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1、 1 专题 05 立体几何（选择题、填空题）1【2019 年高考全国卷理数】已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为 A68 B64 C62 D6【答案】D【解析】解法一：,PAPBPCABC为边长为 2 的等边三角形，PABC为正三棱锥，PBAC，又E，F分别为PA，AB的中点，EFPB，EFAC，又EFCE，,CEACCEF平面PAC，PB 平面PAC，2APBPAPBPC，PABC为正方体的一部分，22226R，即36446 6,62338RVR，故选 D
2、解法二：设2PAPBPCx，,E F分别为,PA AB的中点，EFPB，且12EFPBx，ABC为边长为 2 的等边三角形，3CF，又90CEF，213,2CExAEPAx，AEC中，由余弦定理可得2243cos2 2xxEACx，作PDAC于D，PAPC，D为AC的中点，1cos2ADEACPAx，2243142xxxx，2 221221222xxx，2PAPBPC，又=2AB BC AC，,PA PB PC两两垂直，22226R，62R，3446 66338VR，故选 D.【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到
3、侧棱长，进而补体成正方体解决 2【2019 年高考全国卷理数】设，为两个平面，则 的充要条件是 A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C，平行于同一条直线 D，垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选 B【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,aba
4、b，则”此类的错误 3【2019 年高考全国卷理数】如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则 3 ABM=EN，且直线 BM，EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBM=EN，且直线 BM，EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作EOCD于O，连接ON，BD，易得直线 BM，EN 是三角形 EBD 的中线，是相交直线.过M作MFOD于F，连接BF，平面CDE 平面ABCD，,EOCD EO平面CDE，EO平面ABCD，MF 平面ABCD，MF
5、B与EON均为直角三角形设正方形边长为 2，易知3,12EOONEN,，35,722MFBFBM，BMEN，故选 B 【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题 4【2019 年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖 4 暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式 V柱体=Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是 A158 B162 C182 D324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的
6、高为 6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为 4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222.故选 B.【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.5【2019 年高考浙江卷】设三棱锥 VABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱 VA 上的点（不含端点）记直线 PB 与直线 AC 所成的角为，直线 PB 与平面 A
7、BC 所成的角为，二面角 PACB 的平面角为，则 A，B，C，D，0)，则1332OGx36x.356FGSGx，222233566SOhSGGOxx 35 53x，三棱锥的体积211335 53343ABCVShxx451535123xx.设 45353n xxx，x0，则 345 3203n xxx，令 0n x，即43403xx，得4 3x，易知 n x在4 3x 处取得最大值.max1548544 1512V.【名师点睛】对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利 23 用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是 2 次时可以利用二次函数的性
8、质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.31【2017 年高考山东卷理数】由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 .【答案】22【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为 2,1,1,圆柱的高为 1,底面圆的半径为 1,所以 2 12 1 121242V .【名师点睛】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据 32【2017 年高考天津卷理数】已知一个正方体的所有顶点
9、在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为_【答案】92【解析】设正方体的边长为a，则26183aa，其外接球直径为233Ra，故这个球的体积343VR4279382【名师点睛】求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心 33【2017 年高考江苏卷】如图，在圆柱12OO内有一个球O，该球
10、与圆柱的上、下底面及母线均相切记14 24 圆柱12OO的体积为1V，球O的体积为2V，则12VV的值是 .【答案】32【解析】设球半径为r，则213223423VrrVr故答案为32【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解 34【2017 年高考全国卷理数】a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC所在直线与 a，b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 A
11、B 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 30角；当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 60角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45；直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60.其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】设1ACBC.由题意，AB是以 AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,ACa ACb，又 AC圆锥底面，所以在底面内可以过点 B，作BDa，交底面圆C于点 D，如图所示，连接 DE，则DEBD，DEb，连接AD，等腰ABD中，2ABAD,当直线AB与a成60角时，60ABD，故2BD，又在RtBDE中，2,2BEDE，过点 B 作
12、 BFDE，交圆 C 于点 F，连接 AF，由圆的对称性可知2BFDE,ABF为等边三角形，60ABF，即 AB 与 b 成 60角，正确，错误.由图可知正确；很明显，可以满足平面 ABC直线 a，则直线AB与a所成角的最大值为 90，错误.25 故正确的是.【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.