理论力学-课件第3章.pptx

《理论力学-课件第3章.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理论力学-课件第3章.pptx（54页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、第第 3 章章 空空间力系力系本章内容本章内容本章内容本章内容 1 力在空间直角坐标轴上的投影力在空间直角坐标轴上的投影 2 力力对轴的矩与力的矩与力对点的矩点的矩 3 空空间力系的平衡方程式及其力系的平衡方程式及其应用用 4 平行力系的中心与重心平行力系的中心与重心当物体所受的力，其作用线不在同一平面而呈空间分布时，称为空间力系空间力系。在工程实际中，有许多问题都属于这种情况。如图3-1所示，车床主轴受切削力 、和齿轮上的圆周力 、径向力 以及轴承A、B处的约束力，这些力构成一组空间力系。如图3-1第一第一第一第一节节 力在空力在空力在空力在空间间直角坐直角坐直角坐直角坐标轴标轴上上上上的投

2、影的投影的投影的投影一一一一、直接投影法、直接投影法、直接投影法、直接投影法若一力 的作用线与x，y，z轴对应的夹角已经给定，如图3-2（a）所示，则可直接将力 向三个坐标轴投影，得图3-2式中：，分别为力 与x，y，z三坐标轴间的夹角。二、二次投影法二、二次投影法二、二次投影法二、二次投影法当力 与坐标轴x，y间的夹角不易确定时，可先将力 投影到Oxy坐标平面上，得一力 向x，y轴上投影，如图3-2（b）所示。若 为力 与z轴间的夹角，为 与x轴间的夹角，则力 在三个坐标轴上的投影为图3-2（b）如果力 的大小、方向是已知的，则它在选定的坐标系的三个轴上的投影是确定的；反过来，如果已知力 在

3、三个坐标轴上的投影 ，的值，则力 的大小与方向也就被唯一地确定了，它的大小为其方向余弦为一、力一、力对轴的矩的矩第二第二第二第二节节 力力力力对轴对轴的矩与力的矩与力的矩与力的矩与力对对点的矩点的矩点的矩点的矩一力使物体绕某一定轴转动，其效应通常以此力对该轴的矩来度量，称为力对轴的矩。图3-3归纳：归纳：当力作用线与旋转轴共面时，不可能使物体绕该轴转动。如果力 垂直于门且不通过转动轴，就能使门转动；而且这个力越大，或其作用线与转动轴的距离越远，这个转动效应就越显著。图3-3因此，可以用力 的大小与上述距离的乘积来度量力 对刚体绕定轴的转动效应，再用不同的正、负号来区别不同的转动方向，此即力对轴

4、的矩的概念力对轴的矩的概念。如图3-4所示，将力 分解为两个分力 和 ，力 平行于z轴，力 位于通过力 的作用点A且与z轴垂直的平面E内。图3-4力 对z轴的转动效应完全由分力 决定因此，力对轴之矩为力在垂直于该轴的平面上的分力对于该轴与平面交点之矩。力 对z轴的矩，定义为式中，O点为平面E与z轴的交点；d为O点到力 作用线的距离。力对轴的矩是一个代数量，其单位是N Nm m。从力对轴的矩的定义可知：（1）当力与轴平行时（）或力作用线与轴相交时（），力对轴的矩均为零。（2）当力沿其作用线移动时，力对轴的矩不变。这是因为此时 及 均未改变。合力矩定理合力矩定理 空间力系的合力对某一轴的矩，等于各

5、分力对同一轴之矩的代数和。设有空间一般力系（），其合力为 ，则合力矩定理为设有一力 ，其作用点A的坐标为 ，如图3-5所示。为求力 对z轴的矩，可将力 向x，y，z三个坐标轴上投影，分别记为 ，而 为力 在 坐标面内的分力。根据力对轴之矩的定义，对于z轴的矩等于 对于O点的矩，即根据平面力系的知识及合力矩定理，有于是如图3-5同理，可计算力 对x轴及对y轴的矩。因此，力 对x，y，z轴的矩分别为（3-6）式（3-6）即为力对轴之矩的解析表达式。注意式中力 的投影 ，和力 的作用点的坐标x，y，z都是代数量。例3-1 托架固连在轴上，载荷 ，方向如图3-6（a）所示，求力 对直角坐标系 各轴之矩

6、。图中长度单位是cm。3-6（a）由图3-6（b）可得解解（1）求方向余弦图3-6（b）（2）计算力 在各坐标轴上的投影（3）计算力 在各坐标轴的矩力 作用点A的坐标是，因此，利用式（3-6）求得力 对各坐标轴的矩为二、力二、力对点的矩矢点的矩矢研究力使刚体绕矩心转动的效应，需要引入力对点的矩矢的概念，它取决于力与矩心所构成平面的方位、力矩在该平面内的转向、力矩的大小这三个因素。因此，对于空间力系，力对点的矩可用一矢量来表示，称为力矩矢。设有一力（用矢量 表示）及矩心O，如图3-7所示，点O到力 作用线的距离为d。用 来表示力 对O点的矩，其大小为图3-7力矩与矩心位置有关，应以矩心作为起始点

7、。所以力矩矢是定位矢。力矩矢是定位矢。如果以 表示矩心O到力 作用点A的矢径，由矢量代数得知，矢量积 也是一个矢量，其大小等于 面积的两倍，其方向垂直于 与 所决定的平面，其指向符合右手螺旋法则，因此（3-7）即力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。若以矩心O为原点，作空间直角坐标系 ，如图3-8所示，则 与 分别表示为图3-8代入式（3-7），可得（3-8）式中：，A点坐标；，分别为力 在三个坐标轴上的投影。三、力三、力对点的矩与力点的矩与力对通通过该点的点的轴的矩之的矩之间的关系的关系由式（3-8）可知，力矩矢 在三个坐标轴上的投影为（3-9）将式（3-9）与式（3-6）比

8、较，可得（3-10）由此可得出结论：力对某一点的矩矢在通过该点的任一轴上的投影，等于此力对该轴的矩。第三第三第三第三节节 空空空空间间力系的平衡方程式力系的平衡方程式力系的平衡方程式力系的平衡方程式及其及其及其及其应应用用用用一、空一、空间一般力系向一点的一般力系向一点的简化化设有空间任意力系 ，分别作用在刚体的 各点上，如图3-9所示。在刚体上取任意一点O为简化中心，将各力向O点平移，可得到一个在O点的空间汇交力系和一个空间附加力偶系。与平面力系类似，该汇交力系可合成为一个作用于O点的力 ，等于各力的矢量和。即（3-11）图3-9附加力偶系可合成为一个空间力偶，其力偶矩 ，等于各附加力偶矩的

9、矢量和，亦即等于原力系中各力对于简化中心O的矩的矢量和。称为原力系的主矢，称为原力系对简化中心O的主矩矢 。如图3-10所示图3-10结论结论：空间任意力系向一点（简化中心）简化的结果一般可得一个力和一个力偶，该力作用于简化中心，等于原力系中各力的矢量和，称为原力系的主矢；该力偶的矩等于原力系中各力对简化中心的矩的矢量和，称为原力系对简化中心的主矩矢。若用解析法来计算力系的主矢和主矩矢，可在简化中心O点建立直角坐标系 ，由式（3-11）可得主矢 在各坐标轴上的投影为（3-13）且（3-14）将式（3-12）向各坐标轴投影，并注意到力对点之矩与力对轴之矩间的关系，则得（3-15）且（3-16）二

10、、空二、空间任意力系的平衡方程及任意力系的平衡方程及应用用从力系的简化结果来分析力系的平衡条件。空间任意力系向一点简化的结果得到一个力和一个力偶，因此，空间任意力系处于平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和力系对于任意点的主矩矢力系的主矢和力系对于任意点的主矩矢都等于零。都等于零。即根据式（3-14）和式（3-16），上述条件可写成（3-17）空间任意力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力在任一直角坐标系中每一轴上的投影的代数和等于零，以及各力对每一轴的矩的代数和也等于零。空间任意力系是物体受力的最一般情况，其他类型的力系都可以认为是空间任意力系的特殊情形，因而它们的平衡方程也可由方程式（3-1

11、7）导出，具体如下。（1）空间汇交力系 取力系的汇交点作为坐标系 的原点，则力系中各力都通过该点，即与各坐标轴相交。因此各力对坐标轴的矩均为零，即式（3-17）中，。于是，空间汇交力系的平衡方程只有三个，即（3-18）（2）空间平行力系若取z轴平行于力系中各力的作用线，则 坐标面与各力作用线垂直。因此，式（3-17）中，。于是，空间平行力系的平衡方程只有三个，即（3-19）（3）平面任意力系取力系的作用面 为坐标面，则力系中各力在z轴上投影均为零，各力对x，y轴的矩也为零。因此，于是，平面任意力系的平衡方程只有三个，即（3-20）式（3-20）与前面得出的平面任意力系的平衡方程是相同的。例3-

12、2 半圆板的半径为r，重力为 如图3-11所示，板的重心C离圆心为 ，在A，B，D三点用三根铰链杆悬挂于固定处，使板处于水平位置。求此三根杆的内力。图3-11解取半圆板为研究对象。由题意，吊杆1，2，3均为二力杆，设它们均受拉力，分别记为 ，则板受 ，四个平行力的作用，这是一个空间平行力系的问题。如图3-11所示。根据式（3-19），有图3-11取A点为坐标原点，建立坐标系，（a），（b），（c）由式（a）解得代入式（b），解得将解得的 ，代入式（c），得例3-3三根无重杆AB，AC，AD铰接于点A，其下悬挂一物体，重力为如图3-12所示，AB与AC等长且互相垂直，B，C，D处均为铰接。求各杆

13、所受的力。图3-12解取节点A为研究对象。由于各杆自重不计，则所受的力都沿杆的轴线方向，设均为拉力，则A点受三杆的拉力 ，和绳子的拉力 ，这是一个空间汇交力系的平衡问题。取坐标系如图3-12所示，利用方程式（3-9），可得图3-12由式（c）解得（注意 ），（a），（b），（c）将此结果代入式（a）和式（b），可解得式中，负号表明 ，的实际方向与假设相反，即两杆均受压力。例3-4 和 圆盘与水平轴 固连，盘垂直于z轴，盘垂直于x轴，盘面上分别作用力偶 ，如图3-13所示。已知两半径为 ，不计构件自重，试计算轴承 和 的约束力。解（1）取整体为研究对象，受力分析，A，B处x方向和y方向的约束力分

14、别组成力偶，画受力图。（2）列平衡方程：A，B处的约束力：，例3-5某车床主轴装在轴承A与B上，如图3-14所示，其中A为向心推力轴承（即不允许轴沿任何方向移动），B为向心轴承（即能允许沿轴向有不大的移动，故无轴向约束力）。圆柱直齿齿轮C的节圆半径 ，其下与另一齿轮啮合，压力角 。在轴的右端固定一半径为 的圆柱体工件。已知 ，。车外圆时车刀给工件的力作用在点H，其中切向切削力 ，轴向切削力 ，径向切削力。试求齿轮所受的力F F和两轴承的约束力。图3-14解取主轴连同齿轮C和工件一起作为研究对象。以A点为坐标原点，取x轴在水平面内，y轴与主轴轴线重合，z轴沿铅垂线。这是一个空间任意力系的平衡问题

15、，未知力有六个：，可利用空间任意力系的六个平衡方程求解。，（a），（b），（c），（d），（e），（f）由式（a）可解得再由式（b），得将其代入式（c），得将求得的 和 值代入式（d），解得将 值代入式（e），得再将 和 值代入式（f），解得一个平衡的空间任意力系，在三个坐标平面 ，上的投影所组成的三个平面任意力系也不一定是平衡力系。因为在 平面内，有平衡条件 ，。在 平面内，有平衡条件 ，。在 平面内，有平衡条件 ，。例如，在例3-5中，可采用上述方式，将轴上各力分别向所选定的三个坐标平面投影，得到如图3-15所示的三个平面力系的受力图。其中，齿轮C的啮合力 在切向和径向上的投影分别为 和

16、。且，在这三个平面力系中，分别根据各自的平衡方程，可得与例3-5中同样的结果。图3-15（a）在图3-15（a）中，由平衡方程可知，上述三个方程与例3-5中由 ，得出的方程是一样的。在图3-15（c）中，有这与上例中根据 ，得出的结果相同。图3-15，同理，在图3-15（b）中，有即为上例得出的相同的平衡方程。，图3-15（b）应当特别指出的是，在画投影图时，必须特别注意力在三个视图之间的关系，不要把力的方向画错。对空间任意力系而言，只有六个平衡方程，可用来求解六个未知量。转化为三个平面任意力系后，如前所述，总共可列出九个平衡方程，然而，不难看出，独立的方程数仍然只有六个，因而仍然只能求解六个

17、未知量。第四第四第四第四节节 平行力系的中心与重心平行力系的中心与重心平行力系的中心与重心平行力系的中心与重心一、平行力系的中心一、平行力系的中心平行力系的中心，即为平行力系合力的作用点。例如，两同向平行力 和 分别作用在A，B两点，如图3-16所示。利用平面一般力系简化的理论，可求得它们的合力 ，其大小为 ，其作用线内分AB连线于C点，且有图3-16显然，C点与两力 ，在空间的方位无关。若 ，按同方向转过相同的角度 ，则合力 亦转过同一角度，且仍通过C点，如图3-16所示。图3-16上述结论可推广到由任意多个力组成的平行力系。这样，便可将力系中各力逐个地顺次合成，最终求得力系的合力 ，的作用

18、点即为该平行力系的中心，且此点的位置只与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。现利用解析法确定平行力系中心的位置。取一直角坐标系 ，设有一空间平行力系 平行于z轴，各力作用点的坐标为，而平行力系中心C点的坐标为 ，如图3-17所示。根据合力矩定理，有，或，或再利用平行力系中心的性质，将各力按相同转向转到与 轴平行，同理，有于是，得平行力系中心C点的坐标公式为二、重心二、重心物体的重心是平行力系中心的特例。放置在地球表面附近的物体，每一部分都受到地心的重力作用，由于地球半径比物体的尺寸大得多，因此，物体各部分所受的重力组成了一平行力系，此力系的合力即为物体整体所受的重力，重力

19、的作用点称为物体的重心重心。显然，无论物体如何放置，其重心总是确定的点。重心的位置可由平行力系中心的坐标公式来确定。设物体各微小部分的重力为 ，则物体整体的重力为 ，其大小为 ，物体重心 的坐标公式为（3-22）对于均质物体，设其密度为 ，则 ，其中 ，分别为物体微小部分及整体的体积。于是，式（3-22）可写成(3-23)此即为物体形心的坐标公式式（3-23）也可写成积分的形式，即(3-24)对于均质等厚的薄壳（板），设其表面积为A，由于厚度极小，则式（3-23）可写成或对于均质线段，设其长度为L，类似地可得其重心坐标公式为或求物体重心时，需注意：（1）利用物体的对称性求重心（2）组合体的重心求法例3-6不等边角钢的截面近似地简化如图3-18所示，试求其形心，已知 ，。3-18解解将该图形分成1及2两个矩形。取坐标系如图3-18所示，于是，则形心坐标为例3-7 半径为 的圆面有一圆孔，孔的半径为 ，如图3-19所示，两圆中心的距离为 ，求圆形的重心位置。3-19解解将圆形看作由两部分组成：半径为 的大圆面和半径为 的小圆面。后者是切去部分，故其面积为负值。取大圆中心为坐标原点令 轴通过两圆的中心，利用对称性，应有 ，则即图形的重心C应在点O的左边。Thank You!