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1、 加法原理：加法原理：如果完成一件任务有如果完成一件任务有n n类方法，在第一类类方法，在第一类方法中有方法中有m1m1种不同方法，在第二类方法中有种不同方法，在第二类方法中有m2m2种不同方种不同方法法 在第在第n n类方法中有类方法中有mnmn种不同方法，那么完成这件种不同方法，那么完成这件任务共有任务共有 N=m1+m2+N=m1+m2+mn+mn种不同的方法。种不同的方法。乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则。乘法原理和加法原理是两个重要而常用的计数法则。它们的区别是，乘法原理是把一件事分几步完成，这几它们的区别是，乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不
2、同方法数等于各步方法步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积；加法原理是把完成一件事的方法分成几类，数的乘积；加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。的不同方法数等于各类方法数之和。例例1 1： 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有还可以乘轮船。一天中火车有4 4班，汽车有班，汽车有3 3班，班，轮船有轮船有2 2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地
3、到乙地，共有多少种不同走法？到乙地，共有多少种不同走法？ 一天中乘坐火车有一天中乘坐火车有4 4种走法，乘坐汽车有种走法，乘坐汽车有3 3种走种走法，乘坐轮船有法，乘坐轮船有2 2种走法，所以一天中从甲地到乙种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：地共有：4 43 32=92=9（种）不同走法。（种）不同走法。 例例2 2： 旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？示信号，最多能表示出多少种不同的信号？ 根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。
4、第根据挂信号旗的面数可以将信号分为两类。第一类是只挂一面信号旗，有红、黄、蓝一类是只挂一面信号旗，有红、黄、蓝3 3种；第二种；第二类是挂两面信号旗，按前面学的乘法原理会有：类是挂两面信号旗，按前面学的乘法原理会有：3 32=62=6种。所以，一共可以表示出不同的信号种。所以，一共可以表示出不同的信号3 36=96=9（种）。（种）。例例3 3： 两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？数的情况有多少种？ 两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，或者两数都是偶数。都是奇数，或者两数都是偶数。
5、因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的有有3 33=93=9（种）情况；同理，两数都是偶数的也有（种）情况；同理，两数都是偶数的也有9 9种情况。根据加法原理，两次出现的数字之和为种情况。根据加法原理，两次出现的数字之和为偶数的情况有偶数的情况有9 99 91818（种）。（种）。例例4 4： 用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？共有多少种不同的染色方法？ 在本例中没有一个区域与其它所有区域都相邻，在本例
6、中没有一个区域与其它所有区域都相邻，那么就要分颜色相同与不同两种情况分析。那么就要分颜色相同与不同两种情况分析。 当区域当区域A A与区域与区域E E颜色相同时，颜色相同时，A A有有5 5种颜色可选；种颜色可选；B B有有4 4种颜色可选；种颜色可选；C C有有3 3种颜色可选；种颜色可选；D D也有也有3 3种颜色种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有 5 54 43 33 3180180（种）。（种）。当区域当区域A A与区域与区域E E颜色不同时，颜色不同时，A A有有5 5种颜色可选；种颜色可选；E E有有4 4种颜色可选；种颜色可选；
7、B B有有3 3种颜色可选；种颜色可选；C C有有2 2种颜色可种颜色可选；选；D D有有2 2种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有染色方法有5 54 43 32 22 2240240（种）。（种）。再根据加法原理，不同的染色方法共有再根据加法原理，不同的染色方法共有180180240=420240=420（种）。（种）。例例5 5： 用用1 1，2 2，3 3，4 4这四种数码组成五位数，数字这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是可以重复，至少有连续三位是1 1的五位数有多少个？的五位数有多少个？ 将至少有连续三位数是将至少有连续三
8、位数是1 1的五位数分成三类：连的五位数分成三类：连续五位是续五位是1 1、连续四位是、连续四位是1 1、连续三位是、连续三位是1 1。连续五位是连续五位是1 1，只有，只有1111111111一种；一种； 连续四位是连续四位是1 1，有，有1111A1111A与与A1111A1111两种情况。其中两种情况。其中A A可以是可以是2 2，3 3，4 4中任一个，所以有中任一个，所以有3 33 36 6（种）；（种）；连续三位是连续三位是1 1，有，有111AB111AB，A111CA111C，BA111BA111三种情三种情况，其中况，其中A A，C C可以是可以是2 2，3 3，4 4中任一
9、个，中任一个，B B可以是可以是1 1， 2 2，3 3，4 4中任一个。所以对于中任一个。所以对于111AB111AB有有3 34 4（种），（种），A111CA111C有有3 33 3（种），（种），BA111BA111有有4 43 3（种）（种） 3 34 43 33 34 43 3 3333（种）。（种）。由加法原理，这样的五位数共有由加法原理，这样的五位数共有1 16 633334040（种）。（种）。 例例6 6： 右图中每个小方格的边长都是右图中每个小方格的边长都是1 1。一只小虫从。一只小虫从直线直线ABAB上的上的O O点出发，沿着横线与竖线爬行，可上点出发，沿着横线与竖线爬
10、行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到可下，可左可右，但最后仍要回到ABAB上（不一定上（不一定回到回到O O点）。如果小虫爬行点）。如果小虫爬行的总长是的总长是3 3，那么小虫有多，那么小虫有多少条不同的爬行路线？少条不同的爬行路线？ 第一步往上，再往左右有两种可能（因为必须第一步往上，再往左右有两种可能（因为必须回到回到ABAB线上），线上）， 分别是：（上分别是：（上1 1，左，左1 1，下，下1 1），），（上（上1 1，右，右1 1，下，下1 1）；）； 第一步往上，再往下也有两第一步往上，再往下也有两种可能：（上种可能：（上1 1，下，下1 1，左，左1 1），（上），（上1 1，
11、下，下1 1，右，右1 1）；）；同理第一步往下也有同理第一步往下也有4 4种可能；种可能； 再就是左右，再就是左右， 第一步往左，第二步分别上下各第一步往左，第二步分别上下各一种：（左一种：（左1 1，上，上1 1，下，下1 1），（左），（左1 1，下，下1 1，上，上1 1）；）； 第一步往左，第二步还往左右，则第三步也只能左第一步往左，第二步还往左右，则第三步也只能左右，共右，共4 4种；同理第一步往右也有种；同理第一步往右也有6 6种情况。共有：种情况。共有： 4+4+6+6=204+4+6+6=20 1.1.南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车
12、和乘轮船。如果每天有乘轮船。如果每天有2020班火车、班火车、6 6班飞机、班飞机、8 8班汽车班汽车和和4 4班轮船，那么共有多少种不同的走法？班轮船，那么共有多少种不同的走法？2.2.光明小学四、五、六年级共订光明小学四、五、六年级共订300300份报纸，每份报纸，每个年级至少订个年级至少订9999份报纸。问：共有多少种不同的订份报纸。问：共有多少种不同的订法？（法？（1010种）种）3.3.将将1010颗相同的珠子分成三份，共有多少种不颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法？同的分法？ 4. 4.在所有的两位数中，两位数码之和是偶数的在所有的两位数中，两位数码之和是偶数的共有多少个？共有多少个？ 5.5.用用1 1，2 2，3 3这三种数码组成四位数，在可能组这三种数码组成四位数，在可能组成的四位数中，至少有连续两位是成的四位数中，至少有连续两位是2 2的有多少个？的有多少个？ 6.6.用五种颜色给下图的五个区域染色，每个区用五种颜色给下图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？有多少种不同的染色方法？