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1、D11-7傅立叶级数同济大学-高等数学(上)课件一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:令得函数项级数为角频率,为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/222定理定理 1.组成三角级数的函数系证证:同理可证:正交,上的积分等于 0.即其中任意两个不同的函数之积在机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/223上的积分不等于 0.且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/224二、二、函数展开成傅
2、里叶级数函数展开成傅里叶级数定理定理 2.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,且右端级数可逐项积分,则有证证:由定理条件,对在逐项积分,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/225(利用正交性)类似地,用 sin k x 乘 式两边,再逐项积分可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/226叶系数为系数的三角级数 称为的傅傅里里叶系数叶系数;由公式 确定的以的傅里里的傅傅里里叶级数叶级数.称为函数 傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/227定理定理3(收敛定理收敛定理,展开定理展开定理)设 f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷狄利克雷(Dir
3、ichlet)条件条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则 f(x)的傅里里叶级数收敛,且有 x 为间断点其中(证明略证明略)为 f(x)的傅里里叶系数.x 为连续点注意注意:函数展成傅里里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.简介 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/228例例1.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在 上的表达式为解解:先求傅里里叶系数将 f(x)展成傅里里叶级数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/229机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/22101)根据收敛定理可知,时,级数收敛于2
4、)傅氏级数的部分和逼近说明说明:f(x)的情况见右图.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2211例例2.上的表达式为将 f(x)展成傅里里叶级数.解解:设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2212说明说明:当时,级数收敛于机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2213周期延拓傅里里叶展开上的傅里里叶级数定义在定义在 ,上的函数上的函数 f(x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法其它机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2214例例3.将函数级数.则解解:将 f(x)延拓成以 展成傅里里叶2为周期的函
5、数 F(x),机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2215利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x=0 时,f(0)=0,得说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2216设已知又机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2217三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数1.周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数定理定理4.对周期为 2 的奇函数 f(x),其傅里里叶级数为周期为2的偶函数 f(x),其傅里里叶级数为余弦级数,它的傅里里叶系数为正弦级数,它的傅里里叶系数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2218例例4.设的表达式为 f
6、(x)x,将 f(x)展成傅里里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在解解:若不计周期为 2 的奇函数,因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2219n1根据收敛定理可得 f(x)的正弦级数:级数的部分和 n2n3n4逼近 f(x)的情况见右图.n5机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2220例例5.将周期函数展成傅里里叶级数,其中E 为正常数.解解:是周期为2 的周期偶函数,因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2221机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/22222.在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓 F(x)f(x)在 0
7、,上展成周期延拓 F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数 f(x)在 0,上展成机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2223例例6.将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解解:先求正弦级数.去掉端点,将 f(x)作奇周期延拓,机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2224注意注意:在端点 x=0,级数的和为0,与给定函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此得 f(x)=x+1 的值不同.2021/5/2225再求余弦级数.将则有作偶周期延拓,机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2226说明说明:令 x=0 可得即机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021
8、/5/2227内容小结内容小结1.周期为 2 的函数的傅里里叶级数及收敛定理 其中注意注意:若为间断点,则级数收敛于机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/22282.周期为 2 的奇、偶函数的傅里里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3.在 0,上函数的傅里里叶展开法 作奇周期延拓,展开为正弦级数 作偶周期延拓,展开为余弦级数1.在 0,上的函数的傅里里叶展开法唯一吗?答答:不唯一,延拓方式不同级数就不同.机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习2021/5/2229处收敛于2.则它的傅里里叶级数在在处收敛于 .提示提示:设周期函数在一个周期内的表达式为机动 目录
9、 上页 下页 返回 结束 ,2021/5/22303.设又设求当的表达式.解解:由题设可知应对作奇延拓:由周期性:为周期的正弦级数展开式的和函数,定义域机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/22314.写出函数傅氏级数的和函数.答案:定理3 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2232P250 1(1),(3);2(1),(2);3;5;7;8(2)第八节 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 2021/5/2233备用题备用题 1.叶级数展式为则其中系提示提示:利用“偶倍奇零”(93 考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 的傅里 2021/5/22342.设是以 2 为周期的函数,其傅氏系数为则的傅氏系数提示提示:令机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2235谢谢