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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date自考04184线性代数(经管类)讲义自考高数线性代数课堂笔记自考高数线性代数课堂笔记第一章 行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。
2、1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。注意：在线性代数中，符号不是绝对值。例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式
3、的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。例如：（1）=159+267+348-357-168-249=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，答疑编号10010101：针对该题提问解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时， 答疑编号10010102：针对该题提问解：解得0x9所以当0x1）： 答疑编号10010307：针对该题提问解将行列式按第一列
4、展开，得 （简化的过程就是消阶，次方也应减少，为（N-1）等 例12计算范德蒙德（VanderMonde）行列式： 答疑编号10010308：针对该题提问（第一行乘（-X1）加到第二行上；第二行乘（-X1）加到第三行上）例13 计算 答疑编号10010309：针对该题提问（这是个定律） 例14计算 （解题规律：每行或是每列中的和是一样的，故每行或是每列都乘“1”加到第一行或是第一列上去，再把这个数当公因数提取，形成有一行或是列全为“1”的行列式，然后再化简）答疑编号10010310：针对该题提问=（x+4a）（x-a）4 1.4克拉默法则由定理1.2.1和定理1.3.1合并有或 （一）二元一次
5、方程组（方程1、2左右同乘以一个数，上下对减） 由a22*-a12*得由a11-a21得 令 =D =D1=D2则有 A是常数项当D0时，二元一次方程组有唯一解（二）三元一次方程组 令叫系数行列式， ， 由D中的A11+A21+A31得 即 由D中的A12+A22+A32得即 由D中的A13+A23+A33得即 当D0时，三元一次方程组有唯一解一般地，有下面结果定理（克拉默法则） 在n个方程的n元一次方程组（1）中，若它的系数行列式0则n元一次方程组有唯一解。推论：在n个方程的n元一次齐次方程组（2）中（1）若系数行列式D0，方程组只有零解（2）若系数行列式D=0则方程组（2）除有零解外，还有
6、非零解（不证）例在三元一次齐次方程组中，a为何值时只有零解，a为何值时有非0解。答疑编号10010401：针对该题提问解： =2a-6+3-4-（-9）-a=a+2（1）a-2时，D0,只有零解（2）a=-2时 ，D=0 ，有非零解。 本章考核内容小结（一）知道一阶，二阶，三阶，n阶行列式的定义知道余子式，代数余子式的定义（二）知道行列式按一行（列）的展开公式（三）熟记行列式的性质，会用展开公式或将行列式化为三角形的方法计算行列式重点是三阶行列式的计算和各行（列）元素之和相同的行列式的计算（四）知道克拉默法则的条件和结论第二章 矩阵矩阵是线性代数学的一个重要的基本概念和数学工具，是研究和求解线
7、性方程组的一个十分有效的工具；矩阵在数学与其他自然科学、工程技术中，以及经济研究和经济工作中处理线性经济模型时，也都是一个十分重要的工具。本章讨论矩阵的加、减法，数乘，乘法，矩阵的转置运算，矩阵的求逆，矩阵的初等变换，矩阵的秩和矩阵的分块运算等问题。最后初步讨论矩阵与线性方程组的问题。2.1矩阵的概念定义2.1.1由mn个数aij（i=1，2，m；j=1，2，n）排成一个m行n列的数表 用大小括号表示称为一个m行n列矩阵。矩阵的含义是，这mn个数排成一个矩形阵列。其中aij称为矩阵的第i行第j列元素（i=1，2，m；j=1，2，n），而i称为行标，j称为列标。第i行与第j列的变叉位置记为（i，
8、j）。通常用大写字母A，B，C等表示矩阵。有时为了标明矩阵的行数m和列数n，也可记为A=（aij）mn或（aij）mn或Amn当m=n时，称A=（aij）nn为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。n阶方阵是由n2个数排成一个正方形表，它不是一个数（行列式是一个数），它与n阶行列式是两个完全不同的概念。只有一阶方阵才是一个数。一个n阶方阵A中从左上角到右下角的这条对角线称为A的主对角线。n阶方阵的主对角线上的元素a11，a22，ann，称为此方阵的对角元。在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。元素全为零的矩阵称为零矩阵。用Omn或者O（大写字）表示。特别，当m=1时，称=（a1，a2，an）
9、为n维行向量。它是1n矩阵。当n=1时，称为m维列向量。它是m1矩阵。向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。例如，（a，b，c）是3维行向量，是3维列向量。几种常用的特殊矩阵：1.n阶对角矩阵形如或简写为（那不是A，念“尖”）的矩阵，称为对角矩阵，对角矩阵必须是方阵。 例如，是一个三阶对角矩阵，也可简写为。2.数量矩阵当对角矩阵的主对角线上的元素都相同时，称它为数量矩阵。n阶数量矩阵有如下形式：或。（标了角标的就是N阶矩阵，没标就不知是多少的）特别，当a=1时，称它为n阶单位矩阵。n阶单位矩阵记为En或In，即或在不会引起混淆时，也可以用E或I表示单位矩阵。n阶数量矩阵常用aEn或a
10、In表示。其含义见2.2节中的数乘矩阵运算。3.n阶上三角矩阵与n阶下三角矩阵形如的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。对角矩阵必须是方阵。一个方阵是对角矩阵当且仅当它既是上三角矩阵，又是下三角矩阵。4.零矩阵 （可以是方阵也可以不是方阵）2.2矩阵运算本节介绍矩阵的加法、减法、数乘、乘法和转置等基本运算。只有在对矩阵定义了一些有理论意义和实际意义的运算后，才能使它成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具。2.2.1矩阵的相等（同）定义2.2.1设A=（aij）mn，B=（bij）kl，若m=k，n=l且aij=bij，i=1，2，m；j=1，2，n，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。由矩阵
11、相等的定义可知，两个矩阵相等指的是，它们的行数相同，列数也相同，而且两个矩阵中处于相同位置（i，j）上的一对数都必须对应相等。特别，A=（aij）mn=Oaij=0，i=1，2，m；j=1，2，n。注意行列式相等与矩阵相等有本质区别，例如因为两个矩阵中（1，2）位置上的元素分别为0和2。但是却有行列式等式 （因为行列式是数，矩阵是表，表要求表里的每一个都一样）2.2.2矩阵的加、减法定义2.2.2设A=（aij）mn和B=（bij）mn，是两个mn矩阵。由A与B的对应元素相加所得到的一个mn矩阵，称为A与B的和，记为A+B，即A+B=（aij+ bij）mn。即若则当两个矩阵A与B的行数与列数
12、分别相等时，称它们是同型矩阵。只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可相加。例如注意：（1）矩阵的加法与行列式的加法有重大区别例如 （阶数相同，所有的行（列）中除某一行（列）不相同外，其余的行都一样才可以相加，方法是除了这两个不同的行（列）相加外，其它的不变。）（2）阶数大于1的方阵与数不能相加。（阶数大于1它就是一个表，不是一个数了）若A=（aij）为n阶方阵，n1，a为一个数，则A+a无意义！但是n阶方阵A=（aij）mn与数量矩阵aEn可以相加： （把数转化为数量矩阵aEn就可以想加了）由定义2.2.2知矩阵的加法满足下列运算律：设A，B，C都是mn矩阵，O是mn零矩阵，则（1）交换律A+B
13、=B+A.（乘法没有交换律）（2）结合律（A+B）+C=A+（B+C）.（3）A+O=O+A=A.（4）消去律A+C=B+CA=B.2.2.3数乘运算（矩阵与数不能相加，但是可能想乘）定义2.2.3对于任意一个矩阵A=（aij）mn和任意一个数k，规定k与A的乘积为kA=（kaij）mn.（矩阵里的第个原数都乘以数K）即若 则由定义2.2.3可知，数k与矩阵A的乘积只是A中的所有元素都要乘以k，而数k与行列式Dn的乘积只是用k乘Dn中某一行的所有元素，或者用k乘Dn中某一列的所有元素，这两种数乘运算是截然不同的。根据数乘矩阵运算的定义可以知道，数量矩阵aEn就是数a与单位矩阵En的乘积。数乘运
14、算律（1）结合律（kl）A=k（lA）=klA，k和l为任意实数。（2）分配律k（A+B）=kA+kB，（k+l）A=kA+lA，k和l为任意实数。例1已知求2A-3B。答疑编号：10020101针对该题提问解例2已知且A+2X=B，求X。答疑编号：10020102针对该题提问解：（注意是乘以矩阵里的每个元素）2.2.4乘法运算定义2.2.4设矩阵A=（aij）mk，B=（bij）kn，令C=（cij）mn是由下面的mn个元素cij=ai1b1j+ai2b2j+aikbkj（i=1，2，m；j=1，2，n）构成的m行n列矩阵，称矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积，记为C=AB。由此定义可以知道，两个
15、矩阵A=（aij）和B=（bij）可以相乘当且仅当A的列数与B的行数相等。当C=AB时，C的行数=A的行数，C的列数=B的列数。C的第i行第j列元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。例3若且AB=C求矩阵C中第二行第一列中的元素C21答疑编号：10020103针对该题提问解：C21等于左矩阵A中的第二行元素与右矩阵B中第一列元素对应乘积之和C21=21+ 13+ 00=5 例4设矩阵（列 行）求AB。答疑编号：10020104针对该题提问解：=这里矩阵A是33矩阵，而B是32矩阵，由于B的列数与A的行数不相等，所以BA没有意义。例5求（1）A3E3（2）E3A3解：（1
16、）答疑编号：10020105针对该题提问（2）答疑编号：10020106针对该题提问由本例可见A3E3=E3A3=A3，并且可以推广有它与代数中的1a=a1=a比较可见单位矩阵En在乘法中起单位的作用。例6设矩阵求AB和BA答疑编号：10020107针对该题提问解：现在，我们对矩阵乘法与数的乘法作一比较。数的乘法有交换律，矩阵乘法没有普遍交换律。（差别）例7设 求（1）AB（2）AC解（1）答疑编号：10020108针对该题提问（2）答疑编号：10020109针对该题提问可见AB=AC众所周知，两个数的乘积是可交换的：ab=ba，因而才有熟知的公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，a2-b2
17、=（a+b）（a-b），（ab）k=akbk.两个非零数的乘积不可能为零。因此，当ab=0时，必有a=0或b=0。当ab=ac成立时，只要a0，就可把a消去得到b=c。（这条只满足数，不满足矩阵）由矩阵乘法及上述例6、例7可知：（1）单位矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：EnA=AEn=A（2）数量矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：（aEn）A=A（aEn）.（3）在一般情形下，矩阵的乘法不满足交换律，即一般ABBA。（4）当AB=O时，一般不能推出A=O或B=O。这说明矩阵乘法不满足消去律。（5）当AB=AC时，一般不能推出B=C。（消去律）若矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B可交
18、换。此时，A与B必为同阶方阵。矩阵乘法不满足消去律，并不是说任意两个方阵相乘时，每一个方阵都不能从矩阵等式的同侧消去。在下一节中我们将会看到，被称为可逆矩阵的方阵一定可以从矩阵等式的同侧消去。例8设矩阵，求出所有与A可交换的矩阵。（即AB=BA）答疑编号：10020201针对该题提问解因为与A可交换的矩阵必为二阶矩阵，所以可设为与A可交换的矩阵，则由AX=XA，可推出x12=0，x11=x22，且x11，x21可取任意值，即得。（对角线必须一样）例9解矩阵方程，X为二阶矩阵。答疑编号：10020202针对该题提问解 设。由题设条件可得矩阵等式：由矩阵相等的定义得 （列出两组方程式）解这两个方程
19、组可得x11=1，x21= -1，x12=1，x22=0。所以。 乘法运算律（1）矩阵乘法结合律（AB）C=A（BC）。（不改变顺序）（2）矩阵乘法分配律（A+B）C=AC+BC，A（B+C）=AB+AC。（3）两种乘法的结合律k（AB）=（kA）B=A（kB），k为任意实数。（4）EmAmn=Amn，AmnEn=Amn（其中Em，En分别为m阶和n阶单位矩阵）。矩阵乘法的结合律要用定义直接验证（证略），其他三条运算律的正确性是显然的。方阵的方幂设A为n阶方阵，由于矩阵乘法满足结合律，所以可以不加括号而有完全确定的意义。我们定义A的幂（或称方幂）为由定义可知，n阶方阵的方幂满足下述规则：AkA
20、l=Ak+l，（Ak）l=Akl，k，l为任意正整数。例10用数学归纳法证明以下矩阵等式：（1）（2）。证（1）当n=1时，矩阵等式显然成立。假设当n=k时，矩阵等式成立，即则知道，当n=k+1时，矩阵等式也成立。所以对任意正整数n，此矩阵等式成立。答疑编号：10020203针对该题提问（2）当n=1时，矩阵等式显然成立。假设当n=k时，矩阵等式成立，即则知道，当n=k+1时，矩阵等式也成立。所以对任意正整数n，此矩阵等式都成立。答疑编号：10020204针对该题提问例11设n阶方阵A和B满足，证明：（解B平方为多少）。答疑编号：10020205针对该题提问证由可推出B=2A-En。再由B2=
21、（2A-En）（2A-En）=4A2-4A+En （E等于1呀）证得例12前者是数，后者是n阶方阵，两者不相等，即ABBA.（行乘列为数，列乘行为N阶方阵）答疑编号：10020206针对该题提问因为矩阵乘法不满足交换律，所以对于n阶方阵A和B，有以下重要结论：（1）（A+B）2=（A+B）（A+B）=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2 AB=BA。（2）（A+B）（A-B）=A2-AB+BA-B2=A2-B2AB=BA。（3）当AB=BA时必有（AB）k=AkBk.（只有两者两等时成立）例如AB=BA时，（AB）2=（AB）（AB）=ABAB=A（BA）B=AABB=（AA）（BB）=
22、A2B2但ABBA时，则上面结果不成立。例13设，则有答疑编号：10020207针对该题提问因为矩阵乘法不满足消去律，所以对于n阶方阵A和B，有以下重要结论：（1）AB=O，AO不能推出B=O。例如时（两个不等于零的方阵相乘或是一个数平方也可能等于零）（2）由A2=O不能推出A=O。例如则（3）由AB=AC，AO不能推出B=C。例如时（同系数两个数或是两个数的平方相等）即AB=AC，但BC（4）由A2=B2不能推出A=B。例如，取则2.2.5矩阵的转置定义2.2.5设矩阵把矩阵的行与列互换得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记作AT或A，即易见A与AT互为转置矩阵。特别，n维行（列）向量的转
23、置矩阵为n维列（行）向量。例如，则若A=（a1，a2，an）则若则BT=（b1，b2，bn）例14如果已知A为ln矩阵，BAT为rl矩阵，证明：B为rn矩阵。答疑编号：10020208针对该题提问证设B为x行y列的矩阵则有BxxyATnl=（BAT）xl根据可乘条件有y=n根据积的形状有x=r所以B为Brn例15求（1）AB（2）（AB）T（3）ATBT（4）BTAT解：（1）答疑编号：10020209针对该题提问（2）答疑编号：10020210针对该题提问（3）答疑编号：10020211针对该题提问（4）答疑编号：10020212针对该题提问由本例可见（AB）T=BTAT，这一结果有普遍性（
24、不证）转置运算律（1）（AT）T=A（2）（A+B）T=AT+BT（3）（kA）T=kAT，k为实数。（4）（AB）T=BTAT，（A1A2An）T=AnTA n-1TA1T.定义2.2.6设A=（aij）为n阶实方阵。若A满足AT=A，也就是说A中元素满足：aij=aji，i，j=1，2，n，则称A为实对称矩阵。若A满足AT=-A，也就是说A中元素满足：aij=-aji，i，j=1，2，n，此时必有aii=0，i=1，2，n，则称A为实反对称矩阵。实矩阵指的是元素全为实数的矩阵，在本课程中，我们只讨论实对称矩阵和实反对称矩阵，因此，往往省略一个“实”字。例如，都是对称矩阵；都是反对称矩阵。例
25、16证明：任意一个实方阵A都可以惟一地表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。答疑编号：10020213针对该题提问证：取则A=X+Y其中=XX是对称阵。Y是反对称阵。（注）举例证明了下面结论，对任意方阵A都有（A+AT）是对称阵（A-AT）是反对称阵例17（1）设A为n阶对称矩阵，证明：对于任意n阶方阵P，PTAP必为对称矩阵。（2）如果已知PTAP为n阶对称矩阵，问A是否必为对称矩阵？证（1）因为A是对称矩阵，必有AT=A（满足这个条件），于是必有（PTAP）T=PTATP=PTAP 这说明PTAP必为对称矩阵。答疑编号：10020214针对该题提问（2）反之，如果PTAP为n阶对称矩阵：
26、（PTAP）T=PTAP，则有PTATP=PTAP，但是矩阵乘法不满足消去律，在矩阵等式两边，未必能把PT和P消去，所以不能推出AT=A，A未必是对称矩阵。答疑编号：10020215针对该题提问2.2.6方阵的行列式 定义2.2.7由n阶方阵A的元素按原来的顺序构成的行列式称为方阵A的行列式，记作或det（A）。即，如果，则。例如，的行列式为。 注意（1）矩阵是一个数表，行列式是一个数，二者不能混淆，而且行列式记号“”与矩阵记号“（*）”也不同，不能用错。（2）矩阵的行数与列数未必相等，但行列式的行数与列数必须相等。（3）当且仅当为n阶方阵时，才可取行列式。对于不是方阵的矩阵是不可以取行列式的。易见，上、下三角矩阵的行列式等于它的所有对角线元素的乘积。特别，。，例18 设且有。求答疑编号：10020301针对该题提问解：所以由本例可见一般地应有方阵的行列式有如下性质：设A，B为n阶方阵，k为数，则（1）；（2）；（3）。（行列式乘法规则）（1），（2）的证明可由方阵行列式的定义及行列