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1、绪 论第 一 章研究求数学问题近似解的方法和过程研究求数学问题近似解的方法和过程实际问题数学模型数值计算方法的理论程序设计上机计算求出结果研究内容研究内容 一、数值分析的研究对象一、数值分析的研究对象5在计算机上是否根据数学公式编程就在计算机上是否根据数学公式编程就能得到正确结果能得到正确结果?研究例子研究例子:求解线性方程组求解线性方程组如把方程组的系数舍入如把方程组的系数舍入成两位有效数字成两位有效数字它的解为它的解为x1=-6.222.x2=38.25x3=-33.65.其准确解为：其准确解为：x1=x2=x3=1函数的数值逼近函数的数值逼近数值微积分数值微积分非线性方程数值解非线性方程
2、数值解数值线性代数数值线性代数常微和偏微数值解等常微和偏微数值解等 二、数值分析的主要内容二、数值分析的主要内容借助计算机提供切实可行的数学算法借助计算机提供切实可行的数学算法.所提出的算法必须具有：可靠的理论分析所提出的算法必须具有：可靠的理论分析;理理通过数值实验证明算法行之有效通过数值实验证明算法行之有效.计算复杂性好计算复杂性好 时间复杂性好时间复杂性好_指节省时间；指节省时间；空间复杂性好空间复杂性好_指节省存储量。指节省存储量。想想的精确度的精确度;收敛且稳定收敛且稳定;误差可以分析或估计误差可以分析或估计.三、数值分析的主要特点三、数值分析的主要特点数学分析数学分析(或微积分或微
3、积分)高等代数高等代数数学软件数学软件 四、学习数值分析的准备知识四、学习数值分析的准备知识误 差 的 来 源第 1 节(1)模型误差模型误差_数学模型与实际问题之间出现的误差数学模型与实际问题之间出现的误差.实验：交通流量问题实验：交通流量问题问题分析与建立模型问题分析与建立模型：模型假设：模型假设：（1）全部流入网络的流量）全部流入网络的流量全部流出网络的流量；全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量）全部流入一个节点的流量全全部部流流出出此此节节点点的的流流量量。该该问题满足问题满足10个变量的线性方程组个变量的线性方程组 误差的分类误差的分类(2)观测误差观测误差_由观测产生的
4、误差由观测产生的误差已知实验数据如下：已知实验数据如下：1001101201301401501601701801902004551546166707478858993求符合数据的求符合数据的4次拟合曲线次拟合曲线.(3)截断误差截断误差_由简化问题（公式）所引起的解的由简化问题（公式）所引起的解的将函数将函数展成的幂级数展成的幂级数.再如：函数再如：函数f(x)用泰勒多项式近似代替用泰勒多项式近似代替 误差误差(也称也称方法误差方法误差).).3.149323846(4)舍入误差舍入误差_数字计算过程中产生的误差数字计算过程中产生的误差则数值方法的截断误差是则数值方法的截断误差是避免避免“过失
5、误差过失误差”。数值计算中会出现各种误差，它们可分为两大类：数值计算中会出现各种误差，它们可分为两大类：（1）过失误差）过失误差（2）非过失误差）非过失误差人为造成人为造成数值计算中无法避免数值计算中无法避免注注意意 绝对误差第2节相对误差有效数字 一、误差的一般描述一、误差的一般描述另外，另外，经过四舍五入得到的数，其误差必定不超经过四舍五入得到的数，其误差必定不超如：用毫米刻度的米尺测量一长度如：用毫米刻度的米尺测量一长度x，读出的数为，读出的数为123mm，它是，它是x的近似值，它的误差限是的近似值，它的误差限是0.5mm,即即过被保留的最后数位上的半个单位，即最后数位上的过被保留的最后
6、数位上的半个单位，即最后数位上的半个单位为其误差限。半个单位为其误差限。相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异.绝对误差限和相对误差限均无穷多绝对误差限和相对误差限均无穷多,自然越小越好自然越小越好.误差估计的任务就是提供好的误差限误差估计的任务就是提供好的误差限,对于任何一个近对于任何一个近似值似值,如果得到一个好的误差限如果得到一个好的误差限,那么就可以肯定这些数那么就可以肯定这些数据是准确可靠的据是准确可靠的!思思考考绝对误差限和相对误差限是否惟一？绝对误差限和相对误差限是否惟一？如果如果|e|=|x*-x|0.5 10-k称近似数称
7、近似数x准确到准确到用四舍五入得到的数都是有效数字用四舍五入得到的数都是有效数字;定义定义:小数点后第小数点后第k位位,从这小数点后第从这小数点后第k位数字直到最位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字.有效数字越多有效数字越多,误差越小误差越小,计算结果越精确计算结果越精确.二、有效数字二、有效数字x3=1.7320是其近似值是其近似值,问它们分别有几位有效数字问它们分别有几位有效数字?例例1.1x1=1.73,x2=1.7321,解解按定义，上述各数具有按定义，上述各数具有5位有效数字的近似数位有效数字的近似数分别是：分别是：187.93
8、，0.037856，8.0000，2.7183。注意：注意：8.000033的的5位有效数字近似数是位有效数字近似数是8.0000而不是而不是8，因为，因为8只有只有1位有效数字位有效数字.按四舍五入原则写出下列各数具有按四舍五入原则写出下列各数具有5位有效位有效数字的近似数：数字的近似数：187.9325，0.03785551，8.000033，2.7182818.例例1.2解解:3.149323846例例1.3注注意意(1)有效数字的位数与小数点的位置无关有效数字的位数与小数点的位置无关;(2)有效数位越多有效数位越多,相对误差越小相对误差越小.例例1.4解：解：确定绝对误差限确定绝对误差
9、限,则可知有效数字的位数则可知有效数字的位数故精确到小数点以后两位故精确到小数点以后两位,即取三位有效数字可达要求即取三位有效数字可达要求.第 3 节数值计算中的误差传播例例1.5 基本运算中的误差估计基本运算中的误差估计多元函数有类似的结果多元函数有类似的结果数值计算中应注意的问题第 4 节1.要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法;2。避免两个相近的数相减。避免两个相近的数相减;3.要防止大数要防止大数“吃掉吃掉”小数小数;2。应选用数值稳定性的计算方法。应选用数值稳定性的计算方法;2。简化计算步骤和公式，设法减少运算次数。简化计算步骤和公式，
10、设法减少运算次数。避免误差危害的若干原则避免误差危害的若干原则解：解：可得算法：可得算法：建立积分建立积分的递推关系式，并研究它的误差传递。的递推关系式，并研究它的误差传递。例例1.6一、使用数值稳定的计算公式一、使用数值稳定的计算公式这个算法不具有稳定性，因为这个算法不具有稳定性，因为的舍入误差传播到的舍入误差传播到时，该误差放大时，该误差放大5倍，传到倍，传到时，该误差将是时，该误差将是倍，当倍，当n较大时，误差将较大时，误差将淹没真值，这种递推公式不宜采用。淹没真值，这种递推公式不宜采用。所以有估计式所以有估计式于是于是粗略地取粗略地取可得另一算法：可得另一算法：这个算法是稳定的，因为由
11、这个算法是稳定的，因为由引起的误差在引起的误差在以后的计算过程中将逐渐减小。以后的计算过程中将逐渐减小。解：解：查表得查表得例例1.7二、防止相近的两数相减（损失过多的有效数字）二、防止相近的两数相减（损失过多的有效数字）取右端的有限项近似代替左端。取右端的有限项近似代替左端。说说明明当当两两个个绝绝对对值值相相差差很很大大的的数数进进行行加加法法或或减减法法运运算算时时,绝绝对对值值小小的的数数有有可可能能被被绝绝对对值值大大的的数数吃吃掉掉从从而引起计算结果很不可靠而引起计算结果很不可靠.求一元二次方程求一元二次方程x2-(109+1)x+109=0的实数根的实数根.解：解：采用因式分解法
12、采用因式分解法,很容易得到两个根为很容易得到两个根为x1=109,x2=1.若用求根公式，则若用求根公式，则例例1.9三、防止大数吃小数三、防止大数吃小数求得结果求得结果x1=109,x2=0是错误的。可改为是错误的。可改为两者结果不同两者结果不同,因为计算机计算时做加减法要因为计算机计算时做加减法要“对对阶阶”,“对对阶阶”的的结结果果使使大大数数吃吃掉掉了了小小数数.产产生生了了误误差差.为为了了避避免免由由于于上上述述原原因因引引起起的的计计算算结结果果严严重重失失真真,可可以以根根据据一一些些具具体体情情况况,存存在在需需要要把把某某些些算算式式改改写写成成另另一种等价的形式一种等价的
13、形式.两数都写成绝对值小于两数都写成绝对值小于1而阶码而阶码相同的数相同的数在在4位有效数字的限制下，计算：位有效数字的限制下，计算：解解从左到右从左到右,逐项相加逐项相加如果先计算如果先计算,再加再加绝对值越小的数越先被相加很可能会优化求和的精确度绝对值越小的数越先被相加很可能会优化求和的精确度.大大数数吃吃小小数数例例例例1.10分母接近零的数会产生溢出错误分母接近零的数会产生溢出错误,因而产生大的因而产生大的误差误差,此时可以用数学公式化简后再做此时可以用数学公式化简后再做.四、防止接近零的数做除数四、防止接近零的数做除数失真的原因：除数的绝对值远远小于被除数的绝对值。失真的原因：除数的
14、绝对值远远小于被除数的绝对值。例例1.11若直接计算，再逐项相加共需要做若直接计算，再逐项相加共需要做4+3+2+1=10次次乘法和乘法和4次加法次加法.分析分析若用著名的秦九韶算法：若用著名的秦九韶算法：只要做只要做4次乘法和次乘法和4次加法。次加法。五、注意简化计算步骤，减少运算次数五、注意简化计算步骤，减少运算次数例例1.12 求下列多项式在求下列多项式在的值的值次乘法和次乘法和n 次加法。次加法。推而广之推而广之秦九韶算法的一般形式秦九韶算法的一般形式:只要只要n次乘法和次乘法和n次加法就可算出次加法就可算出.解解将所给多项式的系数按降幂排列，缺项系数视为零。将所给多项式的系数按降幂排
15、列，缺项系数视为零。用用Mathematica不难验证！不难验证！误差的种类误差的种类模型误差：模型误差：观测误差观测误差截断误差截断误差舍入误差舍入误差 绝对误差绝对误差 相对误差相对误差误差的表示法误差的表示法 内容回顾内容回顾定义定义1:1:有效数字有效数字-如果如果|e|=|x*-x|0.5 10-k称近似称近似数数x准确到小数点后第准确到小数点后第k位位,从这小数点后第从这小数点后第k位数字直位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字到最左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字.定义定义2:2:设设x x的近似值的近似值 x x*为为:误差在算术中的传播误差在算术中的传播加
16、减运算加减运算乘法运算乘法运算除法运算除法运算乘方与开方乘方与开方算法的数值稳定性：算法的数值稳定性：（5）绝对值太小的数不宜作为除数）绝对值太小的数不宜作为除数。（1）应选用数值稳定性的计算方法）应选用数值稳定性的计算方法；（2）简化计算步骤和公式，设法减少运算次数）简化计算步骤和公式，设法减少运算次数；（3）合理安排运算顺序，防止大数淹没小数）合理安排运算顺序，防止大数淹没小数；（4）避免两相近数相减）避免两相近数相减；1、设、设，假定，假定g是准确的，而对是准确的，而对t的测量有的测量有0.1秒秒的的误误差差，证证明明当当t增增加加时时S的的绝绝对对误误差差增增加加，而而相对误差却减少。相对误差却减少。解：解：思考与练习思考与练习2、计计算算 ，取取，利利用下列等用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？式计算，哪一个得到的结果最好？解：解：利用等价变换使下列表达式计算比较精确利用等价变换使下列表达式计算比较精确.练习练习3提示提示计算：计算：序序号号 算式算式 Math数据数据10.32 0.330.340.3列表分析列表分析练习练习2作 业P141、3、4