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1、24.3-正多正多边形和形和圆图片欣赏图片欣赏图片欣赏图片欣赏正多边形和圆正多边形和圆ABCDE正多边形：正多边形：各边相等，各角也相等的多各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。边形叫做正多边形。正正n n边形：边形：如果一个正多边形有如果一个正多边形有n n条边，条边，那么这个正多边形叫做那么这个正多边形叫做正正n n边形。边形。三条边相等，三个角也三条边相等，三个角也相等（相等（6060度）。度）。四条边都相等，四个角四条边都相等，四个角也相等（也相等（9090度）。度）。思考：思考：各边相等的多边形是正多边形吗？各边相等的多边形是正多边形吗？为什么？各角相等的多边形呢？为什么？各角相
2、等的多边形呢？想一想：想一想：菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？什么？问题问题1，什么样的图形是正多边形？，什么样的图形是正多边形？各边相等各边相等,各角也相等各角也相等的多边形是的多边形是正多边形正多边形.新课讲解新课讲解思考：思考：将将 O分成相等的分成相等的5段弧，把这些等分点顺段弧，把这些等分点顺次连接起来，得到的是什么图形？为什么？次连接起来，得到的是什么图形？为什么？EDCBA2、正多边形与圆有何关系？正多边形与圆有何关系？如图如图,把把O O分成把分成把O O分成相等的分成相等的5 5段弧段弧,依次连接各分点得到正五边形依次连接各分
3、点得到正五边形ABCDE.ABCDE.AB=BC=CD=DE=EA,AB=BC=CD=DE=EA,A A=B.B.ABCDEO同理同理B B=C C=D D=E.E.又五边形又五边形ABCDABCDE E的顶点都在的顶点都在O O上上,五边形五边形ABCDABCD是是O O的内接正五边形的内接正五边形,O O是五边是五边形形ABCDABCD的外接圆的外接圆.1 1：我们以圆内接正五边形为例证明：我们以圆内接正五边形为例证明.你知道正多边形与圆的关系吗？你知道正多边形与圆的关系吗？正多边形和圆的关系非常密切正多边形和圆的关系非常密切,只要只要把一个圆分成相等的一些弧把一个圆分成相等的一些弧,就可
4、以作出这就可以作出这个圆的内接正多边形个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多这个圆就是这个正多边形的外接圆边形的外接圆.2.2.各边相等的圆内接多边形是正多边形各边相等的圆内接多边形是正多边形?各各角都相等的圆内接多边形呢角都相等的圆内接多边形呢?如果是如果是,说明为说明为什么什么;如果不是如果不是,举出反例举出反例.解答：各边相等的圆内接多边形是正多边形解答：各边相等的圆内接多边形是正多边形.多边形多边形A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A An n是是O O的内接多边形的内接多边形,且且A A1 1A A2 2=A A2 2A A3 3=A A3 3A A4 4=A An n
5、1 1A An,n,多边形多边形A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4A An n是正多边形是正多边形.A1AAAAAAAnO先说先说A A1 1 弦相等（多边形的边相等）弦相等（多边形的边相等）弦相等（多边形的边相等）弦相等（多边形的边相等）弧相等弧相等弧相等弧相等 圆周角相等（多边形的角相等）圆周角相等（多边形的角相等）圆周角相等（多边形的角相等）圆周角相等（多边形的角相等）多边形是正多边形多边形是正多边形ABCD正多边形每一边所对的圆心角正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的叫做正多边形的中心角中心角.O中心角中心角半径半径R边心距边心距r我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做
6、我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的这个正多边形的中心中心.外接圆的半径叫做正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径半径.中心到正多边形的一边的距中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的离叫做正多边形的边心距边心距.新课讲解新课讲解中心中心EDCBAO半径半径中心角中心角边心距边心距正多边形中的有关概念：正多边形中的有关概念：F既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心EFCD.O O中心角中心角中心角中心角A AB BG G G G边心距把边心距把AOBAOB分成分成2 2个个全等的直角三角形全等的直角三角形设正多边形的边长为设正多边形的边长为a,a,
7、半径为半径为R R,它的周长为它的周长为L=naL=na.R Ra a新课讲解新课讲解EDCBAOF中心角与内角互补中心角与内角互补正正n n边形的一个内角的边形的一个内角的度数是度数是_;_;中心角是中心角是_;_;正多边形的中心角与外角的大小关正多边形的中心角与外角的大小关系是系是_._.相等相等例题选讲例题选讲例例1.若正三角形的半径为若正三角形的半径为4，则它的边心距是，则它的边心距是 _，边长是，边长是_。知一求二知一求二例例2.有一个亭子，它的地基是半径为有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边的正六边形（如图）求地基的周长和面积。形（如图）求地基的周长和面积。G若正多边形的周长为
8、若正多边形的周长为l l，边心距为边心距为r，则：，则：S=_。12l l r r重点：正三角形、重点：正三角形、正方形、正方形、正六边形正六边形例例 有一个亭子有一个亭子,它的地基半径为它的地基半径为4m4m的正六的正六边形边形,求地基的周长和面积求地基的周长和面积(精确到精确到0.1m0.1m2 2).).解解:如图由于如图由于ABCDEF是正六边形是正六边形,所以它的中心角等于所以它的中心角等于 ，OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.因此因此,亭子地基的周长亭子地基的周长 l=46=24(m).在在Rt OPC中中,OC=4,P
9、C=利用勾股定理利用勾股定理,可得边心距可得边心距亭子地基的面积亭子地基的面积OABCDEFRPr当堂训练当堂训练1.课本课本P107第第1题题正多边形正多边形边数边数内内角角中心中心角角半半径径边边长长边心边心距距周周长长面面积积360416练习练习1.1.矩形是正多边形吗矩形是正多边形吗?菱形呢菱形呢?正方形呢正方形呢?为为什么什么?矩形不是正多边形，因为四条边不都相等矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等;正方形是正多边形因为四条边都相等，四个角都相等正方形是正多边形因为四条边都相等，四个角都相等.解答：
10、解答：3.3.分别求出半径为分别求出半径为R R的圆内接正三角形，正方的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积形的边长，边心距和面积.解：作等边解：作等边ABC的的BC边上的高边上的高AD,垂足为垂足为D连接连接OB，则，则OB=R在在RtOBD中中 OBD=30,边心距边心距OD=在在RtABD中中 BAD=30,ABCDO解：连接解：连接OB，OC 作作OEBC垂足为垂足为E，OEB=90 OBE=BOE=45在在RtOBE中为等腰直角三角形中为等腰直角三角形ABCDOE抢答题：抢答题：1.o1.o是正是正与与 的圆心。的圆心。ABCABC的中心，它是的中心，它是ABCABC的的2 2
11、、OBOB叫正叫正ABCABC的的它是正它是正ABCABC的的 的半径。的半径。3 3、ODOD叫作正叫作正ABCABC的的它是正它是正ABCABC的的 的半径。的半径。ABC.OD半径半径外接外接圆圆边心距边心距内切圆内切圆外接外接圆圆内切内切圆圆4、正方形、正方形ABCD的外接圆圆心的外接圆圆心O叫做叫做正方形正方形ABCD的的5、正方形、正方形ABCD的内切圆的半径的内切圆的半径OE叫做叫做正方形正方形ABCD的的ABCD.OE中心中心边心距边心距6 6、OO是正五边形是正五边形ABCDEABCDE的外接圆，弦的外接圆，弦ABAB的的弦心距弦心距OFOF叫正五边形叫正五边形ABCDEAB
12、CDE的（的（），它是正五边形它是正五边形ABCDEABCDE的（）的半径。的（）的半径。7 7、AOB AOB叫做正五边形叫做正五边形ABCDEABCDE的（的（）角，）角，它的度数是（它的度数是（）DEABC.OF边心距边心距内切圆内切圆中心中心7272度度8 8、图中正六边形、图中正六边形ABCDEFABCDEF的中心角是（的中心角是（）它的度数是（它的度数是（）9 9、你发现正六边形、你发现正六边形ABCDEFABCDEF的半径与边长具有的半径与边长具有什么数量关系？为什么？什么数量关系？为什么？BAEFCD.OAOB60度度解答：正六边形的半径与边解答：正六边形的半径与边长数量关系是
13、相等长数量关系是相等因为：正六边形的中心角因为：正六边形的中心角是是6060度和半径组成的三角度和半径组成的三角形是等边三角形，所以边形是等边三角形，所以边长与半径相等。长与半径相等。当堂训练当堂训练3.如图，菱形花坛如图，菱形花坛ABCD的边长为的边长为6m，B=60,其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（花部分图形的周长为（）A.m B.20m C.22m D.24mB怎样画一个正多边形呢？怎样画一个正多边形呢？问题问题1 1：已知：已知OO的半径为的半径为2cm2cm，求作圆的，求作圆的内接正三角形内接正三角形.120 用
14、量角器度量，使用量角器度量，使 AOB=BOC=COA=120 用量角器或用量角器或30角角的三角板度量，使的三角板度量，使 BAO=CAO=30 AOCB你能用以上方法画出正四边形、正五边你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？形、正六边形吗？ABCDOABCDEOOABCDEF907260你能尺规作出正四边形、你能尺规作出正四边形、正八边形吗？正八边形吗？ABCDO只要作出已知只要作出已知OO的互的互相垂直的直径即得圆内相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作接正方形，再过圆心作各边的垂线与各边的垂线与OO相交，相交，或作各中心角的角平分或作各中心角的角平分线与线与OO相交，即得
15、圆相交，即得圆接正八边形，照此方法接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十正三十二边形、正六十四边形四边形 你能尺规作出正六边形、正三角形、正你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？十二边形吗？OABCEFD 以半径长在圆周以半径长在圆周上截取六段相等的弧，上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，依次连结各等分点，则作出正六边形则作出正六边形.先作出正六边先作出正六边形，则可作正三角形，形，则可作正三角形，正十二边形，正二十正十二边形，正二十四边形四边形 练习练习：用量角器作五角星：用量角器作五角星探究探究按照一定比例按照一定比例,画一个停车画一个停
16、车让行的交通标志的外缘让行的交通标志的外缘停停ABCDMN画正多边形的方法画正多边形的方法1.1.用量角器等分圆用量角器等分圆2.2.尺规作图等分圆尺规作图等分圆小结：画正多边形的方法小结：画正多边形的方法ABCDEO如图：如图：已知点已知点A、B、C、D、E是是 O 的的5等分点，等分点，画出画出 O的内接和外切的内接和外切正五边形正五边形1 1、判断题。、判断题。各边都相等的多边形是正多边形。（各边都相等的多边形是正多边形。（）一个圆有且只有一个内接正多边形一个圆有且只有一个内接正多边形.（）2 2、证明题。、证明题。求证：顺次连结正六边形求证：顺次连结正六边形 各边中点所得的多各边中点所
17、得的多 边形是正六边形。边形是正六边形。ABCDEF1 1、正多边形的各边相等、正多边形的各边相等2 2、正多边形的各角相等、正多边形的各角相等新课讲解新课讲解探究、探究、正正n边形具有怎样边形具有怎样的对称性？的对称性？正正n边形都是轴对称图形，它有边形都是轴对称图形，它有n条对称轴；条对称轴；当当n为为偶数偶数时，正多边形是中心对称图形。时，正多边形是中心对称图形。3 3、正多边形都是轴对称图形，一个正、正多边形都是轴对称图形，一个正n n边形共有边形共有n n条对称轴，每条对称轴都通条对称轴，每条对称轴都通过过n n边形的中心。边形的中心。4 4、边数是偶数的正多边形还是中心、边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。对称图形，它的中心就是对称中心。小结小结1.正多边形中的有关概念；正多边形中的有关概念；2.正多边形的对称性；正多边形的对称性；3.正多边形中的有关计算：正多边形中的有关计算：=外角外角内角内角=_中心角中心角 =_边长、半径、边心距边长、半径、边心距知一求二知一求二12l l r r面积面积S=谢谢！