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1、二维随机变量及其分布函数第1页，本讲稿共37页图示图示一、一、二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布1.二维随机变量的定义二维随机变量的定义第2页，本讲稿共37页实例实例1 炮弹的弹着点的位置炮弹的弹着点的位置 (X,Y)就是一个二维随机就是一个二维随机变量变量.二维随机变量二维随机变量 (X,Y )的性质不仅与的性质不仅与 X、Y 有有关关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.实例实例2 考查某一地区学前儿童的发育情况考查某一地区学前儿童的发育情况,则儿童的身则儿童的身高高 H 和体重和体重 W 就构成二维随机变量就构成二维随机变量 (H,W).说明说
2、明 第3页，本讲稿共37页2.2.分布函数的定义分布函数的定义 第4页，本讲稿共37页第5页，本讲稿共37页3.分布分布函数函数的性质的性质且有且有第6页，本讲稿共37页第7页，本讲稿共37页证明证明第8页，本讲稿共37页二维离散型随机变量及其分布：分布律、分布函数二维离散型随机变量及其分布：分布律、分布函数4.4.二维随机变量的分类二维随机变量的分类二维连续型随机变量及其分布：分布密度、分布函数二维连续型随机变量及其分布：分布密度、分布函数第9页，本讲稿共37页 若二维随机变量若二维随机变量 (X,Y)所取的可能值是所取的可能值是有限对或无限可列多对有限对或无限可列多对,则称则称 (X,Y)
3、为二维离散型为二维离散型随机变量随机变量.1.1.定义定义 2.2.二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律 二、二维离散型随机变量及其分布二、二维离散型随机变量及其分布第10页，本讲稿共37页二维随机变量二维随机变量 (X,Y)的分布律也可表示为的分布律也可表示为第11页，本讲稿共37页解解且由乘法公式得且由乘法公式得例例1第12页，本讲稿共37页第13页，本讲稿共37页 (X,Y )所取的可能值是所取的可能值是解解抽取两支都是绿笔抽取两支都是绿笔抽取一支绿笔抽取一支绿笔,一支红笔一支红笔例例2 从一个装有从一个装有3支蓝色、支蓝色、2支红色、支红色、3支绿色圆珠支绿色圆珠笔的盒
4、子里笔的盒子里,随机抽取两支随机抽取两支,若若 X、Y 分别表示分别表示抽出的蓝笔数和红笔数抽出的蓝笔数和红笔数,求求 (X,Y)的分布律的分布律.第14页，本讲稿共37页第15页，本讲稿共37页故所求分布律为故所求分布律为第16页，本讲稿共37页例例3 一个袋中有三个球一个袋中有三个球,依次标有数字依次标有数字 1,2,2,从中任取从中任取一个一个,不放回袋中不放回袋中,再任取一个再任取一个,设每次取球时设每次取球时,各球各球被取到的可能性相等被取到的可能性相等,以以 X,Y 分别记第一次和第二次分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字取到的球上标有的数字,求求 (X,Y)的分布律与分布函的
5、分布律与分布函数数.(X,Y )的可能取为的可能取为解解第17页，本讲稿共37页故故 (X,Y )的分布为的分布为下面求分布函数下面求分布函数.第18页，本讲稿共37页第19页，本讲稿共37页第20页，本讲稿共37页所以所以(X,Y)的分布为的分布为第21页，本讲稿共37页说明说明离散型随机变量离散型随机变量 (X,Y)的分布函数归纳为的分布函数归纳为第22页，本讲稿共37页1.1.定义定义 三、二维连续型随机变量及其分布三、二维连续型随机变量及其分布第23页，本讲稿共37页2.性质性质第24页，本讲稿共37页表示介于表示介于 f(x,y)和和 xOy 平面之间的空间区域的全部体积等平面之间的
6、空间区域的全部体积等于于1.1.3.说明说明第25页，本讲稿共37页例例1第26页，本讲稿共37页解解第27页，本讲稿共37页(2)(2)将将 (X,Y)看作是平面上随机点的坐标看作是平面上随机点的坐标,即有即有第28页，本讲稿共37页二维均匀分布和二维正态分布第29页，本讲稿共37页1.二维均匀分布二维均匀分布定义定义 设设 D 是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其面积为其面积为 S,若二维随若二维随机变量机变量 (X,Y)具有概率密度具有概率密度则称则称 (X,Y)在在 D 上服从均上服从均匀分布匀分布.第30页，本讲稿共37页例例1 1 已知随机变量已知随机变量 (X,Y)在在 D上服从均匀分布上服从均匀分布,试求试求(X,Y)的概率密度及分布函数的概率密度及分布函数,其中其中D 为为 x 轴轴,y 轴及直线轴及直线 y=x+1 所围成的三角形区域所围成的三角形区域.解解第31页，本讲稿共37页第32页，本讲稿共37页第33页，本讲稿共37页注：先对u积分，再对v积分更容易。第34页，本讲稿共37页所以所以 (X,Y)的分布函数为的分布函数为第35页，本讲稿共37页2.二维正态分布二维正态分布若二维随机变量若二维随机变量 (X,Y)具有概率密度具有概率密度第36页，本讲稿共37页二维正态分布的图形二维正态分布的图形第37页，本讲稿共37页