3B3表示从乙地到丙地的表示从乙地到丙地的3 3条路，用条路，用C1C1，C2C2表示表示从丙地到丁地的从丙地到丁地的2 2条路（见下页图）。条路（见下页图）。事实上，从甲到丁是分三步走的。甲到乙有事实上，从甲到丁是分三步走的。甲到乙有2 2种种方法，乙到丙有
4、方法，乙到丙有3 3种方法，丙到丁有种方法，丙到丁有2 2种方法。所以种方法。所以不同的走法共有：不同的走法共有：2322321212（种）。（种）。例例3 3：用数字用数字0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5可以组成多少个三位可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？数（各位上的数字允许重复）？组成一个三位数要分三步进行：第一步确定百组成一个三位数要分三步进行：第一步确定百位上的数字，除位上的数字，除0 0以外有以外有5 5种选法；第二步确定十位种选法；第二步确定十位上的数字，因为数字可以重复，有上的数字，因为数字可以重复，有6 6种选法；第三种选法；第三步确定个位上的数字，也
5、有步确定个位上的数字，也有6 6种选法。根据乘法原种选法。根据乘法原理，可以组成三位数理，可以组成三位数566566180180（个）。（个）。例例4 4：如下图，如下图，A A，B B，C C，D D，E E五个区域分别用红、五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？法？将染色这一过程分为依次给将染色这一过程分为依次给A A，B B，C C，D D，E E染染色五步。色五步。先给先给A A染色，因为有染色，因为有5 5种颜色，故有种颜色，
6、故有5 5种不同的种不同的染色方法；第染色方法；第2 2步给步给B B染色，因不能与染色，因不能与A A同色，还剩同色，还剩下下4 4种颜色可选择，故有种颜色可选择，故有4 4种不同的染色方法；第种不同的染色方法；第3 3步给步给C C染色，因为不能与染色，因为不能与A A，B B同色，故有同色，故有3 3种不同的种不同的染色方法；第染色方法；第4 4步给步给D D染色，因为不能与染色，因为不能与A A，C C同色，同色，故有故有3 3种不同的染色方法；第种不同的染色方法；第5 5步给步给E E染色，由于不染色，由于不能与能与A A，C C，D D同色，故只有同色，故只有2 2种不同的染色方法
7、。根种不同的染色方法。根据乘法原理，共有不同的染色方法据乘法原理，共有不同的染色方法5433254332360360（种）。（种）。例例5 5：求求360360共有多少个不同的约数。共有多少个不同的约数。由例由例5 5得到：如果一个自然数得到：如果一个自然数N N分解质因数后的分解质因数后的形式为：形式为：其中其中P1P1，P2P2，PlPl都是质数，都是质数，n1n1，n2n2，nlnl都是自然数，则都是自然数，则N N的所有约数的个数为：的所有约数的个数为：（n1n11 1）（n2+1n2+1）（nlnl1 1）。）。例如，例如，11088110882 24 4332 2711711，11
8、08811088共有不同共有不同的约数：的约数：（4 41 1）（2+12+1）（1 11 1）（1 11 1）6060（个）。（个）。例例6 6：有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。问：共有多少种不同的吃法？将将1010块糖排成一排，糖与糖之间共有块糖排成一排，糖与糖之间共有9 9个空。从个空。从头开始，如果相邻两块糖是分在两天吃的，那么就头开始，如果相邻两块糖是分在两天吃的，那么就在其间画一条线。下图表示在其间画一条线。下图表示1010块糖分在五天吃：第块糖分在五天吃：第一天吃一天吃2 2块，第二天吃块，第二天吃3 3块，第三天吃块，第三天吃1 1块，第四天块，第四天吃吃2 2块，第五天
9、吃块，第五天吃2 2块。因为每个空都有加线与不加块。因为每个空都有加线与不加线两种可能，根据乘法原理，不同的加线方法共有线两种可能，根据乘法原理，不同的加线方法共有2 29 9512512（种）。因为每一种加线方法对应一种吃（种）。因为每一种加线方法对应一种吃糖的方法，所以不同的吃法共有糖的方法，所以不同的吃法共有512512种。种。例例7 7：用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？共有多少种不同的染色方法？将染色这一过程分为依次给将染色这
10、一过程分为依次给A A，B B，C C，D D，E E染染色五步。色五步。先给先给A A染色，因为有染色，因为有5 5种颜色，故有种颜色，故有5 5种不同的种不同的染色方法；第染色方法；第2 2步给步给B B染色，因不能与染色，因不能与A A同色，还剩同色，还剩下下4 4种颜色可选择，故有种颜色可选择，故有4 4种不同的染色方法；第种不同的染色方法；第3 3步给步给C C染色，因为不能与染色，因为不能与A A，B B同色，故有同色，故有3 3种不同的种不同的染色方法；第染色方法；第4 4步给步给D D染色，因为不能与染色，因为不能与A A，C C同色，同色，故有故有3 3种不同的染色方法；第种
11、不同的染色方法；第5 5步给步给E E染色，由于不染色，由于不能与能与A A，C C，D D同色，故只有同色，故只有2 2种不同的染色方法。根种不同的染色方法。根据乘法原理，共有不同的染色方法据乘法原理，共有不同的染色方法:5433254332360360（种）（种）1.1.有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。从中取出一顶帽子、一件上衣、一条不同的裤子。从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：有多少种不同的装束？裤子配成一套装束。问：有多少种不同的装束？（3030）2.2.四角号码字典，用四角号码字典，用4 4个数码表示一个汉字
12、。个数码表示一个汉字。小王自编一个小王自编一个“密码本密码本”，用，用3 3个数码（可取重复个数码（可取重复数字）表示一个汉字，例如，用数字）表示一个汉字，例如，用“011”“011”代表汉字代表汉字“车车”。问：小王的。问：小王的“密码本密码本”上最多能表示多少上最多能表示多少个不同的汉字？个不同的汉字？（10001000）3.“IMO”3.“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这是国际数学奥林匹克的缩写，把这3 3个字母写成三种不同颜色。现在有五种不同颜色的个字母写成三种不同颜色。现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”
13、“IMO”？（60）4.4.甲组有甲组有6 6人，乙组有人，乙组有8 8人，丙组有人，丙组有9 9人。从三人。从三个组中各选一人参加会议，共有多少种不同选法？个组中各选一人参加会议，共有多少种不同选法？（432432）5.5.要从四年级六个班中评选出学习和体育先进要从四年级六个班中评选出学习和体育先进集体各一个（不能同时评一个班），共有多少种不集体各一个（不能同时评一个班），共有多少种不同的评选结果？同的评选结果？（30）6.6.在下图的方格纸中放两枚棋子，要求两枚棋在下图的方格纸中放两枚棋子，要求两枚棋子不在同一行也不在同一列。问：共有多少种不同子不在同一行也不在同一列。问：共有多少种不同的
14、放法？的放法？（提示：第一枚棋子有（提示：第一枚棋子有25种放法，去掉种放法，去掉这枚棋子所在的行和列，还有这枚棋子所在的行和列，还有16个空格，个空格，所以第二枚棋子有所以第二枚棋子有16种放法。）种放法。）7.7.要从四年级六个班中评选出学习和体育先进要从四年级六个班中评选出学习和体育先进集体各一个（不能同时评一个班），共有多少种不集体各一个（不能同时评一个班），共有多少种不同的评选结果？同的评选结果？（30）8.8.如下图，在三条平行线上分别有一个点，如下图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不 共线）在每条
15、直线上各取一个共线）在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形问：点，可以画出一个三角形问：一共可以画出多少个这样的三角一共可以画出多少个这样的三角形？形？（143=12）9.9.在自然数中，用两位数做被减数，用一位在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数共可以组成多少个不同的减法算式？数做减数共可以组成多少个不同的减法算式？10 10一个篮球队，五名队员一个篮球队，五名队员A A、B B、C C、D D、E E，由于某种原因，由于某种原因，C C不能做中锋，而其余四人可以分不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上问：共有多少种不同配到五个位置的任何一个上问：共有多少种不同的站
16、位方法？的站位方法？（44321=9644321=96）11.11.某市的电话号码是六位数的，首位不能是某市的电话号码是六位数的，首位不能是0 0，其余各位数上可以是，其余各位数上可以是0 09 9中的任何一个，并且不中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复那么，这个城市最多可容同位上的数字可以重复那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？纳多少部电话机？（91010101010=900000）12.12.由数字由数字1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8可组成多可组成多少个少个三位数？三位数？三位偶数？三位偶数？没有重复数字的三位偶数？没有重复数字的三位偶数？百位为百位为8 8的没有重复数字的三位数？的没有重复数字的三位数？百位为百位为8 8的没有重复数字的三位偶数？的没有重复数字的三位偶数？888=512；488=256；476=168；176=42；136=18