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1、初三数学一模试题分类汇编平行四边形综合附答案 一、平行四边形 1（1）、动手操作：如图：将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在点处，折痕为 EF，若 ABE20，那么的度数为 .（2）、观察发现：小明将三角形纸片 ABC（ABAC）沿过点 A 的直线折叠，使得 AC 落在 AB 边上，折痕为AD，展开纸片（如图）；再次折叠该三角形纸片，使点 A 和点 D 重合，折痕为 EF，展平纸片后得到 AEF（如图）小明认为 AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由 （3）、实践与运用：将矩形纸片 ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕 EF，折痕与 AD 边交于点 E，
2、与 BC边交于点 F；将矩形 ABFE 与矩形 EFCD 分别沿折痕 MN 和 PQ 折叠，使点 A、点 D 都与点 F重合，展开纸片，此时恰好有 MPMNPQ（如图），求 MNF 的大小.【答案】（1）125；（2）同意；（3）60【解析】试题分析：（1）根据直角三角形的两个锐角互余求得 AEB=70，根据折叠重合的角相等，得 BEF=DEF=55，根据平行线的性质得到 EFC=125，再根据折叠的性质得到 EFC=EFC=125；（2）根据第一次折叠，得 BAD=CAD；根据第二次折叠，得 EF 垂直平分 AD，根据等角的余角相等，得 AEG=AFG，则 AEF 是等腰三角形；（3）由题意
3、得出：NMF=AMN=MNF，MF=NF，由对称性可知，MF=PF，进而得出 MNF MPF，得出 3 MNF=180求出即可 试题解析：（1）、在直角三角形 ABE 中，ABE=20，AEB=70，BED=110，根据折叠重合的角相等，得 BEF=DEF=55 AD BC，EFC=125，再根据折叠的性质得到 EFC=EFC=125；（2）、同意，如图，设 AD 与 EF 交于点 G 由折叠知，AD 平分 BAC，所以 BAD=CAD 由折叠知，AGE=DGE=90，所以 AGE=AGF=90，所以 AEF=AFE 所以 AE=AF，即 AEF 为等腰三角形（3）、由题意得出：NMF AMN
4、 MNF，MFNF，由折叠可知，MFPF，NFPF，而由题意得出：MPMN，又 MFMF，MNF MPF，PMF NMF，而 PMF NMF MNF180，即 3 MNF180，MNF60.考点：1.折叠的性质；2.等边三角形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.等腰三角形的判定 2已知，在矩形 ABCD 中，AB=a，BC=b，动点 M 从点 A 出发沿边 AD 向点 D 运动 （1）如图 1，当 b=2a，点 M 运动到边 AD 的中点时，请证明 BMC=90；（2）如图 2，当 b2a 时，点 M 在运动的过程中，是否存在 BMC=90，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）
5、如图 3，当 b2a 时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析;（3）不成立理由如下见解析.【解析】试题分析：（1）由 b=2a，点 M 是 AD 的中点，可得 AB=AM=MD=DC=a，又由四边形 ABCD是矩形，即可求得 AMB=DMC=45，则可求得 BMC=90；（2）由 BMC=90，易证得 ABM DMC，设 AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2bx+a2=0，由 b2a，a0，b0，即可判定 0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；（3）由（2），当 b2a，a0，b0，判定方程 x2bx
6、+a2=0 的根的情况，即可求得答案 试题解析：（1）b=2a，点 M 是 AD 的中点，AB=AM=MD=DC=a，又 在矩形 ABCD 中，A=D=90，AMB=DMC=45，BMC=90（2）存在，理由：若 BMC=90，则 AMB+DMC=90，又 AMB+ABM=90，ABM=DMC，又 A=D=90，ABM DMC，AMABCDDM，设 AM=x，则xaabx，整理得：x2bx+a2=0，b2a，a0，b0，=b24a20，方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，当 b2a 时，存在 BMC=90，（3）不成立 理由：若 BMC=90，由（2）可知 x2bx+a2=0，
7、b2a，a0，b0，=b24a20，方程没有实数根，当 b2a 时，不存在 BMC=90，即（2）中的结论不成立 考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质 3如图，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，过对角线 BD 中点 O 的直线分别交 AB，CD 边于点E，F（1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形；（2）当四边形 BEDF 是菱形时，求 EF 的长 【答案】（1）证明见解析；（2）4 133【解析】分析：（1）根据平行四边形 ABCD 的性质，判定 BOE DOF（ASA），得出四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在 Rt ADE 中，由勾
8、股定理得出方程，解方程求出 BE，由勾股定理求出 BD，得出OB，再由勾股定理求出 EO，即可得出 EF 的长.详解：（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，O 是 BD 的中点，A=90，AD=BC=4，AB DC，OB=OD，OBE=ODF，在 BOE 和 DOF 中，OBEODFOBODBOEDOF BOE DOF（ASA），EO=FO，四边形 BEDF 是平行四边形；（2）当四边形 BEDF 是菱形时，BDEF，设 BE=x，则 DE=x，AE=6-x，在 Rt ADE 中，DE2=AD2+AE2，x2=42+（6-x）2，解得：x=133，BD=22ADAB=213，OB=12BD=1
9、3，BDEF，EO=22BEOB=2 133，EF=2EO=4 133 点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键 4如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AO=CO，BO=DO，且 ABC+ADC=180（1）求证：四边形 ABCD 是矩形（2）若 ADF：FDC=3：2，DFAC，求 BDF 的度数 【答案】(1)见解析；（2）18.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形 ABCD 是平行四边形，求出 ABC=90，根据矩形的判定得出即可；（2）求出 FDC
10、的度数，根据三角形内角和定理求出 DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出 CDO，即可求出答案【详解】（1）证明：AO=CO，BO=DO 四边形 ABCD 是平行四边形，ABC=ADC，ABC+ADC=180，ABC=ADC=90，四边形 ABCD 是矩形；（2）解：ADC=90，ADF：FDC=3：2，FDC=36，DFAC，DCO=9036=54，四边形 ABCD 是矩形，OC=OD，ODC=54 BDF=ODC FDC=18【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形
11、5如图，四边形 ABCD 中，BCD=D=90，E 是边 AB 的中点.已知 AD=1，AB=2.（1）设 BC=x，CD=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当 B=70时，求 AEC 的度数；（3）当 ACE 为直角三角形时，求边 BC 的长.【答案】（1）22303yxxx；（2）AEC=105；（3）边 BC 的长为2 或1172.【解析】试题分析：（1）过 A 作 AHBC 于 H，得到四边形 ADCH 为矩形在 BAH 中，由勾股定理即可得出结论（2）取 CD 中点 T，连接 TE，则 TE 是梯形中位线，得 ET AD，ETCD，AET=B=70 又 AD=A
12、E=1，得到 AED=ADE=DET=35由 ET 垂直平分 CD，得 CET=DET=35，即可得到结论 （3）分两种情况讨论：当 AEC=90时，易知 CBE CAE CAD，得 BCE=30，解 ABH 即可得到结论 当 CAE=90时，易知 CDA BCA，由相似三角形对应边成比例即可得到结论 试题解析：解：（1）过 A 作 AHBC 于 H由 D=BCD=90，得四边形 ADCH 为矩形 在 BAH 中，AB=2，BHA=90，AH=y，HB=1x，22221yx，则22303yxxx（2）取 CD 中点 T，联结 TE，则 TE 是梯形中位线，得 ET AD，ETCD，AET=B=
13、70 又 AD=AE=1，AED=ADE=DET=35由 ET 垂直平分 CD，得 CET=DET=35，AEC=7035=105 （3）分两种情况讨论：当 AEC=90时，易知 CBE CAE CAD，得 BCE=30，则在 ABH 中，B=60，AHB=90，AB=2，得 BH=1，于是 BC=2 当 CAE=90时，易知 CDA BCA，又2224ACBCABx，则221411724ADCAxxACCBxx（舍负）易知 ACE90，所以边 BC 的长为1172 综上所述：边 BC 的长为 2 或1172 点睛：本题是四边形综合题考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质解题的关键是掌握梯形
14、中常见的辅助线作法 6在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且 EAF=CEF=45.(1)将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 ABG(如图)，求证：AEG AEF；(2)若直线 EF 与 AB，AD 的延长线分别交于点 M，N(如图)，求证：EF2=ME2+NF2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图)，请你直接写出线段 EF，BE，DF 之间的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知 AF=AG，EAF=GAE=45，故可证 AEG AEF；（
15、2）将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 ABG，连结 GM由（1）知 AEG AEF，则 EG=EF再由 BME、DNF、CEF 均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明 GME=90，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明 EF2=ME2+NF2；（3）将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 ABG，根据旋转的性质可以得到 ADF ABG，则 DF=BG，再证明 AEG AEF，得出 EG=EF，由 EG=BG+BE，等量代换得到 EF=BE+DF 试题解析：（1）ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 ABG
16、，AF=AG，FAG=90，EAF=45，GAE=45，在 AGE 与 AFE 中，AGE AFE（SAS）；（2）设正方形 ABCD 的边长为 a 将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 ABG，连结 GM 则 ADF ABG，DF=BG 由（1）知 AEG AEF，EG=EF CEF=45，BME、DNF、CEF 均为等腰直角三角形，CE=CF，BE=BM，NF=DF，aBE=aDF，BE=DF，BE=BM=DF=BG，BMG=45，GME=45+45=90，EG2=ME2+MG2，EG=EF，MG=BM=DF=NF，EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2 如图所
17、示，延长 EF 交 AB 延长线于 M 点，交 AD 延长线于 N 点，将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 AGH，连结 HM，HE 由（1）知 AEH AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BMGM）2=EH2 又 EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BEGH）2=EF2，即 2（DF2+BE2）=EF2 考点：四边形综合题 7如图，ABCD 是正方形，点 G 是 BC 上的任意一点，DEAG 于 E，BF DE，交 AG 于F 求证：AF=BF+EF 【答案】详见解析.【解析】【分析】由四边形 ABCD 为
18、正方形，可得出 BAD 为 90，AB=AD，进而得到 BAG 与 EAD 互余，又 DE 垂直于 AG，得到 EAD 与 ADE 互余，根据同角的余角相等可得出 ADE=BAF，利用 AAS 可得出 ABF DAE；利用全等三角的对应边相等可得出 BF=AE，由 AF-AE=EF，等量代换可得证.【详解】ABCD 是正方形，AD=AB，BAD=90 DEAG，DEG=AED=90 ADE+DAE=90 又 BAF+DAE=BAD=90，ADE=BAF BF DE，AFB=DEG=AED 在 ABF 与 DAE 中，AFBAEDADEBAFADAB ，ABF DAE（AAS）BF=AE AF=
19、AE+EF，AF=BF+EF 点睛：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键 8（感知）如图，四边形 ABCD、CEFG 均为正方形可知 BE=DG（拓展）如图，四边形 ABCD、CEFG 均为菱形，且 A=F求证：BE=DG（应用）如图，四边形 ABCD、CEFG 均为菱形，点 E 在边 AD 上，点 G 在 AD 延长线上若 AE=2ED，A=F，EBC 的面积为 8，菱形 CEFG 的面积是_（只填结果）【答案】见解析【解析】试题分析：探究：由四边形 ABCD、四边形 CEFG 均为菱形，利用 SAS 易证得 BCE DCG，则可
20、得 BE=DG；应用：由 AD BC，BE=DG，可得 S ABE+S CDE=S BEC=S CDG=8，又由 AE=3ED，可求得 CDE的面积，继而求得答案 试题解析：探究：四边形 ABCD、四边形 CEFG 均为菱形，BC=CD，CE=CG，BCD=A，ECG=F A=F，BCD=ECG BCD-ECD=ECG-ECD，即 BCE=DCG 在 BCE 和 DCG 中，BCCDBCEDCGCECG BCE DCG（SAS），BE=DG 应用：四边形 ABCD 为菱形，AD BC，BE=DG，S ABE+S CDE=S BEC=S CDG=8，AE=3ED，S CDE=1824,S ECG
21、=S CDE+S CDG=10 S菱形CEFG=2S ECG=20.9定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等 理解：如图，在 ABC 中，CD 是 AB 边上的中线，那么 ACD 和 BCD 是“友好三角形”，并且 S ACD=S BCD 应用：如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，点 E 在 AD 上，点 F 在 BC 上，AE=BF，AF与 BE 交于点 O（1）求证：AOB 和 AOE 是“友好三角形”；（2）连接 OD，若 AOE 和 DOE 是“友好三角形”，求四边形 CDOF 的面积
22、探究：在 ABC 中，A=30，AB=4，点 D 在线段 AB 上，连接 CD，ACD 和 BCD 是“友好三角形”，将 ACD 沿 CD 所在直线翻折，得到 ACD，若 ACD 与 ABC 重合部分的面积等于 ABC 面积的，请直接写出 ABC 的面积 【答案】（1）见解析；（2）12；探究：2 或 2【解析】试题分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形 ABFE 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得 OE=OB，即可证得 AOE 和 AOB 是友好三角形；（2）AOE 和 DOE 是“友好三角形”，即可得到 E 是 AD 的中点，则可以求得 ABE、ABF
23、的面积，根据 S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S ABF即可求解 探究：画出符合条件的两种情况：求出四边形 ADCB 是平行四边形，求出 BC 和 AD 推出 ACB=90，根据三角形面积公式求出即可；求出高 CQ，求出 ADC 的面积即可求出 ABC 的面积 试题解析：（1）四边形 ABCD 是矩形，AD BC，AE=BF，四边形 ABFE 是平行四边形，OE=OB，AOE 和 AOB 是友好三角形（2）AOE 和 DOE 是友好三角形，S AOE=S DOE，AE=ED=AD=3，AOB 与 AOE 是友好三角形，S AOB=S AOE，AOE FOB，S AOE=S FOB，S AO
24、D=S ABF，S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S ABF=46-2 43=12 探究：解：分为两种情况：如图 1，S ACD=S BCD AD=BD=AB，沿 CD 折叠 A 和 A重合，AD=AD=AB=4=2，ACD 与 ABC 重合部分的面积等于 ABC 面积的，S DOC=S ABC=S BDC=S ADC=S ADC，DO=OB，AO=CO，四边形 ADCB 是平行四边形，BC=AD=2，过 B 作 BMAC 于 M，AB=4，BAC=30，BM=AB=2=BC，即 C 和 M 重合，ACB=90，由勾股定理得：AC=，ABC 的面积是 BCAC=22=2；如图 2，S ACD
25、=S BCD AD=BD=AB，沿 CD 折叠 A 和 A重合，AD=AD=AB=4=2，ACD 与 ABC 重合部分的面积等于 ABC 面积的，S DOC=S ABC=S BDC=S ADC=S ADC，DO=OA，BO=CO，四边形 ABDC 是平行四边形，AC=BD=2，过 C 作 CQAD 于 Q，AC=2，DAC=BAC=30，CQ=AC=1，S ABC=2S ADC=2S ADC=2 ADCQ=2 21=2；即 ABC 的面积是 2 或 2 考点：四边形综合题 10在ABC中，ABC90，BD 为 AC 边上的中线，过点 C 作CEBD于点 E，过点 A 作 BD 的平行线，交 C
26、E 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取FGBD，连接 BG，DF 1求证：BDDF；2求证：四边形 BDFG 为菱形；3若AG5，CF7，求四边形 BDFG 的周长 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）8【解析】【分析】1利用平行线的性质得到90CFA，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证，2利用平行四边形的判定定理判定四边形 BDFG 为平行四边形，再利用 1得结论即可得证，3设GFx，则5AFx，利用菱形的性质和勾股定理得到 CF、AF 和 AC 之间的关系，解出 x 即可【详解】1证明：AG/BD，CFBD，CFAG，又D为 AC 的中点，1DFAC2，又
27、1BDAC2，BDDF，2证明：BD/GF，BDFG，四边形 BDFG 为平行四边形，又BDDF，四边形 BDFG 为菱形，3解：设GFx，则AF5x，AC2x，在Rt AFC中，222(2x)(7)(5x)，解得：1x2，216x(3 舍去)，GF2，菱形 BDFG 的周长为 8【点睛】本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识，正确掌握这些定义性质及判定并结合图形作答是解决本题的关键 11如图，AB 为O 的直径，点 E 在O 上，过点 E 的切线与 AB 的延长线交于点 D，连接 BE，过点 O 作 BE 的平行线，交O 于点 F，交切线于点 C，连接 AC（1）求
28、证：AC 是O 的切线；（2）连接 EF，当 D=时，四边形 FOBE 是菱形 【答案】（1）见解析；（2）30.【解析】【分析】（1）由等角的转换证明出OCAOCE，根据圆的位置关系证得 AC 是O 的切线.（2）根据四边形 FOBE 是菱形，得到 OF=OB=BF=EF，得证OBE为等边三角形，而得出60BOE，根据三角形内角和即可求出答案.【详解】（1）证明：CD 与O 相切于点 E，OECD，90CEO，又OCBE，COEOEB，OBE=COA OE=OB，OEBOBE，COECOA，又 OC=OC，OA=OE，OCAOCE SAS（），90CAOCEO，又 AB 为O 的直径，AC
29、为O 的切线；（2）解：四边形 FOBE 是菱形，OF=OB=BF=EF，OE=OB=BE，OBE为等边三角形，60BOE，而OECD，30D 故答案为 30【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.12如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将该矩形沿 AE 折叠，使点 D 落在边 BC 上的点 F 处，过点 F 作 FG CD，交 AE 于点 G，连接 DG （1）求证：四边形 DEFG 为菱形；（2）若 CD=8，CF=4，求的值【答案】（1）证明见试题解析；（2）【解析】试题分析：（1）由折叠的性质，可以得到 DG=FG，ED
30、=EF，1=2，由 FG CD，可得 1=3，再证明 FG=FE，即可得到四边形 DEFG 为菱形；（2）在 Rt EFC 中，用勾股定理列方程即可 CD、CE，从而求出的值 试题解析：（1）由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，1=2，FG CD，2=3，FG=FE，DG=GF=EF=DE，四边形 DEFG 为菱形；（2）设 DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8x，在 Rt EFC 中，即，解得：x=5，CE=8x=3，=考点：1翻折变换（折叠问题）；2勾股定理；3菱形的判定与性质；4矩形的性质；5综合题 13如图 1，若分别以 ABC 的 AC、BC 两边为边向外侧作的四
31、边形 ACDE 和 BCFG 为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形（1）发现：如图 2，当 C=90时，求证：ABC 与 DCF 的面积相等（2）引申：如果 C90时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图 1 给出证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图 3，分别以 ABC 的三边为边向外侧作的四边形 ACDE、BCFG 和 ABMN 为正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形已知 ABC 中，AC=3，BC=4当 C=_时，图中阴影部分的面积和有最大值是_ 【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18.【解析】试题分析：（1）因为 AC=DC，ACB=DCF=90
32、，BC=FC，所以 ABC DFC，从而 ABC 与 DFC 的面积相等；（2）延长 BC 到点 P，过点 A 作 APBP 于点 P；过点 D 作 DQFC 于点 Q得到四边形ACDE，BCFG 均为正方形，AC=CD，BC=CF，ACP=DCQ所以 APC DQC 于是 AP=DQ又因为 S ABC=12BCAP，S DFC=12FCDQ，所以 S ABC=S DFC；（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是 ABC 的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形 ABC 的面积最大，当 ABC 是直角三角形，即 C 是 90 度时，阴影部分的面积和最大所以 S阴影部分面积和=3S
33、ABC=31234=18（1）证明：在 ABC 与 DFC 中，ACDCACBDCFBCFC，ABC DFC ABC 与 DFC 的面积相等；（2）解：成立理由如下：如图，延长 BC 到点 P，过点 A 作 APBP 于点 P；过点 D 作 DQFC 于点 Q APC=DQC=90 四边形 ACDE，BCFG 均为正方形，AC=CD，BC=CF，ACP+PCD=90，DCQ+PCD=90，ACP=DCQ APCDQCACPDCQACCD，APC DQC（AAS），AP=DQ 又 S ABC=12BCAP，S DFC=12FCDQ，S ABC=S DFC；（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积
34、和是 ABC 的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形 ABC 的面积最大，当 ABC 是直角三角形，即 C 是 90 度时，阴影部分的面积和最大 S阴影部分面积和=3S ABC=31234=18 考点：四边形综合题 14正方形 ABCD 的边长为 1，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 是 AB 边上的一个动点（点 E 不与点 A、B 重合），CE 与 BD 相交于点 F，设线段 BE 的长度为 x （1）如图 1，当 AD=2OF 时，求出 x 的值；（2）如图 2，把线段 CE 绕点 E 顺时针旋转 90，使点 C 落在点 P 处，连接 AP，设 APE的面积为 S
35、，试求 S 与 x 的函数关系式并求出 S 的最大值【答案】（1）x=1；（2）S=（x）2+（0 x1），当 x=时，S 的值最大，最大值为，【解析】试题分析：（1）过 O 作 OM AB 交 CE 于点 M，如图 1，由平行线等分线段定理得到CM=ME，根据三角形的中位线定理得到 AE=2OM=2OF，得到 OM=OF，于是得到 BF=BE=x，求得 OF=OM=解方程，即可得到结果；（2）过 P 作 PGAB 交 AB 的延长线于 G，如图 2，根据已知条件得到 ECB=PEG，根据全等三角形的性质得到 EB=PG=x，由三角形的面积公式得到 S=（1x）x，根据二次函数的性质即可得到结
36、论 试题解析：（1）过 O 作 OM AB 交 CE 于点 M，如图 1，OA=OC，CM=ME，AE=2OM=2OF，OM=OF，BF=BE=x，OF=OM=，AB=1，OB=，x=1；（2）过 P 作 PGAB 交 AB 的延长线于 G，如图 2，CEP=EBC=90，ECB=PEG，PE=EC，EGP=CBE=90，在 EPG 与 CEB 中，EPG CEB，EB=PG=x，AE=1x，S=（1x）x=x2+x=（x）2+，（0 x1），0，当 x=时，S 的值最大，最大值为，考点：四边形综合题 15如图，在菱形 ABCD 中，AB=6，ABC=60，AHBC 于点 H动点 E 从点 B
37、 出发，沿线段 BC 向点 C 以每秒 2 个单位长度的速度运动过点 E 作 EFAB，垂足为点 F点 E 出发后，以 EF 为边向上作等边三角形 EFG，设点 E 的运动时间为 t 秒，EFG 和 AHC 的重合部分面积为 S（1）CE=（含 t 的代数式表示）（2）求点 G 落在线段 AC 上时 t 的值（3）当 S0 时，求 S 与 t 之间的函数关系式（4）点 P 在点 E 出发的同时从点 A 出发沿 A-H-A 以每秒 2个单位长度的速度作往复运动，当点 E 停止运动时，点 P 随之停止运动，直接写出点 P 在 EFG 内部时 t 的取值范围 【答案】（1）6-2t；（2）t=2；（
38、3）当 t2 时，S=t2+t-3；当 2t3 时，S=-t2+t-；（4）t【解析】试题分析:（1）由菱形的性质得出 BC=AB=6 得出 CE=BC-BE=6-2t 即可；（2）由菱形的性质和已知条件得出 ABC 是等边三角形，得出 ACB=60，由等边三角形的性质和三角函数得出 GEF=60，GE=EF=BEsin60=t，证出 GEC=90，由三角函数求出 CE=t，由 BE+CE=BC 得出方程，解方程即可；（3）分两种情况：当 t2 时，S=EFG 的面积-NFN 的面积，即可得出结果；当 2t3 时，由的结果容易得出结论；（4）由题意得出 t=时，点 P 与 H 重合，E 与 H
39、 重合，得出点 P 在 EFG 内部时，t 的不等式，解不等式即可 试题解析：（1）根据题意得：BE=2t，四边形 ABCD 是菱形，BC=AB=6，CE=BC-BE=6-2t；（2）点 G 落在线段 AC 上时，如图 1 所示：四边形 ABCD 是菱形，AB=BC，ABC=60，ABC 是等边三角形，ACB=60，EFG 是等边三角形，GEF=60，GE=EF=BEsin60=t，EFAB，BEF=90-60=30，GEB=90，GEC=90，CE=t，BE+CE=BC，2t+t=6，解得：t=2；（3）分两种情况：当 t2 时，如图 2 所示：S=EFG 的面积-NFN 的面积=（t）2-（-+2）2=t2+t-3，即 S=t2+t-3；当 2t3 时，如图 3 所示：S=t2+t-3-（3t-6）2，即 S=-t2+t-；（4）AH=ABsin60=6=3，32=，32=，t=时，点 P 与 H 重合，E 与 H 重合，点 P 在 EFG 内部时，-（t-）2t-（2t-3）+（2t-3），解得：t；即点 P 在 EFG 内部时 t 的取值范围为：t 考点：四边形综合题