自适应控制大作业.pdf

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1、自适应控制结课作业自适应控制结课作业班级：班级：组员：组员：20162016 年年 1 1 月月目目录录1 1 遗忘因子递推最小二乘法遗忘因子递推最小二乘法 .1 11.1 最小二乘理论 .11.2 带遗忘因子的递推最小二乘法.11.2.1 白噪声与白噪声序列 .11.2.2 遗忘因子递推最小二乘法 .22.2 仿真实例.32 2 广义最小方差自校正控制广义最小方差自校正控制 .5 52.1 广义最小方差自校正控制.52.2 仿真实例.63 3 参考模型自适应控制参考模型自适应控制 .9 93.1 参考模型自适应控制.93.2 仿真实例.123.2.1 数值积分.123.2.2 仿真结果.12

2、参考文献参考文献.1 16 61 1 遗忘因子递推最小二乘法遗忘因子递推最小二乘法1.1 最小二乘理论最小二乘最早的想法是高斯在 1795 年预测行星和彗星运动轨道时提出来的，“未知量的最大可能的值是这样一个数值，它使各次实际观测和计算值之间的差值的平方乘以度量其精确度的数值以后的和为最小”。这一估计方法原理简单，不需要随机变量的任何统计特性，目前已经成为动态系统辨识的主要手段。最小二乘辨识方法使其能得到一个在最小方差意义上与实验数据最好拟合的数学模型。由最小二乘法获得的估计在一定条件下有最佳的统计特性，即统计结果是无偏的、一致的和有效的。1.2 带遗忘因子的递推最小二乘法1.2.1 白噪声与

3、白噪声序列系统辨识中所用到的数据通常含有噪声。从工程实际出发，这种噪声往往可以视为具有理想谱密度的平稳随机过程。白噪声是一种最简单的随机过程，是由一系列不相关的随机变量组成的理想化随机过程。白噪声的数学描述如下：如果随机过程(t)均值为 0，自相关函数为2()，即R()2()式中，()为单位脉冲函数(亦称为 Dirac 函数)，即,0，且()d1()0,0-则称该随机过程为白噪声，其离散形式是白噪声序列。如果随机序列V(k)均值为零，且两两互不相关，即对应的相关函数为：2,n 0Rv(n)Ev(k)v(k n)0,n 0则这种随机序列称为白噪声序列。其谱密度函数为常数2(2)。白噪声序列的功率

4、在到的全频段内均匀分布。建立系统的数学模型时，如果模型结构正确，则模型参数辨识的精度将直接依赖于输入信号，因此合理选用辨识输入信号是保证能否获得理想的辨识结果的1关键之一。理论分析表明，白噪声作为被辨识系统的输入时，可以激发系统的所有模态，可对系统充分激励，可防止数据病态，保证辨识精度，可以保证获得较好的辨识效果。白 噪 声 序 列4321噪声幅值0-1-2-3-450100150200250仿 真 长 度300350400450500图 1-1 白噪声序列1.2.2 遗忘因子递推最小二乘法假设被辨识的系统为一单入单出的离散时间系统，且已知为 CAR 模型（带控制量的自回归模型），如图 2 所

5、示：(k)u(k)图 1-2 辨识系统模型zB(z)A(z1)d1y(k)即A(z1)y(k)B(z1)u(k d)(k)式中，u(k)为输入变量，y(k)为输出变量，(k)为白噪声，且na112A(z)1a1za2zanaznb112B(z)b0b1zb2zbnbz则上式可转化为如下最小二乘格式：y(k)a1y(k 1)a2y(k 2)anay(k na)b0u(k d)y(k)T(k)(k)bnbu(k d nb)(k)式中，(k)为数据向量，待估参数向量，且2(k)y(k 1),a1,ana,b0,y(k na),u(k d),bnb RL,u(k d nb)TR(nanb1)1T(na

6、nb1)1取算法的性能指标为2J Lky(k)T(k)k1式中，为遗忘因子（01）。带遗忘因子的递推最小二乘估计的算法公式为：(k)(k 1)K(k)y(k)T(k)(k 1)P(k 1)(k)K(k)T(k)P(k 1)(k)P(k)1I K(k)T(k)P(k 1)(k)是用新的实际测量值y(k)与基于老模型进行公式表明，新的参数估计(k 1)之偏差，对前面的参数估计加以修正得到的，修正系预测得到的量T(k)数阵为K(k)。P(k 1)的物理意义是参数估计误差的方差，作为参数估计精度的一种度量。遗忘因子的作用是削弱过去数据的作用，通常选择 0.95 到 0.998之间的数。带遗忘因子的递推

7、最小二乘估计算法属于在线辨识所用方法的一种，它既能克服离线辨识的缺点，也能克服递推最小二乘估计中的“数据饱和”现象，同时它充分重视了当前数据的作用。遗忘因子最小二乘法的算法：遗忘因子最小二乘法的算法：已知A式阶次na、B式阶次nb以及延迟d。步骤 1：设置初值(0)和P P(0)及遗忘因子，输入初始数据；步骤 2：采样当前输出y(k)和输入u(k)；步骤 3：利用递推公式，计算K K(k)、(k)和P P(k)；步骤 4：k k 1，返回步骤 2，继续循环。2.2 仿真实例系统模型如下：y(k)1.1y(k 1)0.6y(k 2)0.1y(k 3)u(k 4)0.7u(k 5)(k)其中，输入

8、u(k)为方差为 1 的白噪声，(k)为方差为 0.1 的白噪声。由于P P(0)和(0)的选择可按如下方法：3P P(0)I I(0)式中，为充分大的正实数(1041010)，为零向量或充分小的正的实向量。因此，取初值P P(0)106I I、(0)0 0。仿真结果如下：21.510.50-0.5-1-1.5-20a1a2a3b1b21002003004005006007008009001000图 1-3 参数估计结果20151050-5-10-15-200实 际 输 出模 型 输 出1002003004005006007008009001000图 1-4 实际输出与辨识输出对比42 2 广

9、义最小方差自校正控制广义最小方差自校正控制2.1 广义最小方差自校正控制当考虑干扰对系统的作用时，控制器的设计就是要最大限度的减小干扰对系统的影响。鉴于一般被控对象或过程都存在不同程度的纯迟延，控制u(k)对系统的作用要到(k d)时刻才有响应。在这段纯迟延的时间内，干扰仍会作用于系统，所以在k时刻预测(k d)时刻的输出，并按照预测误差的方差最小的原则，设计现时控制u(k)，并加以实施。当过程参数未知，或者时变时，用递推最小二乘法估计，或者直接估计控制器参数，然后算出控制量来，这就是最小方差自校正控制的基本思想。但最小方差自校正控制器存在一些固有的问题，特别是其不适用于非最小相位系统且输入控

10、制量不受约束，因此考虑在性能指标中加入控制量的罚函数，限制过大的控制输出，便形成了广义最小方差自校正控制器。控制算法框图如下：w(k)C(z1)A(z1)yr(k)RC(Z1)+E(Z1)PB(Z1)D(Z1)PC(Z1)u(k)zdB(z1)+A(z1)y(k)PE(Z1)被控对象为：A(z1)y(k)zdB(z1)u(k)C(z1)(k)其中：d为延迟因子，u(k)为输入变量，y(k)为输出变量，(k)为白噪声。C(z1)为Hurwitz多项式。选择性能指标函数为：J EP(z1)y(k d)R(z1)yr(k d)2Q(z1)u(k)2式中，yr(k)为期望输出；y(k d)为第(k d

11、)拍的输出；u(k)为第k拍的控制；P(z1)、R(z1)和Q(z1)分别为输出、期望输出和控制的加权多项式，它们分别具有改善闭环系统性能，软化输入和约束控制量的作用。并且P(z1)1 p1z1 p2z2.pnzpR(z1)r0r1z1r2z2.rnrznrQ(z1)q0 q1z1q2z2.qnqznqn5上述多项式的阶次及参数根据实际需要确定。由此，据文献1知，广义最小方差控制律为：C(z1)R(z1)yr(k d)G(z1)P(z1)y(k)u(k)q0C(z1)Q(z1)F(z1)P(z1)b0在进行控制系统设计时，一般可以取加权多项式P(z1)1、R(z1)1和Q(z1)q0，而q0大

12、小的选取需要在快速性和稳定性方面进行权衡。而要稳态误差为零，则需满足条件：R QA(1)PB(1)广义最小方差直接自校正控制的算法：广义最小方差直接自校正控制的算法：已知：模型阶次na、nb、nc以及延迟d。Q(z1)、步骤 1：设置初值(0)和P P(0)，输入初始数据，并设置加权多项式P(z1)、R(z1)；步骤 2：采样当前实际输出y(k)和期望输出yr(k d)；（k d)并利用递推增广最小二乘法在线实时估计被步骤 3：构造观测数据向量、F；和C控对象参数，即G步骤 4：利用最小方差控制律计算并实施u(k)；步骤 5：k k 1，返回步骤 2，继续循环。2.2 仿真实例设系统模型如下：

13、y(k)0.9y(k 1)0.8y(k 2)0.5y(k 3)u(k 4)2u(k 5)(k)0.6(k 1)其中，(k)为方差为 0.1 的白噪声，采用广义最小方差控制。取初值P P(0)106I I、0；设置加权多项式P(z1)1、R(Z1)1.5、Q(z1)2。期望输出采用幅0值为 10 的方波型号，其控制结果如下：6实 际 输 出 跟 踪 模 型 输 出 图20模 型 输 出 yr(k)15105实 际 输 出 y(k)y(k)、y(k)0-5-10-15-200r50100150200250k300350400450500图 2-1 期望输出与实际输出对比控 制 量 变 化 图108

14、642u(k)0-2-4-6-8-10050100150200250k300350400450500图 2-2 控制量 u(k)710.80.60.4g0g1c1参数估计g、c0.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1050100150200250k300350400450500图 2-3 估计参数4f03f1f2f32f4辨识参数f10-1-2050100150200250k300350400450500图 2-4 辨识参数83 3 参考模型自适应控制参考模型自适应控制3.1 参考模型自适应控制模型参考自适应控制器（MRAC，model reference adaptive control

15、），即为利用可调系统（包含被控对象）的各种信息，度量或测出某种性能指标，把它与参考模型期望的性能指标相比较；用性能指标偏差（广义误差）通过非线性反馈的自适应律来调节可调系统，以削弱可调系统因“不确定性”所造成的性能指标的偏差，最后达到使被控的可调系统获得较好的性能指标的目的。模型参考自适应控制可以处理缓慢变化的不确定性对象的控制问题。它由于可以不必经过系统辨识而度量性能指标，因而有可能或得快速跟踪控制。由于被控对象的全部状态要准确得到很困难，按被控对象输入和输出直接设计自适应控制系统更有价值，一般有直接法和间接法。所谓直接和间接，指的是对未知的被控对象进行直接控制和间接控制。间接控制的基本思想

16、是用未知的被控对象的输入输出数据来估计被控对象的参数，并用这些参数估计值产生一个反馈函数去调整调节器参数。直接控制和间接控制不同，在产生反馈控制信号之前没有明显的被控对象的辨识。所以二者之间主要不同在于：在直接控制中要有一个显式的理想特性的参考模型，而间接控制则需要被控对象模型进行在线辨识并用隐式方法去产生自适应律。现用一种分母分子相对阶数为 2 的直接法，即 K.S.Narendra 提出的稳定性自适应控制方案。原理框图如图 3-1 所示：9参考模型Wm(s)r(t)ym(t)+_yp(t)e(t)+k0_u(t)被控对象Wp(s)F2辅助信号发生器V(2)辅助信号发生器V(1)F1cTdT

17、d0+(1)(2)图 3-1 模型参考自适应控制原理框图1)设系统为单入单出（SISO)的系统，被控对象的状态方程和输出方程为：xp Apxp bpuyp Cpxp Dpu式中xp为n维状态向量，u为控制向量；yp为输出量，AP为nn的矩阵，bp为n1的输入向量；被控对象传递函数如下：Wp(s)kp2)选取的参考模型为：Np(s)Dp(s)xm Amxm bmyrym Cmxm Dmyr式中xm为n维状态向量，yr为分段连续一致有界输入；ym为参考模型输出，Am量nn的矩阵，bm为n1的输入向量；参考模型传递函数为：Wm(s)kmNm(s)Dm(s)式中Wm(s)严格正实，Nm(s)和Dm(s

18、)都是首一的Hurwitz多项式，其阶1 0数分别为m和n，km为模型增益。3)设广义输出误差为：e(t)ym(t)yp(t)控制系统的设计目标便是利用Lyapunov稳定性理论设计一个不含误差导数的自适应控制率，并由它产生一个有界控制量输入，是广义误差e(t)满足：lim e(t)0t 4)被控对象与参考模型的传递函数的选取需满足分子分母多项式为稳定多项式，同时参考模型必须为严正实函数，严正实即传递函数W(s)的极点都在s的左半平面（虚轴上只容许有一阶极点，且其留数为正）且对于任意，都有ReW(j)0，则W(s)为严正实函数。辅助信号发生器传递函数的分母多项式应当等于参考对象的分子乘上一个一

19、阶稳定多项式，具体设计过程如下，两个辅助信号发生器状态方程和传递函数分别为：F1：v1 Afv1 bfuNc(S)W1Df(S)v2 Afv2 bfypF2：Nd(S)W d02D(S)f选择L(s)sa(a 0),使L(s)Wm(s)为严格正实函数；选择Df(s)L(s)Nm(s),构建可调参数自适应律如下：(t)(t)e(t)(t)a(t)(t)式中，kcc cTfT2n1，yrd0d dTf R RTv v1ypT2n1，v vT2 R R R R2n2n为正定矩阵。自适应控制律为：u(t)T(t)(t)e(t)T(t)(t)参考模型自适应控制的算法：参考模型自适应控制的算法：已知：被控

20、对象Wp(s)的阶数n、m。步骤 1：选择参考模型Wm(s)为稳定最小相位系统，与Wp(s)阶数及相对阶相同，并具有理想的动态性能；步骤 2：选择L(s)sa(a 0),使L(s)Wm(s)为严格正实函数；并利用L(S)Nm(S)构造辅助信号发生器状态矩阵A Af；1 1步骤 3：设置初值(0)，选择自适应增益矩阵 和输入信号yr(t)，并初始化数据；步骤 4：采样当前参考模型输出ym(t)和系统实际输出yp(t)，并计算e(t)；步骤 5：利用辅助信号状态方程计算v1和v2；步骤 6：利用可调参数自适应律状态方程计算(t)和(t)；步骤 7：组建(t)，并有自适应控制律计算u(t)；步骤 8

21、：t t h，返回步骤 4，继续循环。3.2 仿真实例3.2.1 数值积分连续函数的动态特性一般可由一个微分方程或一组微分方程加以描述，因此对连续系统进行编程或计算机仿真时，就需要对连续系统微分方程运用数值积分的方法来求数值解，针对如下一阶微分方程：dx(t)f(t,x(t)dtx(t0)x0在离散系统中可采用欧拉法求解，其递推公式如下x(tk1)x(tk)hf(tk,x(tk)式中，h称为计算步长或者步距。该方法简单、计算量小，由前一点即可推出后一点的值，属于单步法。适当减小计算步长 h 有助于提高计算精度。3.2.2 仿真结果采用的对象模型为s23s1Wp(S)4s 8s321s220s5

22、采用的参考模型为s210s24Wp(S)4s 16s386s2176s105改模型是严格正实的最小相位系统，并且具有良好的动态性能。输入信号yr(t)为方波信号，使用模型参考自适应控制后的仿真结果如下：1 23210-1-2-3020406080100120140160180200图 3-2 设定值输入0.50.40.30.2ym(t)yp(t)y(t)、y(t)0.10-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5020406080100t120140160180200mp图 3-3 实际输出与参考输出对比1 30.20.150.10.05e(t)0-0.05-0.1-0.15-0.2020406

23、080100t120140160180200图 3-4偏差值 e(t)5040302010u(t)0-10-20-30-40-50020406080100t120140160180200图 3-5 控制量 u(t)1 43d02.5d1d22d31.510.50-0.501002003004005006007008009001000图 3-6 可调参数 d0、d1、d2、d3曲线35302520151050-5-10-1501002003004005006007008009001000kcc1c2c3图 3-7 可调参数 kc、c1、c2、c3曲线1 5参考文献参考文献1庞中华,崔红.系统辨识与自适应控制 MATLAB 仿真M.北京：北京航空航天大学出版社,2009.2谢新民,丁峰.自适应控制系统M.北京：北京航空航天大学出版社,2002.3韩正之，陈彭年，陈树中.自适应控制与应用M.北京：清华大学出版社,2011.4杨承志.系统辨识与自适应控制 M.重庆:重庆大学出版社,2003.1 6