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1、高中数学解析几何题型 考点 1.求参数的值 考点 2.求线段的长 考点 3.曲线的离心率 考点 4.求最大(小)值 考点 5 圆锥曲线的基本概念和性质 考点 6 利用向量求曲线方程和解决相关问题 考点 7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题 考点 8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题 考点 9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题 考点 10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题 考点 1.求参数的值 例 1若抛物线22ypx的焦点与椭圆22162xy的右焦点重合，则p的值为（）A2 B2 C4 D4 考查意图:本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.解答过程：椭圆22
2、162xy的右焦点为(2,0)，所以抛物线22ypx的焦点为(2,0)，则4p，故选 D.考点 2.求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.例 2 已知抛物线 y-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图:本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.解：设直线AB的方程为yxb，由22123301yxxxbxxyxb ，进 而 可 求 出AB的 中 点11(,)22Mb，又由11(,)22Mb在直线0 xy上可求出1b，220 xx，由
3、弦长公式可求出221 114(2)3 2AB 故选 C 例 3如图，把椭圆2212516xy的长轴 AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567,P P P P P P P七个点，F是椭圆的一个焦点，则1234567PFPFPFPFPFPFPF_.考查意图:本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.解答过程：由椭圆2212516xy的方程知225,5.aa 12345677 277 535.2aPFPFPFPFPFPFPFa 故填35.考点 3.曲线的离心率 曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用:(1)椭圆的离心率eac(0,1)(e越大则椭圆越
4、扁);(2)双曲线的离心率eac(1,)(e越大则双曲线开口越大).结合有关知识来解题.例 4已知双曲线的离心率为 2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线方程为 A221412xy B221124xy C221106xy D221610 xy 考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念.解答过程：2,4,ceca所以22,12.ab故选(A).小结:对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会.例 5 已知双曲线9322 yx,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P
5、 到右准线的距离之比等于（）A.2 B.332 C.2 D.4 考查意图:本题主要考查双曲线的性质和离心率eac(1,)的有关知识的应用能力.解答过程：依题意可知 3293,322baca 考点 4.求最大(小)值 求最大(小)值,是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例 6已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 .考查意图:本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法.解:设过点P(4,0)的
6、直线为224,8164,yk xkxxx 122222222122284160,8414416 232.k xkxkkyyxxkk 故填 32.考点 5 圆锥曲线的基本概念和性质 圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.例 7 在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为 22的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆9222yax=1 与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.（1）求圆C的方程；（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；
7、若不存在，请说明理由.考查目的本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力 解答过程(1)设圆 C 的圆心为(m,n)则,22 2,mnn 解得2,2.mn 所求的圆的方程为 22(2)(2)8xy(2)由已知可得 210a ，5a 椭圆的方程为 221259xy,右焦点为 F(4,0);假设存在 Q 点22 2cos,22 2sin 使QFOF,2222 2cos422 2sin4 整理得 sin3cos2 2，代入 22sincos1 得:210cos12 2cos70 ,12 2812 22 2cos11010 因此不存在符合题
8、意的 Q 点.例 8 如图,曲线G的方程为)0(22yxy.以原点为圆心，以)0(tt 为半径的圆分别与曲线G和y轴的 正半轴相交于 A 与点B.直线AB 与 x 轴相交于点C.（）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标c的关系式；（）设曲线G上点D的横坐标为2a,求证：直线CD的斜率为定值.考查目的本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.解答过程（I）由题意知，).2,(aaA 因为.2,|22taatOA所以 由于.2,02aatt故有 （1）由点B（0，t）
9、，C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为.1tycx 又因点A在直线BC上，故有,12taca 将（1）代入上式，得,1)2(2aaaca解得)2(22aac.（II）因为)2(22(aaD，所以直线CD的斜率为 1)2(2)2(2)2(22(2)2(22)2(2aaaaaacaakCD，所以直线CD的斜率为定值.例 9已知椭圆2222xyE:1(ab0)ab，AB 是它的一条弦，M(2,1)是弦 AB 的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆 E 的右准线为相应准线的双曲线 C 和直线 AB交于点N(4,1)，若椭圆离心率 e 和双曲线离心率1e之间满足1ee1，求：（1）椭圆 E 的离心率；
10、（2）双曲线 C 的方程.解答过程：（1）设 A、B 坐标分别为1122A(x,y),B(x,y)，则221122xy1ab，222222xy1ab，二式相减得：21212AB21212yy(xx)bkxx(yy)a 2MN22b1(1)k1a24 ，所以2222a2b2(ac)，22a2c，则c2ea2；（2）椭圆 E 的右准线为22a(2c)x2ccc，双曲线的离心率11e2e，设P(x,y)是双曲线上任一点，则：22(x2)(y 1)|PM|2|x2c|x2c|，两端平方且将N(4,1)代入得：c1或c3，当c1时，双曲线方程为：22(x2)(y1)0，不合题意，舍去；当c3时，双曲线方
11、程为：22(x10)(y1)32，即为所求.小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义.考点 6 利用向量求曲线方程和解决相关问题 利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算.典型例题：例 10 双曲线C与椭圆22184xy有相同的焦点，直线y=x3为C的一条渐近线.(1)求双曲线C的方程；(2)过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当12PQQAQB，且3821时，求Q点的坐标.考查意图:本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以
12、及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.解答过程：（）设双曲线方程为22221xyab,由椭圆22184xy,求得两焦点为(2,0),(2,0)，对于双曲线:2C c，又3yx为双曲线C的一条渐近线 3ba 解得 221,3ab，双曲线C的方程为2213yx （）解法一：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.设l的方程：114,(,)ykxA x y，22(,)B xy,则4(,0)Qk.1PQQA,11144(,4)(,)xykk.111111114444()44xkkxkkyy 11(,)A xy在双曲线C上，2121111616()10k.222211161632160.3k
13、k2221116(16)32160.3kk 同理有：2222216(16)32160.3kk 若2160,k则直线l过顶点，不合题意.2160,k 12,是二次方程22216(16)32160.3kxxk的两根.122328163k,24k，此时0,2k .所求Q的坐标为(2,0).解法二：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零 设l的方程，11224,(,),(,)ykxA x yB xy，则4(,0)Qk.1PQQA，Q分PA的比为1.由定比分点坐标公式得 1 111111111144(1)14401xxkkyy 下同解法一 解法三：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零 设l的方程：1122
14、4,(,),(,)ykxA x yB xy，则4(,0)Qk.12PQQAQB，111222444(,4)(,)(,)xyxykkk.11224yy，114y，224y，又1283，121123yy,即12123()2yyy y.将4ykx代入2213yx 得222(3)244830kyyk.230k，否则l与渐近线平行.212122224483,33kyyy ykk.222244833233kkk.2k (2,0)Q.解法四：由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等于零，设l的方程：4ykx，1122(,),(,)A x yB xy,则4(,0)Qk 1PQQA,11144(,4)(,)xy
15、kk.1114444kkxxk.同理 1244kx.1212448443kxkx .即 2121225()80k x xk xx.（*）又 22413ykxyx 消去 y 得22(3)8190kxkx.当230k时，则直线 l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k.由韦达定理有：12212283193kxxkx xk 代入（*）式得 24,2kk.所求 Q 点的坐标为(2,0).例 11 设动点P到点A(l，0)和B(1，0)的距离分别为d1和d2，APB2,且存在常数(01,使得d1d2 sin2（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、
16、N两点,试确定的范围,使OMON0,其中点 O 为坐标原点 考查目的本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力 解答过程解法 1：（1）在PAB中，2AB，即222121222cos 2ddd d，2212124()4sinddd d，即2121244sin2 12ddd d（常数），点P的轨迹C是以AB，为焦点，实轴长22 1a的双曲线 方程为：2211xy（2）设11()M xy，22()N xy，当MN垂直于x轴时，MN的方程为1x，(11)M，(11)N，在双曲线上 即2111511012 ，因为01，所以512 当MN不
17、垂直于x轴时，设MN的方程为(1)yk x 由2211(1)xyyk x得：2222(1)2(1)(1)()0kxk xk，由题意知：2(1)0k，所以21222(1)(1)kxxk，2122(1)()(1)kx xk 于是：22212122(1)(1)(1)ky ykxxk 因为0ONOM，且MN，在双曲线右支上，所以 2121222122212(1)0(1)5121011231001x xy ykxxkx x 由知，51223 解法 2：（1）同解法 1（2）设11()M xy，22()N xy，MN的中点为00()E xy，当121xx时，221101MB ，因为01，所以512；当12
18、xx时，002222212111111yxkyxyxMN 又001MNBEykkx所以22000(1)yxx；由2MON得222002MNxy，由第二定义得2212()222MNe xxa 22000111(1)211xxx CBAoyx所以222000(1)2(1)(1)yxx 于是由22000222000(1),(1)2(1)(1),yxxyxx得20(1).23x 因为01x，所以2(1)123，又01，解得：51223由知51223 考点 7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题 利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.例
19、 12 设椭圆 E 的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为33，过点C(1,0)的直线交椭圆 E 于 A、B 两点，且CA2BC，求当AOB的面积达到最大值时直线和椭圆 E 的方程.解答过程：因为椭圆的离心率为33，故可设椭圆方程为222x3yt(t0)，直线方程为myx1，由222x3ytmyx1得：22(2m3)y4my2t0，设1122A(x,y),B(x,y)，则1224myy2m3 又CA2BC，故1122(x1,y)2(1x,y)，即12y2y 由得：128my2m3，224my2m3，则AOB1221mS|yy|6|22m366322|m|m|，当23m2，即6m2 时
20、，AOB面积取最大值，此时2122222t32my y2m3(2m3)，即t10，所以，直线方程为6xy102，椭圆方程为222x3y10.小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.例 13已知PA(x5,y)，PB(x5,y)，且|PA|PB|6，求|2x3y12|的最大值和最小值.解答过程：设P(x,y)，A(5,0)，B(5,0)，因为|PA|PB|6，且|AB|2 56，所以，动点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆，椭圆方程为22xy194，令x3cos,y2sin，则|2x3y12|6 2cos()12|4，当cos()14 时，|
21、2x3y12|取最大值126 2，当cos()14时，|2x3y12|取最小值126 2.小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算.考点 8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题 解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题.例 14已知椭圆2212xy的左焦点为 F，O 为坐标原点.（I）求过点 O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（II）设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，线段 AB 的垂直平分线与x轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围.解答过程：（I）222,1,1,(1,0),:2.abcF
22、l x 圆过点 O、F，圆心 M 在直线12x 上.设1(,),2Mt则圆半径13()(2).22r 由,OMr得2213(),22t解得2.t 所求圆的方程为2219()(2).24xy（II）设直线 AB 的方程为(1)(0),yk xk xylGABFOFEPDBAOyx代入221,2xy整理得2222(12)4220.kxk xk 直线 AB 过椭圆的左焦点 F，方程有两个不等实根.记1122(,),(,),A x yB xyAB中点00(,),N xy则21224,21kxxk AB的垂直平分线 NG 的方程为001().yyxxk 令0,y 得222002222211.212121
23、24210,0,2GGkkkxxkykkkkkx 点 G 横坐标的取值范围为1(,0).2 例 15已知双曲线 C：2222xy1(a0,b0)ab，B 是右顶点，F 是右焦点，点 A 在x 轴正半轴上，且满足|OA|,|OB|,|OF|成等比数列，过 F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，（1）求证：PA OPPA FP；（2）若l与双曲线 C 的左、右两支分别相交于点 D,E，求双曲线 C 的离心率 e的取值范围.解答过程：（1）因|OA|,|OB|,|OF|成等比数列，故22|OB|a|OA|c|OF|，即2aA(,0)c，直线l：ay(xc)b，由2ay(xc)aa
24、bbP(,)bccyxa，故：22abaabbabPA(0,),OP(,),FP(,)ccccc，则：222a bPA OPPA FPc，即PA OPPA FP；（或PA(OPFP)PA(PFPO)PA OF0，即PA OPPA FP）（2）由44422222222222222ay(xc)aaa c(b)x2cx(a b)0bbbbb xa ya b，由4222212422a c(a b)bx x0abb得：4422222babcaae2e2.（或由DFDOkkabba 22222bcaae2e2）小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标.
25、例 16已知a(x,0)，b(1,y)，(a3b)(a3b)，（1）求点P(x,y)的轨迹 C 的方程；（2）若直线ykxm(m0)与曲线 C 交于 A、B 两点，D(0,1)，且|AD|BD|，试求 m 的取值范围.解答过程：（1）a3b(x,0)3(1,y)(x3,3y)，a3b(x,0)3(1,y)(x3,3y)，因(a3b)(a3b)，故(a3b)(a3b)0，即22(x3,3y)(x3,3y)x3y30，故 P 点的轨迹方程为22xy13.（2）由22ykxmx3y3得：222(1 3k)x6kmx3m30，设1122A(x,y),B(x,y)，A、B 的中点为00M(x,y)则22
26、222(6km)4(13k)(3m3)12(m1 3k)0 ，1226kmxx1 3k，1202xx3kmx21 3k，002mykxm1 3k，即 A、B 的中点为223kmm(,)1 3k1 3k，则线段 AB 的垂直平分线为：22m13kmy()(x)1 3kk1 3k，将D(0,1)的坐标代入，化简得：24m3k1，PQCBAxyO则由222m1 3k04m3k1 得：2m4m0，解之得m0或m4，又24m3k11 ，所以1m4，故 m 的取值范围是1(,0)(4,)4.小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象.考点 9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题 存在性问
27、题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立.例 17已知 A,B,C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点，点 A 是长轴的一个顶点，BC过椭圆的中心 O，且AC BC0，|BC|2|AC|，（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点 P,Q 使PCQ的平分线垂直于 OA，是否总存在实数，使得PQAB？请说明理由；解答过程：（1）以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立 平面直角坐标系，则A(2,0)，设椭圆方程为222xy14b，不妨设C 在 x 轴上方，由椭圆的对称性，|BC|2|AC|2|OC
28、|AC|OC|，又AC BC0ACOC，即OCA为等腰直角三角形，由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：24b3，即，椭圆方程为22x3y144；（2）假设总存在实数，使得PQAB，即AB/PQ，由C(1,1)得B(1,1)，则AB0(1)1k2(1)3 ，若设 CP：yk(x1)1，则 CQ：yk(x1)1，由22222x3y1(1 3k)x6k(k1)x3k6k1044yk(x1)1，由C(1,1)得x1是方程222(13k)x6k(k1)x3k6k10 的一个根，由韦达定理得：2PP23k6k1xx11 3k，以k代 k 得2Q23k6k1x1 3k，故PQPQPQPQPQyy
29、k(xx)2k1kxxxx3，故AB/PQ，即总存在实数，使得PQAB.评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题.考点 10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题 直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围.例 18设 G、M 分别是ABC的重心和外心，A(0,a)，B(0,a)(a0)，且GMAB，（1）求点 C 的轨迹方程；（2）是否存在直线 m，使 m 过点(a,0)并且与点C 的轨迹交于P、Q 两点，且O
30、P OQ0？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.解答过程：（1）设C(x,y)，则x yG(,)3 3，因为GMAB，所以GM/AB，则xM(,0)3，由 M 为ABC的外心，则|MA|MC|，即2222xx()a(x)y33，整理得：2222xy1(x0)3aa；（2）假设直线 m 存在，设方程为yk(xa)，由2222yk(xa)xy1(x0)3aa得：22222(13k)x6k ax3a(k1)0，设1122P(x,y),Q(x,y)，则21226k axx1 3k，221223a(k1)x x1 3k，22212121212y yk(xa)(xa)k x xa(xx)a
31、2222k a1 3k，由OP OQ0得：1212x xy y0，即2222223a(k1)2k a01 3k1 3k，解之得k3，又点(a,0)在椭圆的内部，直线m 过点(a,0)，故存在直线m，其方程为y3(xa).小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题.专题训练 一、选择题 1如果双曲线经过点(6,3)，且它的两条渐近线方程是1yx3，那么双曲线方程是（）A22xy1369 B22xy1819 C22xy19 D22xy11
32、83 2已知椭圆2222xy13m5n和双曲线2222xy12m3n有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为（）A.15xy2 B.15yx2 C.3xy4 D.3yx4 3已知12F,F为椭圆2222xy1(ab0)ab的焦点，M 为椭圆上一点，1MF垂直于 x轴，且12FMF60，则椭圆的离心率为（）A.12 B.22 C.33 D.32 4二次曲线22xy14m，当m 2,1 时，该曲线的离心率e 的取值范围是（）A.23,22 B.35,22 C.56,22 D.36,22 5直线 m 的方程为ykx1，双曲线 C 的方程为22xy1，若直线 m 与双曲线C 的右支相交于不重合的两点，
33、则实数 k 的取值范围是（）A.(2,2)B.(1,2)C.2,2)D.1,2)6已知圆的方程为22xy4，若抛物线过点A(1,0)，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为（）A.22xy1(y0)34 B.22xy1(y0)43 C.22xy1(x0)34 D.22xy1(x0)43 二、填空题 7已知 P 是以1F、2F为焦点的椭圆)0(12222babyax上一点，若021PFPF 21tan21FPF，则椭圆的离心率为 _.8已知椭圆 x2+2y2=12，A 是 x 轴正方向上的一定点，若过点 A，斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长为3134，点 A 的坐标是_.
34、9P 是椭圆22xy143上的点，12F,F是椭圆的左右焦点，设12|PF|PF|k，则 k 的最大值与最小值之差是 _.10给出下列命题：圆22(x2)(y1)1关于点M(1,2)对称的圆的方程是22(x3)(y3)1；双曲线22xy1169右支上一点 P 到左准线的距离为 18，那么该点到右焦点的距离为292；顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(4,3)的抛物线方程只能是29yx4；P、Q 是椭圆22x4y16上的两个动点，O 为原点，直线 OP,OQ 的斜率之积为14，则22|OP|OQ|等于定值 20.把你认为正确的命题的序号填在横线上_.三、解答题 11已知两点A(2,0)，B(2
35、,0)，动点 P 在 y 轴上的射影为 Q，2PA PB2PQ，（1）求动点 P 的轨迹 E 的方程；（2）设直线 m 过点 A，斜率为 k，当0k1时，曲线 E 的上支上有且仅有一点 C 到直线 m 的距离为2，试求 k 的值及此时点 C 的坐标.F2F1A2A1PNMoyxBAMQETHPoyxFQoyx12如图，1F(3,0)，2F(3,0)是双曲线 C 的两焦点，直线4x3是双曲线 C 的右准线，12A,A 是双曲线 C 的两个顶点，点 P 是双曲线 C 右支上异于2A的一动点，直线1A P、2A P交双曲线 C 的右准线分别于 M,N 两点，（1）求双曲线 C 的方程；（2）求证：1
36、2FM F N是定值.13已知OFQ的面积为 S，且OF FQ1，建立如图所示坐标系，（1）若1S2，|OF|2，求直线 FQ 的方程；（2）设|OF|c(c2)，3Sc4，若以 O 为中心，F 为焦点的椭圆过点 Q，求当|OQ|取得最小值时的椭圆方程.14已知点H(3,0)，点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 PQ上，且满足HP PM0，3PMMQ2，（1）当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C；（2）过点T(1,0)作直线 m 与轨迹 C 交于 A、B 两点，若在 x 轴上存在一点0E(x,0)，使得ABE为等边三角形，求0 x的值.15已知椭圆
37、)0(12222babyax的长、短轴端点分别为 A、B，从此椭圆上一点M 向 x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F，向量AB与OM是共线向量 （1）求椭圆的离心率 e；（2）设 Q 是椭圆上任意一点，1F、2F分别是左、右焦点，求21QFF 的取值范围；16已知两点 M（-1，0），N（1，0）且点 P 使NPNMPNPMMNMP,成公差小于零的等差数列，（）点 P 的轨迹是什么曲线？（）若点 P 坐标为),(00yx，为PNPM与的夹角，求 tan 【参考答案】一.1C.提示，设双曲线方程为11(xy)(xy)33，将点(6,3)代入求出即可.2D.因为双曲线的焦点在 x 轴上，故椭圆焦
38、点为22(3m5n,0)，双曲线焦点为22(2m3n,0)，由22223m5n2m3n得|m|2 2|n|，所以，双曲线的渐近线为6|n|3yx2|m|4 .3C.设1|MF|d，则2|MF|2d，1 2|FF|3d，1 212|FF|c2c3d3ea2a|MF|MF|d2d3.4.C.曲线为双曲线，且512，故选 C；或用2a4，2bm 来计算.5B.将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组.6B.数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义.二.7解：设 c 为为椭圆半焦距，021PFPF，21PFPF .又21tan21FPF 212)2(122122221PFPFaPFPFc
39、PFPF解得：255()93,cceaa 选 D 8 解：设 A（x0，0）（x00），则直线l的方程为 y=x-x0，设直线l与椭圆相交于 P（x1，y1），Q（x2、y2），由 022212yxxxy 可得 3x2-4x0 x+2x02-12=0，34021xxx，31222021xxx，则 20202021221212363234889164)(|xxxxxxxxx|13144212xxx，即202363223144x x02=4，又 x00，x0=2，A（2，0）91；22212k|PF|PF|(aex)(aex)ae x.10.三.11解（1）设动点 P 的坐标为(x,y)，则点Q(
40、0,y)，PQ(x,0)，PA(2x,y)，PB(2x,y)，22PA PBx2y，因为2PA PB2PQ，所以222x2y2x，即动点P 的轨迹方程为：22yx2；（2）设直线m：yk(x2)(0k1)，依题意，点 C 在与直线 m 平行，且与 m 之间的距离为2的直线上，设此直线为1m:ykxb，由2|2kb|2k1，即2b2 2kb2，把ykxb代入22yx2，整理得：222(k1)x2kbx(b2)0，则22224k b4(k1)(b2)0，即22b2k2，由得：2 5k5，10b5，此时，由方程组222 510yxC(2 2,10)55yx2.12解：（1）依题意得：c3，2a4c3
41、，所以a2，2b5，所求双曲线 C 的方程为22xy145；（2）设00P(x,y)，11M(x,y)，22N(x,y)，则1A(2,0)，2A(2,0)，100A P(x2,y)，200A P(x2,y)，1110A M(,y)3，222A N(,y)3，因为1A P与1A M共线，故01010(x2)yy3，01010yy3(x2)，同理：0202yy3(x2)，则1113FM(,y)3，225F N(,y)3，所以12FM F N1265y y9202020y6599(x4)20205(x4)206541099(x4).13 解：（1）因为|OF|2，则F(2,0)，OF(2,0)，设0
42、0Q(x,y)，则00FQ(x2,y)，0OF FQ2(x2)1，解得05x2，由0011S|OF|y|y|22，得01y2，故51Q(,)22，所以，PQ 所在直线方程为yx2或yx2 ；（2）设00Q(x,y)，因为|OF|c(c2)，则00FQ(xc,y)，由0OF FQc(xc)1得：01xcc，又013Sc|y|c24，则03y2，13Q(c,)c2，2219|OQ|(c)c4，易知，当c2时，|OQ|最小，此时53Q(,)22，设椭圆方程为2222xy1,(ab0)ab，则2222ab425914a4b，解得22a10b6，所以，椭圆方程为22xy1106.14解：（1）设M(x,
43、y)，由3PMMQ2 得：yP(0,)2，xQ(,0)3，由HP PM0得：y3y(3,)(x,)022，即2y4x，由点 Q 在 x 轴的正半轴上，故x0，即动点M 的轨迹C 是以(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线，除去原点；（2）设m:yk(x1)(k0)，代入2y4x得：2222k x2(k2)xk0 设11A(x,y)，22B(x,y)，则12x,x是方程的两个实根，则21222(k2)xxk，12x x1，所以线段 AB 的中点为222k2(,)kk，线段 AB 的垂直平分线方程为22212ky(x)kkk，令y0，022x1k，得22E(1,0)k 因为ABE为正三角形，
44、则点 E 到直线 AB 的距离等于3|AB|2，又221212|AB|(xx)(yy)2224 1 k1 kk，所以，4222 3 1k21kk|k|，解得：3k2，011x3.15解：（1）abycxcFMM21,),0,(则，acbkOM2.ABOMabkAB与,是共线向量，abacb2，b=c,故22e.（2）设1122121212,2,2,FQr F QrF QFrra FFc 222222212121 22121 21 21 24()24cos11022()2rrcrrrrcaarrrrrrrr 当且仅当21rr 时，cos=0，2,0.16解：（）记 P（x,y），由 M（-1，0
45、）N（1，0）得 (1,),PMMPxy ),1(yxNPPN，)0,2(NMMN .所以 )1(2xMNMP.122yxPNPM ，)1(2xNPNM.于是，NPNMPNPMMNMP,是公差小于零的等差数列等价于 22112(1)2(1)22(1)2(1)0 xyxxxx 即 0322xyx .所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆.（）点 P 的坐标为),(00yx。212020yxPNPM.222220000000(1)(1)(42)(42)2 4PM PNxyxyxxx201cos.4PM PNPMPNx所以 因为 030 x，所以,30,1cos21,411cos1sin202x.341411cossintan0202020yxxx