自考04184线性代数(经管类)讲义264.pdf

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1、文档 自考高数线性代数课堂笔记 第一章 行列式 线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。1.1 行列式的定义 （一）一阶、二阶、三阶行列式的定义 （1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。注意：在线性代数中，符号不是绝对值。例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减

2、次对角线的乘积）例如 （3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为 例如=0 三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆 文档 方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。例如：（1）=159+267+348-357-168-249=0 （2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3

3、）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是 0，例如 文档 例 1 a 为何值时，答疑编号 10010101：针对该题提问 解 因为 所以 8-3a=0，时 例 2 当 x 取何值时，答疑编号 10010102：针对该题提问 解：解得 0 x9 所以当 0 x1）：答疑编号 10010307：针对该题提问 解 将行列式按第一列展开，得 （简化的过程就是消阶，次方也应减少，为（N-1）等 文档 例 12 计算范德蒙德（VanderMonde）行列式：答疑编号 10010308：针对该题提问（第一行乘（-X1）加到第二行上；第二行乘

4、（-X1）加到第三行上）例 13 计算 答疑编号 10010309：针对该题提问 （这是个定律）文档 例 14 计算 （解题规律：每行或是每列中的和是一样的，故每行或是每列都乘“1”加到第一行或是第一列上去，再把这个数当公因数提取，形成有一行或是列全为“1”的行列式，然后再化简）答疑编号 10010310：针对该题提问 =（x+4a）（x-a）4 1.4 克拉默法则 由定理 1.2.1 和定理 1.3.1 合并有 或 （一）二元一次方程组（方程 1、2 左右同乘以一个数，上下对减）由 a22*-a12*得 由 a11-a21得 文档 令=D =D1=D2 则有 A 是常数项 当 D0 时，二元

5、一次方程组有唯一解 （二）三元一次方程组 令叫系数行列式 ，由 D 中的 A11+A21+A31得 即 由 D 中的 A12+A22+A32得 即 由 D 中的 A13+A23+A33得 即 当 D0 时，三元一次方程组有唯一解 一般地，有下面结果 定理（克拉默法则）在 n 个方程的 n 元一次方程组 文档（1）中，若它的系数行列式 0 则 n 元一次方程组有唯一解。推论：在 n 个方程的 n 元一次齐次方程组（2）中（1）若系数行列式 D0，方程组只有零解 （2）若系数行列式 D=0 则方程组（2）除有零解外，还有非零解（不证）例 在三元一次齐次方程组 中，a 为何值时只有零解，a 为何值时

6、有非 0 解。答疑编号 10010401：针对该题提问 解：=2a-6+3-4-（-9）-a=a+2 （1）a-2 时，D0,只有零解 （2）a=-2 时，D=0，有非零解。本章考核内容小结 （一）知道一阶，二阶，三阶，n 阶行列式的定义 文档 知道余子式，代数余子式的定义 （二）知道行列式按一行（列）的展开公式 （三）熟记行列式的性质，会用展开公式或将行列式化为三角形的方法计算行列式 重点是三阶行列式的计算和各行（列）元素之和相同的行列式的计算 （四）知道克拉默法则的条件和结论 第二章 矩 阵 矩阵是线性代数学的一个重要的基本概念和数学工具，是研究和求解线性方程组的一个十分有效的工具；矩阵在

7、数学与其他自然科学、工程技术中，以及经济研究和经济工作中处理线性经济模型时，也都是一个十分重要的工具。本章讨论矩阵的加、减法，数乘，乘法，矩阵的转置运算，矩阵的求逆，矩阵的初等变换，矩阵的秩和矩阵的分块运算等问题。最后初步讨论矩阵与线性方程组的问题。2.1 矩阵的概念 定义 2.1.1 由 mn 个数 aij（i=1，2，m；j=1，2，n）排成一个 m 行 n 列的数表 用大小括号表示 称为一个 m 行 n 列矩阵。矩阵的含义是，这 mn 个数排成一个矩形阵列。其中 aij称为矩阵的第 i 行第 j 列元素（i=1，2，m；j=1，2，n），而 i 称为行标，j 称为列标。第 i 行与第 j

8、 列的变叉位置记为（i，j）。通常用大写字母 A，B，C 等表示矩阵。有时为了标明矩阵的行数 m 和列数 n，也可记为 A=（aij）mn或（aij）mn或 Amn 当 m=n 时，称 A=（aij）nn为 n 阶矩阵，或者称为 n 阶方阵。n 阶方阵是由 n2个数排成一个正方形表，它不是一个数（行列式是一个数），它与 n 阶行列式是两个完全不同的概念。只有一阶方阵才是一个数。一个 n 阶方阵 A 中从左上角到右下角的这条对角线称为 A 的主对角线。n 阶方阵的主对角线上的元素 a11，a22，ann，称为此方阵的对角元。在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。元素全为零的矩阵称为零

9、矩阵。用 Omn或者 O（大写字）表示。特别，当 m=1 时，称=（a1，a2，an）为 n 维行向量。它是 1n 矩阵。当 n=1 时，称为 m 维列向量。它是 m1 矩阵。文档 向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。例如，（a，b，c）是 3 维行向量，是 3 维列向量。几种常用的特殊矩阵：1.n 阶对角矩阵 形如或简写为（那不是 A，念“尖”）的矩阵，称为对角矩阵，对角矩阵必须是方阵。例如，是一个三阶对角矩阵，也可简写为。2.数量矩阵 当对角矩阵的主对角线上的元素都相同时，称它为数量矩阵。n 阶数量矩阵有如下形式：或。（标了角标的就是 N 阶矩阵，没标就不知是多少的）特别，当

10、a=1 时，称它为 n 阶单位矩阵。n 阶单位矩阵记为 En或 In，即 或 在不会引起混淆时，也可以用 E 或 I 表示单位矩阵。n 阶数量矩阵常用 aEn或 aIn表示。其含义见 2.2 节中的数乘矩阵运算。3.n 阶上三角矩阵与 n 阶下三角矩阵 形如 的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。对角矩阵必须是方阵。一个方阵是对角矩阵当且仅当它既是上三角矩阵，又是下三角矩阵。4.零矩阵 （可以是方阵也可以不是方阵）2.2 矩阵运算 文档 本节介绍矩阵的加法、减法、数乘、乘法和转置等基本运算。只有在对矩阵定义了一些有理论意义和实际意义的运算后，才能使它成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具。2

11、.2.1 矩阵的相等（同）定义 2.2.1 设 A=（aij）mn，B=（bij）kl，若 m=k，n=l 且 aij=bij，i=1，2，m；j=1，2，n，则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记为 A=B。由矩阵相等的定义可知，两个矩阵相等指的是，它们的行数相同，列数也相同，而且两个矩阵中处于相同位置（i，j）上的一对数都必须对应相等。特别，A=（aij）mn=Oaij=0，i=1，2，m；j=1，2，n。注意 行列式相等与矩阵相等有本质区别，例如 因为两个矩阵中（1，2）位置上的元素分别为 0 和 2。但是却有行列式等式 （因为行列式是数，矩阵是表，表要求表里的每一个都一样）2.2.2 矩阵

12、的加、减法 定义 2.2.2 设 A=（aij）mn和 B=（bij）mn，是两个 mn 矩阵。由 A 与 B 的对应元素相加所得到的一个 mn 矩阵，称为 A 与 B 的和，记为 A+B，即 A+B=（aij+bij）mn。即若 则 当两个矩阵 A 与 B 的行数与列数分别相等时，称它们是同型矩阵。只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可相加。例如 注意：（1）矩阵的加法与行列式的加法有重大区别 例如 文档 （阶数相同，所有的行（列）中除某一行（列）不相同外，其余的行都一样才可以相加，方法是除了这两个不同的行（列）相加外，其它的不变。）（2）阶数大于 1 的方阵与数不能相加。（阶数大于 1 它就

13、是一个表，不是一个数了）若 A=（aij）为 n 阶方阵，n1，a 为一个数，则 A+a 无意义！但是 n 阶方阵 A=（aij）mn与数量矩阵 aEn可以相加：（把数转化为数量矩阵 aEn就可以想加了）由定义 2.2.2 知 矩阵的加法满足下列运算律：设 A，B，C 都是 mn 矩阵，O 是 mn 零矩阵，则（1）交换律 A+B=B+A.（乘法没有交换律）（2）结合律（A+B）+C=A+（B+C）.（3）A+O=O+A=A.（4）消去律 A+C=B+CA=B.2.2.3 数乘运算（矩阵与数不能相加，但是可能想乘）定义 2.2.3 对于任意一个矩阵 A=（aij）mn和任意一个数 k，规定 k

14、 与 A 的乘积为 kA=（kaij）mn.（矩阵里的第个原数都乘以数 K）即若 则 由定义 2.2.3 可知，数 k 与矩阵 A 的乘积只是 A 中的所有元素都要乘以 k，而数 k 与行列式 Dn的乘积只是用 k 乘 Dn中某一行的所有元素，或者用 k 乘 Dn中某一列的所有元素，这两种数乘运算是截然不同的。根据数乘矩阵运算的定义可以知道，数量矩阵 aEn就是数 a 与单位矩阵 En的乘积。数乘运算律（1）结合律（kl）A=k（lA）=klA，k 和 l 为任意实数。（2）分配律 k（A+B）=kA+kB，（k+l）A=kA+lA，k 和 l 为任意实数。例 1 已知 文档 求 2A-3B。

15、答疑编号：10020101 针对该题提问 解 例 2 已知 且 A+2X=B，求 X。答疑编号：10020102 针对该题提问 解：（注意是乘以矩阵里的每个元素）2.2.4 乘法运算 定义 2.2.4 设矩阵 A=（aij）mk，B=（bij）kn，令 C=（cij）mn是由下面的 mn 个元素 cij=ai1b1j+ai2b2j+aikbkj（i=1，2，m；j=1，2，n）构成的 m 行 n 列矩阵，称矩阵 C 为矩阵 A 与矩阵 B 的乘积，记为C=AB。由此定义可以知道，两个矩阵 A=（aij）和 B=（bij）可以相乘当且仅当 A 的列数与 B的行数相等。当 C=AB 时，C 的行数

16、=A 的行数，C 的列数=B 的列数。C 的第 i 行第 j 列元素等于矩阵 A 的第 i 行元素与矩阵 B 的第 j 列对应元素的乘积之和。例 3 若且 AB=C 求矩阵 C 中第二行第一列中的元素 C21 答疑编号：10020103 针对该题提问 解：C21等于左矩阵 A 中的第二行元素与右矩阵 B 中第一列元素对应乘积之和 C21=21+13+00=5 例 4 设矩阵 文档 （列 行）求 AB。答疑编号：10020104 针对该题提问 解：=这里矩阵 A 是 33 矩阵，而 B 是 32 矩阵，由于 B 的列数与 A 的行数不相等，所以BA 没有意义。例 5 求（1）A3E3（2）E3A

17、3 解：（1）答疑编号：10020105 针对该题提问 （2）答疑编号：10020106 针对该题提问 由本例可见 A3E3=E3A3=A3，并且可以推广有 它与代数中的 1a=a1=a 比较可见单位矩阵 En在乘法中起单位的作用。例 6 设矩阵 求 AB 和 BA 答疑编号：10020107 针对该题提问 解：现在，我们对矩阵乘法与数的乘法作一比较。数的乘法有交换律，矩阵乘法没有普遍交换律。（差别）例 7 设 求 （1）AB （2）AC 文档 解（1）答疑编号：10020108 针对该题提问 （2）答疑编号：10020109 针对该题提问 可见 AB=AC 众所周知，两个数的乘积是可交换的：

18、ab=ba，因而才有熟知的公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，a2-b2=（a+b）（a-b），（ab）k=akbk.两个非零数的乘积不可能为零。因此，当 ab=0 时，必有 a=0 或 b=0。当 ab=ac 成立时，只要 a0，就可把 a 消去得到 b=c。（这条只满足数，不满足矩阵）由矩阵乘法及上述例 6、例 7 可知：（1）单位矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：EnA=AEn=A（2）数量矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：（aEn）A=A（aEn）.（3）在一般情形下，矩阵的乘法不满足交换律，即一般 ABBA。（4）当 AB=O 时，一般不能推出 A=O 或 B=O。这说明

19、矩阵乘法不满足消去律。（5）当 AB=AC 时，一般不能推出 B=C。（消去律）若矩阵 A 与 B 满足 AB=BA，则称 A 与 B 可交换。此时，A 与 B 必为同阶方阵。矩阵乘法不满足消去律，并不是说任意两个方阵相乘时，每一个方阵都不能从矩阵等式的同侧消去。在下一节中我们将会看到，被称为可逆矩阵的方阵一定可以从矩阵等式的同侧消去。例 8 设矩阵，求出所有与 A 可交换的矩阵。（即 AB=BA）答疑编号：10020201 针对该题提问 解 因为与 A 可交换的矩阵必为二阶矩阵，所以可设为与 A 可交换的矩阵，则 由 AX=XA，可推出 x12=0，x11=x22，且 x11，x21可取任意

20、值，即得 。（对角线必须一样）例 9 解矩阵方程，X 为二阶矩阵。答疑编号：10020202 针对该题提问 解 设。由题设条件可得矩阵等式：文档 由矩阵相等的定义得 （列出两组方程式）解这两个方程组可得 x11=1，x21=-1，x12=1，x22=0。所以。乘法运算律（1）矩阵乘法结合律（AB）C=A（BC）。（不改变顺序）（2）矩阵乘法分配律（A+B）C=AC+BC，A（B+C）=AB+AC。（3）两种乘法的结合律 k（AB）=（kA）B=A（kB），k 为任意实数。（4）EmAmn=Amn，AmnEn=Amn（其中 Em，En分别为 m 阶和 n 阶单位矩阵）。矩阵乘法的结合律要用定义直

21、接验证（证略），其他三条运算律的正确性是显然的。方阵的方幂 设 A 为 n 阶方阵，由于矩阵乘法满足结合律，所以可以不加括号而有完全确定的意义。我们定义 A 的幂（或称方幂）为 由定义可知，n 阶方阵的方幂满足下述规则：AkAl=Ak+l，（Ak）l=Akl，k，l 为任意正整数。例 10 用数学归纳法证明以下矩阵等式：（1）（2）。证（1）当 n=1 时，矩阵等式显然成立。假设当 n=k 时，矩阵等式成立，即 则 知道，当 n=k+1 时，矩阵等式也成立。所以对任意正整数 n，此矩阵等式成立。答疑编号：10020203 针对该题提问 （2）当 n=1 时，矩阵等式显然成立。假设当 n=k 时

22、，矩阵等式成立，即 则 知道，当 n=k+1 时，矩阵等式也成立。所以对任意正整数 n，此矩阵等式都成立。答疑编号：10020204 针对该题提问 例 11 设 n 阶方阵 A 和 B 满足，证明：（解 B 平方为多少）。答疑编号：10020205 针对该题提问 文档 证 由可推出 B=2A-En。再由 B2=（2A-En）（2A-En）=4A2-4A+En （E等于1呀）证得 例 12 前者是数，后者是 n 阶方阵，两者不相等，即 ABBA.（行乘列为数，列乘行为 N 阶方阵）答疑编号：10020206 针对该题提问 因为矩阵乘法不满足交换律，所以对于 n 阶方阵 A 和 B，有以下重要结论

23、：（1）（A+B）2=（A+B）（A+B）=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2 AB=BA。（2）（A+B）（A-B）=A2-AB+BA-B2=A2-B2AB=BA。（3）当 AB=BA 时必有（AB）k=AkBk.（只有两者两等时成立）例如 AB=BA 时，（AB）2=（AB）（AB）=ABAB=A（BA）B=AABB=（AA）（BB）=A2B2 但 ABBA 时，则上面结果不成立。例 13 设，则有 答疑编号：10020207 针对该题提问 因为矩阵乘法不满足消去律，所以对于 n 阶方阵 A 和 B，有以下重要结论：（1）AB=O，AO 不能推出 B=O。例如时 （两个不等于零的方

24、阵相乘或是一个数平方也可能等于零）（2）由 A2=O 不能推出A=O。例如 则 文档 （3）由 AB=AC，AO 不能推出B=C。例如时 （同系数两个数或是两个数的平方相等）即 AB=AC，但 BC （4）由 A2=B2不能推出 A=B。例如，取 则 2.2.5 矩阵的转置 定义 2.2.5 设矩阵 把矩阵的行与列互换得到的 nm 矩阵，称为矩阵 A 的转置矩阵，记作 AT或 A，即 易见 A 与 AT互为转置矩阵。特别，n 维行（列）向量的转置矩阵为 n 维列（行）向量。例如，则 若 A=（a1，a2，an）则 若则 BT=（b1，b2，bn）例 14 如果已知 A 为 ln 矩阵，BAT为

25、 rl 矩阵，证明：B 为 rn 矩阵。答疑编号：10020208 针对该题提问 证 设 B 为 x 行 y 列的矩阵 则有 BxxyATnl=（BAT）xl 根据可乘条件有 y=n 文档 根据积的形状有 x=r 所以 B 为 Brn 例 15 求 （1）AB（2）（AB）T（3）ATBT（4）BTAT 解：（1）答疑编号：10020209 针对该题提问 （2）答疑编号：10020210 针对该题提问 （3）答疑编号：10020211 针对该题提问 （4）答疑编号：10020212 针对该题提问 由本例可见（AB）T=BTAT，这一结果有普遍性（不证）转置运算律（1）（AT）T=A（2）（A+

26、B）T=AT+BT（3）（kA）T=kAT，k 为实数。（4）（AB）T=BTAT，（A1A2An）T=AnTA n-1TA1T.定义 2.2.6 设 A=（aij）为 n 阶实方阵。若 A 满足 AT=A，也就是说 A 中元素满足：aij=aji，i，j=1，2，n，则称 A 为实对称矩阵。若 A 满足 AT=-A，也就是说 A 中元素满足：aij=-aji，i，j=1，2，n，此时必有 aii=0，i=1，2，n，则称 A 为实反对称矩阵。实矩阵指的是元素全为实数的矩阵，在本课程中，我们只讨论实对称矩阵和实反对称矩阵，因此，往往省略一个“实”字。例如，都是对称矩阵；都是反对称矩阵。例 16

27、 证明：任意一个实方阵 A 都可以惟一地表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。答疑编号：10020213 针对该题提问 证：取 则 A=X+Y 文档 其中=X X 是对称阵。Y 是反对称阵。（注）举例证明了下面结论，对任意方阵 A 都有 （A+AT）是对称阵（A-AT）是反对称阵 例 17（1）设 A 为 n 阶对称矩阵，证明：对于任意 n 阶方阵 P，PTAP 必为对称矩阵。（2）如果已知 PTAP 为 n 阶对称矩阵，问 A 是否必为对称矩阵？证（1）因为 A 是对称矩阵，必有 AT=A（满足这个条件），于是必有 （PTAP）T=PTATP=PTAP 这说明 PTAP 必为对称矩阵。答疑

28、编号：10020214 针对该题提问 （2）反之，如果 PTAP 为 n 阶对称矩阵：（PTAP）T=PTAP，则有 PTATP=PTAP，但是矩阵乘法不满足消去律，在矩阵等式两边，未必能把 PT和 P 消去，所以不能推出AT=A，A 未必是对称矩阵。答疑编号：10020215 针对该题提问 2.2.6 方阵的行列式 定义 2.2.7 由 n 阶方阵 A 的元素按原来的顺序构成的行列式称为方阵 A 的行列式，记作 或 det（A）。即，如果 ，则 。例如，的行列式为。注意（1）矩阵是一个数表，行列式是一个数，二者不能混淆，而且行列式记号“”与矩 阵记号“（*）”也不同，不能用错。（2）矩阵的行

29、数与列数未必相等，但行列式的行数与列数必须相等。（3）当且仅当为 n 阶方阵时，才可取行列式。对于不是方阵的矩阵是不文档 可以取行列式的。易见，上、下三角矩阵的行列式等于它的所有对角线元素的乘积 。特别，。，例 18 设且有。求 答疑编号：10020301 针对该题提问 解：所以 由本例可见 一般地应有 方阵的行列式有如下性质：设 A，B 为 n 阶方阵，k 为数，则（1）；（2）；（3）。（行列式乘法规则）（1），（2）的证明可由方阵行列式的定义及行列式性质直接得到。（3）的证明从略。例 19 设，则 答疑编号：10020302 针对该题提问 文档 ，。于是得 ，。例 20 设 A，B 同为

30、 n 阶方阵。如果 AB=O，则由 答疑编号：10020303 针对该题提问 知道，必有或。但未必有 A=O 或 B=O。例 21 证明：任意奇数阶反对称矩阵的行列式必为零。答疑编号：10020304 针对该题提问 证：设 A 为 2n-1 阶反对称矩阵，则有。于是根据行列式性质 1 和性质 2，得到 ，因为是数，所以必有。2.2.7 方阵多项式 任意给定一个多项式和任意给定一个 n 阶方阵 A，都可以定义一个 n 阶方阵，称 f（A）为 A 的方阵多项式。注意：在方阵多项式中，末项必须是数量矩阵而不是常数。方阵多项式是以多项式形式表示的方阵。例 22：设，求 f（A）答疑编号：1002030

31、5 针对该题提问 解：文档 例 23：若 A=B-C，其中，。证明 答疑编号：10020306 针对该题提问 证：由 2.3 方阵的逆矩阵 我们知道，对于任意一个数 a0，一定存在惟一的数 b，使 ab=ba=1，这个 b 就是 a 的倒数，常记为。而且 a 与 b 互为倒数。对于方阵 A，我们可类似地定义它的逆矩阵。定义 2.3.1 设 A 是一个 n 阶方阵。若存在一个 n 阶方阵 B，使得（其中是 n阶单位 阵），（2.5）则称 A 是可逆矩阵（或非奇异矩阵），并称方阵 B 为 A 的逆矩阵。A 的逆矩阵记为，即。若满足（2.5）式的方阵 B 不存在，则称 A 为不可逆矩阵（或奇异矩阵）

32、。由逆矩阵的定义可见若 B 是 A 的逆矩阵。则反过来 A 也是 B 的逆矩阵。即若，则有 可逆矩阵的基本性质 设 A，B 为同阶的可逆方阵，常数 k0，则（1）为可逆矩阵，且（2）（3）证 推广有 （4）证 （5）证 （6）（7）若 A 可逆且 AB=AC，则有消去律 B=C 证：文档 如何判定一个给定方阵是否可逆呢？为了回答这个问题，我们先给出下面的概念。定义 2.3.2 设，为的元素的代数余子式（i,j=1,2,n），则矩阵 称为 A 的伴随矩阵，记为。由伴随矩阵的定义可以看出，在构造 A 的伴随矩阵时，必须放在中的第 j 行第 i 列的交叉 位置上，也就是说，的第 i 行元素的代数余子

33、式，构成的第 i 列元素。由 1.4 节中的定理 1.4.1 可得 ，即 （2.7）类似可得 （2.8）现在我们来证明下面的重要定理。这个定理给出了判定一个 n 阶方阵是否可逆的一个充要条件，以及方阵可逆时，求出其逆矩阵的一个方法。定理 2.3.2 n阶方阵A为可逆矩阵。证：必要性 设 A 是 n 阶可逆矩阵，则存在 n 阶方阵 B，使。由方阵乘积的行列式法则，可得 ，于是必有。充分性 设为 n 阶方阵且，构造如下 n 阶方阵：。则由（2.9）式可得矩阵等式 文档 ，由矩阵可逆的定义可知 A 是可逆矩阵，而且还得到了求逆矩阵公式 推论：设 A，B 均为 n 阶矩阵，并且满足，则 A，B 都可逆

34、，且，。证：由，可得，因此且，故由定理 2.3.2 知 A 可逆，B也可逆。在两边左乘，得，在两边右乘，得，这个推论表明，以后我们验证一个矩阵是另一个矩阵的逆矩阵时，只需要证明一个等式或成立即可，而用不着按定义同时验证两个等式。例 1 若，求 答疑编号：10020401 针对该题提问 解：例如：解：例 2 设，当 a，b，c，d 满足什么条件时，矩阵 A 是可逆矩阵？当 A 是可逆矩阵时，求出。答疑编号：10020402 针对该题提问 解：A 可逆。当 A 可逆时，例 1，例 2 的结果可以作为求二阶方阵的逆矩阵或伴随矩阵的公式 例如，例 3 判断矩阵是否可逆，求出它的逆矩阵。答疑编号：100

35、20403 针对该题提问 解（1）由于故矩阵 A 可逆。（2）逐个求出代数余子式和伴随矩阵：文档 ，；。于是。由上例可以看出，当 n3 时，用伴随矩阵求逆矩阵计算量是很大的，特别是当 n4 时不宜用伴随矩阵来求逆矩阵。例 4 设 A 为 n 阶方阵，则。答疑编号：10020404 针对该题提问 证：由知道。当时，显然有。例 5 若。求 A 的逆矩阵和 A+E 的逆矩阵。答疑编号：10020405 针对该题提问 解：（1）（2）例 6 设 A 是 3 阶方阵且，求（1）（2）（3）（4）答疑编号：10020406 针对该题提问 解：（1）（2）（3）（4）文档 2.4 分块矩阵 分块矩阵理论是矩

36、阵理论中的重要组成部分，在理论研究和实际应用中，有时会遇到行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常对矩阵采用分块的方法，即用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块（子矩阵），以子块为元素的形式的的矩阵叫分块矩阵。例如，设，令，则 A 的一个分块矩阵为 这样 A 可以看成由 4 个子矩阵（子块）为元素组成的矩阵，它是一个分块矩阵。分块矩阵的每一行称为一个块行，每一列称为一个块列。上述分块矩阵中有两个块行、两个块列。mn 矩阵的分块矩阵的一般形式为 对于同一个矩阵可有不同的分块法。采用不同的分块方法得到的是不同的分块矩阵。对于任意一个 mn 矩阵，常采用以下

37、两种特殊的分块方法：行向量表示法，其中，i=1，2，m；列向量表示法，其中，j=1，2，n。前者也称为将 A 按行分块，后者也称为将 A 按列分块。例如，令，以及 文档 ，可分别得到 A 的行分块矩阵和列分块矩阵：，。下面我们介绍 4 种最常用的分块矩阵的运算。需要特别指出的是，分块矩阵的所有运算仅仅是前面所讲的矩阵运算换了一种形式的表述方法，而并不是另外定义一种新的矩阵运算。2.4.1 分块矩阵的加法 把 mn 矩阵 A 和 B 作同样的分块：，其中，的行数的行数；的列数的列数，1ir，1js，则 例 1 设，都是四阶方阵的列向量分块矩阵。已知和，求出行列式的值。答疑编号：10020501

38、针对该题提问 解：根据分块矩阵加法的定义知道，A+B 的前三列都有公因数 2，利用行列式性质 2，提出公因数后可以求出 再利用行列式的性质 5，把它拆开以后，即可求出 2.4.2 数乘分块矩阵 数 k 与分块矩阵的乘积为 2.4.3 分块矩阵的转置 文档 设 则其转置矩阵为 式中，。分块矩阵转置时，不但看做元素的子块要转置，而且 每个子块是一个子矩阵，它内部也要转置，这一现象不妨称为“内外一起转”。例 2，我们发现：不但每个子矩阵的位置作了转置，而且每个子矩阵的内部也作了转置。答疑编号：10020502 针对该题提问 例 3 设是一个用列向量表示的 mn 阵，其中每个都是 m 维列向量，则 A

39、 的转置矩阵是 答疑编号：10020503 针对该题提问 例如，设，则 2.4.4 分块矩阵的乘法和分块方阵求逆 设矩阵，。利用分块矩阵计算乘积 AB 时，应使左边矩阵 A 的列分块方式与右边矩阵 B 的行分块方式一致，然后把矩阵的子块当做元素来看待，并且相乘时，A 的各子块分别左乘 B 的对应的子块。设 A，B 的分块方式分别为，其中为矩阵；为矩阵，且 文档 的列数分别等于的行数，则，其中（i=1,2,r,j=1,2,t）。例 4 对于矩阵 ，用分块矩阵计算 AB。答疑编号：10020504 针对该题提问 解：将矩阵 A，B 分块如下：，其中，于是得到 因为，所以。例 5 设 A 为 mk

40、矩阵，B 为 kn 矩阵，则 AB 为 mn 矩阵。若把 B 采用列向量表示：，则 若把 A 采用行向量表示：，则。特别地，当 AB=O 时，由可得。答疑编号：10020505 针对该题提问 方阵的特殊分块矩阵主要有以下三类：（凡空白处都是零块）（1）形如的分块矩阵称为分块对角矩阵或准对角矩阵，其中均为方阵。文档 （2）两个准对角矩阵的乘积 设是同阶方阵，则 若对某个 1ir，不是同阶方阵，则上面的两个分块对角矩阵不能相乘。（3）准对角矩阵的逆矩阵若都是可逆矩阵，则分块对角矩阵 可逆，并且 用分块矩阵的乘法，容易验证上式成立。例 6 求矩阵的逆矩阵。答疑编号：10020506 针对该题提问 解

41、：将矩阵 A 分块，得，其中，利用伴随矩阵方法求逆，得 ，。所以 形如，的分块矩阵分别称为准上三角矩阵和准下三角矩阵。它们都是分块三角矩阵。这里，每个主对角块都必须是方阵，但阶数可以文档 不相同。我们不加证明地给出以下重要结论：上述两类特殊分块矩阵的行列式都是它们的主对角线 上各子块的行列式的乘积，即 例如，例 6 中矩阵 A 的行列式为=-214=-8 例 7：验证并求 答疑编号：10020507 针对该题提问 证：（1）（2）2.5 矩阵的初等变换与初等方阵 2.5.1 初等变换 定义 2.5.1 对一个矩阵 A（aij）mn施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为矩阵的

42、初等变换。（i）交换 A 的某两行（列）。（ii）用一个非零数 K 乘 A 的某一行（列）。（iii）把 A 中某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上。必须注意：矩阵的初等变换与行列式的计算有本质区别，计算行列式是求值过程，前后用等号连接，对矩阵施行初等变换则是变换过程，除恒等变换以外，一般来说变换前后的两个矩阵是相等的，因此，我们用箭号“”连接变换前后的矩阵，而且不需要将矩阵改号或提取公因数。定义 2.5.1 若矩阵 A 经过若干次初等变换变为 B，则称 A 与 B 等价，记为 矩阵之间的等价关系有以下三种性质。（1）反身性 （2）对称性 若则 文档 （3）传递性 若则 2.5.2 初等方

43、阵 引进方程的目的是想用矩阵乘法描述矩阵的初等变换。定义 2.5.3 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵为初等方阵。我们对 n 阶单位矩阵 E 施行三种初等变换得到以下三类 n 阶初等方阵。（I）交换 E 的第 i,j 两行（列）（ij）得到的初等方阵记为 （II）用非零常数 k 乘 E 的第 i 行（列），得到的初等方阵记为 （III）将 E 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行上（或第 i 列的 k 倍加到第 j 列上）（ij）得到的初等方阵记为 将 E 的第 i 行的 k 倍加到第 j 行上（或第 j 列的 k 倍加到第 i 列上）（ij），得到的初等方阵记为 文档 以上这些初等

44、方阵中，空白处的元素均为 0。例如，当 n=4 时 例 1.计算 若 （1）P12A（2）AP12（3）D1（k）A，（4）A D1（k）（5）T12（k）A（6）AT21（k）答疑编号：10020601 针对该题提问 解：小结例 1 的结果，有下面的定理。定理 2.5.1 Pij左（右）乘 A 就是互换 A 的第 i 行（列）和第 j 行（列）文档 Di（k）左（右）乘 A 就是用非零数 k 乘 A 的第 i 行（列）。Tij（k）左乘 A 就是把 A 中第 j 行的 k 倍加到第 i 行上。Tij（k）右乘 A 就是把 A 中第 i 列的 k 倍加到第 j 列上。2.5.3 矩阵的等价标准

45、形 定理 2.5.2 任意一个 mn 矩阵 A，一定可以经过有限次初等行变换和初等列变换化成如下形式的 mn 矩阵。这是一个分块矩阵，其中 Er为 r 阶单位矩阵，而其余子块都是零块矩阵。称为 A 的等价标准形。例 2 求矩阵的等价标准形。答疑编号：10020602 针对该题提问 所以 A 的等价标准形为（E3，0）。因为对矩阵 A 施行初等行（列）变换相当于用对应的初等方阵左（右）乘 A，而初等方阵都是可逆矩阵，若干个可逆矩阵的乘积仍然是可逆矩阵，所以定理 2.5.2 可以等价地叙述为 定理 2.5.2 对于任意一个 mn 矩阵 A，一定存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q，使得

46、 证 根据定理 2.5.2，假设对 A 施行了 s 次初等行变换和 t 次初等列变换，得到了 A 的等价标准形，且对应初等行变换的 m 阶初等方阵 P1，P2，Ps，对应初等列变换的 n 阶初等方阵为 Q1，Q2Qt,则 文档 PsP2P1A Q1Q2Qt 令 PPsP2P1，QQ1Q2Qt，则 P 和 Q 就是满足定理要求的可逆矩阵。2.5.4 用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵 任取 n 阶可逆阵 A，由定理 2.5.3 知一定存在 n 阶可逆矩阵 P 和 Q，使得 因为 A，P 和 Q 都是可逆矩阵，上式左边取行列式，得 若 rn,则必有0，从而有，矛盾，因此必有 r=n，从而有 PAQEn

47、 上式说明可逆矩阵 An的等价标准形是同阶单位方阵 En。定理 2.5.4 n 阶方阵 A 是可逆矩阵的存在可逆矩阵 P，Q 使得 PAQEn（即 A 等价于单位矩阵）A 可以写成若干个初等方阵的乘积。实际上，若 A 可逆，则只需对 A 作一系列行初等变换也有 PK.P2P1A=E 存在可逆阵 P，使 PAE，其中 PPK.P2P1 其中 A-1P 因此，若将（A，E）看作分块矩阵，则有 P（A，E）（PA，PE）（PA，P）所以当 PAE 时，PA-1，故有公式 （A，E）（E，A-1）上面的公式就是用行初等变换法求 A-1的根据，上面公式说明，当分块矩阵（A，E）作行初等变换后，当 A 变

48、形为 E 时，则 E 变形为 A-1。具体方法：用初等行变换把 n2n 矩阵（A，En）化为（En，A-1），当（A，En）的左半部分化为单位矩阵 En时，右半部分就是 A-1了，如果前 n 列不可能化为单位矩阵，则说明 A不是可逆矩阵。注意：用初等行变换方法求逆矩阵时，不能同时用初等列变换，而且在求出 A-1以后，最好验证式子 AA-1En，以避免在计算中可能发生的错误。例 3.求的逆矩阵。答疑编号：10020603 针对该题提问 文档 所以结果正确。2.5.5 用矩阵的初等变换求解矩阵方程 最常见的方程有以下两类：（1）设 A 是 n 阶可逆矩阵，B 是 nm 矩阵，求出矩阵 X 满足 A

49、XB 原理：AXB 时 如找到 n 阶可逆矩阵 P 使 PAEn，则 PA-1，而且有 P（A，B）=（PA，PB）=（En，A-1B）上式右边矩阵的最后 m 列组成的矩阵就是 X。方法：用初等行变换把分块矩阵（A，B）化成（E，A-1B）即：公式（A，B）（E，A-1B）则 x=A-1B 上式说明，在解矩阵方程 Ax=B 时，看分块矩阵（A，B）的 A 变形为 E 时，则右边的 B 变形为解 A-1B。即解为：x=A-1B 例 4.求解矩阵方程。答疑编号：10020604 针对该题提问 文档 据此即可得：（2）设 A 是 n 阶可逆矩阵，B 是 mn 矩阵，求出矩阵 X 满足 XAB。解：由

50、方程 XAB XAA-1B A-1 解为 x=B A-1 要注意的是，矩阵方程 XAB 的解为 x=B A-1，而不可以写成 x=A-1B。因为 X 满足 XABXT满足 ATXTBT 从而有 XT=（AT）-1 BT=（BA-1）T 所以，可以先用上述方法求解 AT XTBT，再把所得结果 XT转置即得所需的 XBA-1。（方法）：（AT，BT）（En，（BA-1）T）（AT，BT）（E，XT）先求 XT，再求 X。例 5.求解矩阵方程：文档 答疑编号：10020605 针对该题提问 关于矩阵方程的另一种常用求解方法是：先求出逆矩阵 A-1，然后，求出 AXB 的解 XA-1B，或者 XAB