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1、第十三章第十三章达朗贝尔原理01惯性力 质点的达朗贝尔原理02质点系的达朗贝尔原理03刚体惯性力系的简化04绕定轴转动刚体的轴承动约束力目录目录第一节第一节惯性力 质点的达朗贝尔原理惯性力惯性力 设想有一静止的火车，车厢内一光滑桌子上放有一个静止的小球。当火车开始加速启动时，在地面上的人看来（参考系为地面），小球并没有运动；但是在火车上的人看来（参考系为火车），小球沿着与火车运动方向相反的方向在运动，且小球的加速度和火车的加速度大小相等、方向相反。然而，对小球进行受力分析发现，小球只受到了重力和支持力的作用，且这两个力在竖直方向上是平衡的；在水平方向上并没有受力。根据牛顿运动定律，小球是不会运
2、动起来的，但是车上的人确实看到小球在动。也就是说，以地面为参考系时，牛顿力学是适用的；以火车为参考系时，牛顿力学便不适用了。这是牛顿力学的一个局限。为了弥补这个缺陷，我们引入“惯性力”这个概念，即在火车的参考系中，假想小球是在惯性力的作用下运动的。若火车的加速度为a，用 表示惯性力，则（13-1）质点的达朗贝尔原质点的达朗贝尔原理理设一质点的质量为m，加速度为a，作用于质点的力有主动力F和约束力FN，如图13-1所示。根据质点动力学第二定律有因则有（13-2）式（13-2）在形式上是一个平衡方程。式（13-2）可叙述如下：如果在质点上除了作用有真实的主动力和约束力外，再假想地加上惯性力，则这些
3、力在形式上组成了平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。图13-1质点并没有受到惯性力的作用，达朗贝尔原理中的“平衡力系”实际上是不存在的，但在质点上假想地加上惯性力后，就可以将动力学的问题借用静力学的理论和方法求解。（1）取重物为研究对象，如图13-2所示。受力分析。重物上作用有重力mg和绳拉力FT（2）（3）运动分析，加惯性力。重物做圆周运动，于是加上法向惯性力 ，其大小为（4）列平衡方程，求解。根据达朗贝尔原理，重力mg，绳拉力FT和法向惯性力 ，这三力在形式上组成平衡力系，即例13-1解图13-2取上式在自然轴上的投影式，有解得第二节第二节质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔质点系的达朗贝
4、尔原理原理（13-3）如果质点系有n个质点，对每个质点都假想地加上各自的惯性力，则因作用于每个质点的力与惯性力形成平衡力系，所以作用于质点系的所有外力、内力与惯性力也组成了平衡力系。由静力学知，任意力系的平衡条件是力系的主矢和对任意点的主矩分别等于零，即（13-4）（13-5）式（13-5）表明，如果对质点系中每个质点都假想地加上各自的惯性力，则质点系的所有外力和所有质点的惯性力组成平均力系，这就是质点系的达朗贝尔原理。在应用质点系的达朗贝尔原理求解动力学的问题时，取投影形式的平衡方程。若取直角坐标系，则对于平面任意力系有（13-6）对于空间任意力系有（13-7）例13-2（1）取以滑轮与两重
5、物一起组成的质点系为研究对象。解图13-3（4）列平衡方程，求解或解得例13-3 图13-4解（1）取四分之一轮缘为研究对象。（2）受力分析。四分之一轮缘的两断面的张力 和（3）运动分析，加惯性力。飞轮做圆周运动，将轮缘分成无数微小的弧段，每段加惯性力可解得解得由于轮缘质量均匀分布，因此任一截面张力都相同。第三节第三节刚体惯性力系的简化刚体做平动刚体做平动当刚体做平动时，每一瞬时刚体内各点的加速度相同，都等于刚体质心的加速 即 。（13-8）于是得结论：平动刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反。图13-5刚体绕定轴转动刚体绕定轴
6、转动如果刚体有对称平面S，并且该平面与转轴z垂直，则惯性力系简化为在对称平面内的平面力系。再将此平面力系向转轴与对称平面的交点O简化，如图13-6所示。图13-6该惯性力系的主矢为由质心坐标公式，有则（13-9）该惯性力系向O点简化的主矩为（13-10）在工程实际中，刚体绕定轴转动有几种特殊情况。刚体做平面运动刚体做平面运动（13-11）图13-7力偶矩的大小为（13-12）结论：具有质量对称平面的刚体，且平行于这平面运动时，刚体的惯性力系可以简化为在对称平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，其方向与质心加速度方向相反；这个力偶的矩等于对通过质心且垂直
7、于对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，其转向与角加速度转向相反。解 例13-4（1）取电机整体为研究对象。图13-8（4）列平衡方程，求解。根据达朗贝尔原理，作用于质点系的主动力、约束力与惯性力在形式上a组成平衡力系，其平衡方程为例13-5图13-9解（1）取梁和绞车、重物组成质点系为研究对象。方向如图13-9所示；其余不动的部分没有惯性力。（4）列平衡方程，求解。支座反力、重力、惯性力系在形式上组成平衡力系，其平衡方程为解得上两式中前两项为支座静约束力，后一项为动约束力，则加速提升重物对支座A，B的附加动压力分别为由解题过程可见，附加动压力（或动约束力）决定于惯性力系。因此在列方程时，可以
8、不必考虑重力。例13-6（1）取圆柱体为研究对象。图13-10（4）列平衡方程，求解。选坐标系的x轴与斜面平行，如图13-10所示，则（a）解（b）（c）由代入式（a）得再解式（b）、式（c）有例13-7（a）（b）（c）图13-11解（1）取AB杆为研究对象。（4）列平衡方程，求解由于解得第四节第四节绕定轴转动刚体的轴承动约束力 图13-12 图13-13 图13-14 图13-15为求支座约束力，取点A为直角坐标轴系的原点，z轴为转轴。根据达朗贝尔原理，可列出下列六个方程：（13-13）式（13-13）中（13-14）对上述坐标取导数，则、质点 的惯性力在坐标轴的投影为惯性力系的主矢和主矩在坐标轴上的投影为（13-15）将式（13-15）带入式（13-13）中，前五个方程解得A，B两处的轴承约束力（13-16）由式（13-13）的第六个方程可得（13-17）由主动力引起的静约束力；由惯性力引起的动约束力。要使动约束力等于零，必须有显然，为使上面方程成立，必须（13-18）式（13-18）表明轴承动约束力等于零的条件是惯性力系主矢等于零，惯性力系对于x轴和y轴的矩等于零。于是得结论：刚体绕定轴转动时，避免出现轴承动约束力的条件是，转轴通过刚体的质心，刚体对转轴的惯性积等于零。例13-8 图13-16解（1）取转子为研究对象。（4）列平衡方程，求解解得代入数据同学们下课同学们下课