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1、第2课时 指数型、对数型函数模型的应用举例招招 聘聘 启启 事事猪氏集团因业务发展需要，猪氏集团因业务发展需要，特招聘旗下餐饮公司经理一名特招聘旗下餐饮公司经理一名.要求要求3030周岁以下周岁以下,经面试合格经面试合格,即可录用，待遇丰厚即可录用，待遇丰厚.联联 系系 人人 ：猪悟能：猪悟能联系电话：联系电话：8686886686868866 “天棚大酒店天棚大酒店”自自20142014年年1 1月月1 1日营业以来，生意日营业以来，生意蒸蒸日上蒸蒸日上.第一个月的营业额就达到了第一个月的营业额就达到了100100万元，第二万元，第二个月比第一个月增长了百分之五个月比第一个月增长了百分之五.
2、照此增长，第三个月照此增长，第三个月的营业额为多少的营业额为多少?第第x个月的营业额是多少？个月的营业额是多少？面试题目面试题目100100（1+0.051+0.05）2 2100100（1+0.051+0.05）x-1x-1这是指数函数模型，今天我们将学习指数函数和这是指数函数模型，今天我们将学习指数函数和对数函数模型！对数函数模型！指数函数、指数函数、对对数函数的数函数的应应用是高考的一个重点用是高考的一个重点内容，常与增内容，常与增长长率相率相结结合合进进行考行考查查在在实际问实际问题题中，有关人口增中，有关人口增长长、银银行利率、行利率、细细胞分裂等胞分裂等增增长问题长问题可以用指数函
3、数模型表示，通常可以可以用指数函数模型表示，通常可以表示表示为为y yN(1N(1p)p)x x(其中其中N N为为原来的基原来的基础础数，数，p p为为增增长长率，率，x x为时间为时间)的形式另外，指数方的形式另外，指数方程常利用程常利用对对数数进进行行计计算，指数、算，指数、对对数在很多数在很多问问题题中可中可转转化化应应用用解函数应用问题的步骤解函数应用问题的步骤(1)(1)审题审题:弄清题意弄清题意,分清条件和结论分清条件和结论,理顺数量关系理顺数量关系,初初步选择数学模型步选择数学模型;(2)(2)建模建模:将自然语言转化为数学语言将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化将文字语言
4、转化为符号语言为符号语言,利用数学知识利用数学知识,建立相应的数学模型建立相应的数学模型;(3)(3)解模解模:求解数学模型求解数学模型,得出数学结论得出数学结论;(4)(4)还原还原:将数学问题还原为实际问题将数学问题还原为实际问题.1.1.指数函数模型指数函数模型(1)(1)表达形式：表达形式：_(2)(2)条件：条件：a,b,ca,b,c为常数，为常数，a0,b0,b1.a0,b0,b1.2.2.对数函数模型对数函数模型(1)(1)表达形式：表达形式：_._.(2)(2)条件：条件：m,n,am,n,a为常数，为常数，m0,a0,a1.m0,a0,a1.f(x)=f(x)=abx+c.+
5、c.f(x)=f(x)=mlogloga ax+n什么样的函数是指数函数模型、对数函数模型呢？什么样的函数是指数函数模型、对数函数模型呢？其中其中t t表示经过的时间，表示经过的时间，y y0 0表示表示t t0 0时的人口数，时的人口数，r r表示人口的年平均增长率表示人口的年平均增长率.例例1.1.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据增长提供依据.早在早在17981798年，英国经济学家马尔年，英国经济学家马尔萨斯（萨斯（T.R.Malthus,1766-1
6、834)T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然就提出了自然状态下的人口增长模型：状态下的人口增长模型：微课微课1 1：指数型函数的应用：指数型函数的应用年份年份19501950195119511952195219531953195419541955195519561956195719571958195819591959人数人数万万人人55 55 19619656 56 30030057 57 48248258 58 79679660 60 26626661 61 45645662 62 82882864 64 56356365 65 99499467 67 207207下表是
7、下表是1950195019591959年我国的人口数据资料：年我国的人口数据资料：（1 1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到时期的人口增长率（精确到0.000 10.000 1），用马尔萨斯），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符.（2 2）如果按表格的增长趋势，大约哪一年我国的人）如果按表格的增长趋势，大约哪一年我国的人口达到口达到1313亿亿?解函数应用题时首先要把求解目标
8、表示为一个变量解函数应用题时首先要把求解目标表示为一个变量的函数的函数,这个变量应该把求解目标需要的一切量表这个变量应该把求解目标需要的一切量表示出来示出来,同时注意实际问题的函数定义域同时注意实际问题的函数定义域(指定的、指定的、根据实际意义的根据实际意义的),),一般不是由求出的函数解析式确一般不是由求出的函数解析式确定的定的.【解题关键解题关键】解解:（1 1）设设1951195119591959年的人口增长率分别为年的人口增长率分别为于是于是,1951,195119591959年期间年期间,我国人口的年均增长率为我国人口的年均增长率为由由可得可得19511951的人口增长率为的人口增长
9、率为同理可得，同理可得，根据表格中的数据作出散点图根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象并作出函数的图象.令令则我国在则我国在1950195019591959年期间的人口年期间的人口增长模型为增长模型为验证其验证其准确性准确性由图可以看出由图可以看出,所得模型所得模型 与与1950195019591959年的实际人口数据基本吻合年的实际人口数据基本吻合.所以所以,如果按上表的增长趋势如果按上表的增长趋势,那么大约在那么大约在19501950年后年后的第的第3939年年(即即19891989年年)我国的人口就已达到我国的人口就已达到1313亿亿.由由此可以看到此可以看到,如果不实行计划生育
10、如果不实行计划生育,而是让人口自然而是让人口自然增长增长,今天我国将面临难以承受的人口压力今天我国将面临难以承受的人口压力.（2 2）将）将y=130 000y=130 000代入代入由计算器可得由计算器可得1.1.科学研究表明：在海拔科学研究表明：在海拔x(km)x(km)处的大气压强是处的大气压强是y(10y(105 5Pa)Pa)，y y与与x x之间的函数关系式是之间的函数关系式是y=cey=cekxkx（c,kc,k为常为常量）在海拔量）在海拔5(km)5(km)处的大气压强为处的大气压强为0.568 3(100.568 3(105 5Pa)Pa)，在，在海拔海拔5.5(km)5.5
11、(km)处的大气压强为处的大气压强为0.536 6(100.536 6(105 5Pa)Pa)，（1 1）问海拔）问海拔6.712(km)6.712(km)处的大气压强约为多少？处的大气压强约为多少？（精确到（精确到0.000 1)0.000 1)（2 2）海拔为）海拔为h h千米处的大气压强为千米处的大气压强为0.506 6(100.506 6(105 5Pa)Pa)，求该处的海拔求该处的海拔h.h.【变式练习变式练习】解：解：(1)(1)把把x=5,y=0.568 3,x=5.5,y=0.536 6x=5,y=0.568 3,x=5.5,y=0.536 6代入函数关系式代入函数关系式y=c
12、ey=cekxkx ，得：，得：把把 x=6.712x=6.712代入上述函数关系式，得代入上述函数关系式，得0.466 8(100.466 8(105 5Pa)Pa)答：海拔答：海拔6.712(km)6.712(km)处的大气压强约为处的大气压强约为0.466 8(100.466 8(105 5Pa).Pa).(2)(2)由由1.011.01e e-0.115h-0.115h=0.506 6=0.506 6答答:该处的海拔约为该处的海拔约为6 km.6 km.解得解得h6(km)h6(km)C C【提升总结提升总结】指数函数应用题的解题思路：指数函数应用题的解题思路：有关指数函数的应用题一般
13、都会给出函数关系式，有关指数函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据数值回答其实际意义然后根据数值回答其实际意义.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v=5logv=5log2 2 (m/s)(m/s)，其中，其中q q表示燕子的耗氧量，则燕子表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为静止
14、时的耗氧量为_._.当一只两岁燕子的耗氧量当一只两岁燕子的耗氧量为为8080个单位时，其速度是个单位时，其速度是_._.微课微课2：对数型函数的应用：对数型函数的应用101015m/s15m/s【解析解析】由题意，燕子静止时由题意，燕子静止时v=0v=0，即，即5log5log2 2 =0 =0，解得解得q=10q=10；当；当q=80q=80时，时，v=5logv=5log2 2 =15(m/s).=15(m/s).答案：答案：10 15m/s10 15m/s【提升总结提升总结】对数函数应用题的基本类型和求解策略对数函数应用题的基本类型和求解策略(1)(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般
15、都会给出基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解函数解析式，然后根据实际问题再求解.(2)(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数的参数,或给出具体情境或给出具体情境,从中提炼出数据从中提炼出数据,代入解析代入解析式求值式求值,然后根据数值回答其实际意义然后根据数值回答其实际意义.例例3 3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表身高身高(cm)(cm)体重体重(kg)(kg)60607070808090901001001101101201201301301
16、401401501501601601701706.136.137.907.909.999.99 12.1512.15 15.0215.02 17.5017.5026.8626.8620.9220.9231.1131.11 38.8538.85 47.2547.2555.0555.05根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重体重y kgy kg与身高与身高x cmx cm的函数关系？试写出这个函的函数关系？试写出这个函数模型的解析式数模型的解析式微课微课3 3：数据拟合
17、函数的应用：数据拟合函数的应用若体重超过相同身高男性体重平均值的若体重超过相同身高男性体重平均值的1.21.2倍倍为偏胖，低于为偏胖，低于0.80.8倍为偏瘦，那么这一地区一名倍为偏瘦，那么这一地区一名身高为身高为175 cm175 cm，体重为，体重为78 kg78 kg的在校男生的体重的在校男生的体重是否正常？是否正常？分析：分析：(1)(1)根据上表的数据描点画出图象（如下）根据上表的数据描点画出图象（如下）根据散点根据散点图选择合图选择合适的函数适的函数模型模型(2)(2)观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况，
18、我们可以考虑用函的曲线，根据这些点的分布情况，我们可以考虑用函数数y=ay=a b bx x来近似反映来近似反映.解：解：将已知数据输入计算机，画出图象；将已知数据输入计算机，画出图象；如果取其中的两组数据（如果取其中的两组数据（7070，7.907.90）,（160160，47.2547.25）根据图象，选择函数根据图象，选择函数进行拟合进行拟合代入函数代入函数由计算器得由计算器得从而函数模型为从而函数模型为将已知数据代入所得函数关系式，或作出所得将已知数据代入所得函数关系式，或作出所得函数的图象，可知此函数能较好地反映该地区函数的图象，可知此函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系
19、未成年男性体重与身高的关系所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为关系式可以选为将将x=175x=175代代入入得得 由计算器计算得由计算器计算得 y y63.9863.98，所以，这个男生偏胖所以，这个男生偏胖由于由于C C 【变式练习变式练习】函数拟合与预测的步骤函数拟合与预测的步骤 能够根据原始数据、表格能够根据原始数据、表格,绘出散点图绘出散点图.通过观察散点图通过观察散点图,画出画出“最贴近最贴近”的直线或曲的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线线，即拟合直线或拟合曲线如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，一如果所有实际点都落到了拟
20、合直线或曲线上，一“点点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况几乎是不可能发生的实际应用中，这种情况几乎是不可能发生的【提升总结提升总结】因此，使所有的点尽可能均匀分布在直线或曲线两因此，使所有的点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大致相等，得出的拟合直线或拟合侧，使两侧的点大致相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是曲线就是“最贴近最贴近”的了的了根据所学函数知识根据所学函数知识 ，求出拟合直线或拟合曲线的，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式函数关系式利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测利用函数关系式，根据条件对所给问题进行
21、预测和控制，为决策和管理提供依据和控制，为决策和管理提供依据C C C CB B（2 2）利用待定系数法，确定具体函数模型）利用待定系数法，确定具体函数模型.1.1.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法实际问题的方法（3 3）对所确定的函数模型进行适当评价）对所确定的函数模型进行适当评价.（1 1）根据题意选用恰当的函数模型来描）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系述所涉及的数量之间的关系.（4 4）根据实际问题对模型进行适当修正）根据实际问题对模型进行适当修正.2.2.函数应用的基本过程函数应用的基本过程（5 5）用得到的函数模型解决相应的问题）用得到的函数模型解决相应的问题.（1 1）收集数据）收集数据.（2 2）作出散点图）作出散点图.（3 3）通过观察图象判断问题所适用的函数模型）通过观察图象判断问题所适用的函数模型.（4 4）用计算器或计算机的数据拟合功能得出具）用计算器或计算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式体的函数解析式.勇气产生在斗争中，勇气是在每天对困难的顽强抵抗中养成的。