02第二章极限与连续.doc

*. 第二章 极限与函数 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1．了解极限的描述性定义． 2．了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质． 3．会用两个重要极限公式求极限． 4．掌握极限的四则运算法则． 5．理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类． 6．了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质（最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理）． 7．会用函数的连续性求极限． 重点 极限的求法，两个重要极限，函数在一点连续的概念． 难点 间断点的分类，分段函数在分段点的连续性． （二）内容提要 １．极限的定义 (1) 函数极限、数列极限的描述性定义 极限定义表 类型 描述性定义 极限记号 设函数在 为某个正实数)时有定义，如果当自变量的绝对值无限增大时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为（读作“趋于无穷”）时函数的极限 或 设函数为某个实数)内有定义，如果当自变量无限增大时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为（读作“趋于正无穷”）时函数的极限 或 设函数(为某个实数)内有定义，如果当自变量无限增大且时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为（读作“趋于负无穷”）时函数的极限 或 设函数在点的去心邻域内有定义，如果当自变量在内无限接近于时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为当（读作“趋近于”）时函数的极限 或 设函数在点的左半邻域内有定义，如果当自变量在此半邻域内从左侧无限接近于时，相应的函数值无限接近于某个固定的常数，则称为当趋近于时函数的左极限 或 设函数的右半邻域内有定义，如果当自变量在此半邻域内从右侧无限接近于时，相应的函数值无限接近于某个固定的常数，则称为当趋近于时函数的右极限 或 数列的极限 对于数列，若当自然数无限增大时，通项无限接近于某个确定的常数,则称为当趋于无穷时数列的极限，或称数列收敛于 或 若数列的极限不存在，则称数列发散 不存在 （2）单侧极限与极限的关系定理 ①的充分必要条件是． ②的充分必要条件是． （３）极限存在准则 ①单调有界数列极限的存在定理 单调有界数列必有极限． ②夹逼准则 若当时，有，且，，则． 夹逼准则对自变量的其他变化过程也成立. 2. 极限的四则运算法则 设及都存在，则 (1) ； (2) , (为任意常数); (3) ． 上述极限四则运算法则对自变量的其他变化过程下的极限同样成立． 3． 两个重要极限 (1) 一般形式为（其中代表的任意函数）． (2) 一般形式为 （其中代表的任意函数）． ４． 无穷小量与无穷大量 在讨论无穷小量与无穷大量的概念及其相关性质时, 均以的极限变化过程为例.其他极限变化过程,有完全类似的结论． （１）无穷小量 在自变量的某个变化过程中，以零为极限的变量称为该极限过程中的无穷小量，简称无穷小．例如,如果，则称当时,是无穷小量． 注意 一般说来，无穷小表达的是变量的变化状态，而不是变量的大小，一个变量无论多么小，都不能是无穷小量，数零是惟一可作为无穷小的常数． （２） 无穷大量 在自变量的某个变化过程中，绝对值可以无限增大的变量称为这个变化过程中的无穷大量，简称无穷大． 应该注意的是：无穷大量是极限不存在的一种情形，我们借用极限的记号，表示“当时, 是无穷大量” ． （３）无穷小量与无穷大量的关系 在自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷大量． （４）无穷小量的运算 ① 有限个无穷小量的代数和是无穷小量． ② 有限个无穷小量的乘积是无穷小量． ③ 无穷小量与有界量的乘积是无穷小量． ④ 常数与无穷小量的乘积是无穷小量． （5）无穷小量的比较 下表给出了两个无穷小量之间的比较定义． 无穷小量的比较表 设在自变量的变化过程中，均是无穷小量 无穷小的比较 定 义 记 号 （） （） （６） 极限与无穷小量的关系定理 的充分必要条件是，其中是当时的无穷小量． （７） 无穷小的替换定理 设当时，，，存在，则． 5．函数的连续性 ⑴ 函数在一点连续的概念 ①　函数在一点连续的两个等价的定义： 定义１　设函数在点的某个邻域内有定义，若当自变量的增量趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即 ， 则称函数在点处连续，或称是的一个连续点． 定义２　若，则称函数在点处连续． ② 左右连续的概念　若，则称函数在点处左连续；若 ，则称函数在点处右连续． ⑵ 函数在一点连续的充分必要条件 函数在点处连续的充分必要条件是在点处既左连续又右连续． 由此可知，函数在点处连续，必须同时满足以下三个条件： ①　函数在点的某邻域内有定义， ②　存在， ③　这个极限等于函数值． ⑶　函数在区间上连续的概念 在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连 续，该区间也称为函数的连续区间．如果连续区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续． ⑷ 间断点 若函数在点处不连续，则称点为函数的间断点． ⑸ 间断点的分类 设为的一个间断点，如果当时，的左极限、右极限都存在，则称为的第一类间断点；否则，称为的第二类间断点． 对于第一类间断点有以下两种情形： ① 当与都存在，但不相等时，称为的跳跃间断点； ② 当存在，但极限不等于时，称为的可去间断点． ⑹ 初等函数的连续性定理 基本初等函数在其定义域内是连续的．一切初等函数在其定义区间内都是连续的． ⑺ 闭区间上连续函数的性质 ① 最大值和最小值存在定理 闭区间上连续函数一定能取得最大值和最小值． ② 根的存在定理 设为闭区间上的连续函数，且异号，则至少存在一点，使得． ③ 介值定理 设是闭区间上连续函数，且，则对介于之间的任意一个数，则至少存在一点，使得． 二、主要解题方法 1．求函数极限方法 (1) 利用极限存在的充分必要条件求极限 例1 求下列函数的极限： （1）， （2） 当为何值时，在的极限存在. 解 (1), , 因为左极限不等于右极限，所以极限不存在． （2）由于函数在分段点处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点处的左极限与右极限．于是，有 ， ， 为使存在，必须有=， 因此 ，当=1 时， 存在且 =1． 小结 对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要用左右极限来求，只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在． （3）利用极限运算法则求极限 例2 求下列函数的极限： (1) ， (2) ， (3) ， (4) ． 解 (1) ==． (2) 当时，分子、分母极限均为零，呈现型，不能直接用商的极限法则，可先分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用商的运算法则． 原式=． (3) 当时，的极限均不存在，式呈现型，不能直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先进行通分化简，再用商的运算法则．即 原式= ． (4) 当时，分子分母均无极限，呈现形式．需分子分母同时除以，将无 穷大的约去，再用法则求 原式=． 小结 （）应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存在（对于除法，分母极限不为零）才能适用． （II）求函数极限时，经常出现 等情况，都不能直接运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限。常使用的有以下几种方法． （）对于型，往往需要先通分，化简，再求极限， （）对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极限， （）对分子、分母进行因式分解，再求极限， （）对于当时的型，可将分子分母同时除以分母的最高次幂，然后再求极限． （3）利用无穷小的性质求极限 例3 求下列函数的极限 （1） ， （2）． 解（1） 因为 而，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为，所以当时，是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 ． （2）不能直接运用极限运算法则，因为当时分子，极限不存在，但是有界函数，即而 ，因此当时，为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得 . 小结 利用无穷小与无穷大的关系，可求一类函数的极限（分母极限为零，而分子极限存在的函数极限）；利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小定理可得一类函数的极限（有界量与无穷小之积的函数极限）． （4）利用两个重要极限求函数的极限 例4 求下列函数的极限： （1） ， （2）． 解（1）分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限 原式==． （2）解一 原式==， 解二 原式==． 小结 （）利用求极限时，函数的特点是型，满足的形式，其中为同一变量； （）用求极限时，函数的特点型幂指函数，其形式为型, 为无穷小量，而指数为无穷大，两者恰好互为倒数； （）用两个重要极限公式求极限时，往往用三角公式或代数公式进行恒等变形或作 变量代换，使之成为重要极限的标准形式。 (5) 利用等价无穷小代换求极限 常用等价无穷小有 当 时,, ,． 例5 求下列函数的极限 （1） ， （2）． 解 （1）= （）． （2）= = = （） ． 小结 利用等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分母中的因式，但当分子或分母为多项式时，一般不能代换其中一项。否则会出错． 如上题 , 即得一错误结果． （6）利用函数的连续性求极限 例6 求下列函数的极限 （1） ， （2）． 解 (1) 因为是初等函数，在处有定义， 所以 ， (2) 函数看成由 复合而成，利用分子有理化 ， 然后利用复合函数求极限的法则来运算 =． 小结 利用“函数连续的极限值即为函数值”可求连续函数的极限。在一定条件下复合函数的极限，极限符号与函数符号可交换次序． 2．判断函数连续性的方法 由于初等函数在它的定义区间内总是连续，所以函数的连续性讨论多指分段函数在分段处的连续性． 例 7 讨论函数 ， 在点处的连续性． 解 由于函数在分段点处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点处的左极限与右极限． 因而有， 而即 ， 由函数在一点连续的充要条件知在处连续． 三、学法建议 1．本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念，特别是求极限的方法，灵活 多样．因此要掌握这部分知识，建议读者自己去总结经验体会，多做练习． 2．本章概念较多，且互相联系，例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界，无穷大；极限，无穷小，连续等．只有明确它们之间的联系，才能对它们有深刻的理解，因此读者要注意弄清它们之间的实质关系． 3．要深刻理解在一点的连续概念，即极限值等于函数值才连续．千万不要求到极限存在就下连续的结论，特别注意判断分段函数在分段点的连续性．