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1、12.3合情推理与演绎推理考纲要求1. 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学 发现中的作用.2. 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推 理.3. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.aim梳理自测。构建能力大厦的莫泉石就知识梳理dZHISHISHULI1 .合情推理主要包括 和.合情推理的过程：从具体问 题出发观察、分析、 比较、联想归纳、类比f提出猜想都具归纳推理：由某类事物的 具有某些特征，推出该类事物的 有这些特征的推理，或者由 概括出 的推理，称为归纳推理，简称归纳）.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个另U到
2、一般的推理.（2）类比推理：由具有某些类似特征和其中的某些已知特征，推出也具有这些特皿的推理称为类比推理（简称类比），简言之，类比推理是由到的推理.2 .演绎推理：从 的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称.为演绎推理.简言之，演绎推理是由到 的推理.三段论是演绎推理的一般模式，苞括：大前提一一已知的一般原理；小前提一一所研究的特殊情况；结论一一根据一般原理，对特殊情况做出的判断.（2） “三段论”可以表示为大前提：是小前提：S是结论：S是A用集合说明：即若集合物的所有元素都具有性质Q S是的一个子集，那么S中所有 元素也都具有性质ASS基础自测世 ICHUZICE1 .某同学
3、在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，oooeeoooeeooo-, 按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是（）.A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大2 .数列2, 5, 11,20,32, x,中的x等于（）.A. 28 B. 32C. 33 D. 473 .观察(力，=2%(%) 7 =4/, (cos x) f = sin %,由归纳推理可得：若定义在R 上的函数/(X)满足F( x) =Ax),记g(x)为Hx)的导函数，则g( x) = ().A. fxB. /1(%)C. g(x)D. g(x)4 ,给出下列三个类比结论. Q6) = 46 与 9+6) 类比，则有(
4、a+ bY = a+ bn； logKxy) =logax+log4与 sin(。+ )类比，则有 sin(a + )=sin a sin ；(乞+6)2=乞2+2加+/与 g+8)2类比，则有 g+,)2 = 3 + 2a 6+8,.其中结论正确的个数是().A. 0B. 1C. 2D. 3识应用能力的突破口LW；探究突破一、归纳推理3【例 1】观察：sin-100 +cos240 +sin 10 cos 40 =-；3sin%。+cos236 +sin 6 cos 36 =-由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想.方法提炼1 .归纳推理的特点：（1）归纳推理是由部分到整体
5、、由个别到一般的推理；（2）归纳的 前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论 之间的联系不是必然的，而是或然的.所以“前提真而结论假”的情况是可能发生的；（3） 人们在进行归纳推理时，总是先收集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前 提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行；归纳推理能 够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段.2 .归纳推理的一般步骤：首先，对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；然后，在 此基础上提出带有规律性的结论，即猜想；最后，检验这个猜想.请做演练巩固提升1二、类比推理【例2】在Rt仍T
6、中，N的。=90 ,作为垂足，物为4?在比上的射影, 口为然在比上的射影，则有命+-=8已/=。%成立,直角四面体/WC（即PA1PB、 PB工PC、/TL必）中，。为在力欧内的射影，必反 &PBC、心的面积分别记为S、 S、S, 勿反X0BC、0。的面积分别记为 1、S 2、S 3, ZUa的面积记为S类比 直角三角形中的射影结论，在直角四面体力比中可得到正确结论（写出一个正确结 论即可）.方法提炼1 .类比推理的特点：（1）类比推理是由特殊到特殊的推理；（2）类比推理是从人们已经 掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性, 不一定可靠；（3）类比推理以
7、IH的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能；（4）由于类 比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键 是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征.2 .类比推理的步骤：首先，找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；然后，用一 类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而获得一个猜想；最后，检验这个猜想.类 比是科学研究最普遍的方法之一.在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的,重要 手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段.类比在数学中应用广泛，数与式、平面与 空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比 法猜想
8、，而后加以证明的.请做演练巩固提升2三、演绎推理【例3】如图，己知直四棱柱460948C的底面是直角梯形，ABLBC, AB/ CD, E, 尸分别是棱夕8笈G上的动点，且必 S, CD=DD、= 3 AB=2, BC=3.证明：无论点怎样运动，四边形 都为矩形;当时，求几何体力一同的体积.方法提炼1 .演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式.2 .演绎推理的一般模式是由大前提、小前提推出结论的三段论推理.三段论推理常用 的一种格式，可以用以下公式来表示：如果 /?= c, a= b,则 a= c.3 .演绎推理是一种必然性推理.演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要 前
9、提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的.错误的前提可能导致错误的 结论.三段论推理也可用集合论的观点来解释：若集合物的所有元素都具有性质R S是 的子集，那么S中所有元素也都具有性质.三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称 为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这 两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论.请做演练巩固提升3W考题研析於AOTIYANXI把握不准周期性而致误【典例】（2012陕西高考）观察下列不等式,1 31+11111 7照此规律，第五个不等式为答案：11111 11答题指导:在解答
10、本题时有两点易造成误解：（1）对于给定的式子，只观察式子结果，而不去继续探究下几项式子，从而找不到规律 而误解.（2）在继续探究的情况下，运算错误从而导致周期找不到或找错周期而误解.客实复习效果的操炼场_ A NII A N GON CIGUT 1H E ZC1 .观察下列各式：72=49,73=343, 7 =2 401,则7? ”的末两位数字为（）.A. 01 B. 43 C. 07 D. 49c2 .在平面几何中有如下结论：正三角形/比的内切圆面积为S,外接圆面积为S,则9 02推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体4为。的内切球体积为 心 外接球体）.积为1111A，8 B* 9 C
11、, 64 D，273.“因为指数函数夕=a*是增函数（大前提），而/是指数函数（小前提），所以p,是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）.,是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）.A.B.C.D.大前提错导致结论错小前提错导致结论错 推理形式错导致结论错 大前提和小前提错都导致结论错4. (2012湖北高考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子 表示数.他们研究过如图所示的三角形数：13610将三角形数1, 3, 6,10,记为数列a,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组 成一个新数列4.可以推测：d)Z2 012是数列a中的第 项；(2) bzk-=.(用 A表
12、示)(2012长沙模拟)有以下命题：设a”，4，?是公差为的等差数列&中 n2,lm任意/项，若虑+ %=+( wM, twn且加)，则+1+ =Qd； mmmin特别地，当广=0时，称许为，an , , an的等差平均项. nnm(1)已知等差数列&的通项公式为&=2,根据上述命题，则氏,既。,&8的等差 平均项为.(2)将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中：设% , %，册 是公比为 n2nm。的等比数列a中任意/项，若吐吐二=夕+(金，rN且rV血，则 ； mm特别地，当r=0时，称当为4，4?，af1的等比平均项.2nm参考答案基础梳理自测知识梳理1 .归纳推理类比推理(1)部分
13、对象全部对象个别事实一般结论(2)两类对象一类对象另一类对象特殊特殊2 . 一般性一般特殊基础自测1. A解析：由图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白 二黑的圆列，因为36 + 5 = 7余1,所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色.2. D 解析：由 5 2 = 3, 11 5 = 6, 2011=9, 32 20 = 12,则 x32 = 15, Ax=47.3. D解析：由已知的三个求导式可归纳推理得到偶函数的导函数是奇函数，又/(%) 是偶函数，所以g(x)是奇函数，故g( X)=g(x).4. B解析：只有正确.考点探究突破3【例 1】解：猜想 sir?
14、。+cos2(。+30 ) +sin cos ( a +30)=.a +；sin证明：左边= sin，Q+cos (。+30 ) cos ( a +30 ) +sin a = sin20+惇cos af )a21 32= sin a +-cos41 . 2Q ysin a 4=右边.所以，猜想是正确的.【例2】5=6(或52 = +8+&)解析：空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面 体冷边形，面。力，体积由积，二面角孑面角，面积一线段长，由此，可类比得= 5 6(或 =+&).【例3】证明：在直四棱柱4M943G中，DD CC, :EF CC, ：.EF/DD
15、x.又平面平面A】BCD,平面 ABCDC 平面 EFDD=ED,平面 A 平面 EFDD=FD, 瓦?咫.四边形夕力。为平行四边形.:侧棱加底面40,又加t平面/比:.DDIDE. 四边形反力为矩形.解:连接第 .*四棱柱ABCDABGD1为直四棱柱, 二侧棱加此底面又力匠平面四，:DDdAE.在 RrtZ45中，AB=2, BE=2, 则 AE=2yi.在 Rt在中，EC=3 CD=3贝ij DE=yi.在直角梯形/腼中，AD=W + （四。2=班, :.aE+d=aiL BP AEVED.又： EDCDD尸 D, 平面EFDW.由 可知，四边形以以为矩形，且DE=yi, DD = 3,矩
16、形仔为的面积为S矩形网。= DD尸死.几何体A-EFDD的体积为VA_EFD 口 zi LJ1 1-/| xZ=3 S矩形efDD *X 2y2 =-.演练巩固提升1. B解析：（法一）由题意得，72 0,1 = 7502X4+3=(7T。2 . 由于 7 = 2 401 末位为 1,倒数第二位为0,因此2倒产2的末两位定为01.又7：=343, A （71） 502 - 7：的末两位定为43.（法二）用归纳法:72 = 49,73 = 343 , 74 = 2 401, 75= 16 8 0 7 , 76= 117 6 49, 77 = 823 543,，由上知末两位有周期性且T = 4.又
17、72 011 = 7502x4+3, J 72。口的末两位与7：，的末两位一样为43.2.解析:V1 1正四面体的内切球与外接球的半径之比为1 : 3,故体积之比为/=方.V2 Z I3.3.解析:解析:是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误.是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误.4.(1)5 030“2 - 31 = 2, & - & = 3,5（5丁）解析：（1）由题意可得 乙& - “3 = 4,，cln - &-1 = n.，a = 1,=3,a=6,创=10, , ,以上各式相加得,(/?1) (?+2)9 故 cln=10, / =a=15, Z3= 9=45, b io=55, 由此归纳出bz 012=与030./、4X5(2) b = & = -9 A =己9= 乙, 5A(5A1)归纳出bik- 0.乙9X1014X152， 65=34=25. &r=aP qm解析:,、.i + 3+”io+ai82 + 6 + 20 + 36= 16,rqm来类比为+牙7可得.&8的等差平均项为四.+ + + a.类比/一空军用4m