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1、信号与系统信号与系统2.2.3 零输入响应和零状态响应信号与系统信号与系统起始状态与激励源的等效转换起始状态与激励源的等效转换在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始储能看作是激励源。储能看作是激励源。信号与系统信号与系统 也称也称固有响应固有响应，对应于，对应于齐次解齐次解。由系统本身特性决由系统本身特性决 定，与外加激励形式无关，但与起始点点跳变有关系。定，与外加激励形式无关，但与起始点点跳变有关系。形式取决于形式取决于外加激励外加激励。对应于。对应于特解特解。没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系没
2、有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系 统储能）所产生的响应。统储能）所产生的响应。不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。零），由系统的外加激励信号产生的响应。自由响应：自由响应：强迫响应：强迫响应：零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：各种系统响应定义各种系统响应定义自由响应强迫响应自由响应强迫响应(Natural+forced)零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应(Zero-input+Zero-state)信号与系统信号与系统 系统系统零输入响应零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解
3、，由非零的，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统起始状态值决定的初始值求出待定系数系统起始状态值决定的初始值求出待定系数。零输入响应零输入响应系统方程：系统方程：解的形式：解的形式：由由起始状态起始状态求待定系数。求待定系数。信号与系统信号与系统 系统系统零状态响应零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由 起始状态值起始状态值 为零决定的初始值求出待定系数为零决定的初始值求出待定系数。零状态响应零状态响应系统方程：系统方程：解的形式：解的形式：齐次解齐次解+特解特解 由由初始初始条件条件求待定系数，需要计算从求待定系数，需要计算从 到到 跳
4、变，一般根据实际的跳变，一般根据实际的工程问工程问 题的物理关系求跳变，也可以作为一个纯粹的数字问题求解。题的物理关系求跳变，也可以作为一个纯粹的数字问题求解。信号与系统信号与系统 用经典法求解微分方程完全解的待定系数用经典法求解微分方程完全解的待定系数 时，作为一个数学问题，时，作为一个数学问题，所需要的所需要的初始条件初始条件常常为一组已知的数据，利用这组数据可求得方程完全解中常常为一组已知的数据，利用这组数据可求得方程完全解中的各项系数的各项系数 而作为工程技术问题，一般激励都是从时刻而作为工程技术问题，一般激励都是从时刻 加入，系统的响应时加入，系统的响应时间范围是间范围是 ，则系统的
5、初始条件要根据系统的原始内部储能和激，则系统的初始条件要根据系统的原始内部储能和激励接入瞬时的情况来确定。励接入瞬时的情况来确定。如具体电路系统，根据如下条件从如具体电路系统，根据如下条件从 起始条件起始条件求求初始条件初始条件 时刻等效电路时刻等效电路 零状态响应零状态响应信号与系统信号与系统【例例2-2-6】如图如图2-2-2所示的电路，所示的电路，以前开关位于以前开关位于“1”，已进入，已进入稳态稳态，时刻，时刻，与与 同时自同时自“1”转至转至“2”，求输出电压，求输出电压 的零输入响应、零的零输入响应、零状态响应和完全响应。状态响应和完全响应。激励加入的瞬时激励加入的瞬时信号与系统信
6、号与系统零输入响应零输入响应零输入零输入等效电路等效电路 零输入响应形式为零输入响应形式为列写电路的微分方程为：列写电路的微分方程为：信号与系统信号与系统零输入响应形式为零输入响应形式为其中，待定系数其中，待定系数 和和 得根据初始条件得根据初始条件 和和 确定。确定。时刻的零输入初始值等效电路时刻的零输入初始值等效电路 零输入响应零输入响应信号与系统信号与系统由电路可求得：由电路可求得：信号与系统信号与系统零输入响应形式为零输入响应形式为初始条件初始条件可求得零输入响应为可求得零输入响应为：零输入响应零输入响应信号与系统信号与系统讨论：讨论：由由 时刻的电路时刻的电路可计算可计算 在零输入的
7、情况下，起始点没在零输入的情况下，起始点没有跳变。可以有跳变。可以起始条件起始条件计算零输计算零输入响应。入响应。不用计算初始条件不用计算初始条件。零输入响应零输入响应信号与系统信号与系统零状态响应零状态响应零状态响应零状态响应：不考虑系统起始储能，零状态响应等效电路如图：不考虑系统起始储能，零状态响应等效电路如图 列出零状态等效电路的微分方程为列出零状态等效电路的微分方程为其中，其中，根据根据微分方程经典解法微分方程经典解法易求得零状态响应中的特解为常数易求得零状态响应中的特解为常数6 信号与系统信号与系统零状态响应零状态响应其中，待定系数其中，待定系数 和和 得根据得根据初始条件初始条件
8、和和 确定。确定。时刻的时刻的零状态初始值零状态初始值等效电路等效电路 零状态响应零状态响应信号与系统信号与系统求得初始条件为求得初始条件为信号与系统信号与系统将初始条件将初始条件 ，代入零状态响应形式代入零状态响应形式 解得：解得：讨论：讨论：本例中零状态响应的初始条件与起始条件相同，本例中零状态响应的初始条件与起始条件相同，只是特例。只是特例。另一例子，电流另一例子，电流 是有跳变的。是有跳变的。所以零状态响应一定要用初始条件计算所以零状态响应一定要用初始条件计算。信号与系统信号与系统讨论：讨论：用经典法从起始条件求出用经典法从起始条件求出 时刻的时刻的初始条件初始条件的过程往往比较复杂，
9、需根的过程往往比较复杂，需根据实际的物理系统的约束关系求解。据实际的物理系统的约束关系求解。作为纯粹的数学问题，也可从起始条件求出作为纯粹的数学问题，也可从起始条件求出 时刻的初始条件，有兴趣时刻的初始条件，有兴趣的同学有参考有关的参考课。的同学有参考有关的参考课。“微分方程冲激函数匹配原理判断微分方程冲激函数匹配原理判断 时刻和时刻和 时刻状态的变化时刻状态的变化”在系统的时域分析中，引入冲激响应后，利用在系统的时域分析中，引入冲激响应后，利用卷积积分求系统的零状态响应卷积积分求系统的零状态响应比比较方便，它绕过了求较方便，它绕过了求 时刻的初始条件的步骤。时刻的初始条件的步骤。第第5章还将
10、介绍系统的复频域分析法，章还将介绍系统的复频域分析法，利用复频域分析法求解系统响应利用复频域分析法求解系统响应，可以自，可以自动代入动代入 时刻的起始条件，从而更方便地求得零输入响应、零状态响应和时刻的起始条件，从而更方便地求得零输入响应、零状态响应和完全响应。完全响应。信号与系统信号与系统求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法。卷积积分法。零状态响应零状态响应系统的零状态响应系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，激励与系统冲激响应的卷积，即即信号与系统信号与系统对系统线性的进一步认识对系统线性的进一步认识由由常系数微分方程常系
11、数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。描述的系统在下述意义上是线性的。(1)响应可分解为：零输入响应零状态响应。响应可分解为：零输入响应零状态响应。(2)零零状状态态线线性性：当当起起始始状状态态为为零零时时，系系统统的的零零状状态态响响应应对对于于各各激激励励信信号号呈呈线线性。性。(3)零输入线性零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性。信号与系统信号与系统例：例：二阶系统对二阶系统对，的的起始状态起始状态1的零输入响应为的零输入响应为 对对，的的起始状态起始状态2的零输入响应为的零输入响应为 系统对激励系统对激励的零状态响就为的零状态响就为求系统在求系统在起始状态下，对激励起始状态下，对激励解：解：的完全响应。的完全响应。对系统线性的进一步认识对系统线性的进一步认识信号与系统信号与系统解：解：对系统线性的进一步认识对系统线性的进一步认识信号与系统信号与系统解得解得对系统线性的进一步认识对系统线性的进一步认识信号与系统信号与系统作业（作业（13-4-02）P49 2-14(3)2-16(1)