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1、 2019-2020 学年度第一学期高三期末调研考试 数学试题（文科）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.在答题卡上与题号相对应的区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡，非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知1|1,|42xxAx
2、 yxBx，则AB（）A.(0,1)B.(0,1 C.R D.【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义条件及指数不等式,可解得集合 A与集合 B,再由集合交集运算即可得解.【详解】对于集合|1|1Ax yxx x 对于集合 121|42|22|1xxxxBxxx x 所以|1|1ABx xx x 故选:D【点睛】本题考查了指数不等式的解法与二次根式有意义的条件,交集的简单运算,属于基础题.2.复数(23)ii对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】将复数根据乘法运算化简即可得在复平面内的坐标,即可判断所在象限.【详解】由复数的乘法运算
3、,化简可得22 33232iiiii 则在复平面内对应点的坐标为3,2 所以对应的点在第一象限 故选:A【点睛】本题考查了复数的乘法运算,复数的几何意义,属于基础题.3.函数2xyxex的图象在点(0,0)处的切线方程为（）A.21yx B.21yx C.3yx D.3yx 【答案】C【解析】【分析】先根据函数求得导函数,再根据切点的横坐标求得切线的斜率,即可由点斜式求得切线方程.【详解】函数2xyxex 则2xxyexe 所以切线的斜率023ke 由点斜式可得3yx 故选:C【点睛】本题考查了导数的几何意义,过曲线上一点切线方程的求法,属于基础题.4.已知ABC外接圆半径为 1，圆心为O，若
4、20OAABAC，则ABC面积的最大值为（）A.2 B.32 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】根据向量的线性运算,可判断出BC为圆的直径.结合勾股定理及不等式即可求得面积的最大值.【详解】根据向量的减法运算,化简20OAABAC可得 20OAOBOAOAOC,则0OBOC 即O为BC的中点.又因为O为ABC外接圆圆心,该外接圆的半径为 1.所以2BC 由圆的性质可知,90BAC 设,ABa ACb 则224ab 由不等式性质可知2242abab,则2ab,当且仅当2ab时取等号 所以112122ABCSab=即ABC面积的最大值为1 故选:D【点睛】本题考查了向量的线性运算,不等式性质
5、的应用,属于基础题.5.设点Q为10220323xyxyxy，所表示的平面区域内的动点，若在上述区域内满足22xy最小时所对应的点为P，则OP与OQ（O为坐标原点）的夹角的取值范围为（）A.0,4 B.0,3 C.0,2 D.3,24【答案】A【解析】【分析】根据不等式组,可画出可行域.根据距离的最小值,可判断出P点位置.再由几何性质即可求得夹角的取值范围.【详解】根据所给不等式组,画出可行域如下图所示:满足22xy最小时所对应的点为P,即可行域内的P到原点距离的平方最小 当OP与直线10 xy 垂直时,交点即为P点.设直线10 xy 与x轴交于点B,与y轴交于点A 由直线10 xy 的斜率与
6、倾斜角可知,45ABOBAO 由OP与直线10 xy 垂直 所以当Q与A或B重合时,OP与OQ的夹角取得最大值;当Q与P重合时,OP与OQ的夹角取得最小值 即OP与OQ的夹角的取值范围为0,4 故选:A【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,距离型最值的求法,平面几何性质的应用,属于基础题.6.已知递增等差数列na中，122a a ，则3a的（）A.最大值为4 B.最小值为 4 C.最小值为4 D.最大值为 4 或4【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的通项公式可用1a表示出d.由数列单调递增可得10a.用1a表示出3a,结合基本不等式即可求得最值.【详解】因为122a a 由等差数列通项公式
7、,设公差为d,可得112a ad 变形可得112daa 因为数列na为递增数列,所以1120daa 即10a 而由等差数列通项公式可知 312aad 11111242aaaaa 由10a,140a结合基本不等式可得 311114424aaaaa 当且仅当12a 时取得等号 所以3a的最小值为 4 故选:B【点睛】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用,基本不等式在求最值中的用法,属于中档题.7.如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为36m，则此时欲经过桥洞的一艘宽12m的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（）A.6m B.6.5m C.7.5m D.8m
8、【答案】D【解析】【分析】根据题意,抽象出抛物线的几何模型.根据抛物线的通经性质求得抛物线方程,即可求得当宽为12m时的纵坐标,进而求得水面到顶部的距离.【详解】根据题意,画出抛物线如下图所示:设宽度为36m时与抛物线的交点分别为,A B.当宽度为12m时与抛物线的交点为,C D.当水面经过抛物线的焦点时,宽度为36m 由抛物线性质可知236p,则抛物线方程为236xy 则18,9A 当宽度为12m时,设6,Ca 代入抛物线方程可得2636a,解得1a 所以直线AB与直线CD的距离为 198h 即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过8m 故选:D【点睛】本题考查了抛物线在实际问题中的应用,
9、抛物线几何性质的应用,属于基础题.8.用若干个体积为 1 的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最小体积为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】根据题意,当体积最小时,结合三视图还原空间几何体,即可求解.【详解】根据题意,当几何体体积最小时,空间几何图如下图所示:所以几何体的最小体积为 5 故选:A【点睛】本题考查了三视图还原空间几何体的应用,对空间想象能力要求较高,属于中档题.9.函数131()2xf xx的零点所在的区间为（）A.1(0,)4 B.1 1(,)4 3 C.1 1(,)3 2 D.1(,1)2【答案】C【解析】【分析】
10、先判断出函数的单调性,结合零点存在定理即可判断出零点所在区间.【详解】函数131()2xf xx 所以函数在 R 上单调递增 因为1113331311111033322f 1113321211111022222f 所以函数零点在1 1,3 2 故选:C【点睛】本题考查了根据零点存在定理判断零点所在区间,注意需判断函数的单调性,说明零点的唯一性,属于基础题.10.下列说法正确的个数为（）“pq为真”是“pq为真”的充分不必要条件；若数据123,nx x xx的平均数为 1，则1232,22,2,nxxxx的平均数为 2；在区间0,上随机取一个数x，则事件“6sincos2xx”发生的概率为12
11、已知随机变量X服从正态分布2(2,)N，且(4)0.84P X，则(0)0.16P X.A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】根据复合命题真假即可判断;根据平均数的计算公式可判断;对于由辅助角公式化简三角函数式,结合正弦函数的图像与性质即可求得6sincos2xx的x取值范围,进而由几何概型概率计算得解;对于根据正态分布曲线的性质,即可求得概率.【详解】对于,由复合命题“pq为真”,可知p为真,或q为真;若“pq为真”,则p为真,且q为真.所以“pq为真”是“pq为真”的必要不充分条件,所以错误；对于,若数据1231nxxxxn的平均数为 1,由平均数公式可知12312322
12、2222nnxxxxxxxxnn的平均数为 2,所以正确;对于,在区间0,上.若6sincos2sin42xxx,解得5,12 12x.则在区间0,上随机取一个数x,则事件“6sincos2xx”发生的概率为5112123p,所以错误;对于,随机变量X服从正态分布2(2,)N,则2.(4)0.84P X,由正态分布曲线规律可知(0)(4)10.840.16P XP X,所以正确.综上可知,正确的为 故选:C【点睛】本题考查了复合命题真假判断,平均数的计算公式,正弦函数的图像与性质及几何概型的概率计算,正态分布曲线的性质及应用,属于基础题.11.若直线l与函数()xf xe和()ln2g xx的
13、图象都相切，则k（）A.2 或e B.1 或e C.0 或 1 D.e【答案】B【解析】【分析】设出直线l与两个函数的切点,求得两个函数的导函数,并根据导数的意义求得切线的斜率.由点在曲线上的性质,可得方程组.化简后求得其中一个切点的坐标,即可求得切线的斜率.【详解】设直线l与函数()xf xe的图象相切于点11,A x y,直线l与函数()ln2g xx的图象相切于点22,B x y,直线l的斜率为k.则1122l2,nxyeyx 因为()xfxe,1gxx 则121xxke 所以11122212122ln211xxyeyxexyyxxx,则12212ln21xexxxx 由121xex,可
14、得21lnxx,代入上式可得 22222ln2l1n1xxxxx,化简可得2222lnln10 xxxx 即221 ln10 xx,解得21,x 或21xe 代入21kx 可得1k 或ke 故选:B【点睛】本题考查了直线与曲线的切线问题,导数的几何意义应用,计算量较为复杂,属于中档题.12.正方形1111ABCDABC D中，若12CMMC，P在底面ABCD内运动，且满足1DPCPD PMP，则点P的轨迹为（）A.圆弧 B.线段 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分【答案】A【解析】【分析】根据题意,以 D 为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,设正方体棱长为1,P
15、 x y.由1DPCPD PMP及两点间距离公式,表示出P的轨迹方程.即可判断轨迹的形状.【详解】由题意以 D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,设正方体棱长为1,P x y则0,1C,由12CMMC,可得23MC 因为P在底面ABCD内运动,且满足1DPCPD PMP.由勾股定理及两点间距离公式代入可得2222222214119xyxyxyxy 两边同时平方,并展开可得222222222113129xyxyyxyxyy 交叉相乘,化简可得22189055xyy 化为标准方程可得 22936525xy 而因为P在底面ABCD内运动,所以其轨迹为一段圆弧 故选:A【
16、点睛】本题考查了空间几何体中的轨迹方程问题,几何关系式的应用,计算量较为复杂,属于中档题.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.二项式61()xx的展开式中4x项的系数为_【答案】6；【解析】【分析】根据二项展开式的通项,代入即可求得4x项的系数.【详解】根据二项定理展开式的通项1Crn rrrnTab 则二项式61xx的展开通项为 66 216611rrrrrrrTC xC xx 所以当1r 时,4x的系数为 11616C 故答案为:6【点睛】本题考查了二项式定理及通项式的应用,属于基础题.14.如图，某地一天从6 14时的温度变化曲线近似满足函数()yAsin
17、xb0,0,0()A，则该函数的表达式为_ 【答案】()8310204ysinx，6x，14【解析】【分析】通过函数的图象，求出A，b，求出函数的周期，推出，利用函数经过(10,20)求出，得到函数的解析式【详解】解：由题意以及函数的图象可知，10A，20b，2(146)16T，所以28T，由函数经过(10,20)所以2010sin(10)208，又0，所以34，所以函数的解析式：310sin()2084yx，6x，14 故答案为：310sin()2084yx，6x，14【点睛】通过函数的图象求出函数的解析式，是三角函数常考题型，注意图象经过的特殊点，注意函数解析式的范围容易出错遗漏，属于基础
18、题 15.若一个三位数的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，我们就称这个三位数为“递增三位数”.现从所有的递增三位数中随机抽取一个，则其三个数字依次成等差数列的概率为_【答案】421；【解析】【分析】利用列举法列举出所有符合“递增三位数”的三位数,并找出符合等差数列的个数,即可由古典概型概率的计算公式求解.【详解】根据定义“递增三位数”,个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字.可知个位数最小为 3,最大为 9 当个位数为 3时,三位数为123,共 1个.三个数字依次成等差数列的有 1个.当个位数为 4时,三位数为124,134,234,共 3个.三个数字依次成等差数列的为234,有
19、 1 个 当个位数为 5时,三位数为125,135,145,235,245,345,共 6个.三个数字成等差数列的为135,345.有 2 个.当个位数为 6时,三位数为126,136,146,156,236,246,256,346,356,456共 10个.三个数字成等差数列的为246,456,有 2个.当个位数为 7时,三位数为127,137,147,157,167,237,247,257,267,347,357,367,457,467,567共 15个,三个数字成等差数列的为147,357,567,有 3个.当个位数为 8时,三位数为128,138,148,158,168,178,238
20、,248,258,268,278,348,358,368,378,458,468,478,568,578,678.共 21个,三个数字成等差数列的为258,468,678,有 3 个.当个位数为 9时,三位数为129,139,149,159,169,179,189,239,249,259,269,279,289,349,359,369,379,389,459,469,479,489,569,579,589,679,689,789共28个,三个数字成等差数列的为159,369,579,789,有 4 个.综上可知,“递增三位数”共有1 3 6 10 1521 2884 个.三个数字成等差数列的共
21、有1 1 223 3416 个 则从所有的递增三位数中随机抽取一个,则其三个数字依次成等差数列的概率为1648421 故答案为:421【点睛】本题考查了古典概型概率的简单应用,列举法在概率中的应用,属于基础题.16.已知数列na中，11a，其前n项和为nS，且满足213(2)nnSSnn，则na _【答案】1,134,*,34,*,(1)nnnNnnnNnn为偶数为奇数或1,13(1)4,*,2nnnnNn 【解析】【分析】根据递推公式,可求得+163nnana,再递推后可得+2169nnaan.两式相减可得+26nnaa,即当2n 时隔项成等差数列.由递推公式及首项,求得2a,3a.即可求得
22、通项公式.【详解】数列na中,其前n项和为nS,且满足213(2)nnSSnn 则22+13+1=363nnnnSSn 可得+163nnana 则+2161369nnanan 两式相减可得+26nnaa 所以数列na当2n 时隔项成等差数列,公差为6 已知数列na中,11a 当2n 时,代入213nnSSn可得2112SS,即12112aaa,解得210a 当3n 时,代入213nnSSn可得3227SS,1231227aaaaa,解得35a 由数列na当2n 时隔项成等差数列可知 当n偶数时,1016342nann 当n奇数时,1516342nann 因而上式也可写成2n 时,3(1)4,*
23、,nnannN 综上可知1,134,*,34,*,(1)nnannNnnnNnn为偶数为奇数或1,13(1)4,*,2nnnannNn 故答案为:1,134,*,34,*,(1)nnannNnnnNnn为偶数为奇数或1,13(1)4,*,2nnnannNn 【点睛】本题考查了数列递推公式求通项公式的方法,奇偶项分类讨论求通项公式的应用,属于中档题.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为,a b c，设(sin,1cos)mBB，(2,0)n.（1）若23B，求m与n的夹角；（2）若|1,3mb，求
24、ABC周长的最大值.【答案】（1）3（2）3 3【解析】【分析】（1）将23B代入可求得m.根据平面向量数量积的坐标运算求得m n,由数量积的定义即可求得cos,进而得夹角.（2）根据|1m 及向量模的坐标表示,可求得B.再由余弦定理可得22()4acb.结合基本不等式即可求得ac的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出ac,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得ac的取值范围,进而求得周长的最大值.【详解】（1）23B,所以3 3,22m,因为(2,0)n,32032m n,又2233|322m,|2n,31cos2|2 3m nmn,3,（2）因为|1m,即22|sin(1
25、 cos)22cos1mBBB,所以3B,方法 1.由余弦定理,得2222cosbacacB.2222()()3()324acacacacac,即2()34ac,即2 3ac,（当且仅当ac时取等号）所以ABC周长的最大值为3 3.方法 2.由正弦定理可知,2sinsinsinacbACB,2sin,2sinaA cC,23AC,所以22sin2sin3sin3cos2 3sin36acAAAAA,又203A,5666A,1sin,162A,(3,2 3ac,所以当3A时,ac取最大值2 3.所以ABC周长的最大值为3 3.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义,正弦定理与余弦定理在解三角形中
26、的应用,三角形周长的表示方法,基本不等式与正弦函数的图像与性质应用,属于基础题.18.已知数列,nnab满足1,2nnnnaabb为等比数列，且12a，24a，310a.（1）试判断列 nb是否为等比数列，并说明理由；（2）求na.【答案】（1）数列nb不是等比数列.见解析（2）+122nnan【解析】【分析】（1）根据所给通项公式及12a,24a,310a,可求得123,b b b,即可利用等比中项定义判断 nb是否为等比数列.（2）根据2nb 为等比数列,即可由（1）中所得首项与公比求得nb.根据1,nnnaab结合递推公式与累加法,即可求得na.【详解】（1）数列nb不是等比数列.理由如
27、下：由1nnnaab,且1232,4,10aaa得：所以1212baa,2326baa,又因为数列2nb 为等比数列,所以可知其首项为 4,公比为 2.所以2324216b,314b,显然221 33628bbb 故数列 nb不是等比数列.（2）结合（1）知,等比数列2nb 的首项为 4,公比为 2,故1124 22nnnb,所以122nnb,因为1nnnaab,122(2)nnnaan 令2,(1)nn 累加得2322222(1)nnan,23222222nnan 12 2122222 1nnnn,又12a 满足上式,+122nnan【点睛】本题考查了利用等比中项判断数列是否为等比数列的方法
28、,构造数列法求通项公式的应用,累加法在求通项公式中的应用,属于中档题.19.如图，几何体ABCDFE中，ABC，DFE均为边长为 2 的正三角形，且平面/ABC平面DFE，四边形BCED为正方形.（1）若平面BCED 平面ABC，求证:平面/ADE平面BCF；（2）若二面角DBCA为150，求直线BD与平面ADE所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）3926【解析】【分析】（1）取BC的中点O,ED的中点G,连接,AO OF FG AG.可证明/AOFG,结合AOFG,可知四边形AOFG为平行四边形.进而由/AGOF和/DEBC及平面与平面平行的判定定理证明平面/ADE平面BCF;（2）连
29、结GO,可知GOA即为二面角DBCA的平面角.以O为原点建立空间直角坐标系.由线段关系写出各个点的坐标,求得平面ADE的法向量,即可根据直线与平面夹角的向量关系求得直线BD与平面ADE所成角的正弦值.【详解】（1）证明：取BC的中点O,ED的中点G,连接,AO OF FG AG.如下图所示:因为AOBC,且平面BCED 平面ABC,所以AO 平面BCED,同理FG 平面BCED,所以/AOFG,又因为3AOFG,所以四边形AOFG为平行四边形,所以/AGOF,/AG平面BCF,又/DEBC,DE 平面BCF,又因为AG和 DE交于点G 所以平面/ADE平面BCF.（2）连结GO,则GOBC,又
30、AOBC 所以GOA为二面角DBCA的平面角,所以150GOA 建立如图所示的空间直角坐标系,则(2 3,0,0),(0,1,1),(0,1,1),(3,1,0)ADEB 所以(2 3,1,1),(0,2,0)ADED 设平面ADE的一个法向量是(,)nx y z,则00n ADn ED,即2 300 xyzy,令3,6xz,即(3,0,6)n,又因为(3,0,1)BD ,所以339sin,26|2 39BD nBD nnBD,即所求的角的正弦值为3926.【点睛】本题考查了平面与平面平行的判定,空间向量在求线面夹角中的用法.关键在于作出相应的辅助线,找到线线平行,找到合适的原点建立空间直角坐
31、标系,属于中档题.20.设椭圆2222:1(0)xyCabab的一个焦点为(2,0)，四条直线xa，yb所围成的区域面积为4 3.（1）求C的方程；（2）设过(0,3)D的直线l与C交于不同的两点,A B，设弦AB的中点为M，且1|2OMAB（O为原点），求直线l的方程.【答案】（1）2213xy（2）113yx 【解析】【分析】（1）由题意,结合椭圆的性质可得,a b c的方程组,解方程组即可求得椭圆的标准方程.（2）因为直线过定点,设出直线方程,并联立椭圆方程.化简后利用判别式求得斜率的取值范围.由三角形几何性质可知OAOB,结合平面向量数量积定义及韦达定理求得斜率的方程,解方程即可求得斜
32、率,进而可得直线l的方程.【详解】（1）依题意得222222223224 3,2ca babababc,解得223,1ab 椭圆C的方程为2213xy（2）易知直线l的斜率存在,并设直线方程为3ykx,联立椭圆,22133xyykx,化简得221 318240kxkx,设11,A x y、22,B x y,2228(18)961 303kkk,且1212221824,1 31 3kxxx xkk,由三角形几何性质可知OAOB 0OA OB,即121212120330 x xy yx xkxkx,212121390kx xk xx 将1212221824,1 31 3kxxx xkk 代入上式得
33、222224 154901 31 3kkkk 化简得2333k,所以11k 故所求的直线方程为113yx 【点睛】本题考查了由,a b c关系求椭圆标准方程的求法,直线过定点时与椭圆的位置关系,平面向量与解析 几何的综合应用,韦达定理在用坐标研究向量关系中的应用,属于中档题.21.已知函数()f x满足:定义为R；2()2()9xxf xfxee.（1）求()f x的解析式；（2）若12,1,1x x；均有 21122(2)61xaxxf x成立，求a的取值范围；（3）设2(),(0)()21,(0)f xxg xxxx，试求方程()10g g x 的解.【答案】（1）()3xf xe（2）3
34、,7（3）3，(12)、ln3，ln(3ln4)、12(1 ln2)【解析】【分析】（1）利用构造方程组法即可求得()f x的解析式;（2）根据不等式,构造函数2()(2)6xxax 与()13xF xxe.根据不等式恒成立可知满足minmax()()xF x.求得(),F x()Fx.通过判断()Fx的符号可判断()F x的单调性,由其单调性可得()0minF x,进而可知()F x为单调递增函数,即可求得max()F x.再根据minmax()()xF x及二次函数性质,可得a的取值范围;（3）根据()g x的解析式,画出函数图像.并令()Tg x,则方程变为()1g T.解得T的值.即可
35、知()2g x 、()0g x 及()ln4g x.结合函数图像及解析式,即可求得对应方程的解.【详解】（1）2()2()9xxf xfxee,所以2()2()9xxfxf xee即1()2()29xxfxf xee 由联立解得:()3xf xe.（2）设2()(2)6xxax,()1333xxxF xxeexex,依题意知:当11x 时,minmax()()xF x()()33xxxxF xeexexe 又()(1)0 xFxx e 在(1,1)上恒成立,所以()F x在 1,1上单调递减 ()(1)30minF xFe()F x在 1,1上单调递增,max()(1)0F xF(1)70(1
36、)30aa,解得:37a 实数a的取值范围为 3,7.（3）()g x的图象如图所示：令()Tg x,则()1g T 1232,0,ln4TTT 当()2g x 时有 1个解3,当()0g x 时有 2个解：(12)、ln3,当()ln4g x 时有 3个解:ln(3ln4)、12(1 ln2).故方程()10g g x 的解分别为：3,(12)、ln3,ln(3ln4)、12(1 ln2)【点睛】本题考查了构造方程组法求函数解析式,二次求导的方法判断函数的单调性与最值,在定区间上恒成立问题的解法,换元法解复合函数与方程的应用,综合性强,属于难题.22.某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯
37、彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验 960 人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案：将每个人的血分别化验，这时需要验 960次.方案：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血就只需检验一次（这时认为每个人的血化验一次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验.这样，该组k个人的血总共需要化验1k 次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立.（1）设方案中，某组k个人中每个人的血化
38、验次数为X，求X的分布列；（2）设0.1p.试比较方案中，k分别取 2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）.【答案】（1）见解析（2）390 次【解析】【分析】（1）根据概率性质可知若每个人的血样化验呈阳性的概率为p,则每个人的血呈阴性反应的概率为1qp.由独立性事件概率性质可得k个人的血混合后呈阴性反应和呈阳性反应的概率.即可由血化验次数为X得其分布列.（2）结合（1）可求得平均每个人化验次数()E x.当0.1p 时,0.9q.将k分别取 2,3,4,代入平均化验次数的表达式,即可求得化验次数.根
39、据结果,即可求得相比方案,化验次数最多平均减少的次数.【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q,则1qp.所以k个人的血混合后呈阴性反应的概率为kq,呈阳性反应的概率为1kq.依题意可知11,1Xkk,所以X的分布列为：X 1k 11k P kq 1kq （2）方案中.结合（1）知每个人的平均化验次数为：111()111kkkE xqqqkkk,所以当2k 时,21()0.910.692E X ,此时 960 人需要化验的总次数为 662 次,3k 时,31()0.910.60433E X ,此时 960人需要化验的总次数为 580次,4k 时,41()0.910.59394E X ,此时 960人需要化验的次数总为 570次,即2k 时化验次数最多,3k 时次数居中,4k 时化验次数最少 而采用方案则需化验 960 次,故在这三种分组情况下,相比方案,当4k 时化验次数最多可以平均减少960570390次.【点睛】本题考查了离散型随机变量的两点分布的分布列求法,并对平均值进行判断和应用,文本信息量大,要理解好题意,属于中档题.